资源简介

微专题2　对称问题
类型1　几类常见的对称问题
　中心对称问题
1．点关于点对称
点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，
由得
2．直线关于点对称
直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程．
【例1】　(1)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，1)对称的直线方程为(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0
(2)点P(1，2)在直线l上，直线l1与l关于点(0，1)对称，则一定在直线l1上的点为(　　)
A．
C．(－1，0) D．(1，0)
(1)D　(2)C　[(1)在所求直线上取点(x，y)，则关于点(1，1)对称的点的坐标为(2－x，2－y)，
代入直线2x＋3y－6＝0，可得2(2－x)＋3(2－y)－6＝0，整理得2x＋3y－4＝0．
故选D．
(2)设P(1，2)关于(0，1)对称的点为(x，y)，该点必在l1上，
∴解得即(－1，0)一定在直线l1上．
故选C．]
　轴对称问题
1．点关于直线对称
设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直．
即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标．
2．直线关于直线对称
(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程．
(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．
【例2】　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．
[解]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，
即解得
所以点P′的坐标为(－2，7)．
(2)解方程组得
则点在所求直线上．
在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)，
设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)，
则解得
点M′也在所求直线上，
由两点式得直线方程为
＝，化简得7x＋y＋22＝0，
即7x＋y＋22＝0为所求直线方程．
类型2　光的反射问题
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6
C．3 D．2
A　[如图所示，分别作出点P关于直线AB的对称点P′，点P关于y轴的对称点P″，
则点P′，Q，M，P″在同一条直线上，线段P′P″的长度即为所求，
易知P″(－2，0)，直线AB方程为x＋y＝4，
设点P′(a，b)，
则
解得a＝4，b＝2．∴点P′(4，2)．
∴光线所经过的路程是|P′P″|＝＝2．故选A．]
类型3　利用对称解决有关最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使其满足以下条件．
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
[解]　(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′，则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1，
所以a＋b－4＝0，①
因为BB′的中点在直线l上，
所以－1＝0，即a－b－6＝0．②
由①②得a＝5，b＝－1，
所以点B′的坐标为(5，－1)．
于是AB′所在直线的方程为＝，即2x＋y－9＝0．
易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大．
所以联立
解得x＝，y＝，
即l与AB′的交点坐标为．
故点P的坐标为．
(2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)，所以AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0．
易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，
|QA|＋|QC′|最小．
所以联立解得
即AC′与l的交点坐标为．
故点Q的坐标为．
微专题强化练(二)　对称问题
一、选择题
1．直线x＋2y＋4＝0关于y轴对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．x－2y＋4＝0
C．x－2y－4＝0 D．4x＋2y－1＝0
C　[设P(x，y)是所求直线上任意一点，
则P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且在直线x＋2y＋4＝0上，
代入可得－x＋2y＋4＝0，即x－2y－4＝0．
故选C．]
2．若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线l2一定过定点(　　)
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(0，2) D．(－2，0)
C　[易知直线l1：y＝kx－k＋1恒过点(1，1)，
所以可得直线l2一定过(1，1)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点，
设对称点坐标为(a，b)，可得
解得
即直线l2一定过定点(0，2)．故选C．]
3．已知从点(3，3)发出的一束光线，经过直线2x－y＋2＝0反射，反射光线恰好过点(4，0)，则反射光线所在的直线方程为(　　)
A．3x＋y－12＝0 B．3x＋7y－12＝0
C．x＋y－4＝0 D．x＝4
C　[如图，设点A(3，3)关于直线2x－y＋2＝0的对称点为A′(a，b)，
则有
解得即A′(－1，5)，
依题意，反射光线即直线A′B，因为B(4，0)，
则直线A′B的斜率为kA′B＝－1，
于是反射光线所在的直线方程为y＝－(x－4)，即x＋y－4＝0．故选C．]
4．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f (x)＝的最小值为(　　)
A．2 B．5
C．4 D．8
B　[∵f (x)＝
＝，
∴f (x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和．
设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4)．要求f (x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，
即f (x)＝的最小值为5．
故选B．]
5．点P在直线l：x－y－1＝0上运动，A(2，3)，B(2，0)，则|PA|－|PB|的最大值是(　　)
A．
C．3 D．4
A　[设点B关于l：x－y－1＝0的对称点为C(m，n)，
则
解得即C(1，1)，
