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微专题强化练(四)　与椭圆有关的轨迹问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共54分
一、选择题
1．(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．线段
C．椭圆 D．直线
2．设P(x，y)满足＝10，则P点的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．设A1，A2是椭圆＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x≠±3)
B．＝1(x≠±3)
C．＝1(x≠±3)
D．＝1(x≠±3)
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
二、填空题
6．若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是________．
7．在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(－2，0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为－，则动点P的轨迹C的方程为________．
8．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．
三、解答题
9．椭圆＋y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程．
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微专题4　与椭圆有关的轨迹问题
第三章
圆锥曲线的方程
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程．
类型2　定义法求轨迹方程
【例2】　已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解]　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
【教材原题·P108例2】
例2　如图3.1-5，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合)．
[分析]　点P在圆x2＋y2＝4上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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微专题强化练(四)　与椭圆有关的轨迹问题
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8．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是____________．
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9微专题强化练(四)
1．BC　[∵F1(0，－3)，F2(0，3)，∴|F1F2|＝6．
∵a>0，∴|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，
此时点P的轨迹是线段F1F2；
当a＋>6时，|PF1|＋|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆．故选BC．]
2．B　[方程＝10，
表示平面内到定点F1(2，0)，F2(－2，0)的距离的和是常数10(10>4)的点的轨迹，
∴它的轨迹是以F1，F2为焦点，2a＝10，焦距2c＝4的椭圆，
∴a＝5，c＝2，b＝，∴椭圆的方程是＝1．故选B．]
3．D　[圆心C(－1，0)，半径为5，设点M(x，y)，
∵线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，
∴|MA|＝|MQ|，
∴|MA|＋|MC|＝|MQ|＋|MC|＝5>|AC|＝2，
由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，∴b＝，故椭圆方程为＝1．]
4．C　[设直线A1P1与A2P2的交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，∵A1，P1，P共线，
∴， ①
∵A2，P2，P共线，
∴． ②
①×②得， ③
∵P1(x0，y0)在椭圆＝1上，
∴＝1，∴，
将代入③得，
∴点P的轨迹方程为＝1(x≠±3)．]
5．A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
6．＝1　[由题意得，
整理得2x2＋3y2＝6，即＝1，
所以动点P的轨迹方程是＝1．]
7．＝1(x≠±2)　[设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)，
依题意，有×，
化简并整理，得＝1(x≠±2)．
∴动点P的轨迹C的方程为＝1(x≠±2)．]
8．＝1　[圆B的方程化为标准方程为(x＋2)2＋y2＝36，
其圆心为B(－2，0)，半径R＝6．
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
由题意可知，|MB|＝R－r，又r＝|MA|，所以|MB|＝R－|MA|，故|MB|＋|MA|＝6>|AB|＝4．由椭圆的定义知，点M的轨迹是以B(－2，0)，A(2，0)为焦点的椭圆．设椭圆的方程为＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝2，b＝，所以动圆圆心M的轨迹方程是＝1．]
9．解：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1，
∴c＝，
则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵△PF1F2存在，∴y1≠0．
由三角形重心坐标公式，
得
∵y1≠0，∴y≠0．∵点P在椭圆上，∴＝1，
∴＋(3y)2＝1(y≠0)，
故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋9y2＝1(y≠0)．
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求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程．
类型1　直接法求动点轨迹方程
【例1】　【链接教材P108例3】
设A，B两点的坐标分别为(0，6)，(0，－6)．直线AM，BM相交于点M．
(1)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程；
(2)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
[解]　(1)设点M的坐标为(x，y)，那么直线AM，BM的斜率分别为和，其中x≠0．
由题意知＝－，
化简得＝1(x≠0)．
(2)由(1)知＝－(x≠0)，
化简得＝1(x≠0)．
【教材原题·P108例3】
例3　如图3.1 6，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
[分析]　设点M的坐标为(x，y)，那么直线AM，BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线AM，BM的斜率之积是－，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程．
[解]　设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－5，0)，所以直线AM的斜率
kAM＝(x≠－5)．
同理，直线BM的斜率
kBM＝(x≠5)．
由已知，有
＝－(x≠±5)，
化简，得点M的轨迹方程为
＝1(x≠±5)．
点M的轨迹是除去(－5，0)，(5，0)两点的椭圆．
类型2　定义法求轨迹方程
【例2】　已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解]　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
由|BC|＝8可知点B(－4，0)，C(4，0)．
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10＞8＝|BC|，
