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微专题强化练(五)
1．A　[由△ABF2的周长为8，可得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，即a＝2，由弦长|AB|的最小值为3，
则椭圆的通径长为3，即＝3，所以b2＝3，
所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，所以椭圆E的焦距为2．
故选A．]
2．A　[将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8，
可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0，
解得x1＝－2，x2＝，∴y1＝－1，y2＝，∴直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长为．]
3．B　[联立可得(1＋5k2)x2－10kx＝0，
解得x＝0或x＝，
则弦长l＝·，令1＋5k2＝t(t≥1)，
则l＝10·＝2＝2，
当t＝，即k＝±时，
l取得最大值2×．]
4．B　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，由
消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，
由Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2>0，得0≤m2<5．
则x1＋x2＝－，x1x2＝．
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝·，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值．]
5．BC　[因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆的焦距为2，故A错误；
椭圆方程为＋y2＝1，故B正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得5x2－8x＋8＝0，Δ>0，则x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝
＝，故C正确；
原点到直线y＝x－，
所以S△OAB＝d·|AB|＝××，故D错误．]
6．4　[由已知可得c2＝a2－b2＝8－4＝4，所以c＝2，则F(2，0)，且b＝2，
当过原点的直线的斜率不存在时，此时直线方程为x＝0，则A，B两点为短轴端点，所以A(0，2)，B(0，－2)，则|AB|＝4，所以△ABF的面积为×2×4＝4；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＝8，所以x＝±，则y＝±，
所以点A，B，
所以△ABF的面积为S＝S△AOF＋S△BOF＝×2×|yA－yB|＝＝4．
综上，△ABF的面积的最大值为4．]
7．8　[∵＝4，c＝1，∴×2c×|yA－yB|＝4，∴|yA－yB|＝4．
∵直线过椭圆左焦点且斜率为，
∴|AB|＝|yA－yB|＝8．]
8．x＋y－1＝0　[由题意得b＝1，c＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2．
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1．
当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0．
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－．
∴|CD|＝．
即，解得k2＝2，∴k＝±．
∴直线l的方程为x＋y－1＝0．]
9．解：(1)由题意得
∴椭圆C的方程为＝1．
(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立
得3x2－4mx＋2m2－6＝0，令Δ>0得m2<9．
∴
∴|AB|＝，
原点到直线AB的距离d＝．
∴S△OAB＝××
＝≤·＝．
当且仅当m2＝9－m2，即m＝±时，等号成立，此时满足Δ>0，
∴△AOB面积的最大值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题强化练(五)　弦长问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共56分
一、选择题
1．椭圆E的一条弦AB经过左焦点F1，右焦点记为F2．若△ABF2的周长为8，且弦长|AB|的最小值为3，则椭圆E的焦距为(　　)
A．2 B．1
C．2
2．直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是(　　)
A．
C．
3．直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得的最长的弦长为(　　)
A．3 B．
C．2 D．
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．
C．
5．(多选)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则(　　)
A．椭圆的焦距为
B．椭圆方程为＋y2＝1
C．|AB|＝
D．S△OAB＝
二、填空题
6．椭圆C：＝1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF的面积的最大值为________．
7．已知F1，F2分别为椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若＝4，则|AB|等于________．
8．已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，直线l的方程为________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题5　弦长问题
1．椭圆中与弦长有关的问题是高考的热点，也是难点，主要涉及求弦长以及与弦长有关的最值、范围问题．求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解，也可以利用弦长公式求解．求解与弦长有关的最值、范围问题主要有三种方法：
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数单调性、基本不等式等知识求解．
2．弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
|AB|＝＝或|AB|＝．
类型1　弦长问题
【例1】　已知斜率为2的直线l经过椭圆＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　与弦长有关的最值、范围问题
【例2】　已知O为坐标原点，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆与直线x＝－相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点．若直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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1．椭圆中与弦长有关的问题是高考的热点，也是难点，主要涉及求弦长以及与弦长有关的最值、范围问题．求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解，也可以利用弦长公式求解．求解与弦长有关的最值、范围问题主要有三种方法：
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数单调性、基本不等式等知识求解．
2．弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
|AB|＝＝或|AB|＝．
类型1　弦长问题
【例1】　已知斜率为2的直线l经过椭圆＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
[解]　因为直线l过椭圆＝1的右焦点F1(1，0)，
又直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0．
法一：解方程组得或不妨取A(0，－2)，B，
所以|AB|＝＝＝＝．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组消去y得3x2－5x＝0，
因为Δ＝(－5)2＝25>0，