故|AC|＝＝，
|PA|－|PB|＝|PA|－|PC|≤|AC|＝，
当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立．
故选A．]
二、填空题
6．点P(0，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q的坐标为________．
(－2，1)　[设点P(0，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q的坐标为(a，b)，
则解得a＝－2，b＝1，
即Q(－2，1)．]
7．一束光线从点P(6，0)射出，经y轴反射后过点Q(2，8)，则反射光线所在的直线方程为________．
x－y＋6＝0　[因为一束光线从点P(6，0)射出，经直线y轴反射后过点Q(2，8)，
又P(6，0)关于y轴的对称点为(－6，0)，故反射光线的斜率为＝1．
故反射光线所在的直线方程为x－y＋6＝0．]
8．诗人李颀的诗《古从军行》中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(－1，0)，若将军从山脚下的点A(1，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋2y＝4，则“将军饮马”的最短总路程为________．
4　[如图，设点A(1，0)关于直线x＋2y＝4对称的点为A′(a，b)，
则解得
则“将军饮马”的最短总路程为
|A′B|＝＝4．]
三、解答题
9．已知光线经过已知直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射．
(1)求与l1距离为的直线方程；
(2)求反射光线所在的直线方程．
[解]　(1)由题可设所求直线方程为3x－y＋m＝0，
根据平行直线间的距离公式得
＝，解得m＝－3或17，
所以与l1距离为的直线方程为3x－y－3＝0或3x－y＋17＝0．
(2)由可得
即M(－2，1)，又N(1，0)，
所以kMN＝＝－，所以反射光线所在的直线l3的斜率为，
故反射光线所在的直线l3的方程为y＝(x－1)，即x－3y－1＝0．
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微专题2　对称问题
第二章
直线和圆的方程
2．直线关于点对称
直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程．
√
√
2．直线关于直线对称
(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程．
(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．
【例2】　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．
类型2　光的反射问题
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
√
类型3　利用对称解决有关最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使其满足以下条件．
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
一、选择题
1．直线x＋2y＋4＝0关于y轴对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．x－2y＋4＝0
C．x－2y－4＝0 D．4x＋2y－1＝0
微专题强化练(二)　对称问题
√
C　[设P(x，y)是所求直线上任意一点，
则P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，且在直线x＋2y＋4＝0上，
代入可得－x＋2y＋4＝0，即x－2y－4＝0．
故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
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9
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
2．若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线l2一定过定点(　　)
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(0，2) D．(－2，0)
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
3．已知从点(3，3)发出的一束光线，经过直线2x－y＋2＝0反射，反射光线恰好过点(4，0)，则反射光线所在的直线方程为(　　)
A．3x＋y－12＝0 B．3x＋7y－12＝0
C．x＋y－4＝0 D．x＝4
题号
2
1
3
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√
题号
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题号
2
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二、填空题
6．点P(0，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q的坐标为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
(－2，1)
7．一束光线从点P(6，0)射出，经y轴反射后过点Q(2，8)，则反射光线所在的直线方程为_________________．
题号
2
1
3
4
5
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7
9
x－y＋6＝0
8．诗人李颀的诗《古从军行》中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(－1，0)，若将军从山脚下的点A(1，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋2y＝4，则“将军饮马”的最短总路程为________．
题号
2
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题号
2
1
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题号
2
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题号
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题号
2
1
3
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9微专题2　对称问题
类型1　几类常见的对称问题
　中心对称问题
1．点关于点对称
点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，
