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微专题强化练(三)　与圆有关的最值问题
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共56分
一、选择题
1．已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值是(　　)
A．
C．2 D．2
2．点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则|4x－3y＋4|的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，9]
C．[1，8] D．[1，9]
3．(多选)已知直线l：kx－y＋k＝0，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，P(x0，y0)为圆C上任意一点，则下列说法正确的是(　　)
的最大值为5
B．的最大值为
C．直线l与圆C相切时，k＝±
D．圆心C到直线l的距离最大为4
4．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知M(4，6)，点N在圆C：x2＋y2＋6x＋4y＝0上运动，若点P满足d(M，P)＝2，则|PN|的最大值为(　　)
A．7
C．
5．如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是(　　)
A．2 B．1
C．2－ D．2－
二、填空题
6．直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
7．若点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则x－2y的取值范围为________．
8．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0，P为直线l：x＋y＋2＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，已知A(3，0)，满足|PO|＝2|PA|的点P(x，y)形成的曲线记为E．
(1)求曲线E的方程；
(2)Q是直线2x－y＋2＝0上的动点，过点Q作曲线E的切线，切点分别为B，C．求切线长|QB|的最小值，并求出此时直线BC的方程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题3　与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常见的有以下几种类型：
(1)借助几何性质求最值
①形如μ＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题．
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解；求解过程中可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
类型1　与距离有关的最值问题
【例1】　(1)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y－2)2＝1，过动点M(a，b)分别作圆C1，圆C2的切线MA，MB(A，B分别为切点)，若|MA|＝|MB|，则的最小值为(　　)
A．
C．
(2)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为________．
(1)A　(2)－　[(1)∵过动点M(a，b)分别作圆C1，圆C2的切线MA，MB(A，B分别为切点)，
∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|2－1＝|MC2|2－1，即a2＋b2－1＝(a－4)2＋(b－2)2－1，
即2a＋b－5＝0，即动点M(a，b)在直线2x＋y－5＝0上，的几何意义为点M到定点(3，－2)的距离，
则点(3，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离为＝，
故的最小值为．
故选A．
(2)直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
令
所以所以定点为M(3，1)，该点在圆内．
因为圆心C为(1，2)，
当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦最短，
kCM＝＝－，kl＝－，所以kCM×kl＝＝－1，解得m＝－．]
类型2　与面积有关的最值问题
【例2】　(1)已知A(0，－2)，B(2，0)，点P为圆C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0上任意一点，则△PAB面积的最大值为(　　)
A．5 B．5－2
C． D．5＋2
(2)过直线4x＋3y＋10＝0上一点P作圆C：x2＋y2－2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为(　　)
A．　　B．　　　C．　　D．2
(1)D　(2)C　[(1)圆C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心C(1，4)，半径r＝2，直线AB的方程为y＝x－2，
于是点C到直线AB：x－y－2＝0的距离d＝＝，而点P在圆C上，
因此点P到直线AB距离的最大值为＋2，
又|AB|＝＝2，
所以△PAB面积的最大值为S＝×2＝5＋2．
故选D．
(2)如图，由切线性质可知，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAC≌△PBC，
所以S四边形PACB＝·2|PA|·|AC|，圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为C(1，0)，半径为r＝1，则点C到直线的距离d＝＝，|PA|＝＝，要使S四边形PACB＝·2|PA|·|AC|最小，需使|PC|min＝d，故(S四边形PACB)min＝·2··1＝．故选C．]
