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1.3　空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1　空间直角坐标系
[学习目标]　
1．了解空间直角坐标系．(数学抽象)
2．能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．(数学运算)
探究1　空间直角坐标系及点的坐标
问题1　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系？类似地，如何建立空间直角坐标系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：______________，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz．
(2)有关概念
坐标轴 ______________轴、______________轴、______________轴
原点 点______________
坐标向量 i，j，k
坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成______________个部分
(3)建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______________的正方向，食指指向______________的正方向，如果中指指向______________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝______________．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组______________，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的______________，y叫做点A的______________，z叫做点A的______________．
3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
[典例讲评]　1．在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系．
(1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标；
(2)写出棱PB的中点M的坐标．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　本例条件不变，写出棱PD的中点的坐标，写出AB的中点的坐标．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．建立空间直角坐标系的原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内．
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)．
[学以致用]　1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M是点N(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影，则点M的坐标是(　　)
A．(3，0，5)　　　　　 B．(0，4，5)
C．(3，4，0) D．(0，0，5)
2．画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度．
(1)求各顶点的坐标；
(2)求棱CC1的中点M的坐标；
(3)求四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　空间点的对称问题
[典例讲评]　2．(多选)下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1，2，3)的说法，正确的有(　　)
A．线段OP的中点的坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)
C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，－3)
D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，2，－3)
　点P(x，y，z)关于坐标轴、坐标平面对称的点P′的坐标与点P的坐标有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[学以致用]　3．(多选)在空间直角坐标系中，点P的坐标为(－4，1，2)，则下列说法正确的是(　　)
A．点P关于原点对称的点是(4，－1，－2)
B．点P关于x轴对称的点是(4，1，2)
C．点P关于Ozx平面对称的点是(－4，－1，2)
D．点P关于点(1，1，1)对称的点是(－9，1，3)
探究3　空间向量的坐标
问题2　在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，＝xi＋yj，那么向量的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量的坐标是什么？点A的坐标是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝______________．
[典例讲评]　3．(源自湘教版教材)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，已知AB＝4，AD＝2，AA′＝4，建立适当的空间直角坐标系．
(1)求点C′的坐标；
(2)求的坐标．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用坐标表示空间向量的步骤
[学以致用]　【链接教材P18例1(2)】
4．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于y轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－1，2，3) B．(－1，－2，－3)
C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3)
2．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　)
A．(3，5，4) B．
C．
3．(教材P18练习T3改编)如图所示，在空间直角坐标系Oxyz中，已知长方体OABC-O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，则点O′的坐标为________，点A′的坐标为________，点B′的坐标为________．
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为 ________，的坐标为________．
1．知识链：
2．方法链：数形结合、类比联想．
3．警示牌：不要混淆空间点的坐标和向量坐标的概念．
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第一章
空间向量与立体几何
1.3　空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1　空间直角坐标系
[学习目标]　
1．了解空间直角坐标系．(数学抽象)
2．能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何类比平面直角坐标系，理解空间直角坐标系？
问题2．在空间直角坐标系中，点和向量的坐标是如何定义的？
问题3．在空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
问题4．在空间直角坐标系中，点和向量的坐标的求解步骤是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　空间直角坐标系及点的坐标
问题1　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系？类似地，如何建立空间直角坐标系？
