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课时分层作业(三)
1．B　[对于A，由a⊥b，b⊥c可能得a∥c，故A错误；
对于B，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，故B正确；
对于C，a·b<0，则a，b的夹角是钝角或平角，故C错误；
对于D，(a·b)c表示与c共线的向量，而a(b·c)表示与a共线的向量，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等．
故选B．]
2．A　[因为空间单位向量a，b，c两两垂直，所以a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0．
所以|a－b＋c|2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，
故|a－b＋c|＝．故选A．]
3．AB　[对于A，··＝1××＝1，故A正确；
对于B，··()＝···()＝·＝1，故B正确；
对于C，··()＝··＝－1，故C错误；
对于D，··()＝··＝0，故D错误．
故选AB．]
4．ACD　[由题意可知，两两垂直，所以···＝0，
即()·＝0．
对于A，()2＝()2＋＋2()·＝()2＋，()2＝()2＋－2()·＝()2＋，所以()2＝()2，
即||，故A正确；
对于B，()·＝()·()＝，
当时，＝0，否则不成立，故B错误；
对于C，||2＋2(···)
＝||2＋2(0＋0＋0)＝||2，
故C正确；
对于D，··()＝0，
同理可得·＝0，·＝0，
所以···，故D正确．故选ACD．]
5．1　[a·b＝|a||b|cos 60°＝2×6×＝6．
2a－b在a方向上的投影向量的模长为
＝1．]
6．a2　[记＝a，＝b，＝c，
由题知|a|＝|b|＝|c|＝a，所以·＝()··，
因为()＝(a－c)，b，
所以·(a－c)·(b·c－b·a)＝＝0，
又a2，所以·a2．]
7．2　[由题意，知·＝0，·＝0，，
所以|···＝62＋42＋82＋2×6×8cos 120°＝68，所以CD＝2．]
8．解：(1)由题意知()－()＝c．
(2)由(1)知(b2＋4b·c＋4c2)＝×，所以|．
(3)·＝c·b·c＋c2＝，
因为cos<．
所以直线AA1与直线MN所成角的余弦值为．
9．B　[因为·＝0，·＝0，·＝0，
所以·＝()·()＝···>0，
所以cos∠CBD＝>0，故∠CBD是锐角．同理·>0，·>0，可得∠BCD，∠CDB都是锐角，故△BCD是锐角三角形．故选B．]
10．AC　[因为点D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC＝2DG，
所以()＝，由于PA＝PC＝2，PB＝1，
故|＝
＝，故A正确，B错误；
因为，所以·＝()·
＝(··)
＝，故C正确，D错误．故选AC．]
11．ABD　[对于A，设正方体的棱长为1，在正方体ABCD A1B1C1D1中，<>＝60°，则|×|·sin<××，
因为BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以<>＝120°，
所以|×××，所以|××|，故A正确；
对于B，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1 A1C1⊥平面BB1D1D，
BD1 平面BB1D1D BD1⊥A1C1，同理BD1⊥A1D，
由右手系知，×共线，故B正确；
对于C，由a，b和a×b构成右手系知，a×b与b×a方向相反，由a×b模的定义知，|a×b|＝|a||b|sin＝|b|·|a|sin＝|b×a|，
所以a×b＝－b×a，则××，故C错误；
对于D，设正方体棱长为1，6|×|·||·sin 45°＝6×1××＝6，
正方体表面积为6，故D正确．
故选ABD．]
12．－　[由已知得()，，
因此|，
|．
又因为·()·×2－×2＋×2－2＝－2，所以向量．]
13．解：(1)证明：．
因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0．
又△ABC为正三角形，
所以<．
因为·＝()·()
＝···
＝||·cos<
＝－1＋1＝0，
所以⊥，即AB1⊥BC1．
(2)结合(1)知·|·cos<－1．
又||，
所以|cos<，
所以||＝2，即侧棱长为2．
14．解：如图，过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M，
则CM＝AC·cos∠ACM＝4×cos 30°＝2，CN＝CB·cos∠BCD＝2×cos 30°＝，∴MN＝CM－CN＝．
易知AM＝AC·sin 30°＝2，BN＝BC·sin 30°＝1，且<>＝120°，∴<>＝60°．
∵⊥，∴··＝0．
∵，∴···＝4＋3＋1＋2·||cos 60°＝10．
∴|，即折起后所得线段AB的长度为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三)　空间向量的数量积运算
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共100分
一、选择题
1．对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．a·(b＋c)＝a·b＋a·c
C．若a·b＜0，则a，b的夹角是钝角
D．(a·b)c＝a(b·c)
2．已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则|a－b＋c|＝(　　)
A．
C．3 D．6
3．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．(多选)已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则以下结论中一定成立的是(　　)
A．||＝||
B．()·＝0
C．||2＝||2＋||2＋||2
D．＝＝
二、填空题
5．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量的模长为 ________．
6．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则＝________．
7．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为 ________．
三、解答题
8．如图所示，在棱长均为1的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝＝＝，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示；
(2)求MN的长度；
