资源简介

类型1　空间向量的概念及运算
1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等．向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础．
2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生数学运算的学科素养．
【例1】　(1)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c．M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：
①；
②．
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
①求的长；
②求与夹角的余弦值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型2　利用空间向量证明位置关系
1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．
2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养．
【例2】　如图所示，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．证明：AB1⊥平面A1B1C1．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型3　利用空间向量求距离
1．空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为PQ＝(如图1)．
(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为PQ＝(如图2)．
2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养．
【例3】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为DD1的中点，F为BB1的中点．
(1)求点A1到直线B1E的距离；
(2)求点A1到平面AB1E的距离．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型4　利用空间向量求空间角
1．利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性．
2．通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养．
【例4】　如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，各侧棱及底边BC，DA的长均为a，AB，CD的长为a，记AC与BD的交点为O，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于点E．
(1)求二面角E-AC-D的正弦值；
(2)求EO与底面ABCD所成角的大小；
(3)求DO与平面EAC所成角的正弦值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共63张PPT)
章末重构拓展
第一章
空间向量与立体几何
提升层·题型探究
类型1　空间向量的概念及运算
1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等．向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础．
2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生数学运算的学科素养．
类型2　利用空间向量证明位置关系
1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．
2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养．
【例2】　如图所示，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．证明：AB1⊥平面A1B1C1．
2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养．
【例3】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为DD1的中点，F为BB1的中点．
(1)求点A1到直线B1E的距离；
(2)求点A1到平面AB1E的距离．
类型4　利用空间向量求空间角
1．利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性．
2．通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养．
[解]　(1)因为PB∥平面ACE，平面PBD∩平面ACE＝OE，PB 平面PBD，所以PB∥OE．又O是BD的中点，所以E是PD的中点．连接PO，因为四边形ABCD为矩形，所以OA＝OC，又PA＝PC，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又AC∩BD＝O，所以PO⊥底面ABCD．
以O为原点，OP所在直线为z轴，过点O平行于AD的直线为x轴，过点O平行于CD的直线为y轴，建立空间
直角坐标系，如图所示．
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，不能构成空间的一个基底的是(　　)
A．a＋b，b，c B．a，a－b，c
C．a－c，b－c，a－b D．a，b，a＋b＋c
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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章末综合测评(一)　空间向量与立体几何
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C　[对于A，{a，b，c}是空间的一个基底，则a＋b，b，c不共面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故A选项不符合题意；
对于B，{a，b，c}是空间的一个基底，则a，a－b，c不共面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故B选项不符合题意；
对于C，a－b＝(a－c)－(b－c)，则a－c，b－c，a－b共面，所以这三个向量不能构成空间的一个基底，故C选项符合题意；
对于D，{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，a＋b＋c不共面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故D选项不符合题意．]
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在空间直角坐标系中，已知A(m，n，1)，B(3，2，1)关于z轴对称，则m＋n＝________．
－5　[∵B(3，2，1)关于z轴对称的点的坐标为(－3，－2，1)，
又对称点为A(m，n，1)，则m＝－3，n＝－2，∴m＋n＝－5．]
－5
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13．两个非零向量a，b，定义|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉．若a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)，则|a×b|＝________．