[提示]　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，这样就建立了一个平面直角坐标系．类似地，在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直角坐标系．
[新知生成]
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：__________________，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz．
x轴、y轴、z轴
(2)有关概念
坐标轴 ___轴、___轴、___轴
原点 点___
坐标向量 i，j，k
坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成___个部分
x
y
z
O
八
(3)建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_____的正方向，食指指向_____的正方向，如果中指指向_____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
x轴
y轴
z轴
xi＋yj＋zk
(x，y，z)
横坐标
纵坐标
竖坐标
3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
【教用·微提醒】　(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0．
(2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系．
[典例讲评]　1．在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系．
(1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标；
(2)写出棱PB的中点M的坐标．
[母题探究]　本例条件不变，写出棱PD的中点的坐标，写出AB的中点的坐标．
反思领悟　1．建立空间直角坐标系的原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内．
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)．
[学以致用]　1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M是点N(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影，则点M的坐标是(　　)
A．(3，0，5)　　　　　 B．(0，4，5)
C．(3，4，0) D．(0，0，5)
√
C　[根据题意，点N(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影为(3，4，0)，
结合空间中点的坐标运算可得点M的坐标是(3，4，0)．故选C．]
2．画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度．
(1)求各顶点的坐标；
(2)求棱CC1的中点M的坐标；
(3)求四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标．
√
√
发现规律　点P(x，y，z)关于坐标轴、坐标平面对称的点P′的坐标与点P的坐标有什么关系？
[提示]　关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于Ozx平面的对称点为(x，
－y，z)．
[学以致用]　3．(多选)在空间直角坐标系中，点P的坐标为(－4，1，2)，则下列说法正确的是(　　)
A．点P关于原点对称的点是(4，－1，－2)
B．点P关于x轴对称的点是(4，1，2)
C．点P关于Ozx平面对称的点是(－4，－1，2)
D．点P关于点(1，1，1)对称的点是(－9，1，3)
√
√
AC　[在空间直角坐标系中，点P(－4，1，2)，
对于A，点P关于原点对称的点的坐标是P1(4，－1，－2)，A正确；
对于B，点P关于x轴对称的点的坐标是P2(－4，－1，－2)，B错误；
对于C，点P关于Ozx平面对称的点的坐标是P3(－4，－1，2)，C正确；
对于D，点P关于点(1，1，1)对称的点的坐标是P4(2－(－4)，2－1，2－2)，即P4(6，1，0)，D错误．故选AC．]
【教用·备选题】
1．已知点A(－2，3，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为(　　)
A．(2，3，4)　　　　 B．(－2，－3，4)
C．(－2，3，－4) D．(2，－3，－4)
√
D　[在空间直角坐标系Oxyz中，点A(－2，3，4)关于原点的对称点坐标为(2，－3，－4)．故选D．]
2．在空间直角坐标系中，点(3，1，－2)关于Ozx平面的对称点的坐标为(　　)
A．(－3，1，2)　　　 B．(－3，－1，2)
C．(－2，1，3) D．(3，－1，－2)
√
D　[点(3，1，－2)关于Ozx平面的对称点的坐标为(3，－1，－2)．
故选D．]
3．在空间直角坐标系中，O为原点，已知点P(1，2，－1)，A(0，1，2)，则(　　)
A．点P关于点A的对称点为(2，3，－4)
B．点P关于x轴的对称点为(1，－2，－1)
C．点P关于y轴的对称点为(－1，2，1)
D．点P关于Oxy平面的对称点为(1，－2，1)
√
C　[由中点坐标公式可知，点P(1，2，－1)关于点A(0，1，2)的对称点的坐标是(－1，0，5)，所以A不正确；点P关于x轴的对称点为(1，－2，1)，所以B不正确；点P关于y轴的对称点为(－1，2，1)，所以C正确；
点P关于Oxy平面的对称点为(1，2，1)，所以D不正确．故选C．]
[提示]　(x，y，z)　(x，y，z)
(x，y，z)
反思领悟　用坐标表示空间向量的步骤
应用迁移 随堂评估自测
1．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于y轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－1，2，3) B．(－1，－2，－3)
C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3)
√
B　[在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于y轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)．故选B．]
√
3．(教材P18练习T3改编)如图所示，在空间直角坐标系Oxyz中，已知长方体OABC-O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，则点O′的坐标为__________，点A′的坐标为_________，点B′的坐标为__________．
(0，0，2)
(3，0，2)
(3，4，2)
(0，0，2)　(3，0，2)　(3，4，2)　[点O′在z轴上，且OO′＝2，则它的竖坐标为2，又它的横坐标和纵坐标都为0，所以点O′的坐标为(0，0，2)．
点A′在Ozx平面内，则它的纵坐标为0．点A′在x轴、z轴上的射影依次为点A、点O′，又OA＝3，OO′＝2，所以点A′的横坐标和竖坐标依次为3，2，即点A′的坐标为(3，0，2)．
点B′在x轴、y轴和z轴上的射影依次为点A、点C和点O′，所以点B′的坐标为(3，4，2)．]
(0，0，2)　(3，0，2)　(3，4，2)　[点O′在z轴上，且OO′＝2，则它的竖坐标为2，又它的横坐标和纵坐标都为0，所以点O′的坐标为(0，0，2)．
点A′在Ozx平面内，则它的纵坐标为0．点A′在x轴、z轴上的射影依次为点A、点O′，又OA＝3，OO′＝2，所以点A′的横坐标和竖坐标依次为3，2，即点A′的坐标为(3，0，2)．
点B′在x轴、y轴和z轴上的射影依次为点A、点C和点O′，所以点B′的坐标为(3，4，2)．]
(1，0，0)
(1，0，1)
1．知识链：
2．方法链：数形结合、类比联想．
3．警示牌：不要混淆空间点的坐标和向量坐标的概念．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？
[提示]　(1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线．
(2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内．