(3)求直线AA1与直线MN所成角的余弦值．
9．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足＝0，＝0，＝0，则△BCD一定是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
10．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PC＝2，PB＝1，且∠APB＝∠CPB＝∠APC＝60°，点D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC＝2DG，则下列说法正确的是(　　)
A．PG＝ B．PG＝
C．＝－ ＝－
11．(多选)在三维空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b和a×b构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示)；
②a×b的模|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角)．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有(　　)
A．||＝||
B．与共线
C．＝
D．6||与正方体表面积的数值相等
12．已知空间四面体OABC各边长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则向量与向量的夹角的余弦值为________．
13．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长．
14．如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为∠ACB的平分线，AC＝4，BC＝2，过点B作BN⊥CD于点N，延长后交CA于点E，把图形沿CD折起，使∠BNE＝120°，如图2所示，求折起后所得线段AB的长度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.2　空间向量的数量积运算
[学习目标]　
1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象)
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算)
3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象)
4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算)
探究1　空间向量的数量积运算
问题　类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量的数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则______________叫做向量a，b的夹角，记作______________
范围 ______________
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a______________b
2．空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则______________叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝______________．
规定：零向量与任意向量的数量积为______________．
(2)空间向量的数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R．
②a·b＝b·a(交换律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空间两向量的数量积的性质
向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b ______________
共线 同向：a·b＝|a||b|
反向：a·b＝－|a||b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝______________， |a|＝，|a·b|≤|a||b|
夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝___________
3．向量的投影
(1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝______________________，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a向直线l投影如图2．
(3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．
[典例讲评]　【链接教材P7例2】
1．如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)；
(2)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由向量的数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
[学以致用]　1．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AB＝2，AA1＝3且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则＝(　　)
A．4 B．0
C．－2 D．－8
2．已知空间向量|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为(　　)
A．－b B．b
C．b D．－b
探究2　空间向量的数量积的应用
　求夹角
[典例讲评]　2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求cos 〈〉的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．本例中，若N为A1A的中点，其他条件不变，求与夹角的余弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用数量积求异面直线所成角的方法步骤
(1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量．
(2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题．
(3)利用数量积求角的大小．