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16．(15分)如图，正方形ADEF所在平面与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：BC⊥平面BDE．
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17．(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．
(1)求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；
(2)求点B到平面A1B1C的距离．
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19综合测评卷参考答案
章末综合测评(一)
1．C　[对于A，{a，b，c}是空间的一个基底，则a＋b，b，c不共面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故A选项不符合题意；
对于B，{a，b，c}是空间的一个基底，则a，a－b，c不共面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故B选项不符合题意；
对于C，a－b＝(a－c)－(b－c)，则a－c，b－c，a－b共面，所以这三个向量不能构成空间的一个基底，故C选项符合题意；
对于D，{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，a＋b＋c不共面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故D选项不符合题意．]
2．C　[由题意，得cos＝，
解得λ＝－2或λ＝．故选C．]
3．C　[由题意知A(1，1，2)，B(－1，3，4)，C(2，4，4)，则D(0，2，3)，
所以＝(－2，－2，－1)，所以|＝3．故选C．]
4．D　[由已知得＝(－2，2，1)，又n＝(1，0，1)，∴点A到平面α的距离为．故选D．]
5．(教材原题·P10习题1.1T5)
A　[∵()
＝(－)
＝(－)
＝(－a＋b)，
∴
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c．
故选A．]
6．D　[()＝，
∴|···×2×2×－2×1×－2×1×＝2，∴|．故选D．]
7．C　[依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝BC＝2，AD＝3，PA＝2，
则P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，3，0)，
从而＝(2，0，－2)，＝(2，2，－2)，＝(0，3，－2)，
设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)，
则不妨取c＝3，则a＝1，b＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，2，3)，
所以PB与平面PCD所成角的正弦值为
|cos<，n>|＝．
故选C．]
8．A　[如图，以矩形ABCD的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系．
∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，
∴EF Oyz平面，且Oz是线段EF的垂直平分线．
设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D，E，B，F．
∴＝(1，1，)，＝(－1，－1，)，
∴·＝－1×1＋1×(－1)＋×＝0，
∴⊥，∴异面直线DE与BF所成的角为．故选A．]
9．AB　[A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，
则＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，＝(－3，1，1)，
故|，故A正确；·＝2×(－1)＋1×2＋0×1＝0，
故⊥，故B正确；点C关于Oxy平面对称的点为(－1，3，－1)，故C错误；
cos<，故D错误．故选AB．]
10．AB　[设＝(3λ，－2λ，－λ)．
又|，
∴，解得λ＝±1，
∴＝(3，－2，－1)或＝(－3，2，1)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，
∴
故点P的坐标为(4，－2，2)或(－2，2，4)．故选AB．]
11．BD　[因为PD⊥底面ABCD，所以PD垂直于平面ABCD内的任何一条直线，
因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC＝120°，所以△ABD和△BCD是等边三角形．对于A，()··＝0，故A错误；对于B，()···＝0＋1×1×cos 120°＝－，故B正确；
对于C，·＝()·()＝····，故C错误；对于D，··()＝··|cos 120°＝－，故D正确．故选BD．]
12．－5　[∵B(3，2，1)关于z轴对称的点的坐标为(－3，－2，1)，
又对称点为A(m，n，1)，则m＝－3，n＝－2，∴m＋n＝－5．]
13．2　[设向量a，b的夹角为θ，∵a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)，
∴|a|＝，|b|＝2，a·b＝2，∴cos θ＝，
∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝，∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝×2×．]
14．　[以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(4，0，0)，D(0，4，0)，E(0，0，2)，F(4，2，1)，＝(0，－4，2)，＝(4，－2，1)，＝(－4，4，0)，＝(0，2，1)，＝(4，2，－1)．
所以cos<，所以sin<，所以点E到直线DF的距离为||·sin<×
＝．
记平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，得n＝(1，1，－2)．
所以cos15．(教材原题·P9练习T3)
解：(1)·|·||·cos 60°＝5×4×＝10．
(2)＝()2＝()2＝·＝25＋2×10＋16＝61，∴|，即AB'的长为．
(3)＝()2＝＋2(···)＝16＋9＋25＋2×＝85，∴|，即AC'的长为．
16．证明：(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED 平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD．
以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)．
∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)，
则＝(－2，0，1)，＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)，
∴，故共面．
又BM 平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．
