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章末综合测评(二)　直线和圆的方程
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l1过点A(2，5)且与直线l2：2x＋y－4＝0平行，则直线l1的一般式方程为(　　)
A．2x＋y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．x＋2y＋9＝0 D．x＋2y－9＝0
2．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
3．(教材原题·P80习题2.3T14改编)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)
A．－ B．－或－
C．
4．(2024·全国甲卷)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
5．已知圆C1：x2＋y2－2ax＋2y＋a2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－6y－23＝0的公切线有且只有一条，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－5 D．－1或5
6．已知圆C：x2＋(y－2)2＝16．若动点M在直线y＋6＝0上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点N，则点N的坐标为(　　)
A．(－1，－1) B．(0，0)
C．(1，1) D．(0，6)
7．圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0距离为的点有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．无数个
8．设直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋1＝0，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使∠PMQ＝120°，则m的取值范围为(　　)
A．[－18，4]
B．[－16，4]
C．[－6－5，－6＋5]
D．[6－5，6＋5]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于直线l：x＝my＋1，下列说法正确的是(　　)
A．直线l恒过定点(1，0)
B．直线l斜率可以不存在
C．m＝时，直线l的倾斜角为60°
D．m＝2时，直线l在y轴上的截距为0.5
10．已知三条直线l1：ax＋y－3＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x－y－5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是(　　)
A．－2 B．1
C．2 D．3
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系Oxy中，A(2，2)，B(－4，2)，点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为x2＋y2－8x－4y＋4＝0
B．在C上存在点M到点(－3，－2)的距离为4
C．C上的点到直线3x－4y＋6＝0的最大距离为6
D．过点B作直线l，若C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为±
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线l过点P(，－1)，其倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，则直线l的方程为________．
13．在平面直角坐标系Oxy中，直线l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点________，以点(1，0)为圆心且与直线l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
14．设直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，则实数a的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知点P(－1，2)，求满足下列条件的直线l的一般方程．
(1)经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍；
(2)经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为．
16．(15分)在①过点C(2，0)；②圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆G经过点A(0，0)，B(1，1)，且________．
(1)求圆G的一般方程；
(2)设P是圆G上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．(15分)(教材原题·P99习题2.5T15)已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．
(1)画出以PQ为直径，点Q′为圆心的圆，再求出圆O′的方程；
(2)设圆Q与圆Q′相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
18．(17分)已知圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0和圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r＞0)．
(1)若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，且＝4，O为坐标原点，求实数k的值．
19．(17分)已知点P(1，3)，圆O：x2＋y2＝4．直线l与圆O相交于A，B两点，|AB|＝2．
(1)若直线l过点P，求直线l的方程；
(2)①若线段AB的中点为D，求点D的轨迹C的方程；
②过点P作直线m与曲线C交于两点M，N，设Q(1，0)，QM，QN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型1　两条直线的平行与垂直
1．判断两条直线平行、垂直的方法
(1)若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1(注意斜率不存在时的特殊情形)．
(2)一般式方程下的平行与垂直：
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
2．平行直线系、垂直直线系问题
(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线可写成Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；
(2)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可写成Bx－Ay＋C2＝0．
3．通过讨论两条直线的平行与垂直，提升逻辑推理的学科素养．
