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(共44张PPT)
第四章
2.1　对数的运算性质　2.2　换底公式
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
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学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.
2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
3.能用对数的运算性质和换底公式进行一些简单的化简和证明.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　对数的运算性质
可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即loga(N1·N2·…·Nk) =logaN1+logaN2+…+logaNk(k≥2,k∈N+)
条件 a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R
性质 (1)loga(M·N)=logaM+logaN
(2)loga =logaM-logaN
(3)logaMb=blogaM
名师点睛
1.会用语言准确地叙述运算性质,如loga(M·N)=logaM+logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和等于这两个正数乘积的对数”.
2.熟练掌握对数运算性质的逆向使用:逆向应用对数运算性质,可将几个对数式化为一个对数式,有利于化简求值.例如:
log23+log2 =log2(3× )=log24=2.
思考辨析
若MN>0,运算法则“loga(MN)=logaM+logaN”还成立吗
提示 不一定成立.例如对于(-2)×(-3)>0,loga[(-2)×(-3)]≠loga(-2)+loga(-3), loga(-2)和loga(-3)没有意义.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)logaxy=logax+logay(a>0且a≠1).(　　)
(2)log2(-4)2=2log2(-4).(　　)
(3)logaxy=logax·logay(a>0且a≠1).(　　)
×
×
×
2.[人教A版教材例题]求下列各式的值:
(2)log2(47×25)=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19.
3.[人教B版教材例题]用logax,logay,logaz表示下列各式:
(2)loga(x3y5)=logax3+logay5=3logax+5logay.
知识点2　换底公式
一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,则logab= .这个结论称为对数的换底公式.
名师点睛
1.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
思考辨析
下列三个等式是否成立
提示 均成立.
自主诊断
1.log29×log34=　　　　　.
2.log35·log56·log69=　　　　　.
4
2
3.[人教A版教材例题]尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M.2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)
解 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E1和E2.
由lg E=4.8+1.5M,可得lg E1=4.8+1.5×9.0,
lg E2=4.8+1.5×8.0.
于是,lg =lg E1-lg E2=(4.8+1.5×9.0)-(4.8+1.5×8.0)=1.5.
利用计算工具可得, =101.5≈32.
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　对数运算性质的应用
【例1】 计算下列各式的值:
(3)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2.
(2)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=log55+log57-2log57 +2log53+log57-2log53+log55=2log55=2.
(3)原式=(lg 5)2+lg 2(2-lg 2)=(lg 5)2+(1+lg 5)×lg 2=(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)×lg 5+lg 2=lg 5+lg 2=1.
规律方法　对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法
收 将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数
拆 将积(商)的对数拆成对数的和(差).
对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式
变式训练1计算下列各式的值:
(3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)2=2lg 10+(lg 5+lg 2)2
=2+(lg 10)2 =2+1=3.
探究点二　换底公式的应用
【例2】 计算下列各式的值:
(1)log89·log2732;
★(2)(log43+log83)
规律方法　1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
变式训练2计算:(1)log23·log36·log68;
★(2)(log23+log43)(log32+log274).
探究点三　有附加条件的对数求值问题
【例3】 (1)[2024江苏盐城高一期中]已知3a=2b=A,且 =2,则A的值是　　　　　.
解 设ax=by=cz=k(k>0,且k≠1).
∵a,b,c是不等于1的正数,
∴x=logak,y=logbk,z=logck.
∴logka+logkb+logkc=0,
即logk(abc)=0.∴abc=1.
规律方法　条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
证明 设3x=4y=6z=m(m>0,且m≠1),
则x=log3m,y=log4m,z=log6m.
探究点四　解对数方程
【例4】 解下列方程:
(1)lg x2-lg(x+2)=0;
(2)lg x-lg 3=2lg 5-lg(x-10).
规律方法　对数方程的类型与解法
(1)logaf(x)=b(f(x)>0,a>0,且a≠1)型,解法为将对数式转化为指数式f(x)=ab,解出x,注意检验.
(2)logf(x)n=b(f(x)>0,且f(x)≠1,n>0)型,解法为将对数式化为指数式[f(x)]b=n,解出x,注意检验.
(3)形如logaf(x)=logaφ(x)(f(x)>0,且φ(x)>0),解法为转化为f(x)=φ(x)求解,注意检验.
(4)形如f(logax)=0(a>0,且a≠1,x>0),解法为换元,令t=logax,转化为关于t的方程f(t)=0,得t=p,再解方程logax=p,得到x=ap,注意检验.
变式训练4 解下列方程:
(1)log3(x2-10)=1+log3x;
(2)lg x+2log(10x)x=2.
原方程可化为log3(x2-10)=log33x.
所以x2-10=3x,
解得x=-2或x=5.
检验知,方程的解为x=5.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)对数运算性质的应用;
(2)换底公式的应用;
(3)对数方程的求解.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:要注意对数的运算性质的结构形式及公式使用的条件.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
6
C
1
2
3
4
5
6
2.log52·log425等于(　　)
A.-1 B.
C.1 D.2
C
1
2
3
4
5
6
B
解析 ∵4a=9b=12,
∴a=log412,b=log912,
故选B.
1
2
3
4
5
6
2
1
2
3
4
5
6
5.已知方程x2+xlog26+log23=0的两根为α和β,则α+β=　　　　　,
-log26　
　36　
1
2
3
4
5
6
6.计算:(1)3log72-log79+2log7( );
(2)(lg 2)2+lg 2·lg 500+lg 125.
解 (1)原式=log78-log79+log7 =log78-log79+log79-log78=0.
(2)原式=lg 2(lg 2+lg 500)+3lg 5=lg 2·lg 1 000+3lg 5=3lg 2+3lg 5
=3(lg 2+lg 5)=3lg 10=3.
本 课 结 束

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