(2)＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB．
又·＝0，∴BC⊥DE．
又DE∩DB＝D，DE，DB 平面BDE，
∴BC⊥平面BDE．
17．解：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，BA⊥BC，所以BA，BB1，BC两两互相垂直，
以B为原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，0，2)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(0，2，2)，所以＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2)，
设异面直线AB1与A1C1所成角为θ，θ∈，
所以cos θ＝|cos<，
所以θ＝，即异面直线AB1与A1C1所成角的大小为．
(2)由(1)知，＝(－2，0，0)，＝(－2，－2，2)，＝(0，0，2)，设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则解得x＝0，令y＝1，则z＝1，所以n＝(0，1，1)，
所以点B到平面A1B1C的距离为．
18．解：(1)根据题意可得四棱锥S ABCD的体积为VS ABCD＝×S直角梯形ABCD×SA＝×××1×1＝．
(2)根据题意可建立空间直角坐标系如图，
则D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，
∴＝(1，1，－1)，
设平面SCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则取m＝(2，－1，1)，
又易知平面SAB的一个法向量为n＝(1，0，0)，
∴平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为
|cos|＝．
19．解：(1)证明：在Rt△ABD中，AD＝．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝，CD＝AB＝1，又A1C＝2，
∴A1B2＋BC2＝A1C2，∴A1B⊥BC，
又A1B⊥BD，BC∩BD＝B，
且BC，BD 平面BCD，
∴A1B⊥平面BCD，又A1B 平面A1BD，
∴平面A1BD⊥平面BCD．
(2)如图，过点B作BD的垂线，以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A1(0，0，1)，D(0，，0)，C(1，，0)，＝(1，，0)，＝(0，－，1)，
|cos<，∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为．
(3)＝(1，0，0)，＝(－1，－，1)．
设，0≤λ≤1，则＝(1－λ，－λ，λ)，
易知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)．
设DE与平面BCD所成的角为θ，则
sin θ＝|cos<，n>|＝，
解得λ＝或λ＝－1(舍去)，∴，即CE＝．
∴当线段CE的长为时，DE与平面BCD所成角的正弦值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)类型1　空间向量的概念及运算
1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等．向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础．
2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生数学运算的学科素养．
【例1】　(1)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c．M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：
①；
②．
(2)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
①求的长；
②求与夹角的余弦值．
[解]　(1)①＝)
＝[()＋()]
＝＋2＋2)
＝a＋b＋c．
②＝
＝)
＝
＝a＋b＋c．
(2)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝．
①||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，
∴||＝．
②＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos 〈〉＝＝．
类型2　利用空间向量证明位置关系
1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．
2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养．
【例2】　如图所示，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．证明：AB1⊥平面A1B1C1．
[证明]　法一：由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝2，所以＝，故AB1⊥A1B1．
由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，
得B1C1＝，
由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝2，
连接AC1(图略)，由CC1⊥AC，得AC1＝，所以＝，故AB1⊥B1C1．
又A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1 平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1．
法二：如图所示，以AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz．
由题意知，A(0，－，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1)，则＝(1，，2)，＝(1，，－2)，＝(0，2，－3)．
由＝0，得AB1⊥A1B1．
由＝0，得AB1⊥A1C1．
又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1 平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1．
法三：如法二建立空间直角坐标系，则A，A1，B1，C1，的坐标同法二．
设m＝(x，y，z)是平面A1B1C1的法向量，
则
即令z＝1，得m＝是平面A1B1C1的一个法向量，因为＝2m，所以AB1⊥平面A1B1C1．
类型3　利用空间向量求距离
1．空间距离的计算思路
(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a，则向量在直线l上的投影向量为＝(a·u)u，则点P到直线l的距离为PQ＝(如图1)．
(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为PQ＝(如图2)．
2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养．
【例3】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为DD1的中点，F为BB1的中点．