[学以致用]　3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
　求距离(模)
[典例讲评]　3．平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝3，M为A1C1，B1D1的交点，则线段BM的长为(　　)
A．3 B．
C． D．2
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求两点间的距离或线段的长度的步骤
(1)将此线段用向量表示．
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量．
(3)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求距离或长度．
[学以致用]　4．已知线段AB，BD在平面α内，∠ABD＝120°，线段AC⊥α．若AB＝a，BD＝b，AC＝c，则线段CD的长为(　　)
A．
C．
　证明垂直
[典例讲评]　【链接教材P8例3】
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．证明：PA⊥BD．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　用向量法证明垂直关系的步骤是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[学以致用]　5．如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，〈〉＝(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
2．已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos 〈a，b〉＝(　　)
A．
C．－
3．(教材P7例2(2)改编)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝90°，则||＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
4．如图，正四面体A-BCD的棱长为1，＝，则＝________．
1．知识链：
2．方法链：向量法、数形结合、类比．
3．警示牌：(1)当空间向量a，b的夹角θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0．
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.2　空间向量的数量积运算
[学习目标]　
1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象)
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算)
3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象)
4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．若向量与的夹角为α，直线AB与CD所成的角为β，则α＝β一定成立吗？
问题2．怎样利用数量积求直线的夹角或余弦值？
问题3．如何利用数量积证明两个非零向量a和b互相垂直？
探究1　空间向量的数量积运算
问题　类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量的数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
[提示]　空间两向量的数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量的数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
[新知生成]
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
【教用·微提醒】　两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b为非零向量)．
2．空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
规定：零向量与任意向量的数量积为0．
(2)空间向量的数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R．
②a·b＝b·a(交换律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空间两向量的数量积的性质
向量的 数量积 的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
共线 同向：a·b＝|a||b|
反向：a·b＝－|a||b|
模 a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2， |a|＝，|a·b|≤|a||b|
夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝
3．向量的投影
(1)在空间，向量a向向量b投影：如图1，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a向直线l投影如图2．
(3)向量a向平面β投影：如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．
【教用·微提醒】　(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab．
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π．
[典例讲评]　【链接教材P7例2】
1．如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求：
(1)；
(2)．
[解]　(1)法一：因为ABCD-A′B′C′D′是长方体，而且AA′＝AD＝2，
所以〈〉＝∠B′BC′＝45°，
||＝AA′＝1，
||＝BC′＝＝2，
因此＝||||cos 〈〉＝2×1×＝2．
法二：由题图可以看出，在上的投影向量是，而且||＝AA′＝1，
注意到与的方向相同，所以等于的长，
即＝||＝2．
(2)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，＝＝－，
∴＝()·
＝－－＝－×22＝－2．
即＝－2．
【教材原题·P7例2】
例2　如图1.1-12，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7，∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°．求：