(3)充分利用几何图形的对称性．
2．如何确定空间一点P的坐标？
[提示]　先将P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上的一点P1，由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在Oxy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x，纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z)．
3．如何求空间向量的坐标？
[提示]　在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底{i，j，k}表示，从而求出空间向量的坐标．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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3
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课时分层作业(五)　空间直角坐标系
√
题号
2
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2．已知点N与点M(1，－2，3)关于x轴对称，则点N的坐标为(　　)
A．(1，2，－3) B．(－1，－2，3)
C．(－1，－2，－3) D．(1，－2，－3)
√
A　[依题意，点M(1，－2，3)关于x轴的对称点N(1，2，－3)．故选A．]
题号
2
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4
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√
题号
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4．已知A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则C的坐标为(　　)
A．(－2，0，－2) B．(2，0，2)
C．(－1，2，－1) D．(0，－2，－2)
√
题号
2
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C　[∵A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，
∴B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，故选C．]
5．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　)
A．点B1的坐标为(4，5，3)
B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
√
题号
2
1
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√
√
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二、填空题
6．已知{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐标形式可表示为_____________________．
题号
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(－5，0，2)　[因为{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，则有b＝－5i＋2k＝(－5，0，2)．
所以向量b＝－5i＋2k用坐标形式表示为(－5，0，2)．]
(－5，0，2)
题号
2
1
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(0，4，－3)
(－4，0，－3)
题号
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三、解答题
9．如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3．
(1)以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
(2)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
题号
2
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10．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M′的坐标为(－4，－2，15)，则a＋b＋c的值(　　)
A．10 B．－17
C．－9 D．2
√
题号
2
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11．设点M为不在坐标平面上的点．若点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1，M1关于坐标原点的对称点为M2，则M关于以下哪条坐标轴对称可以得到M2(　　)
A．x轴 B．y轴
C．z轴 D．以上都不对
√
题号
2
1
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B　[设M(x，y，z)，点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1，
故M1(x，－y，z)，M1关于坐标原点的对称点为M2，
则M2(－x，y，－z)，M关于y轴对称得到M2，故ACD错误，B正确．故选B．]
题号
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13．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为____________；在基底{a＋b，a－b，c}
下的坐标为____________________．
题号
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(1，1，1)

题号
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题号
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15．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]．
题号
2
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题号
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[解]　(1)由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，得a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k，
所以a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k，所以a＋b＝[0，3，5]．
题号
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15课时分层作业(五)
1．A　[＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．]
2．A　[依题意，点M(1，－2，3)关于x轴的对称点N(1，2，－3)．故选A．]
3．B　[因为AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分别为A1C1，CD1的中点，
则A1(0，0，2)，C1(4，4，2)，C(4，4，0)，D1(0，4，2)，故M(2，2，2)，N(2，4，1)，所以MN的中点的坐标为．故选B．]
4．C　[∵A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，∴B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，故选C．]