由得
2．直线关于点对称
直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程．
【例1】　(1)直线2x＋3y－6＝0关于点(1，1)对称的直线方程为(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0
(2)点P(1，2)在直线l上，直线l1与l关于点(0，1)对称，则一定在直线l1上的点为(　　)
A．
C．(－1，0) D．(1，0)
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　轴对称问题
1．点关于直线对称
设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直．
即解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标．
2．直线关于直线对称
(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程．
(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．
【例2】　已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　光的反射问题
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解．
【例3】　已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)
A．2 B．6
C．3 D．2
类型3　利用对称解决有关最值问题
由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使其满足以下条件．
(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；
(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题强化练(二)　对称问题
说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共53分
一、选择题
1．直线x＋2y＋4＝0关于y轴对称的直线方程是(　　)
A．x＋2y－4＝0 B．x－2y＋4＝0
C．x－2y－4＝0 D．4x＋2y－1＝0
2．若直线l1：y＝kx－k＋1与直线l2关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线l2一定过定点(　　)
A．(2，0) B．(0，－2)
C．(0，2) D．(－2，0)
3．已知从点(3，3)发出的一束光线，经过直线2x－y＋2＝0反射，反射光线恰好过点(4，0)，则反射光线所在的直线方程为(　　)
A．3x＋y－12＝0 B．3x＋7y－12＝0
C．x＋y－4＝0 D．x＝4
4．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f (x)＝的最小值为(　　)
A．2 B．5
C．4 D．8
5．点P在直线l：x－y－1＝0上运动，A(2，3)，B(2，0)，则|PA|－|PB|的最大值是(　　)
A．
C．3 D．4
二、填空题
6．点P(0，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q的坐标为________．
7．一束光线从点P(6，0)射出，经y轴反射后过点Q(2，8)，则反射光线所在的直线方程为________．
8．诗人李颀的诗《古从军行》中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为B(－1，0)，若将军从山脚下的点A(1，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋2y＝4，则“将军饮马”的最短总路程为________．
三、解答题
9．已知光线经过已知直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射．
(1)求与l1距离为的直线方程；
(2)求反射光线所在的直线方程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题强化练(二)
1．C　[设P(x，y)是所求直线上任意一点，
则P关于y轴对称的点为P'(－x，y)，且在直线x＋2y＋4＝0上，
代入可得－x＋2y＋4＝0，即x－2y－4＝0．
故选C．]
2．C　[易知直线l1：y＝kx－k＋1恒过点(1，1)，
所以可得直线l2一定过(1，1)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点，
设对称点坐标为(a，b)，可得
即直线l2一定过定点(0，2)．故选C．]
3．C　[如图，设点A(3，3)关于直线2x－y＋2＝0的对称点为A'(a，b)，
则有
解得即A'(－1，5)，
依题意，反射光线即直线A'B，因为B(4，0)，则直线A'B的斜率为kA'B＝－1，
于是反射光线所在的直线方程为y＝－(x－4)，即x＋y－4＝0．
故选C．]
4．B　[∵f(x)＝
＝，
∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和．
设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A'，
则A'(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A'B|＝，即f(x)＝．
故选B．]
5．A　[设点B关于l：x－y－1＝0的对称点为C(m，n)，
则
即C(1，1)，
故|AC|＝，
|PA|－|PB|＝|PA|－|PC|≤|AC|＝，
当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立．
故选A．]
6．(－2，1)　[设点P(0，－1)关于直线x－y＋1＝0对称的点Q的坐标为(a，b)，
则解得a＝－2，b＝1，即Q(－2，1)．]
7．x－y＋6＝0　[因为一束光线从点P(6，0)射出，经直线y轴反射后过点Q(2，8)，
又P(6，0)关于y轴的对称点为(－6，0)，故反射光线的斜率为＝1．
故反射光线所在的直线方程为x－y＋6＝0．]
8．4　[如图，设点A(1，0)关于直线x＋2y＝4对称的点为A'(a，b)，
则
解得
则“将军饮马”的最短总路程为
|A'B|＝＝4．]
9．解：(1)由题可设所求直线方程为3x－y＋m＝0，
根据平行直线间的距离公式得
，解得m＝－3或17，
所以与l1距离为的直线方程为3x－y－3＝0或3x－y＋17＝0．
(2)由
即M(－2，1)，又N(1，0)，
所以kMN＝，所以反射光线所在的直线l3的斜率为，故反射光线所在的直线l3的方程为y＝(x－1)，即x－3y－1＝0．21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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