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第四章
3.1-3.3 第1课时　对数函数的概念、图象和性质
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
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学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.通过具体实例,理解对数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
基础落实·必备知识一遍过
知识点1　对数函数
1.对数函数的概念
一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a称为　　　　,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是　　　　　;②图象过定点　　　　　.
2.两种特殊的对数函数
特别地,我们称以　　　为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;称以
　　　　　为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
底数
(0,+∞)
(1,0)
10
无理数e
3.反函数
指数函数y=2x和对数函数x=log2y刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数y=2x中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;而在对数函数x=log2y中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).我们称对数函数x=log2y是指数函数y=2x的反函数,同时,也称指数函数y=2x是对数函数x=log2y的反函数.
名师点睛
1.判断一个函数是对数函数的依据:
(1)形式满足y=logax;
(2)底数a满足a>0,且a≠1;
(3)真数为x,而不是x的函数.
2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.
思考辨析
1.函数y=2x与函数x=log2y的图象有什么关系
2.函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象有什么关系
提示 重合.
提示 关于直线y=x对称.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=log2(x+5)是对数函数.(　　)
(2)对数函数y=log2x的定义域为R.(　　)
(3)函数y=log2x与y=x2互为反函数.(　　)
×
×
×
2.[人教A版教材例题]求下列函数的定义域:
(1)y=log3x2;
(2)y=loga(4-x)(a>0,且a≠1).
解 (1)因为x2>0,即x≠0,所以函数y=log3x2的定义域是{x|x≠0}.
(2)因为4-x>0,即x<4,所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x|x<4}.
3.[人教B版教材例题]判断f(x)=2x+2的反函数是否存在,如果不存在,说明理由;如果存在,写出反函数f-1(x)的解析式,并在同一平面直角坐标系中作出f(x)与f-1(x)的函数图象.
解 因为f(x)=2x+2是增函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x与之对应,所以f(x)存在反函数.令y=2x+2,对调其中的x和y得x=2y+2,解得
y= x-1,因此f-1(x)= x-1.f(x)与f-1(x)的函数图象如图所示.
知识点2　对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质
图象和性质 a>1 0图象
性质 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (4)当x>1时,y>0;当01时,y<0;当00
(5)在定义域(0,+∞)上是增函数 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,+∞)上是减函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;
当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大
名师点睛
1.对数函数的图象都在y轴的右侧,x的取值越接近于0,图象越接近y轴.
2.对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.
3.两个底数都大于1的对数函数,图象在第一象限内越接近x轴,底数越大;两个底数都大于0小于1的对数函数,图象在第四象限内越接近x轴,底数越小.
思考辨析
请探求f(x)=|lg x|与g(x)=lg|x|在区间[1,+∞)上的单调性.
提示 f(x)=|lg x|与g(x)=lg|x|在[1,+∞)上均为增函数.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)函数y=log5(x+1)的定义域是(0,+∞).(　　)
(2)函数y=log2x2在R上单调递增.(　　)
(3)函数f(x)= 的值域是[-2,+∞).(　　)
(4)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象一定在y轴的右侧.(　　)
(5)log20.35>log20.3.(　　)
×
×
×
√
√
2.(多选题)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是(　　)
AB
3.[人教B版教材例题]比较下列各题中两个值的大小:
(1)log0.33与log0.35;
(2)ln 3与ln 3.001;
(3)log70.5与0.
解 (1)因为0<0.3<1,所以y=log0.3x是减函数,
又因为3<5,所以log0.33>log0.35.
(2)因为e>1,所以y=ln x是增函数,
又因为3<3.001,所以ln 3(3)因为7>1,所以y=log7x是增函数,又因为log71=0,而且0.5<1,所以log70.54.[人教B版教材例题]已知log0.7(2m)重难探究·能力素养速提升
探究点一　对数函数的概念
【例1】 (1)已知函数f(x)=(m2-3m+3)logmx是对数函数,则m=　　　　　.