【例1】　已知三条直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，l3：x＋2y＋3＝0．
(1)若l1⊥l2，且l1过点(－1，1)，求a，b的值；
(2)若l1∥l2∥l3，求a，b的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　两条直线的交点与距离
1．
2．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．
3．解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养．
【例2】　(1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
(1)
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　圆的方程
1．求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．
2．通过圆的方程的求解，培养数学运算的核心素养．
【例3】　已知圆心在直线x－y＋3＝0上的圆C经过两点M(0，2)和N(1，3)．
(1)求圆C的方程；
(2)设点Q(a，0)(a＞0)，若圆C上存在点P满足|PQ|＝|PO|，求实数a的取值范围．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r．若dr，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ．Δ＝0 直线与圆相切；Δ>0 直线与圆相交；Δ<0 直线与圆相离．
2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．
【例4】　已知圆C的圆心在x轴上，经过点(1，)和(2，2)．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(3，1)的直线l与圆C交于A，B两点．
①若|AB|＝2，求直线l的方程；
②求弦AB最短时直线l的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型5　圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的绝对值的大小关系判断两圆的位置关系．
2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
【例5】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0．
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共70张PPT)
章末重构拓展
第二章
直线和圆的方程
提升层·题型探究
类型1　两条直线的平行与垂直
1．判断两条直线平行、垂直的方法
(1)若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1(注意斜率不存在时的特殊情形)．
(2)一般式方程下的平行与垂直：
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
2．平行直线系、垂直直线系问题
(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线可写成Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；
(2)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可写成Bx－Ay＋C2＝0．
3．通过讨论两条直线的平行与垂直，提升逻辑推理的学科素养．
【例1】　已知三条直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，l3：x＋2y＋3＝0．
(1)若l1⊥l2，且l1过点(－1，1)，求a，b的值；
(2)若l1∥l2∥l3，求a，b的值．
类型2　两条直线的交点与距离
1．
2．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．
3．解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养．
√
类型3　圆的方程
1．求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．
2．通过圆的方程的求解，培养数学运算的核心素养．
类型4　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r．若dr，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ．Δ＝0 直线与圆相切；Δ>0 直线与圆相交；Δ<0 直线与圆相离．
2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．
类型5　圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的绝对值的大小关系判断两圆的位置关系．
2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
【例5】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0．
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l1过点A(2，5)且与直线l2：2x＋y－4＝0平行，则直线l1的一般式方程为(　　)
A．2x＋y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．x＋2y＋9＝0 D．x＋2y－9＝0
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
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13
√
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章末综合测评(二)　直线和圆的方程
16
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题号
1
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5
2
4
6
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B　[直线l1与直线l2：2x＋y－4＝0平行，
则直线l1的斜率为－2，
直线l1过点A(2，5)，
则y－5＝－2(x－2)，即2x＋y－9＝0．
故选B．]
题号
1
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5
2
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2．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
√
题号
1
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C　[直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，
则2×3－m(m＋1)＝0，
解得m＝－3或m＝2．