5．ACD　[由题图及已知可得：点B1的坐标为(4，5，3)，故A正确；
点C1(0，5，3)关于点B(4，5，0)对称的点为(8，5，－3)，故B错误；
长方体中，AD1＝BC1＝＝5＝AB，
所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；
点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，故D正确．故选ACD．]
6．(－5，0，2)　[因为{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，则有b＝－5i＋2k＝(－5，0，2)．
所以向量b＝－5i＋2k用坐标形式表示为(－5，0，2)．]
7．(0，4，－3)　(－4，0，－3)　[设i，j，k分别为方向上的单位向量，则＝4j－3k，＝－4i－3k，
所以＝(0，4，－3)，＝(－4，0，－3)．]
8．　[()－()＝，故．]
9．解：(1)在正方形ABCD中，AB＝6，
所以AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3．
所以各点坐标分别为A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，0)，O(0，0，0)，O1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B1(0，3，4)，C1(－3，0，4)，D1(0，－3，4)，M(0，3，2)，N(－3，0，3)．
(2)由题意得A(6，0，0)，B(6，6，0)，C(0，6，0)，D(0，0，0)，A1(6，0，4)，B1(6，6，4)，C1(0，6，4)，D1(0，0，4)，O(3，3，0)，O1(3，3，4)，M(6，6，2)，N(0，6，3)．
10．C　[点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M'的坐标为(－4，－2，15)，
则解得a＝4，b＝－5，c＝－8，故a＋b＋c＝－9．故选C．]
11．B　[设M(x，y，z)，点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1，
故M1(x，－y，z)，M1关于坐标原点的对称点为M2，
则M2(－x，y，－z)，M关于y轴对称得到M2，故ACD错误，B正确．故选B．]
12．BC　[a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，
因为0<θ<π，且θ≠，所以a·b≠0，故A错误；如图所示，设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×，故D错误．故选BC．]
13．(1，1，1)　　[由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1)．设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc．∵p＝2a＋b－c，∴，y＝，z＝－1，∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为．]
14．解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设＝i，＝j，＝k，则＝0i＋j＋0k＝(0，1，0)，＝k＋＝i－j＋k＝(1，－1，1)．
＝i－j＋2k＝(1，－1，2)．
15．解：(1)由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，得a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k，所以a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k，所以a＋b＝[0，3，5]．
(2)设i，j，k分别为与同方向的单位向量，
则＝2i，＝2j，＝3k，
①＝2j＋3k－i＝－i＋2j＋3k，所以＝[－1，2，3]．
②因为＝[2，－2，0]，所以＝2i－2j，
则||＝|2i－2j|＝＝2，因为|，所以·＝(－i＋2j＋3k)·(2i－2j)＝4i·j＋6i·k－2i2－4j2－6k·j＋2i·j＝－3，
所以cos<，
所以．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(五)　空间直角坐标系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分
一、选择题
1．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　)
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，10，12) D．(4，2，3)
2．已知点N与点M(1，－2，3)关于x轴对称，则点N的坐标为(　　)
A．(1，2，－3) B．(－1，－2，3)
C．(－1，－2，－3) D．(1，－2，－3)
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分别为A1C1，CD1的中点，如图所示建系，则MN的中点的坐标为(　　)
A．(2，3，3) B．
C． D．(0，－1，－1)
4．已知A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则C的坐标为(　　)
A．(－2，0，－2) B．(2，0，2)
C．(－1，2，－1) D．(0，－2，－2)
5．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　)
A．点B1的坐标为(4，5，3)
B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
二、填空题
6．已知{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐标形式可表示为________．
7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，如图，建立空间直角坐标系．
则的坐标为________，的坐标为________．
8．三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为________．
三、解答题
9．如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3．
(1)以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
(2)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
10．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M′的坐标为(－4，－2，15)，则a＋b＋c的值(　　)
A．10 B．－17
C．－9 D．2
11．设点M为不在坐标平面上的点．若点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1，M1关于坐标原点的对称点为M2，则M关于以下哪条坐标轴对称可以得到M2(　　)
A．x轴 B．y轴
C．z轴 D．以上都不对
12．(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有(　　)
A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0
B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值
C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D．已知＝(1，0，0)＝(0，1，0)＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝
13．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
14．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量的坐标．
15．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]．
