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微专题强化练(六)　破解圆锥曲线的离心率问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共56分
一、选择题
1．(多选)已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y＝±2x，则双曲线E的离心率为(　　)
A．
C．
2．如果椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线＝1的离心率为(　　)
A．
C． D．2
3．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos ∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e等于(　　)
A．
C．
4．若过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交y轴于点(0，3c)(c为双曲线的半焦距)，则此双曲线的离心率是(　　)
A．
C．
5．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上且位于第一象限，满足＝0，∠AF1F2的角平分线与AF2相交于点B，若＝，则椭圆的离心率为(　　)
A．
C．
二、填空题
6．已知直线y＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2．若|PA2|＝|A1A2|，则双曲线C的离心率为________．
7．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝c，且|PO|＝c，则双曲线C的离心率为________．
8．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
三、解答题
9．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P，使＝，求双曲线的离心率的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：
(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值，进而求出离心率．
(2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)．
(3)由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程．
(4)通过特殊值或特殊位置求离心率．
(5)在焦点三角形内求离心率．
类型1　定义法
【例1】　(多选)已知椭圆C：＝1的离心率为，则k的值可以为(　　)
A．2 B．3
C．16 D．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　几何法
【例2】　已知F是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为(　　)
A．
C．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　齐次式法
【例3】　已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，MF2与y轴交于点P，以MN为直径的圆经过点P，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　求离心率的取值范围
【例4】　已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　)
A．[，＋∞) B．[，＋∞)
C．(1，] D．(1，]
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题
第三章
圆锥曲线的方程
√
√
√
√
√
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
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4
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微专题强化练(六)　破解圆锥曲线的离心率问题
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2门世2有
3厚
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要
有：
(1)通过已知条件列出方程组，解出α，c的值，进而求出离心率，
(2)由a,b的关系求离心率e=1
(椭圆或e=1+(双曲线).
(3)由已知条件得关于a,c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方
程
4)通过特殊值或特殊位置求离心率
(5)在焦点三角形内求离心率】
BD
C
y
P
0
F
E
X
Q
C
D
AB
A【由精圆的离心年为浮得-。=6。在双由线
中，e2=a2+b2_5b2
5
a2
4b2
=4,∴.双曲线的离心率e=5
[设精图三+=1(a>b0)的焦距为2c(c>0),
则箱因后+片=1ab0)的左焦点R的坐标为（一6,0，右发点万，的
坐标为(c,0)
依题意，不妨设点A的坐标为(0，b),在△FAF2中，由余弦定理得
FF22=AF2+AF22-2AFl·AF2·Cos∠FAF2,
"cos ZFAF=4c2=2a2-2a2Xa
.e2=
-解得e=子1
[设4F=n,4F,=8,由AE-8AF得AB=3m,BF,=5m,
因为AF·AF2=0,所以∠FAF2=2,
在Rt△AF1F2中，由勾股定理，得(8m)2+n2=(2c)2,①
由椭圆的定义得8m+n=2a,
2
因为FB平分∠AF,F2,所以A=AB,
n 3m 3
FF BE2
即=
3
2c
5m
5
联立①②③并化简得7c2+30ac一25a2=0,
则7e2+30e-25=0,得e=(负值舍去).故选D.]微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题
离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有：
(1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值，进而求出离心率．
(2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)．
(3)由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程．
(4)通过特殊值或特殊位置求离心率．
(5)在焦点三角形内求离心率．
类型1　定义法
【例1】　(多选)已知椭圆C：＝1的离心率为，则k的值可以为(　　)
A．2 B．3
C．16 D．
BD　[已知椭圆C：＝1的离心率为，
当焦点在x轴上时，a2＝k，b2＝4，c2＝k－4，
由e2＝＝＝，解得k＝；
当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k，c2＝4－k，
由e2＝＝＝，解得k＝3．
综上，k＝或k＝3．故选BD．]
类型2　几何法
【例2】　已知F是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为(　　)
A．
C．
C　[设椭圆E的右焦点为F′，连接PF′，QF′，
根据椭圆的对称性可知四边形PFQF′为平行四边形，
则|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°，
∴|PF|＋|PF′|＝4|PF′|＝2a，则|PF′|＝a，|PF|＝a，
由余弦定理可得(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF|·|PF′|cos 60°＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF|·|PF′|，
即4c2＝4a2－a2＝a2，
∴椭圆E的离心率e＝＝．
故选C．]
类型3　齐次式法
【例3】　已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，MF2与y轴交于点P，以MN为直径的圆经过点P，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C．
C　[由已知，不妨设M在第二象限，
易知M，N，P，PM⊥PN，
所以＝＝c2－＝0，
化简得3b4－4a2c2＝3(c2－a2)2－4a2c2＝3c4－10a2c2＋3a4＝0，
即3e4－10e2＋3＝0，(3e2－1)(e2－3)＝0，
因为e＞1，故e＝．故选C．]
类型4　求离心率的取值范围
【例4】　已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　)
A．[，＋∞) B．[，＋∞)
C．(1，] D．(1，]
D　[依题意得，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，∴a，
即a，
∴，即1－，解得e2≤5．