(1)；(2)AC′的长(精确到0.1)．
[解]　(1)＝||||cos 〈〉＝5×3×cos 60°＝7.5；
(2)||2＝()2
＝||2＋||2＋||2＋2()
＝52＋32＋72＋2(5×3×cos 60°＋5×7×cos 45°＋3×7×cos 45°)
＝98＋56，
所以AC′≈13.3．
　由向量的数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
[学以致用]　1．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AB＝2，AA1＝3且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则＝(　　)
A．4 B．0
C．－2 D．－8
D　[因为AB＝2，AA1＝3且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，
则＝(－)·()＝－＋＝22－32＋0＋2×3×＝－8．故选D．]
2．已知空间向量|a|＝，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为(　　)
A．－b B．b
C．b D．－b
D　[a在b上的投影向量为
＝＝－＝－b．
故选D．]
探究2　空间向量的数量积的应用
　求夹角
[典例讲评]　2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求cos 〈〉的值．
[解]　由已知得||＝||＝1，|CC1|＝2，
〈〉＝〈〉＝〈〉＝90°，
所以＝＝＝0．
因为＝＝＝，
所以||2＝＝()2＝＋＋＝12＋22＋12＝6，||＝，
||2＝＝()2＝＋＝12＋22＝5，||＝，
＝()·()＝－＝22－12＝3，所以cos 〈〉＝＝＝．
[母题探究]
1．本例中，若N为A1A的中点，其他条件不变，求与夹角的余弦值．
[解]　由例题知，||＝，||＝，
＝·()
＝－＝×22－12＝1，所以cos 〈〉＝＝＝．
2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值．
[解]　由已知得||＝||＝1，||＝2，
〈〉＝〈〉＝〈〉＝90°
所以＝＝＝0．
因为||2＝＝()2＝＋＝12＋22＝5，所以||＝．
因为||2＝＝()2＝＋＝12＋12＝2，
所以||＝，又因为＝()·()＝＝－1，所以cos 〈〉＝＝＝－．
所以异面直线CA1与AB夹角的余弦值为．
　利用数量积求异面直线所成角的方法步骤
(1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量．
(2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题．
(3)利用数量积求角的大小．
[学以致用]　3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝AB＝AA1＝，BC＝2AE＝2，则异面直线AE与A1C所成的角是(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C　[∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC．
∵AC＝AB＝，BC＝2，∴AB⊥AC．
又BC＝2AE＝2，
∴E为BC的中点，∴＝)．
∵AA1＝，∴A1C＝2．
∵＝)·()
＝||2＝1，∴cos 〈〉＝＝，
∴〈〉＝60°，即异面直线AE，A1C所成的角是60°．]
　求距离(模)
[典例讲评]　3．平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝3，M为A1C1，B1D1的交点，则线段BM的长为(　　)
A．3 B．
C． D．2
C　[根据题意，可得＝＝3×2×cos 60°＝3，＝0．
＝＝＝，
因为＝||2＋||2＋||2＋
＝9＋×4＋×4＋3－3－0＝11，
所以||＝＝，即线段BM的长为．故选C．]
　求两点间的距离或线段的长度的步骤
(1)将此线段用向量表示．
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量．
(3)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求距离或长度．
[学以致用]　4．已知线段AB，BD在平面α内，∠ABD＝120°，线段AC⊥α．若AB＝a，BD＝b，AC＝c，则线段CD的长为(　　)
A．
C．
A　[如图，＝．
∵线段AB，BD在平面α内，∠ABD＝120°，线段AC⊥α，AB＝a，BD＝b，AC＝c，
∴＝()2＝c2＋a2＋b2＋2ab cos 60°＝a2＋b2＋c2＋ab，∴线段CD的长||＝．故选A．]
　证明垂直
[典例讲评]　【链接教材P8例3】
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．证明：PA⊥BD．
[证明]　由题意知，DA⊥BD，则＝0．由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，则＝0．又＝，所以＝()·＝＝0，所以⊥，所以PA⊥BD．
【教材原题·P8例3】
例3　如图1.1-13，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α．
[分析]　要证明l⊥α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义)．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解决此问题．
[证明]　在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g．
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn．
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得
l·g＝xl·m＋yl·n．
因为l·m＝0，l·n＝0(为什么？)，所以l·g＝0．
所以l⊥g．
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α．
　用向量法证明垂直关系的步骤是什么？
[提示]　(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
[学以致用]　5．如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC．
[证明]　因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB．又＝·()＝＝||||·cos∠AOC－||||·cos ∠AOB＝0，所以⊥，即OA⊥BC．