(1)求点A1到直线B1E的距离；
(2)求点A1到平面AB1E的距离．
[解]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，E(0，1，1)，
所以＝(－1，1，－1)，＝(－1，0，0)，
所以点A1到直线B1E的距离
d＝＝＝．
(2)＝(1，0，2)，＝(0，1，1)，＝(0，0，2)，
设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝2，则n＝(2，1，－1)，
所以点A1到平面AB1E的距离为＝＝．
类型4　利用空间向量求空间角
1．利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性．
2．通过利用向量计算空间角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养．
【例4】　如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，各侧棱及底边BC，DA的长均为a，AB，CD的长为a，记AC与BD的交点为O，过底面对角线AC作与PB平行的平面交PD于点E．
(1)求二面角E-AC-D的正弦值；
(2)求EO与底面ABCD所成角的大小；
(3)求DO与平面EAC所成角的正弦值．
[解]　(1)因为PB∥平面ACE，平面PBD∩平面ACE＝OE，PB 平面PBD，所以PB∥OE．又O是BD的中点，所以E是PD的中点．连接PO，因为四边形ABCD为矩形，所以OA＝OC，又PA＝PC，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又AC∩BD＝O，所以PO⊥底面ABCD．
以O为原点，OP所在直线为z轴，过点O平行于AD的直线为x轴，过点O平行于CD的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
易知A，B，C，D，P，E，则＝．
显然，是平面ACD的一个法向量，设n＝(x，y，z)是平面ACE的法向量，则
即取y＝1，可得平面ACE的一个法向量n＝(，1，2)，
所以|cos 〈n，〉|＝＝．
所以二面角E-AC-D的正弦值为．
(2)设EO与底面ABCD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈〉|＝＝，
又θ∈，
所以EO与底面ABCD所成角的大小为．
(3)设DO与平面EAC所成的角为β，
则sin β＝＝，
所以DO与平面EAC所成角的正弦值为．
章末综合测评(一)　空间向量与立体几何
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，不能构成空间的一个基底的是(　　)
A．a＋b，b，c B．a，a－b，c
C．a－c，b－c，a－b D．a，b，a＋b＋c
C　[对于A，{a，b，c}是空间的一个基底，则a＋b，b，c不共面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故A选项不符合题意；
对于B，{a，b，c}是空间的一个基底，则a，a－b，c不共面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故B选项不符合题意；
对于C，a－b＝(a－c)－(b－c)，则a－c，b－c，a－b共面，所以这三个向量不能构成空间的一个基底，故C选项符合题意；
对于D，{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，a＋b＋c不共面，所以这三个向量能构成空间的一个基底，故D选项不符合题意．]
2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝(　　)
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
C　[由题意，得cos 〈a，b〉＝＝＝，
解得λ＝－2或λ＝．故选C．]
3．已知O是坐标原点，空间向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，＝(2，4，4)，若线段AB的中点为D，则||＝(　　)
A．9 B．8
C．3 D．2
C　[由题意知A(1，1，2)，B(－1，3，4)，C(2，4，4)，则D(0，2，3)，
所以＝(－2，－2，－1)，所以||＝＝3．故选C．]
4．已知A(1，0，1)，n＝(1，0，1)是平面α的一个法向量，且B(－1，2，2)是平面α内一点，则点A到平面α的距离为(　　)
A．
C．
D　[由已知得＝(－2，2，1)，又n＝(1，0，1)，
∴点A到平面α的距离为＝＝．故选D．]
5．(教材原题·P10习题1.1T5)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a－b＋c D．－a－b＋c
A　[∵＝＝)
＝(－)
＝(－)
＝(－a＋b)，
∴＝＝
＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c．故选A．]
6．如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AC＝，点E，F满足＝＝，则||＝(　　)
A．
C．2 D．
D　[＝＝－)＝，
∴||2＝＝＋＋＋＝1＋1＋1＋×2×2×－2×1×－2×1×＝2，∴||＝．
故选D．]
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为(　　)
A．
C．
C　[依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝BC＝2，AD＝3，PA＝2，
则P(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，3，0)，
从而＝(2，0，－2)，＝(2，2，－2)，＝(0，3，－2)，
设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)，
则即
不妨取c＝3，则a＝1，b＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，2，3)，
所以PB与平面PCD所成角的正弦值为
|cos〈，n〉|＝＝．故选C．]
8．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图所示)，其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为(　　)
A．
C．
A　[如图，以矩形ABCD的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系．
∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF Oyz平面，且Oz是线段EF的垂直平分线．
设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D，E，B，F．
∴＝(1，1，)，＝(－1，－1，)，
∴＝－1×1＋1×(－1)＋＝0，
∴⊥，∴异面直线DE与BF所成的角为．故选A．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，O是坐标原点，则(　　)
A．||＝
B．⊥
C．点C关于Oxy平面对称的点为(1，－3，1)
D．与夹角的余弦值是
AB　[A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，
则＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，＝(－3，1，1)，
故||＝＝，故A正确；＝2×(－1)＋1×2＋0×1＝0，
故⊥，故B正确；点C关于Oxy平面对称的点为(－1，3，－1)，故C错误；
cos 〈〉＝＝－，故D错误．故选AB．]
10．已知空间三点A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为(　　)
A．(4，－2，2) B．(－2，2，4)
C．(－4，2，－2) D．(2，－2，4)
AB　[设＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)．
又||＝，
∴＝，解得λ＝±1，
∴＝(3，－2，－1)或＝(－3，2，1)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，
∴或
解得或
故点P的坐标为(4，－2，2)或(－2，2，4)．故选AB．]
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC＝120°，PD＝AD，则(　　)
A．()·＝1
B．()·＝－
C．＝
D．＝－
BD　[因为PD⊥底面ABCD，所以PD垂直于平面ABCD内的任何一条直线，
因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC＝120°，所以△ABD和△BCD是等边三角形．对于A，()·＝＝0，故A错误；对于B，()·＝＝0＋1×1×cos 120°＝－，故B正确；
对于C，＝()·()＝
＝－1＋＝－，故C错误；对于D，＝·()＝
＝||||cos 120°＝－，故D正确．故选BD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在空间直角坐标系中，已知A(m，n，1)，B(3，2，1)关于z轴对称，则m＋n＝________．
－5　[∵B(3，2，1)关于z轴对称的点的坐标为(－3，－2，1)，
又对称点为A(m，n，1)，则m＝－3，n＝－2，∴m＋n＝－5．]
13．两个非零向量a，b，定义|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉．若a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)，则|a×b|＝________．
2　[设向量a，b的夹角为θ，∵a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)，
∴|a|＝，|b|＝2，a·b＝2，∴cos θ＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝，∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝×2＝2．]
14．如图所示，在几何体ABCDEF中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝AD＝2BC＝4，AE∥CF，AE＝2CF＝2，AE⊥平面ABCD，则点E到直线DF的距离为________，直线EF与平面BDF所成角的正弦值为________．
　[以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(4，0，0)，D(0，4，0)，E(0，0，2)，F(4，2，1)，＝(0，－4，2)，＝(4，－2，1)，＝(－4，4，0)，＝(0，2，1)，＝(4，2，－1)．
所以cos 〈〉＝＝，
所以sin 〈〉＝，所以点E到直线DF的距离为||sin 〈〉＝2＝．
记平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，得n＝(1，1，－2)．
所以cos 〈n，〉＝＝＝，所以直线EF与平面BDF所成角的正弦值为．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(教材原题·P9练习T3)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．求：
(1)；(2)AB′的长；(3)AC′的长．
[解]　(1)＝||·||·cos 60°＝5×4×＝10．
(2)＝()2＝()2＝＋2＝25＋2×10＋16＝61，
∴||＝，即AB′的长为．
(3)＝()2＝＋＋＋2()＝16＋9＋25＋2×＝85，∴||＝，即AC′的长为．
16．(15分)如图，正方形ADEF所在平面与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：BC⊥平面BDE．
[证明]　(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED 平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD．
以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)．
∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)，则＝(－2，0，1)，＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)，
∴＝，故共面．
又BM 平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．
(2)＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，
∵＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB．
又＝0，∴BC⊥DE．
又DE∩DB＝D，DE，DB 平面BDE，
∴BC⊥平面BDE．
17．(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．
(1)求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；
(2)求点B到平面A1B1C的距离．
[解]　(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，所以BA，BB1，BC两两互相垂直，
以B为原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，0，2)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(0，2，2)，所以＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2)，
设异面直线AB1与A1C1所成角为θ，θ∈，
所以cos θ＝|cos 〈〉|＝＝＝，
所以θ＝，即异面直线AB1与A1C1所成角的大小为．
(2)由(1)知，＝(－2，0，0)，＝(－2，－2，2)，＝(0，0，2)，设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)，
则解得x＝0，令y＝1，则z＝1，所以n＝(0，1，1)，
所以点B到平面A1B1C的距离为＝＝．
18．(17分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝．
(1)求四棱锥S-ABCD的体积；
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值．
[解]　(1)根据题意可得四棱锥S-ABCD的体积为VS-ABCD＝×S直角梯形ABCD×SA
＝×1×1＝．