当m＝－3时，此时直线l1：2x－2y＋4＝0与直线l2：－3x＋3y－2＝0平行；
当m＝2时，此时直线l1：2x＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋3y－2＝0平行，故m＝－3或m＝2．
故选C．]
题号
1
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题号
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4．(2024·全国甲卷)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
√
题号
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5．已知圆C1：x2＋y2－2ax＋2y＋a2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－6y－23＝0的公切线有且只有一条，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－5 D．－1或5
√
题号
1
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6．已知圆C：x2＋(y－2)2＝16．若动点M在直线y＋6＝0上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点N，则点N的坐标为(　　)
A．(－1，－1) B．(0，0)
C．(1，1) D．(0，6)
√
题号
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B　[圆C的圆心为C(0，2)，半径为r＝4．因为MA，MB是⊙C的两条切线，所以CA⊥MA，CB⊥MB．设点M的坐标为(a，－6)，因为∠MAC＝∠MBC＝90°，所以M，A，C，B四点共圆，且以MC为直径，该圆的方程为x(x－a)＋(y＋6)(y－2)＝0，又圆C的方程为x2＋(y－2)2＝16，所以两圆方程相减得－ax＋8y＝0，即直线AB的方程为－ax＋8y＝0，所以直线AB恒过定点(0，0)．]
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10．已知三条直线l1：ax＋y－3＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x－y－5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是(　　)
A．－2 B．1
C．2 D．3
√
√
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13．在平面直角坐标系Oxy中，直线l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点______________，以点(1，0)为圆心且与直线l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_____________________．
(2，－1)　(x－1)2＋y2＝2　[根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m(x－2)＝y＋1．
(2，－1)
(x－1)2＋y2＝2
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14．设直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，则实数a的值为________．
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16．(15分)在①过点C(2，0)；②圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆G经过点A(0，0)，B(1，1)，且________．
(1)求圆G的一般方程；
(2)设P是圆G上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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方案二：选条件②．
直线mx－y－m＝0恒过点(1，0)．
因为圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，所以mx－y－m＝0恒过圆心，所以圆心坐标为(1，0)，
又圆G经过点A(0，0)，所以圆的半径r＝1，所以圆G的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，一般方程为x2＋y2－2x＝0．
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(2)设M(x，y)．
因为M为线段AP的中点，所以P(2x，2y)，
因为点P是圆G上的动点，所以(2x)2＋(2y)2－2×2x＝0，
即x2＋y2－x＝0，
所以M的轨迹方程为x2＋y2－x＝0．
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17．(15分)(教材原题·P99习题2.5T15)已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．
(1)画出以PQ为直径，点Q′为圆心的圆，再求出圆O′的方程；
(2)设圆Q与圆Q′相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
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[解]　(1)如图，因为P(－2，－3)，Q(4，2)是以点Q′为圆心的圆的直径的两个端点，因此以点Q′为圆心的圆的方程是(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0．

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(2)PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
因为PQ是圆Q′的直径，且A，B是圆Q和圆Q′的交点，所以PA⊥AQ，PB⊥BQ．
所以PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
(3)两圆方程(x－4)2＋(y－2)2＝9，x2＋y2－2x＋y－14＝0相减，得6x＋5y－25＝0，即为直线AB的方程．
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(2)①若线段AB的中点为D，可得OD⊥AB，
即|OD|＝d＝1，
可知点D的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝1．
②证明：由(1)可知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即y＝kx＋(3－k)，
点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
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19章末综合测评(二)
1．B　[直线l1与直线l2：2x＋y－4＝0平行，