【教用·备选题】　(源自北师大版教材)如图所示，已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C′CB＝∠C′CD＝∠BCD＝，DD′＝2．求：
(1)；(2)·()；(3)||．
[解]　(1)因为∠D′DA＝∠C′CB＝，
所以＝||||cos ∠D′DA＝1．
(2)因为＝，
而＝||||cos ∠C′CD＝1，
＝||||cos ∠C′CB＝1，
所以·()＝＝1－1＝0．
(3)||
＝
＝
＝．
1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，〈〉＝(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D　[连接BD，A′D(图略)，因为B′D′∥BD，△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°，由向量夹角的定义可知〈〉＝120°，即〈〉＝120°．]
2．已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos 〈a，b〉＝(　　)
A．
C．－
D　[因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)，所以|c|＝|a＋b|，所以|c|2＝|a|2＋2|a||b|cos 〈a，b〉＋|b|2，所以16＝4＋12cos 〈a，b〉＋9，所以cos 〈a，b〉＝．]
3．(教材P7例2(2)改编)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝60°，∠DAA1＝∠BAA1＝90°，则||＝(　　)
A．2 B．
C． D．1
A　[由题意，得＝，两边平方可得＝＋＋＋2＋2＋2＝3＋2||||·cos∠BAD＋2||||cos ∠BAA1＋2||·||·cos ∠DAA1＝4，所以||＝2．故选A．]
4．如图，正四面体A-BCD的棱长为1，＝，则＝________．
　[＝()·＝＝＝＝×1×1×cos 60°＋×1×1×cos 60°＝．]
1．知识链：
2．方法链：向量法、数形结合、类比．
3．警示牌：(1)当空间向量a，b的夹角θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0．
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？
[提示]　一致．
2．向量a在向量b上的投影向量为向量c，则如何求|c|？试列举出你知道的方法．
[提示]　|c|＝||a|cos 〈a，b〉|或|c|＝．
3．利用空间向量的数量积可研究哪些问题？
[提示]　可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题．
课时分层作业(三)　空间向量的数量积运算
一、选择题
1．对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．a·(b＋c)＝a·b＋a·c
C．若a·b＜0，则a，b的夹角是钝角
D．(a·b)c＝a(b·c)
B　[对于A，由a⊥b，b⊥c可能得a∥c，故A错误；
对于B，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，故B正确；
对于C，a·b＜0，则a，b的夹角是钝角或平角，故C错误；
对于D，(a·b)c表示与c共线的向量，而a(b·c)表示与a共线的向量，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等．故选B．]
2．已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则|a－b＋c|＝(　　)
A．
C．3 D．6
A　[因为空间单位向量a，b，c两两垂直，所以a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0．
所以|a－b＋c|2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，故|a－b＋c|＝．故选A．]
3．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
AB　[对于A，＝＝1×＝1，故A正确；
对于B，＝·()＝＝·()＝＋＝1，故B正确；
对于C，＝·()＝＝－1，故C错误；
对于D，＝·()＝＝0，故D错误．故选AB．]
4．(多选)已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，则以下结论中一定成立的是(　　)
A．||＝||
B．()·＝0
C．||2＝||2＋||2＋||2
D．＝＝
ACD　[由题意可知，两两垂直，所以＝＝＝0，
即()·＝0．
对于A，()2＝()2＋＋2()·＝()2＋，()2＝()2＋－2()·＝()2＋，所以()2＝()2，
即||＝||，故A正确；
对于B，()·＝()·()＝－，当＝时，－＝0，否则不成立，故B错误；
对于C，||2＝||2＋||2＋||2＋2()
＝||2＋||2＋||2＋2(0＋0＋0)＝||2＋||2＋||2，故C正确；
对于D，＝·()＝0，同理可得＝0，＝0，
所以＝＝，故D正确．故选ACD．]
二、填空题
5．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量的模长为 ________．
1　[a·b＝|a||b|cos 60°＝2×6×＝6．
2a－b在a方向上的投影向量的模长为
＝＝＝1．]
6．如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则＝________．
a2　[记＝a，＝b，＝c，
由题知|a|＝|b|＝|c|＝a，所以＝()·＝＋，
因为＝＝)＝(a－c)，＝－＝－b，
所以＝(a－c)·＝(b·c－b·a)＝＝0，
又＝a2，所以＝a2．]
7．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为 ________．
2　[由题意，知＝0，＝0，＝，
所以||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝62＋42＋82＋2×6×8cos 120°＝68，所以CD＝2．]
三、解答题
8．如图所示，在棱长均为1的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝＝＝，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用a，b，c表示；
(2)求MN的长度；
(3)求直线AA1与直线MN所成角的余弦值．