(1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标；
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N为线段D1C1的中点．如图，以{}为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若＝[2，－2，0]，求与夹角的余弦值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.3　空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1　空间直角坐标系
[学习目标]　
1．了解空间直角坐标系．(数学抽象)
2．能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何类比平面直角坐标系，理解空间直角坐标系？
问题2．在空间直角坐标系中，点和向量的坐标是如何定义的？
问题3．在空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？
问题4．在空间直角坐标系中，点和向量的坐标的求解步骤是什么？
探究1　空间直角坐标系及点的坐标
问题1　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系？类似地，如何建立空间直角坐标系？
[提示]　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，这样就建立了一个平面直角坐标系．类似地，在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直角坐标系．
[新知生成]
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz．
(2)有关概念
坐标轴 x轴、y轴、z轴
原点 点O
坐标向量 i，j，k
坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分
(3)建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°．
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
【教用·微提醒】　(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0．
(2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系．
[典例讲评]　1．在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系．
(1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标；
(2)写出棱PB的中点M的坐标．
[解]　如图，连接AC，BD交于点O，连接PO．
∵四棱锥P-ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a，
∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD．
∴OA＝a，
PO＝＝＝a．
∴以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)正四棱锥P-ABCD中各顶点坐标分别为A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，P(0，0，a)．
(2)∵M为棱PB的中点，
∴M，即M．
[母题探究]　本例条件不变，写出棱PD的中点的坐标，写出AB的中点的坐标．
[解]　设PD的中点为N，由(1)知N，即N，
设AB的中点为E，由(1)知E，即E．
　1．建立空间直角坐标系的原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内．
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．求某点M的坐标的方法
作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)．
[学以致用]　1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M是点N(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影，则点M的坐标是(　　)
A．(3，0，5)　　　　　 B．(0，4，5)
C．(3，4，0) D．(0，0，5)
C　[根据题意，点N(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影为(3，4，0)，
结合空间中点的坐标运算可得点M的坐标是(3，4，0)．故选C．]
2．画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度．
(1)求各顶点的坐标；
(2)求棱CC1的中点M的坐标；
(3)求四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标．
[解]　(1)由题意可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)．
(2)由(1)可知棱CC1的中点M的坐标为．
(3)由(1)可知四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标为．
探究2　空间点的对称问题
[典例讲评]　2．(多选)下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1，2，3)的说法，正确的有(　　)
A．线段OP的中点的坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)
C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，－3)
D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，2，－3)
AD　[由题意可知线段OP的中点的坐标为，所以A中说法正确；
点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，所以B中说法错误；
点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，所以C中说法错误；
点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，2，－3)，所以D中说法正确．故选AD．]
　点P(x，y，z)关于坐标轴、坐标平面对称的点P′的坐标与点P的坐标有什么关系？
[提示]　关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于Ozx平面的对称点为(x，－y，z)．
[学以致用]　3．(多选)在空间直角坐标系中，点P的坐标为(－4，1，2)，则下列说法正确的是(　　)
A．点P关于原点对称的点是(4，－1，－2)
B．点P关于x轴对称的点是(4，1，2)
C．点P关于Ozx平面对称的点是(－4，－1，2)
D．点P关于点(1，1，1)对称的点是(－9，1，3)
AC　[在空间直角坐标系中，点P(－4，1，2)，
对于A，点P关于原点对称的点的坐标是P1(4，－1，－2)，A正确；
对于B，点P关于x轴对称的点的坐标是P2(－4，－1，－2)，B错误；
对于C，点P关于Ozx平面对称的点的坐标是P3(－4，－1，2)，C正确；
对于D，点P关于点(1，1，1)对称的点的坐标是P4(2－(－4)，2－1，2－2)，即P4(6，1，0)，D错误．故选AC．]
【教用·备选题】
1．已知点A(－2，3，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为(　　)
A．(2，3，4)　　　　 B．(－2，－3，4)
C．(－2，3，－4) D．(2，－3，－4)
D　[在空间直角坐标系Oxyz中，点A(－2，3，4)关于原点的对称点坐标为(2，－3，－4)．故选D．]
2．在空间直角坐标系中，点(3，1，－2)关于Ozx平面的对称点的坐标为(　　)
A．(－3，1，2)　　　 B．(－3，－1，2)
C．(－2，1，3) D．(3，－1，－2)