则直线l1的斜率为－2，直线l1过点A(2，5)，
则y－5＝－2(x－2)，即2x＋y－9＝0．
故选B．]
2．C　[直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，
则2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m＝2．
当m＝－3时，此时直线l1：2x－2y＋4＝0与直线l2：－3x＋3y－2＝0平行；
当m＝2时，此时直线l1：2x＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋3y－2＝0平行，故m＝－3或m＝2．
故选C．]
3．(教材原题·P80习题2.3T14)
B　[由题意知点A和点B到直线l的距离相等，得到，化简解得a＝－．故选B．]
4．C　[设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为，且点P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得
|PC|＝|xP－xC|＝1，
所以|AB|＝2＝4，故选C．]
5．C　[圆C1：x2＋y2－2ax＋2y＋a2＝0的圆心C1(a，－1)，半径r1＝1，
圆C2：x2＋y2＋4x－6y－23＝0的圆心C2(－2，3)，半径r2＝6，
由两圆有且只有一条公切线，可知两圆内切，所以|C1C2|＝r2－r1＝5，即＝5，解得a＝1或a＝－5．
故选C．]
6．B　[圆C的圆心为C(0，2)，半径为r＝4．因为MA，MB是☉C的两条切线，所以CA⊥MA，CB⊥MB．设点M的坐标为(a，－6)，因为∠MAC＝∠MBC＝90°，所以M，A，C，B四点共圆，且以MC为直径，该圆的方程为x(x－a)＋(y＋6)(y－2)＝0，又圆C的方程为x2＋(y－2)2＝16，所以两圆方程相减得－ax＋8y＝0，即直线AB的方程为－ax＋8y＝0，所以直线AB恒过定点(0，0)．]
7．B　[圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，∴圆心坐标是(－1，－2)，半径是2．∵圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝，∴过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点，∴共有3个点．故选B．]
8．B　[直线l：3x＋4y＋m＝0上任意一点M，点P，Q是圆C上两点，
当PM，QM分别与圆C相切时，∠PMQ最大，
需M运动到与圆心C之间的距离最小，即CM⊥l时，∠PMQ最大，
圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心C(2，0)，半径为，
由点到直线的距离公式，得圆心到直线l的距离d＝，
在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使∠PMQ＝120°时，此时圆的圆心到直线的距离为2，在直线l上存在点M，此距离小于等于2，d＝≤2，解得－16≤m≤4，
∴m的取值范围为[－16，4]．
故选B．]
9．AB　[对于A，直线l：x＝my＋1，令y＝0，则x＝1，所以直线l过定点(1，0)，故A正确；对于B，当m＝0时，直线l：x＝1，此时斜率不存在，故B正确；
对于C，当m＝时，直线l：x＝y＋1，所以直线l的斜率为，倾斜角为30°，故C错误；对于D，当m＝2时，直线l：x＝2y＋1，令x＝0，得y＝－0.5，即直线l在y轴上的截距为－0.5，故D错误．故选AB．]
10．ABC　[若l1，l2，l3中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若l1∥l2，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝1；
若l1∥l3，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝－2；
联立l2，l3可得可知l2，l3的交点为(2，－1)，
若l1，l2，l3交于同一点，可得a＝2．故选ABC．]
11．ACD　[设P(x，y)，则，
化简得x2＋y2－8x－4y＋4＝0，选项A正确；
将圆C的方程化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝16，则圆心为(4，2)，半径为4，则圆上的点到点(－3，－2)的最小距离为－4>4，则在圆C上不存在点M到点(－3，－2)的距离为4，选项B错误；C上的点到直线3x－4y＋6＝0的最大距离为圆心到直线3x－4y＋6＝0的距离加半径，即＋4＝6，选项C正确；
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋2＝0，由于圆C的半径为4，则要使C上恰有三个点到直线l的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即＝2，解得k＝±，选项D正确．故选ACD．]
12．x－y－4＝0　[因为直线y＝－，可得其倾斜角为，
由题意可得直线l的倾斜角为，其斜率为k＝tan，
又直线l过点P(，－1)，
所以直线l的方程为y＋1＝(x－)，
即x－y－4＝0．]
13．(2，－1)　(x－1)2＋y2＝2　[根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m(x－2)＝y＋1．
由即直线l经过定点(2，－1)，记点(2，－1)，(1，0)分别为点M，点C，
则|MC|＝．
以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r＝|MC|＝．
故半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2．]
14．1　[直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，
由三角形的面积公式可得S△ABC＝×42sin∠ACB＝8，
得sin∠ACB＝1，由0<∠ACB<π，得∠ACB＝，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以圆心C(0，2)到直线x＋ay＋2＝0的距离为d＝4sin，
由点到直线的距离公式得d＝，解得a＝1．]
15．解：(1)若直线l经过原点，则方程为y＝x＝－2x，即2x＋y＝0．若直线l不经过原点，可设方程为＝1，把点P(－1，2)代入可得＝1，解得a＝－，方程为－2x－＝1，即4x＋y＋2＝0．
综上可得直线l的一般方程为2x＋y＝0或4x＋y＋2＝0．
(2)设直线l的方程为＝1，把点P(－1，2)代入可得＝1，又，则ab＝±1，
联立
∴直线l的一般方程为x＋y－1＝0或4x＋y＋2＝0．
16．解：(1)方案一：选条件①．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则
则圆G的一般方程为x2＋y2－2x＝0．
方案二：选条件②．
直线mx－y－m＝0恒过点(1，0)．
因为圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，所以mx－y－m＝0恒过圆心，所以圆心坐标为(1，0)，
又圆G经过点A(0，0)，所以圆的半径r＝1，所以圆G的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，一般方程为x2＋y2－2x＝0．
方案三：选条件③．