又e＞1，∴1＜e≤．]
微专题强化练(六)　破解圆锥曲线的离心率问题
一、选择题
1．(多选)已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y＝±2x，则双曲线E的离心率为(　　)
A．
C．
AB　[若双曲线的焦点在x轴上，
由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，∴e＝＝＝；
若双曲线的焦点在y轴上，
由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，∴e＝＝＝．]
2．如果椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线＝1的离心率为(　　)
A．
C． D．2
A　[由椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2．∴在双曲线中，e2＝＝＝，
∴双曲线的离心率e＝．]
3．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos ∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e等于(　　)
A．
C．
D　[设椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，
则椭圆＝1(a>b>0)的左焦点F1的坐标为(－c，0)，右焦点F2的坐标为(c，0)．
依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，在△F1AF2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos ∠F1AF2．
∵cos ∠F1AF2＝，∴4c2＝2a2－2a2×＝a2，
∴e2＝＝，解得e＝．]
4．若过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交y轴于点(0，3c)(c为双曲线的半焦距)，则此双曲线的离心率是(　　)
A．
C．
C　[不妨设双曲线的一个焦点为F(c，0)，渐近线方程为y＝x，
则过点F(c，0)且与直线y＝x垂直的直线方程为y＝－(x－c)，
令x＝0，得y＝，则＝3c，∴＝，
∴双曲线的离心率是＝＝＝．故选C．]
5．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上且位于第一象限，满足＝0，∠AF1F2的角平分线与AF2相交于点B，若＝，则椭圆的离心率为(　　)
A．
C．
D　[设|AF1|＝n，|AF2|＝8m，由＝得|AB|＝3m，|BF2|＝5m，
因为＝0，所以∠F1AF2＝，
在Rt△AF1F2中，由勾股定理，得(8m)2＋n2＝(2c)2，①
由椭圆的定义得8m＋n＝2a，②
因为F1B平分∠AF1F2，所以＝，即＝＝，③
联立①②③并化简得7c2＋30ac－25a2＝0，
则7e2＋30e－25＝0，得e＝(负值舍去)．
故选D．]
二、填空题
6．已知直线y＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2．若|PA2|＝|A1A2|，则双曲线C的离心率为________．
或　[若渐近线的方程为y＝x，则点P的坐标为．
因为|PA2|＝|A1A2|，所以＋a2＝5a2，
则＝4，所以＝3(负值舍去)，从而e＝＝．
若渐近线的方程为y＝－x，则点P的坐标为，同理可得e＝．
故答案为或．]
7．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝c，且|PO|＝c，则双曲线C的离心率为________．
＋1　[因为|PO|＝|F1O|＝|F2O|＝c，所以∠PF1O＝∠OPF1，∠PF2O＝∠OPF2，
此时∠OPF1＋∠OPF2＝∠F1PF2＝，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PF1|－|PF2|＝2a，
即3c2＋(c－2a)2＝4c2，整理得c2－2ac＋2a2＝0，①
又e＝且e＞1，②
联立①②，解得e＝＋1．]
8．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
　[设P(x，y)，－a≤x≤a，
则＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，
将y2＝b2－x2代入上式，
解得x2＝＝．
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈．]
三、解答题
9．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P，使＝，求双曲线的离心率的取值范围．
[解]　由题知P不是双曲线的顶点．在△PF1F2中，由正弦定理，得
＝．又＝，
所以＝，即|PF1|＝|PF2|，
所以点P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，
即|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝．
由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，
则>c－a，
即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，
解得－＋1又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1)．
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1．AB　[若双曲线的焦点在x轴上，
由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，∴e＝；
若双曲线的焦点在y轴上，由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，∴e＝．]
2．A　[由椭圆的离心率为，得，∴a2＝4b2．∴在双曲线中，e2＝，∴双曲线的离心率e＝．]
3．D　[设椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)，
则椭圆＝1(a>b>0)的左焦点F1的坐标为(－c，0)，右焦点F2的坐标为(c，0)．
依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，在△F1AF2中，由余弦定理得
|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2．
∵cos∠F1AF2＝，∴4c2＝2a2－2a2×a2，
∴e2＝，解得e＝．]
4．C　[不妨设双曲线的一个焦点为F(c，0)，渐近线方程为y＝x，
则过点F(c，0)且与直线y＝(x－c)，
令x＝0，得y＝，则＝3c，∴，
∴双曲线的离心率是．故选C．]
5．D　[设|AF1|＝n，|AF2|＝8m，
由得|AB|＝3m，|BF2|＝5m，
因为·＝0，所以∠F1AF2＝，
在Rt△AF1F2中，由勾股定理，得(8m)2＋n2＝(2c)2，①
由椭圆的定义得8m＋n＝2a，②
因为F1B平分∠AF1F2，所以，即，③
联立①②③并化简得7c2＋30ac－25a2＝0，
则7e2＋30e－25＝0，得e＝(负值舍去)．故选D．]
6．　[若渐近线的方程为y＝x，则点P的坐标为．
因为|PA2|＝|A1A2|，所以＋a2＝5a2，
则＝4，所以＝3(负值舍去)，从而e＝．
若渐近线的方程为y＝－x，则点P的坐标为，同理可得e＝．]
7．＋1　[因为|PO|＝|F1O|＝|F2O|＝c，所以∠PF1O＝∠OPF1，∠PF2O＝∠OPF2，
此时∠OPF1＋∠OPF2＝∠F1PF2＝，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PF1|－|PF2|＝2a，
即3c2＋(c－2a)2＝4c2，整理得c2－2ac＋2a2＝0，①
又e＝且e>1，②
联立①②，解得e＝＋1．]
8．　[设P(x，y)，－a≤x≤a，
则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，
将y2＝b2－x2代入上式，
解得x2＝．
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈．]
9．解：由题知P不是双曲线的顶点．在△PF1F2中，由正弦定理，得
，
所以，即|PF1|＝|PF2|，
所以点P在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a，
即|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝．
由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a，
则>c－a，即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，
解得－＋1．
又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1)．
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