类型3　利用数学式的几何意义求解最值问题
【例3】　(多选)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．|x－y＋3|的最小值是2
D．x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18
ABD　[曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0可化为(x－1)2＋y2＝3，它表示圆心为(1，0)，半径为的圆．对选项A：x2＋y2表示圆C上的点到定点O(0，0)的距离的平方，
故它的最大值为[]2＝(＋1)2＝4＋2，A正确；
对选项B：表示圆上的点与点P(－1，－1)的连线的斜率k，
则圆心(1，0)到直线y＋1＝k(x＋1)的距离d＝，
可得2－≤k≤2＋，B正确；
对选项C：|x－y＋3|表示圆上任意一点到直线x－y＋3＝0的距离的倍，圆心到直线的距离d＝＝2，
所以其最小值为(2)＝4－，故C错误；
对于选项D：x2＋y2＋4y＋5＝x2＋(y＋2)2＋1，它表示圆上的点到点P(0，－2)的距离的平方再加1，所以x2＋y2＋4y＋5的最值，就是圆上的点与P(0，－2)距离的平方的最值再加1，结合图象(图略)易知，最大值为(|PC|＋)2＋1＝()2＋1＝9＋2，最小值为(|PC|－)2＋1＝()2＋1＝9－2．所以x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18，故D正确．
故选ABD．]
微专题强化练(三)　与圆有关的最值问题
一、选择题
1．已知动直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9，则直线l被圆C所截得的弦长的最小值是(　　)
A．
C．2 D．2
C　[∵直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0可化为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0，
令可得
∴直线l过定点P(2，3)，该点在圆内．
又圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心C(3，4)，半径r＝3，
∴直线l被圆C所截得的弦长的最小值是2＝2＝2．故选C．]
2．点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则|4x－3y＋4|的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，9]
C．[1，8] D．[1，9]
B　[令|4x－3y＋4|＝z，则z≥0，可得该直线方程为：
l1：4x－3y＋4－z＝0或l2：－4x＋3y－4－z＝0，
设(0，0)到直线l1和l2的距离为d1和d2，
得d1＝≤1或d2＝≤1，解得－1≤z≤9或－9≤z≤1，
又因为z≥0，所以z∈[0，9]．故选B．]
3．(多选)已知直线l：kx－y＋k＝0，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，P(x0，y0)为圆C上任意一点，则下列说法正确的是(　　)
的最大值为5
B．的最大值为
C．直线l与圆C相切时，k＝±
D．圆心C到直线l的距离最大为4
BC　[直线l：kx－y＋k＝0恒过(－1，0)，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0的圆心坐标为(3，0)，半径为2，所以P(x0，y0)为圆C上任意一点的最大值为25，所以A不正确；
的最大值为＝，所以B正确；
直线l与圆相切时，直线的斜率为k＝±＝±，所以C正确；
圆心C到直线l的距离d＝＝，当k≠0时，d＝＝＜4，当k＝0时，d＝0，所以D不正确．故选BC．]
4．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知M(4，6)，点N在圆C：x2＋y2＋6x＋4y＝0上运动，若点P满足d(M，P)＝2，则|PN|的最大值为(　　)
A．7
C．
D　[如图所示，由圆C：x2＋y2＋6x＋4y＝0，可得(x＋3)2＋(y＋2)2＝13，
则圆心C(－3，－2)，半径r＝，
设P(x0，y0)，则|x0－4|＋|y0－6|＝2，可得点P的轨迹为如图所示的正方形，
其中A(4，8)，B(6，6)，则|AC|＝，
|BC|＝，
则|PN|≤|AC|＋r＝，所以|PN|的最大值为．
故选D．]
5．如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)，(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是(　　)
A．2 B．1
C．2－ D．2－
C　[如图所示，当AD与⊙C相切时，线段BE最短，此时△ABE的面积最小，连接CD．
∵A(2，0)，C(－1，0)，⊙C半径为1，∴|AO|＝2，|AC|＝2＋1＝3，|CD|＝1，
在Rt△ACD 中，|AD|＝＝＝2，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，
∴∠D＝∠AOE，
在△AOE 与△ADC 中，
∴△AOE∽△ADC，＝，
即＝，解得|EO|＝，∵点B(0，2)，
∴|OB|＝2，∴|BE|＝|OB|－|OE|＝2－，
∴△ABE面积的最小值为×|BE|×|AO|＝×2＝2－．故选C．]
二、填空题
6．直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
2　[l：λ(x－1)－y＋1＝0，令x＝1，则y＝1，所以直线l过定点(1，1)，
由x＝1，y＝1得12＋12－4×1＝－2＜0，则(1，1)在圆内，则直线l与圆必有两交点，
由圆x2＋y2－4y＝0得圆心(0，2)，半径为2，
所以圆心(0，2)到直线l的距离d≤＝，
所以|AB|＝2≥2．]
7．若点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则x－2y的取值范围为________．