设圆G的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意可得
则圆G的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，一般方程为x2＋y2－2x＝0．
(2)设M(x，y)．
因为M为线段AP的中点，所以P(2x，2y)，
因为点P是圆G上的动点，所以(2x)2＋(2y)2－2×2x＝0，即x2＋y2－x＝0，所以M的轨迹方程为x2＋y2－x＝0．
17．(教材原题·P99习题2.5T15)
解：(1)如图，因为P(－2，－3)，Q(4，2)是以点Q'为圆心的圆的直径的两个端点，因此以点Q'为圆心的圆的方程是(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0．
(2)PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
因为PQ是圆Q'的直径，且A，B是圆Q和圆Q'的交点，所以PA⊥AQ，PB⊥BQ．
所以PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
(3)两圆方程(x－4)2＋(y－2)2＝9，x2＋y2－2x＋y－14＝0相减，得6x＋5y－25＝0，即为直线AB的方程．
18．解：(1)圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0化为标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝4，则圆心C1(－3，1)，r1＝2，
圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r>0)化为标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2(r>0)，则圆心C2(4，5)，r2＝r，
所以|C1C2|＝．
因为圆C1与圆C2相交，所以|r1－r2|<|C1C2|即|r－2|<所以r的取值范围为(－2，＋2)．
(2)已知直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得
(1＋k2)x2＋6x＋5＝0，
由Δ＝36－20(1＋k2)＝16－20k2>0，
得k∈，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋6＝4，解得k＝，
因为k∈，所以k＝．
19．解：(1)圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2，
则圆心O到直线l的距离d＝＝1，
若直线l的斜率不存在，即直线l：x＝1，满足题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，
则圆心O到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，
∴直线l的方程为4x－3y＋5＝0．
综上，直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0．
(2)①若线段AB的中点为D，可得OD⊥AB，即|OD|＝d＝1，
可知点D的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝1．
②证明：由(1)可知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即y＝kx＋(3－k)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程消去y可得(k2＋1)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－1＝0，
则Δ＝4k2(k－3)2－4(k2＋1)[(k－3)2－1]>0，解得k>，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
则k1＋k2＝
＝2k＋＝2k＋＝2k－．
∴k1＋k2为定值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型1　两条直线的平行与垂直
1．判断两条直线平行、垂直的方法
(1)若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，l1⊥l2 k1k2＝－1(注意斜率不存在时的特殊情形)．
(2)一般式方程下的平行与垂直：
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
2．平行直线系、垂直直线系问题
(1)与Ax＋By＋C＝0平行的直线可写成Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；
(2)与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可写成Bx－Ay＋C2＝0．
3．通过讨论两条直线的平行与垂直，提升逻辑推理的学科素养．
【例1】　已知三条直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，l3：x＋2y＋3＝0．
(1)若l1⊥l2，且l1过点(－1，1)，求a，b的值；
(2)若l1∥l2∥l3，求a，b的值．
[解]　(1)因为l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，且l1⊥l2，所以a(a－1)＋b＝0，
又直线l1过点(－1，1)，
所以－a＋b＋4＝0，
所以b＝a－4，
所以a(a－1)＋(a－4)＝0，
所以或
(2)若l1∥l2∥l3，则解得
此时，l1：x＋3y＋4＝0，也即l1：x＋2y＋＝0，
l2：x＋y＋3＝0，也即l2：x＋2y＋6＝0，满足l1∥l2∥l3，
所以若l1∥l2∥l3，a＝，b＝3．
类型2　两条直线的交点与距离
1．
2．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．
3．解决解析几何中的交点与距离问题，往往是代数运算与几何图形直观分析相结合，培养数学运算的核心素养．
【例2】　(1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
(1)B　[因为直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，所以3－a(a－2)＝0且2a2－18≠0，解得a＝－1．所以直线l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以直线l1与l2间的距离d＝＝．故选B．]
(2)[解]　当直线过原点时，设所求直线方程为
kx－y＝0，则＝3，解得k＝±－6，
∴y＝x．
当直线不经过原点时，设所求直线方程为
x＋y＝a，则＝3 ，解得a＝13或a＝1，
∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0．
综上，所求直线方程为y＝x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0．
类型3　圆的方程
1．求圆的方程是考查圆的方程问题中的一个基本点，一般涉及圆的性质、直线与圆的位置关系等，主要依据圆的标准方程、一般方程、直线与圆的几何性质，运用几何方法或代数方法解决问题，多以选择题、填空题为主，属于基础题．