则x1＋x2＝，x1x2＝0．
所以|AB|＝＝
＝＝＝．
法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程组
消去x得3y2＋2y－8＝0，因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以|AB|＝＝
＝＝＝．
类型2　与弦长有关的最值、范围问题
【例2】　已知O为坐标原点，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆与直线x＝－相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点．若直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值．
[解]　(1)由题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，
又P(0，b)，则以P为圆心且过F1，F2的圆的半径为a＝，
故a＝，b＝1，c＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
(2)设直线l的方程为y＝x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
将y＝x＋t代入＋y2＝1，得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
且Δ＝16t2－12(2t2－2)＝24－8t2＞0，
故－＜t＜，
又|MN|＝|x1－x2|＝＝，点O到直线l的距离d＝，
所以S△OMN＝＝＝，当且仅当t2＝3－t2时取等号，
即当t＝±时，△OMN的面积取最大值．
微专题强化练(五)　弦长问题
一、选择题
1．椭圆E的一条弦AB经过左焦点F1，右焦点记为F2．若△ABF2的周长为8，且弦长|AB|的最小值为3，则椭圆E的焦距为(　　)
A．2 B．1
C．2
A　[由△ABF2的周长为8，可得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，
即a＝2，由弦长|AB|的最小值为3，
则椭圆的通径长为3，即＝3，所以b2＝3，
所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，所以椭圆E的焦距为2．
故选A．]
2．直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是(　　)
A．
C．
A　[将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8，
可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0，
解得x1＝－2，x2＝，∴y1＝－1，y2＝，
∴直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长为＝．]
3．直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得的最长的弦长为(　　)
A．3 B．
C．2 D．
B　[联立
可得(1＋5k2)x2－10kx＝0，
解得x＝0或x＝，
则弦长l＝，
令1＋5k2＝t(t≥1)，
则l＝10·＝2＝2，
当t＝，即k＝±时，
l取得最大值2×＝．]
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．
C．
B　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，
由消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，由Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2＞0，得0≤m2＜5．
则x1＋x2＝－，x1x2＝．
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值．]
5．(多选)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则(　　)
A．椭圆的焦距为
B．椭圆方程为＋y2＝1
C．|AB|＝
D．S△OAB＝
BC　[因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆的焦距为2，故A错误；
椭圆方程为＋y2＝1，故B正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得5x2－8x＋8＝0，Δ＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝，
|AB|＝＝＝＝＝，故C正确；
原点到直线y＝x－的距离d＝＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝＝，故D错误．]
二、填空题
6．椭圆C：＝1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF的面积的最大值为________．
4　[由已知可得c2＝a2－b2＝8－4＝4，所以c＝2，则F(2，0)，且b＝2，
当过原点的直线的斜率不存在时，此时直线方程为x＝0，则A，B两点为短轴端点，所以A(0，2)，B(0，－2)，则|AB|＝4，所以△ABF的面积为×2×4＝4；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＝8，所以x＝±，则y＝±，所以点A，B，所以△ABF的面积为S＝S△AOF＋S△BOF＝×2×|yA－yB|＝＝＜＝4．
综上，△ABF的面积的最大值为4．]
7．已知F1，F2分别为椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若＝4，则|AB|等于________．
8　＝4，c＝1，∴×2c×|yA－yB|＝4，∴|yA－yB|＝4．
∵直线过椭圆左焦点且斜率为，
∴|AB|＝|yA－yB|＝8．]
8．已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，直线l的方程为________．
x－y＋1＝0或x＋y－1＝0　[由题意得b＝1，c＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2．
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1．
当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，
联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0．
Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－．
∴|CD|＝|x1－x2|＝＝．
即＝，
解得k2＝2，∴k＝±．
∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0．]
三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
[解]　(1)由题意得解得
∴椭圆C的方程为＝1．
(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立
得3x2－4mx＋2m2－6＝0，令Δ＞0得m2＜9．
∴
∴|AB|＝|x1－x2|＝，
原点到直线AB的距离d＝．
∴S△OAB＝＝＝．
当且仅当m2＝9－m2，即m＝±时，等号成立，此时满足Δ＞0，
∴△AOB面积的最大值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
微专题5　弦长问题
第三章
圆锥曲线的方程
1．椭圆中与弦长有关的问题是高考的热点，也是难点，主要涉及求弦长以及与弦长有关的最值、范围问题．求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解，也可以利用弦长公式求解．求解与弦长有关的最值、范围问题主要有三种方法：
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数单调性、基本不等式等知识求解．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
微专题强化练(五)　弦长问题
√
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1
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