[－]　[令c＝x－2y，则x－2y－c＝0与圆x2＋y2＝1有公共点，可得≤1，即－≤c≤，所以x－2y的取值范围为[－]．]
8．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0，P为直线l：x＋y＋2＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
　[圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9，圆心C(1，2)，半径r＝3，
四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝|PA|·|AC|＝3|PA|＝3，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心C到直线l：x＋y＋2＝0的距离d＝＝，
所以四边形PACB的面积的最小值为3＝．]
三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，已知A(3，0)，满足|PO|＝2|PA|的点P(x，y)形成的曲线记为E．
(1)求曲线E的方程；
(2)Q是直线2x－y＋2＝0上的动点，过点Q作曲线E的切线，切点分别为B，C．求切线长|QB|的最小值，并求出此时直线BC的方程．
[解]　(1)由题意得|PO|＝，|PA|＝，
∵|PO|＝2|PA|，∴＝2，
化简得x2＋y2－8x＋12＝0，
即曲线E的方程为x2＋y2－8x＋12＝0．
(2)曲线E的方程x2＋y2－8x＋12＝0化为(x－4)2＋y2＝4，∴曲线E的圆心坐标为E(4，0)，半径r＝|BE|＝2，∴|QB|2＝|QE|2－|BE|2＝|QE|2－4，∴当|QE|取最小值时，|QB|有最小值，
∵Q是直线2x－y＋2＝0上的动点，∴QE与直线2x－y＋2＝0垂直时，|QE|有最小值，
此时|QE|的最小值为圆心E到直线2x－y＋2＝0的距离d＝＝2，|QB|有最小值，为＝4，
∵直线QE与直线2x－y＋2＝0垂直，∴直线QE的斜率k＝－，
∴直线QE的方程为y－0＝－(x－4)，化简得x＋2y－4＝0，
联立解得∴Q(0，2)，
∴以点Q(0，2)为圆心，|QB|为半径的圆的方程为x2＋(y－2)2＝16，
∵直线BC为圆(x－4)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝16的公共弦所在直线，
∴两方程相减可得直线BC的方程为2x－y－6＝0．
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1．C　[∵直线l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0可化为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0，
令
∴直线l过定点P(2，3)，该点在圆内．
又圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圆心C(3，4)，半径r＝3，
∴直线l被圆C所截得的弦长的最小值是2．故选C．]
2．B　[令|4x－3y＋4|＝z，则z≥0，可得该直线方程为：
l1：4x－3y＋4－z＝0或l2：－4x＋3y－4－z＝0，
设(0，0)到直线l1和l2的距离为d1和d2，
得d1＝≤1或d2＝≤1，解得－1≤z≤9或－9≤z≤1，又因为z≥0，所以z∈[0，9]．故选B．]
3．BC　[直线l：kx－y＋k＝0恒过(－1，0)，圆C：x2＋y2－6x＋5＝0的圆心坐标为(3，0)，半径为2，所以P(x0，y0)为圆C上任意一点，的最大值为25，所以A不正确；
，所以B正确；
直线l与圆相切时，直线的斜率为k＝±＝±，所以C正确；
圆心C到直线l的距离d＝，当k≠0时，d＝<4，当k＝0时，d＝0，所以D不正确．故选BC．]
4．D　[如图所示，由圆C：x2＋y2＋6x＋4y＝0，可得(x＋3)2＋(y＋2)2＝13，则圆心C(－3，－2)，半径r＝，
设P(x0，y0)，则|x0－4|＋|y0－6|＝2，可得点P的轨迹为如图所示的正方形，
其中A(4，8)，B(6，6)，则|AC|＝，|BC|＝，
则|PN|≤|AC|＋r＝，
所以|PN|的最大值为．故选D．]
5．C　[如图所示，当AD与☉C相切时，线段BE最短，此时△ABE的面积最小，连接CD．
∵A(2，0)，C(－1，0)，☉C半径为1，
∴|AO|＝2，|AC|＝2＋1＝3，|CD|＝1，
在Rt△ACD 中，|AD|＝，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠D＝∠AOE，
在△AOE 与△ADC 中，
∴△AOE∽△ADC，，
即，解得|EO|＝，
∵点B(0，2)，∴|OB|＝2，∴|BE|＝|OB|－|OE|＝2－，
∴△ABE面积的最小值为×|BE|×|AO|＝×2＝2－．故选C．]
6．2　[l：λ(x－1)－y＋1＝0，令x＝1，则y＝1，所以直线l过定点(1，1)，
由x＝1，y＝1得12＋12－4×1＝－2<0，则(1，1)在圆内，则直线l与圆必有两交点，
由圆x2＋y2－4y＝0得圆心(0，2)，半径为2，
所以圆心(0，2)到直线l的距离d≤，
所以|AB|＝2≥2．]
7．[－]　[令c＝x－2y，则x－2y－c＝0与圆x2＋y2＝1有公共点，可得≤1，即－≤c≤，所以x－2y的取值范围为[－]．]
8．　[圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9，圆心C(1，2)，半径r＝3，
四边形PACB的面积S＝2S△PAC＝|PA|·|AC|＝3|PA|＝3，
要使四边形PACB的面积最小，
则只需|PC|最小，最小值为圆心C到直线l：x＋y＋2＝0的距离d＝，
所以四边形PACB的面积的最小值为3．]
9．解：(1)由题意得|PO|＝，|PA|＝，
∵|PO|＝2|PA|，∴，
化简得x2＋y2－8x＋12＝0，
即曲线E的方程为x2＋y2－8x＋12＝0．
(2)曲线E的方程x2＋y2－8x＋12＝0化为(x－4)2＋y2＝4，
∴曲线E的圆心坐标为E(4，0)，半径r＝|BE|＝2，