(1)圆的方程中有三个参数，即标准方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F，因此需要三个独立条件建立方程组求解．
(2)求圆的方程时，首选几何法，即先分析给出的条件的几何意义，或直接利用待定系数法求解．
2．通过圆的方程的求解，培养数学运算的核心素养．
【例3】　已知圆心在直线x－y＋3＝0上的圆C经过两点M(0，2)和N(1，3)．
(1)求圆C的方程；
(2)设点Q(a，0)(a＞0)，若圆C上存在点P满足|PQ|＝|PO|，求实数a的取值范围．
[解]　(1)设M(0，2)和N(1，3)的中点为点A，则A点坐标为，
易知kMN＝1，则过A点且与直线MN垂直的直线方程为y－＝－，
即x＋y－3＝0，又圆心也在直线x－y＋3＝0上，
联立解得
即圆心为C(0，3)，又易知|CM|＝1，
因此圆C的方程为x2＋(y－3)2＝1．
(2)设P(x0，y0)．
由圆C上存在点P满足|PQ|＝|PO|，可得＝，
化简得＝2a2，
可知点P的轨迹是以(－a，0)为圆心，以a为半径的圆C1，
依题意可知圆C与圆C1有公共点，
即|a－1|≤|CC1|＝a＋1，
解得≤a≤．
即实数a的取值范围为[]．
类型4　直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r．若dr，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ．Δ＝0 直线与圆相切；Δ>0 直线与圆相交；Δ<0 直线与圆相离．
2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养．
【例4】　已知圆C的圆心在x轴上，经过点(1，)和(2，2)．
(1)求圆C的方程；
(2)过点P(3，1)的直线l与圆C交于A，B两点．
①若|AB|＝2，求直线l的方程；
②求弦AB最短时直线l的方程．
[解]　(1)圆C的圆心在x轴上，经过点(1，)和(2，2)．
设圆心为C(a，0)，由题意可得＝，解得a＝2，
可得圆的半径为r＝＝2，因此，圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4．
(2)①当|AB|＝2时，圆心C到直线l的距离为d＝＝＝1，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则d＝＝＝1，解得k＝0，此时，直线l的方程为y＝1．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，圆心C到直线l的距离为1，符合题意．
综上所述，直线l的方程为x＝3或y＝1．
②当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时，|AB|取最小值，
因为kPC＝＝1，则kAB＝－＝－1，此时，直线l的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0．
类型5　圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的绝对值的大小关系判断两圆的位置关系．
2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
【例5】　已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0．
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解]　(1)证明：把圆C1与圆C2的方程都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13．
圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝，C2(4，－2)，r2＝．
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切．
由相减得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0．
点(2，3)在此圆上，将点坐标代入方程，解得λ＝．
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0．
章末综合测评(二)　直线和圆的方程
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l1过点A(2，5)且与直线l2：2x＋y－4＝0平行，则直线l1的一般式方程为(　　)
A．2x＋y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．x＋2y＋9＝0 D．x＋2y－9＝0
B　[直线l1与直线l2：2x＋y－4＝0平行，
则直线l1的斜率为－2，
直线l1过点A(2，5)，
则y－5＝－2(x－2)，即2x＋y－9＝0．
故选B．]
2．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
C　[直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，
则2×3－m(m＋1)＝0，
解得m＝－3或m＝2．
当m＝－3时，此时直线l1：2x－2y＋4＝0与直线l2：－3x＋3y－2＝0平行；
当m＝2时，此时直线l1：2x＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋3y－2＝0平行，故m＝－3或m＝2．
故选C．]
3．(教材原题·P80习题2.3T14改编)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)
A．－ B．－或－
C．
B　[由题意知点A和点B到直线l的距离相等，得到＝，
化简解得a＝－或a＝－．故选B．]
4．(2024·全国甲卷)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
C　[设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为，且点P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得
|PC|＝|xP－xC|＝1，
所以|AB|＝2＝4，故选C．]
5．已知圆C1：x2＋y2－2ax＋2y＋a2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－6y－23＝0的公切线有且只有一条，则实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－5 D．－1或5
C　[圆C1：x2＋y2－2ax＋2y＋a2＝0的圆心C1(a，－1)，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2＋4x－6y－23＝0的圆心C2(－2，3)，半径r2＝6，
由两圆有且只有一条公切线，可知两圆内切，
所以|C1C2|＝r2－r1＝5，
即＝5，解得a＝1或a＝－5．
故选C．]
6．已知圆C：x2＋(y－2)2＝16．若动点M在直线y＋6＝0上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点N，则点N的坐标为(　　)
A．(－1，－1) B．(0，0)
C．(1，1) D．(0，6)