[解]　(1)由题意知＝＝＝)－)＝＝b＋c．
(2)由(1)知＝＝(b2＋4b·c＋4c2)＝＝，
所以||＝．
(3)＝c·＝b·c＋c2＝cos ＝，
因为cos 〈〉＝＝＝．
所以直线AA1与直线MN所成角的余弦值为．
9．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足＝0，＝0，＝0，则△BCD一定是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
B　[因为＝0，＝0，＝0，
所以＝()·()＝＝＞0，
所以cos ∠CBD＝＞0，故∠CBD是锐角．同理＞0，＞0，可得∠BCD，∠CDB都是锐角，故△BCD是锐角三角形．故选B．]
10．(多选)如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PC＝2，PB＝1，且∠APB＝∠CPB＝∠APC＝60°，点D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC＝2DG，则下列说法正确的是(　　)
A．PG＝ B．PG＝
C．＝－ ＝－
AC　[因为点D是AB的中点，G是CD上的一点，且GC＝2DG，
所以＝＝＝)＝＝，
由于PA＝PC＝2，PB＝1，
故||＝＝
＝
＝，故A正确，B错误；
因为＝，所以＝()·
＝＋－)
＝＝－，故C正确，D错误．故选AC．]
11．(多选)在三维空间中，定义向量的外积：a×b叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b和a×b构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示)；
②a×b的模|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉(〈a，b〉表示向量a，b的夹角)．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有(　　)
A．||＝||
B．与共线
C．＝
D．6||与正方体表面积的数值相等
ABD　[对于A，设正方体的棱长为1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，〈〉＝60°，则||＝||||·sin〈〉＝＝，
因为BD∥B1D1，且∠AD1B1＝60°，所以〈〉＝120°，
所以||＝||||sin 〈〉＝＝，
所以||＝||，故A正确；
对于B，A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1 A1C1⊥平面BB1D1D，
BD1 平面BB1D1D BD1⊥A1C1，同理BD1⊥A1D，
由右手系知，与共线，故B正确；
对于C，由a，b和a×b构成右手系知，a×b与b×a方向相反，由a×b模的定义知，
|a×b|＝|a||b|sin 〈a，b〉＝|b||a|sin 〈a，b〉＝|b×a|，
所以a×b＝－b×a，则＝－，故C错误；
对于D，设正方体棱长为1，6||＝6||·||·sin 45°＝6×1×＝6，
正方体表面积为6，故D正确．故选ABD．]
12．已知空间四面体OABC各边长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则向量与向量的夹角的余弦值为________．
－　[由已知得＝)，＝＝，
因此||＝||
＝＝，
||＝＝＝．
又因为＝)·＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以向量与向量的夹角的余弦值为＝＝－．]
13．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为．
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱长．
[解]　(1)证明：＝＝．
因为BB1⊥平面ABC，所以＝0，＝0．
又△ABC为正三角形，
所以〈〉＝π－〈〉＝π－＝．
因为＝()·()
＝＋
＝||||·cos 〈〉＋
＝－1＋1＝0，
所以⊥，即AB1⊥BC1．
(2)结合(1)知＝||||·cos 〈〉＋＝－1．
又||＝＝＝||，
所以|cos 〈〉|＝＝，
所以||＝2，即侧棱长为2．
14．如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为∠ACB的平分线，AC＝4，BC＝2，过点B作BN⊥CD于点N，延长后交CA于点E，把图形沿CD折起，使∠BNE＝120°，如图2所示，求折起后所得线段AB的长度．
[解]　如图，过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M，
则CM＝AC·cos ∠ACM＝4×cos 30°＝2，CN＝CB·cos∠BCD＝2×cos 30°＝，∴MN＝CM－CN＝．
易知AM＝AC·sin 30°＝2，BN＝BC·sin 30°＝1，且〈〉＝120°，∴〈〉＝60°．
∵⊥，∴＝0．同理＝0．
∵＝，∴＝＋＋＋2＋2＋2＝4＋3＋1＋2·||||cos 60°＝10．
∴||＝，即折起后所得线段AB的长度为．
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第一章
空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.2　空间向量的数量积运算
[学习目标]　
1．掌握空间向量的夹角的概念．(数学抽象)
2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律．(逻辑推理、数学运算)
3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．(数学抽象)
4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题．(直观想象、数学运算)
探究建构 关键能力达成
探究1　空间向量的数量积运算
问题　类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量的数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？
[提示]　空间两向量的数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．
空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量的数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
[新知生成]
1．空间向量的夹角
定义
范围 __________________
向量垂直 如果〈a，b〉＝___，那么向量a，b互相垂直，记作a__b

∠AOB
〈a，b〉
0≤〈a，b〉≤π