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9．
所以动点A的轨迹方程是＝1(x≠±5)．
类型3　相关点法(代入法)求轨迹方程
【例3】　【链接教材P108例2】
已知椭圆的左焦点为F(－，0)，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为4，点A的坐标是．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
[解]　(1)由题意可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，
由题意可得
解得b＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．
(2)设点P(x0，y0)，M(x，y)，则＝1，
由中点坐标公式可得
解得代入＝1，得＝1，
即＋4＝1，
所以线段PA的中点M的轨迹方程为＋4＝1．
【教材原题·P108例2】
例2　如图3.1 5，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合)．
[分析]　点P在圆x2＋y2＝4上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD
的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程．
[解]　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)．由点M是线段PD的中点，得
x＝x0，y＝．
因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以
＝4．①
把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得
x2＋4y2＝4，
即＋y2＝1．
所以点M的轨迹是椭圆．
微专题强化练(四)　与椭圆有关的轨迹问题
一、选择题
1．(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．线段
C．椭圆 D．直线
BC　[∵F1(0，－3)，F2(0，3)，∴|F1F2|＝6．
∵a＞0，∴|PF1|＋|PF2|＝a＋
≥2＝6，
当且仅当a＝，即a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，
此时点P的轨迹是线段F1F2；
当a＋＞6时，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆．故选BC．]
2．设P(x，y)满足＝10，则P点的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
B　[方程＝10，
表示平面内到定点F1(2，0)，F2(－2，0)的距离的和是常数10(10＞4)的点的轨迹，∴它的轨迹是以F1，F2为焦点，2a＝10，焦距2c＝4的椭圆，∴a＝5，c＝2，b＝＝，∴椭圆的方程是＝1．故选B．]
3．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D　[圆心C(－1，0)，半径为5，设点M(x，y)，
∵线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，
∴|MA|＝|MQ|，
∴|MA|＋|MC|＝|MQ|＋|MC|＝5＞|AC|＝2，
由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，∴b＝，
故椭圆方程为＝1．]
4．设A1，A2是椭圆＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　)
A．＝1(x≠±3)
B．＝1(x≠±3)
C．＝1(x≠±3)
D．＝1(x≠±3)
C　[设直线A1P1与A2P2的交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
∵A1，P1，P共线，
∴＝，①
∵A2，P2，P共线，
∴＝．②
①×②得＝，③
∵P1(x0，y0)在椭圆＝1上，
＝＝，
将代入③得＝＝，
∴点P的轨迹方程为＝1(x≠±3)．]
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　)
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
二、填空题
6．若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是________．
＝1　[由题意得＝，
整理得2x2＋3y2＝6，即＝1，
所以动点P的轨迹方程是＝1．]
7．在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(－2，0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为－，则动点P的轨迹C的方程为________．
＝1(x≠±2)　[设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)，
依题意，有＝－，
化简并整理，得＝1(x≠±2)．
∴动点P的轨迹C的方程为＝1(x≠±2)．]
8．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________．
＝1　[圆B的方程化为标准方程为(x＋2)2＋y2＝36，
其圆心为B(－2，0)，半径R＝6．
设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
由题意可知，|MB|＝R－r，又r＝|MA|，所以|MB|＝R－|MA|，故|MB|＋|MA|＝6＞|AB|＝4．由椭圆的定义知，点M的轨迹是以B(－2，0)，A(2，0)为焦点的椭圆．设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，则a＝3，c＝2，b＝＝，所以动圆圆心M的轨迹方程是＝1．]
三、解答题
9．椭圆＋y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程．
[解]　设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，
∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1，
∴c＝＝2，
则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)．
∵△PF1F2存在，∴y1≠0．
由三角形重心坐标公式，
得即
∵y1≠0，∴y≠0．∵点P在椭圆上＝1，∴＋(3y)2＝1(y≠0)，
故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋9y2＝1(y≠0)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题4　与椭圆有关的轨迹问题
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式．
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程．
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程．
类型1　直接法求动点轨迹方程
【例1】　【链接教材P108例3】
设A，B两点的坐标分别为(0，6)，(0，－6)．直线AM，BM相交于点M．
(1)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程；
(2)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　定义法求轨迹方程
【例2】　已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　相关点法(代入法)求轨迹方程
【例3】　【链接教材P108例2】
已知椭圆的左焦点为F(－，0)，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为4，点A的坐标是．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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