B　[圆C的圆心为C(0，2)，半径为r＝4．因为MA，MB是⊙C的两条切线，所以CA⊥MA，CB⊥MB．设点M的坐标为(a，－6)，因为∠MAC＝∠MBC＝90°，所以M，A，C，B四点共圆，且以MC为直径，该圆的方程为x(x－a)＋(y＋6)(y－2)＝0，又圆C的方程为x2＋(y－2)2＝16，所以两圆方程相减得－ax＋8y＝0，即直线AB的方程为－ax＋8y＝0，所以直线AB恒过定点(0，0)．]
7．圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0距离为的点有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．无数个
B　[圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，∴圆心坐标是(－1，－2)，半径是2．∵圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，∴过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点，∴共有3个点．故选B．]
8．设直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋1＝0，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使∠PMQ＝120°，则m的取值范围为(　　)
A．[－18，4]
B．[－16，4]
C．[－6－5，－6＋5]
D．[6－5，6＋5]
B　[直线l：3x＋4y＋m＝0上任意一点M，点P，Q是圆C上两点，
当PM，QM分别与圆C相切时，∠PMQ最大，
需M运动到与圆心C之间的距离最小，即CM⊥l时，∠PMQ最大，
圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心C(2，0)，半径为，
由点到直线的距离公式，得圆心到直线l的距离d＝，
在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使∠PMQ＝120°时，此时圆的圆心到直线的距离为2，在直线l上存在点M，此距离小于等于2，
d＝≤2，解得－16≤m≤4，
∴m的取值范围为[－16，4]．故选B．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于直线l：x＝my＋1，下列说法正确的是(　　)
A．直线l恒过定点(1，0)
B．直线l斜率可以不存在
C．m＝时，直线l的倾斜角为60°
D．m＝2时，直线l在y轴上的截距为0.5
AB　[对于A，直线l：x＝my＋1，令y＝0，则x＝1，所以直线l过定点(1，0)，故A正确；对于B，当m＝0时，直线l：x＝1，此时斜率不存在，故B正确；
对于C，当m＝时，直线l：x＝y＋1，所以直线l的斜率为，倾斜角为30°，故C错误；对于D，当m＝2时，直线l：x＝2y＋1，令x＝0，得y＝－0.5，即直线l在y轴上的截距为－0.5，故D错误．故选AB．]
10．已知三条直线l1：ax＋y－3＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x－y－5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是(　　)
A．－2 B．1
C．2 D．3
ABC　[若l1，l2，l3中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若l1∥l2，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝1；
若l1∥l3，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝－2；
联立l2，l3可得可知l2，l3的交点为(2，－1)，
若l1，l2，l3交于同一点，可得a＝2．故选ABC．]
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系Oxy中，A(2，2)，B(－4，2)，点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为x2＋y2－8x－4y＋4＝0
B．在C上存在点M到点(－3，－2)的距离为4
C．C上的点到直线3x－4y＋6＝0的最大距离为6
D．过点B作直线l，若C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为±
ACD　[设P(x，y)，
则＝＝，
化简得x2＋y2－8x－4y＋4＝0，选项A正确；
将圆C的方程化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝16，则圆心为(4，2)，半径为4，则圆上的点到点(－3，－2)的最小距离为－4＝－4＞4，则在圆C上不存在点M到点(－3，－2)的距离为4，选项B错误；C上的点到直线3x－4y＋6＝0的最大距离为圆心到直线3x－4y＋6＝0的距离加半径，即＋4＝6，选项C正确；
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋2＝0，由于圆C的半径为4，则要使C上恰有三个点到直线l的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即＝2，解得k＝±，选项D正确．
故选ACD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线l过点P(，－1)，其倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，则直线l的方程为________．
x－y－4＝0　[因为直线y＝－x＋1的斜率为－，可得其倾斜角为，
由题意可得直线l的倾斜角为，其斜率为
k＝tan ＝，又直线l过点P(，－1)，
所以直线l的方程为y＋1＝(x－)，
即x－y－4＝0．]
13．在平面直角坐标系Oxy中，直线l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点________，以点(1，0)为圆心且与直线l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
(2，－1)　(x－1)2＋y2＝2　[根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m(x－2)＝y＋1．
由解得即直线l经过定点(2，－1)，记点(2，－1)，(1，0)分别为点M，点C，
则|MC|＝＝．
以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r＝|MC|＝．
故半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2．]
14．设直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，则实数a的值为________．
1　[直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，
由三角形的面积公式可得S△ABC＝×42×sin ∠ACB＝8，
得sin ∠ACB＝1，由0＜∠ACB＜π，得∠ACB＝，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以圆心C(0，2)到直线x＋ay＋2＝0的距离为d＝4sin ＝2，
由点到直线的距离公式得d＝＝2，解得a＝1．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知点P(－1，2)，求满足下列条件的直线l的一般方程．