(2)根据题意可建立空间直角坐标系如图，
则D，C(1，1，0)，S(0，0，1)，
∴＝＝(1，1，－1)，
设平面SCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则取m＝(2，－1，1)，
又易知平面SAB的一个法向量为n＝(1，0，0)，
∴平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为
|cos 〈m，n〉|＝＝＝．
19．(17分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BD＝，∠ABD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，折后的点A变为A1，且A1C＝2．
(1)求证：平面A1BD⊥平面BCD；
(2)求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；
(3)E为线段A1C上的一个动点，当线段CE的长为多少时，DE与平面BCD所成角的正弦值为？
[解]　(1)证明：在Rt△ABD中，AD＝＝．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝，CD＝AB＝1，又A1C＝2，
∴A1B2＋BC2＝A1C2，∴A1B⊥BC，
又A1B⊥BD，BC∩BD＝B，
且BC，BD 平面BCD，
∴A1B⊥平面BCD，又A1B 平面A1BD，
∴平面A1BD⊥平面BCD．
(2)如图，过点B作BD的垂线，以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A1(0，0，1)，D(0，，0)，C(1，，0)，＝(1，，0)，＝(0，－，1)，
|cos 〈〉|＝＝＝，
∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为．
(3)＝(1，0，0)，＝(－1，－，1)．
设＝λ，0≤λ≤1，则＝＝(1－λ，－λ，λ)，
易知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)．
设DE与平面BCD所成的角为θ，则
sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，
解得λ＝或λ＝－1(舍去)，
∴＝，即CE＝．
∴当线段CE的长为时，DE与平面BCD所成角的正弦值为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)章末综合测评(一)　空间向量与立体几何
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组向量中，不能构成空间的一个基底的是(　　)
A．a＋b，b，c B．a，a－b，c
C．a－c，b－c，a－b D．a，b，a＋b＋c
2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝(　　)
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
3．已知O是坐标原点，空间向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，＝(2，4，4)，若线段AB的中点为D，则||＝(　　)
A．9 B．8
C．3 D．2
4．已知A(1，0，1)，n＝(1，0，1)是平面α的一个法向量，且B(－1，2，2)是平面α内一点，则点A到平面α的距离为(　　)
A．
C．
5．(教材原题·P10习题1.1T5)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a－b＋c D．－a－b＋c
6．如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AC＝，点E，F满足＝＝，则||＝(　　)
A．
C．2 D．
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为(　　)
A．
C．
8．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图所示)，其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为(　　)
A．
C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，O是坐标原点，则(　　)
A．||＝
B．⊥
C．点C关于Oxy平面对称的点为(1，－3，1)
D．与夹角的余弦值是
10．已知空间三点A(1，0，3)，B(－1，1，4)，C(2，－1，3)．若∥，且||＝，则点P的坐标为(　　)
A．(4，－2，2) B．(－2，2，4)
C．(－4，2，－2) D．(2，－2，4)
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为1的菱形，且∠ADC＝120°，PD＝AD，则(　　)
A．()·＝1
B．()·＝－
C．＝
D．＝－
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在空间直角坐标系中，已知A(m，n，1)，B(3，2，1)关于z轴对称，则m＋n＝________．
13．两个非零向量a，b，定义|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉．若a＝(1，0，1)，b＝(0，2，2)，则|a×b|＝________．
14．如图所示，在几何体ABCDEF中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝AD＝2BC＝4，AE∥CF，AE＝2CF＝2，AE⊥平面ABCD，则点E到直线DF的距离为________，直线EF与平面BDF所成角的正弦值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(教材原题·P9练习T3)如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°．求：
(1)；(2)AB′的长；(3)AC′的长．
16．(15分)如图，正方形ADEF所在平面与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：BC⊥平面BDE．
17．(15分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．
(1)求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；
(2)求点B到平面A1B1C的距离．
18．(17分)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝．
(1)求四棱锥S-ABCD的体积；
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值．
19．(17分)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BD＝，∠ABD＝90°，将△ABD沿对角线BD折起，折后的点A变为A1，且A1C＝2．
(1)求证：平面A1BD⊥平面BCD；
(2)求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；
(3)E为线段A1C上的一个动点，当线段CE的长为多少时，DE与平面BCD所成角的正弦值为？
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