D　[点(3，1，－2)关于Ozx平面的对称点的坐标为(3，－1，－2)．故选D．]
3．在空间直角坐标系中，O为原点，已知点P(1，2，－1)，A(0，1，2)，则(　　)
A．点P关于点A的对称点为(2，3，－4)
B．点P关于x轴的对称点为(1，－2，－1)
C．点P关于y轴的对称点为(－1，2，1)
D．点P关于Oxy平面的对称点为(1，－2，1)
C　[由中点坐标公式可知，点P(1，2，－1)关于点A(0，1，2)的对称点的坐标是(－1，0，5)，所以A不正确；点P关于x轴的对称点为(1，－2，1)，所以B不正确；点P关于y轴的对称点为(－1，2，1)，所以C正确；
点P关于Oxy平面的对称点为(1，2，1)，所以D不正确．故选C．]
探究3　空间向量的坐标
问题2　在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，＝xi＋yj，那么向量的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量的坐标是什么？点A的坐标是什么？
[提示]　(x，y，z)　(x，y，z)
[新知生成]
向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．
[典例讲评]　3．(源自湘教版教材)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，已知AB＝4，AD＝2，AA′＝4，建立适当的空间直角坐标系．
(1)求点C′的坐标；
(2)求的坐标．
[解]　(1)如图所示，以点A为原点，分别以的方向为正方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则
＝4i，＝2j，＝4k，
又＝＝＝4i＋2j＋4k，
所以点C′的坐标为(4，2，4)．
(2)因为＝4k，＝＝2j＋4k，
所以＝＝2j＋4k－4k＝2j，
因此＝(0，2，0)．
　用坐标表示空间向量的步骤
[学以致用]　【链接教材P18例1(2)】
4．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．
[解]　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k，＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)．
＝＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)．
＝＝＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4)．
【教材原题·P18例1】
例1　如图1.3-6，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
(1)写出D′，C，A′，B′四点的坐标；
(2)写出向量的坐标．
[解]　(1)点D′在z轴上，且OD′＝2，所以＝0i＋0j＋2k．所以点D′的坐标是(0，0，2)．
同理，点C的坐标是(0，4，0)．
点A′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点A′的坐标是(3，0，2)．
点B′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B′的坐标是(3，4，2)．
(2)＝＝0i＋4j＋0k＝(0，4，0)；
＝－＝0i＋0j－2k＝(0，0，－2)；
＝＝－3i＋4j＋0k＝(－3，4，0)；
＝＝－3i＋4j＋2k＝(－3，4，2)．
1．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于y轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－1，2，3) B．(－1，－2，－3)
C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3)
B　[在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于y轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)．故选B．]
2．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　)
A．(3，5，4) B．
C．
C　[设点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3(图略)，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是．]
3．(教材P18练习T3改编)如图所示，在空间直角坐标系Oxyz中，已知长方体OABC-O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，则点O′的坐标为________，点A′的坐标为________，点B′的坐标为________．
(0，0，2)　(3，0，2)　(3，4，2)　[点O′在z轴上，且OO′＝2，则它的竖坐标为2，又它的横坐标和纵坐标都为0，所以点O′的坐标为(0，0，2)．
点A′在Ozx平面内，则它的纵坐标为0．点A′在x轴、z轴上的射影依次为点A、点O′，又OA＝3，OO′＝2，所以点A′的横坐标和竖坐标依次为3，2，即点A′的坐标为(3，0，2)．
点B′在x轴、y轴和z轴上的射影依次为点A、点C和点O′，所以点B′的坐标为(3，4，2)．]
4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为 ________，的坐标为________．
(1，0，0)　(1，0，1)　[由题图可知，设{}为单位正交基底{i，j，k}，则＝1i＋0j＋0k＝(1，0，0)，＝＝＝1i＋0j＋1k＝(1，0，1)．]
1．知识链：
2．方法链：数形结合、类比联想．
3．警示牌：不要混淆空间点的坐标和向量坐标的概念．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？
[提示]　(1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线．
(2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内．
(3)充分利用几何图形的对称性．
2．如何确定空间一点P的坐标？
[提示]　先将P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上的一点P1，由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在Oxy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x，纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z)．
3．如何求空间向量的坐标？
[提示]　在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底{i，j，k}表示，从而求出空间向量的坐标．
课时分层作业(五)　空间直角坐标系
一、选择题
1．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　)
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，10，12) D．(4，2，3)
A　[＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．]
2．已知点N与点M(1，－2，3)关于x轴对称，则点N的坐标为(　　)
A．(1，2，－3) B．(－1，－2，3)
C．(－1，－2，－3) D．(1，－2，－3)
A　[依题意，点M(1，－2，3)关于x轴的对称点N(1，2，－3)．故选A．]
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分别为A1C1，CD1的中点，如图所示建系，则MN的中点的坐标为(　　)
A．(2，3，3) B．
C． D．(0，－1，－1)
B　[因为AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分别为A1C1，CD1的中点，
则A1(0，0，2)，C1(4，4，2)，C(4，4，0)，D1(0，4，2)，