∴|QB|2＝|QE|2－|BE|2＝|QE|2－4，
∴当|QE|取最小值时，|QB|有最小值，
∵Q是直线2x－y＋2＝0上的动点，∴QE与直线2x－y＋2＝0垂直时，|QE|有最小值，
此时|QE|的最小值为圆心E到直线2x－y＋2＝0的距离d＝，|QB|有最小值，为＝4，
∵直线QE与直线2x－y＋2＝0垂直，
∴直线QE的斜率k＝－，
∴直线QE的方程为y－0＝－(x－4)，化简得x＋2y－4＝0，
联立
∴Q(0，2)，
∴以点Q(0，2)为圆心，|QB|为半径的圆的方程为x2＋(y－2)2＝16，
∵直线BC为圆(x－4)2＋y2＝4与圆x2＋(y－2)2＝16的公共弦所在直线，
∴两方程相减可得直线BC的方程为2x－y－6＝0．
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与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等，常见的有以下几种类型：
(1)借助几何性质求最值
①形如μ＝的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题．
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．
③形如u＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解；求解过程中可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
类型1　与距离有关的最值问题
【例1】　(1)已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y－2)2＝1，过动点M(a，b)分别作圆C1，圆C2的切线MA，MB(A，B分别为切点)，若|MA|＝|MB|，则的最小值为(　　)
A．
C．
(2)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为________．
类型2　与面积有关的最值问题
【例2】　(1)已知A(0，－2)，B(2，0)，点P为圆C：x2＋y2－2x－8y＋13＝0上任意一点，则△PAB面积的最大值为(　　)
A．5 B．5－2
C． D．5＋2
(2)过直线4x＋3y＋10＝0上一点P作圆C：x2＋y2－2x＝0的切线，切点为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为(　　)
A．　　B．　　　C．　　D．2
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　利用数学式的几何意义求解最值问题
【例3】　(多选)已知实数x，y满足曲线C的方程x2＋y2－2x－2＝0，则下列选项正确的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．|x－y＋3|的最小值是2
D．x2＋y2＋4y＋5的最大值与最小值之和为18
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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微专题3　与圆有关的最值问题
第二章
直线和圆的方程
(2)建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解，其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法．
求解策略一般是根据所求最值的几何意义找圆心和半径，将数与形结合起来，用平面几何的性质求解；求解过程中可增强运用图形的意识，提升数形结合的能力，体现了直观想象的学科素养．
√
√
√
√
√
√
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
微专题强化练(三)　与圆有关的最值问题
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
2．点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则|4x－3y＋4|的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，9]
C．[1，8] D．[1，9]
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
题号
2
1
3
4
5
6
8
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二、填空题
6．直线l：λx－y－λ＋1＝0和圆x2＋y2－4y＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
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7．若点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上运动，则x－2y的取值范围为_______________．
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8．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0，P为直线l：x＋y＋2＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
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三、解答题
9．在平面直角坐标系Oxy中，已知A(3，0)，满足|PO|＝2|PA|的点P(x，y)形成的曲线记为E．
(1)求曲线E的方程；
(2)Q是直线2x－y＋2＝0上的动点，过点Q作曲线E的切线，切点分别为B，C．求切线长|QB|的最小值，并求出此时直线BC的方程．
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