2
解析 由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2) =0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
(2)已知对数函数f(x)的图象过点
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
②方程f(x)=2,即log16x=2,
所以x=162=256.
规律方法　1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可.
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=　　　　　.
4
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=　　　　　.
探究点二　指数函数与对数函数关系的应用
【例2】 已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析 ∵g(x)是f(x)的反函数,
∴g(x)=2x.
∴g(2)=22=4,
∴f(g(2))=f(4)=log24=2.
规律方法　涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.
变式训练2已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=(　　)
A.-7 B.-9
C.-11 D.-13
C
解析 由题意知f(x)=2x,
故当x>0时,g(x)=2x+x2.
∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.
∴g(-1)+g(-2)=-11.
探究点三　与对数函数有关的定义域、值域问题
【例3】 (1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(　　)
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1]
A
解析 由题意得x2-x>0,
解得x>1或x<0,
故函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
(2)已知函数 的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是　 .
变式探究本例(1)中的函数变为 ,结论又如何
规律方法　定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
探究点四　对数函数的图象
【例4】 函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.
(1)指出三个函数分别对应于哪个图象.
(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出 的图象.
(3)从(2)的图中你发现了什么
解 (1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.
规律方法　对数函数图象的变化规律
(1)对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底数,如图所示.
(2)牢记特殊点:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(1,0),(a,1),
变式训练3作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解 先作出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
图①
图②
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
图③
由图易知函数的定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),函数在区间(1,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
探究点五　利用对数函数的性质比较大小
【例5】 比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)log23,log0.32;
(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).
解 (1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32log0.32.
(3)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;
当0综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;
当0规律方法　比较两个对数式大小的常用方法
对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于1进行分类讨论,不过对于这一类的大小比较问题,并不是底数为参数时,就一定要讨论,而应遵循的原则是尽量回避或推迟讨论.
变式训练4(1)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(　　)
A.loga5.1C.log1.1(a+1)D.log32.9B
解析 对于选项A,因为a和1大小的关系不确定,无法确定对数函数的单调性,故A不成立;对于选项B,因为以 为底的对数函数是减函数,故B成立;对于选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数,故C不成立;对于选项D, log32.9>0,log0.52.2<0,故D不成立.故选B.
★(2)设a=log32,b=log53,c= ,则(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.aA
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)对数函数的概念;
(2)反函数;
(3)对数函数的图象与性质及应用.
2.方法归纳:待定系数法、分类讨论法、
数形结合法.
3.常见误区:对数函数中隐含的条件,真数大于0,底数大于0且不等于1容易忽视,求与对数函数有关的定义域时,易漏掉真数大于零的情况.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.函数 +lg(x+1)的定义域为(　　)
A.[-1,3) B.(-1,3)
C.(-1,3] D.[-1,3]
6
C
1
2
3
4
5
2.函数 在区间[1,2]上的值域是(　　)
A.[-1,0] B.[0,1]
C.[1,+∞) D.(-∞,-1]
6
A
1
2
3
4
5
3.设a与b均为实数,a>0,且a≠1,已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b的值为(　　)
A.6
B.8
C.10
D.12
6
C
1
2
3
4
5
6
解析 令f(x)=y=loga(x+b),
由图可知,f(0)=logab=2,f(-3)=loga(-3+b)=0,
故a+2b=2+4×2=10.故选C.
1
2
3
4
5
4.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是　　　　　.
6
(2,2)
解析 令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,
∴f(x)的图象恒过定点(2,2).
1
2
3
4
5
5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为　　　　　.
6
b>a>c　
解析 因为f(x)=log0.2x在定义域内单调递减,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,
即1>a>0>c.
同理log26>log22=1,所以b>a>c.
6.已知函数f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象;
(2)若f(a)1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
解 (1)作出函数y=log3x的图象如图所示.
(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.当0本 课 结 束

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