⊥
【教用·微提醒】　两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π．故〈a，b〉＝0或π a∥b(a，b为非零向量)．
2．空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝___________________．
规定：零向量与任意向量的数量积为__．
|a||b|cos〈a，b〉
|a||b|cos〈a，b〉
0
(2)空间向量的数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R．
②a·b＝b·a(交换律)．
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
(3)空间两向量的数量积的性质
向量的
数量积
的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b __________
共线 同向：a·b＝|a||b|
反向：a·b＝－|a||b|
模
夹角

a·b＝0
|a|2



【教用·微提醒】　(1)非零向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab．
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π．
反思领悟　由向量的数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
√
√
2．本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值．
反思领悟　利用数量积求异面直线所成角的方法步骤
(1)根据题设条件在两异面直线上取两个向量．
(2)将求异面直线所成角转化为求向量的夹角问题．
(3)利用数量积求角的大小．
√
√
√
考向3　证明垂直
[典例讲评]　【链接教材P8例3】
4．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠DAB＝60°，
AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．证明：PA⊥BD．
【教材原题·P8例3】
例3　如图1.1-13，m，n是平面α内的两条相
交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α．
[分析]　要证明l⊥α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义)．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解决此问题．
[证明]　在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g．
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn．
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得
l·g＝xl·m＋yl·n．
因为l·m＝0，l·n＝0(为什么？)，所以l·g＝0．所以l⊥g．
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α．
发现规律　用向量法证明垂直关系的步骤是什么？
[提示]　(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题．
[学以致用]　5．如图，在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC．
应用迁移 随堂评估自测
√
√
√

1．知识链：
2．方法链：向量法、数形结合、类比．
3．警示牌：(1)当空间向量a，b的夹角θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0．
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．空间向量的夹角和数量积的定义与平面向量的夹角和数量积的定义是否一致？
[提示]　一致．
2．向量a在向量b上的投影向量为向量c，则如何求|c|？试列举出你知道的方法．
3．利用空间向量的数量积可研究哪些问题？
[提示]　可以解决立体几何问题中涉及垂直、距离、夹角的一些问题．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
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一、选择题
1．对于任意空间向量a，b，c，下列说法正确的是(　　)
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．a·(b＋c)＝a·b＋a·c
C．若a·b＜0，则a，b的夹角是钝角
D．(a·b)c＝a(b·c)
课时分层作业(三)　空间向量的数量积运算
√
B　[对于A，由a⊥b，b⊥c可能得a∥c，故A错误；
对于B，a·(b＋c)＝a·b＋a·c，故B正确；
对于C，a·b＜0，则a，b的夹角是钝角或平角，故C错误；
对于D，(a·b)c表示与c共线的向量，而a(b·c)表示与a共线的向量，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等．故选B．]
题号
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二、填空题
5．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量的模长为 ________．
题号
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7．如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，
直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平
面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，
BD＝8，则CD的长为 ________．
题号
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14．如图1，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为∠ACB的平分线，AC＝4，BC＝2，过点B作BN⊥CD于点N，延长后交CA于点E，把图形沿CD折起，使∠BNE＝120°，如图2所示，求折起后所得线段AB的长度．
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