(1)经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍；
(2)经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为．
[解]　(1)若直线l经过原点，则方程为y＝x＝－2x，即2x＋y＝0．若直线l不经过原点，可设方程为＝1，把点P(－1，2)代入可得＝1，解得a＝－，方程为－2x－＝1，即4x＋y＋2＝0．
综上可得直线l的一般方程为2x＋y＝0或4x＋y＋2＝0．
(2)设直线l的方程为＝1，把点P(－1，2)代入可得＝1，
又|ab|＝，则ab＝±1，
联立解得或
∴直线l的一般方程为x＋y－1＝0或4x＋y＋2＝0．
16．(15分)在①过点C(2，0)；②圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆G经过点A(0，0)，B(1，1)，且________．
(1)求圆G的一般方程；
(2)设P是圆G上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
[解]　(1)方案一：选条件①．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
则解得
则圆G的一般方程为x2＋y2－2x＝0．
方案二：选条件②．
直线mx－y－m＝0恒过点(1，0)．
因为圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，所以mx－y－m＝0恒过圆心，所以圆心坐标为(1，0)，
又圆G经过点A(0，0)，所以圆的半径r＝1，所以圆G的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，一般方程为x2＋y2－2x＝0．
方案三：选条件③．
设圆G的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意可得解得
则圆G的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，一般方程为x2＋y2－2x＝0．
(2)设M(x，y)．
因为M为线段AP的中点，所以P(2x，2y)，
因为点P是圆G上的动点，所以(2x)2＋(2y)2－2×2x＝0，
即x2＋y2－x＝0，
所以M的轨迹方程为x2＋y2－x＝0．
17．(15分)(教材原题·P99习题2.5T15)已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．
(1)画出以PQ为直径，点Q′为圆心的圆，再求出圆O′的方程；
(2)设圆Q与圆Q′相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
[解]　(1)如图，因为P(－2，－3)，Q(4，2)是以点Q′为圆心的圆的直径的两个端点，因此以点Q′为圆心的圆的方程是(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0．
(2)PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
因为PQ是圆Q′的直径，且A，B是圆Q和圆Q′的交点，所以PA⊥AQ，PB⊥BQ．
所以PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
(3)两圆方程(x－4)2＋(y－2)2＝9，x2＋y2－2x＋y－14＝0相减，得6x＋5y－25＝0，即为直线AB的方程．
18．(17分)已知圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0和圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r＞0)．
(1)若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，且＝4，O为坐标原点，求实数k的值．
[解]　(1)圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0化为标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝4，则圆心C1(－3，1)，r1＝2，
圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r＞0)化为标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2(r＞0)，则圆心C2(4，5)，r2＝r，
所以|C1C2|＝＝．
因为圆C1与圆C2相交，所以|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，
即|r－2|＜＜r＋2，解得－2＜r＜＋2，
所以r的取值范围为(－2，＋2)．
(2)已知直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得(1＋k2)x2＋6x＋5＝0，
由Δ＝36－20(1＋k2)＝16－20k2＞0，得k∈，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋6＝4，解得k＝，
因为k∈，所以k＝．
19．(17分)已知点P(1，3)，圆O：x2＋y2＝4．直线l与圆O相交于A，B两点，|AB|＝2．
(1)若直线l过点P，求直线l的方程；
(2)①若线段AB的中点为D，求点D的轨迹C的方程；
②过点P作直线m与曲线C交于两点M，N，设Q(1，0)，QM，QN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值．
[解]　(1)圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2，
则圆心O到直线l的距离d＝＝1，
若直线l的斜率不存在，即直线l：x＝1，满足题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，
则圆心O到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，
∴直线l的方程为4x－3y＋5＝0．
综上，直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0．
(2)①若线段AB的中点为D，可得OD⊥AB，
即|OD|＝d＝1，
可知点D的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝1．
②证明：由(1)可知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即y＝kx＋(3－k)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程消去y可得(k2＋1)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－1＝0，
则Δ＝4k2(k－3)2－4(k2＋1)·[(k－3)2－1]＞0，
解得k＞，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
则k1＋k2＝＝＝2k＋
＝2k＋＝2k＋＝2k－＝－．
∴k1＋k2为定值．
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