故M(2，2，2)，N(2，4，1)，所以MN的中点的坐标为．故选B．]
4．已知A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则C的坐标为(　　)
A．(－2，0，－2) B．(2，0，2)
C．(－1，2，－1) D．(0，－2，－2)
C　[∵A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，
∴B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，故选C．]
5．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　)
A．点B1的坐标为(4，5，3)
B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
ACD　[由题图及已知可得：点B1的坐标为(4，5，3)，故A正确；
点C1(0，5，3)关于点B(4，5，0)对称的点为(8，5，－3)，故B错误；
长方体中，AD1＝BC1＝＝5＝AB，
所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；
点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，故D正确．故选ACD．]
二、填空题
6．已知{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐标形式可表示为________．
(－5，0，2)　[因为{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，则有b＝－5i＋2k＝(－5，0，2)．
所以向量b＝－5i＋2k用坐标形式表示为(－5，0，2)．]
7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，如图，建立空间直角坐标系．
则的坐标为________，的坐标为________．
(0，4，－3)　(－4，0，－3)　[设i，j，k分别为方向上的单位向量，则＝＝＝4j－3k，＝＝－＝－4i－3k，
所以＝(0，4，－3)，＝(－4，0，－3)．]
8．三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为________．
　[＝＝)－)＝，
故＝．]
三、解答题
9．如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3．
(1)以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；
(2)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．
[解]　(1)在正方形ABCD中，AB＝6，所以AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3．
所以各点坐标分别为A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，0)，O(0，0，0)，O1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B1(0，3，4)，C1(－3，0，4)，D1(0，－3，4)，M(0，3，2)，N(－3，0，3)．
(2)由题意得A(6，0，0)，B(6，6，0)，C(0，6，0)，D(0，0，0)，A1(6，0，4)，B1(6，6，4)，C1(0，6，4)，D1(0，0，4)，O(3，3，0)，O1(3，3，4)，M(6，6，2)，N(0，6，3)．
10．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M′的坐标为(－4，－2，15)，则a＋b＋c的值(　　)
A．10 B．－17
C．－9 D．2
C　[点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M′的坐标为(－4，－2，15)，
则解得a＝4，b＝－5，c＝－8，故a＋b＋c＝－9．
故选C．]
11．设点M为不在坐标平面上的点．若点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1，M1关于坐标原点的对称点为M2，则M关于以下哪条坐标轴对称可以得到M2(　　)
A．x轴 B．y轴
C．z轴 D．以上都不对
B　[设M(x，y，z)，点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1，
故M1(x，－y，z)，M1关于坐标原点的对称点为M2，
则M2(－x，y，－z)，M关于y轴对称得到M2，故ACD错误，B正确．故选B．]
12．(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有(　　)
A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0
B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值
C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ
D．已知＝(1，0，0)＝(0，1，0)＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝
BC　[a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，
因为0<θ<π，且θ≠，所以a·b≠0，故A错误；如图所示，设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×＝，故D错误．故选BC．]
13．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
(1，1，1)　　[由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1)．设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc．∵p＝2a＋b－c，∴解得x＝，y＝，z＝－1，∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为．]
14．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量的坐标．
[解]　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k，则＝0i＋j＋0k＝(0，1，0)，＝＝k＋＝i－j＋k＝(1，－1，1)．
＝＝＝i－j＋2k＝(1，－1，2)．
15．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]．
(1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标；
(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N为线段D1C1的中点．如图，以{}为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若＝[2，－2，0]，求与夹角的余弦值．
[解]　(1)由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，得a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k，
所以a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k，所以a＋b＝[0，3，5]．
(2)设i，j，k分别为与同方向的单位向量，
则＝2i，＝2j，＝3k，
①＝＝＝2j＋3k－i＝－i＋2j＋3k，
所以＝[－1，2，3]．
②因为＝[2，－2，0]，所以＝2i－2j，
则||＝|2i－2j|＝＝＝＝2，因为||＝＝，所以＝(－i＋2j＋3k)·(2i－2j)＝4i·j＋6i·k－2i2－4j2－6k·j＋2i·j＝－3，
所以cos 〈〉＝＝＝－，
所以与的夹角的余弦值为－．
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