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第2课时　空间中直线、平面的平行
[学习目标]　
1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象)
2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．空间直线、平面平行的向量条件是什么？
问题2．对比平面的两种向量表示式，能写出线面平行的两种向量条件吗？
问题3．用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？
探究1　直线与直线平行
问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？反之，直线的方向向量平行，可以得到直线的什么关系？
[提示]　平行．
[新知生成]
两直线平行的判定方法
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2．
【教用·微提醒】　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
[典例讲评]　【链接教材P31练习T2】
1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求证：MN∥AP．
[证明]　法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，又M AP，故MN∥AP．
法二：由题意可得，＝＝＝)＝＝＝)＝，又M AP，所以MN∥AP．
【教材原题·P31练习T2】如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点．直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF
[解]　因为{}是空间的一个基底，且＝＝λ(λ∈R)，故与不共线．所以在直线AD上不存在点F，使得直线AE∥CF．
　向量法证明线线平行的两种思路
[学以致用]　1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS．
[证明]　法一：如图所示，建立空间直角坐标系，根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S．
则分别为直线MN，RS的方向向量，
所以＝＝，
所以＝，所以∥，因为M RS，
所以MN∥RS．
法二：设＝a，＝b，＝c，
则＝＝c－a＋b，
＝＝b－a＋c．
所以＝，所以∥．
又R MN，所以MN∥RS．
探究2　直线与平面平行
问题2如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则u与n有什么关系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
直线和平面平行的判定方法
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0．
【教用·微提醒】　(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直．
(2)特别强调直线在平面外．
[典例讲评]　【链接教材P30例3】
2．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2，AB＝1．求证：MN∥平面BDE．
[证明]　因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，1)，E(0，1，1)，M，N，P(0，0，2)，所以＝(0，1，0)，＝(1，0，－1)，设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z＝1，可得n＝(1，0，1)，又＝，所以·n＝1×＋0×1＋1×＝0，即⊥n，因为MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE．
【教材原题·P30例3】
例3　如图1.4-12，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
[分析]　根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，以及平面ACD1的法向量n等都可以用坐标表示．如果点P存在，那么就有n·＝0，由此通过向量的坐标运算可得结果．
[解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以
＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的法向量，则n·＝0，n·＝0，即所以
取z＝6，则x＝4，y＝3．所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量．
由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，－2)．设点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝＝(－3λ，4，－2λ)．
令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，此时A1P 平面ACD1，这样的点P存在．所以，当＝，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1．
　利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示．
[学以致用]　【链接教材P31练习T3】
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1．问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
[解]　因为PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为45°，则PA＝AB＝1．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图．
则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，A(0，0，0)，
从而＝(0，2，0)，＝(－1，－1，1)，＝(0，2，－1)．
假设在棱PD上存在符合题意的点E，则＝λ(0≤λ≤1)，
则＝(0，2λ，－λ)，所以＝＝(－1，2λ－1，1－λ)．
因为＝(0，2，0)是平面PAB的一个法向量．
所以由CE∥平面PAB，可得⊥，
即＝0，所以2(2λ－1)＝0，解得λ＝，即＝．
即当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB．
【教材原题·P31练习T3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面AB1，面A1C1的中心．求证：EF∥平面ACD1．
[证明]　设正方体棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，由已知，得E，F，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝．设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝1，则n＝(1，1，1)．
因为n·＝0，且EF 平面ACD1，所以EF∥平面ACD1．
探究3　平面与平面平行
问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1与n2具有什么关系？
[提示]　平行．
[新知生成]
平面和平面平行的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
【教用·微提醒】　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
[典例讲评]　【链接教材P30例2】
3．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′．
[证明]　法一：设该正方体的棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B′(1，1，1)，
D′(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，0，0)，C′(0，1，1)，于是＝(0，1，1)，＝(1，1，0)，
＝(1，1，0)，＝(0，1，1)．
设平面AB′D′的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
令y1＝1，则x1＝－1，z1＝－1，
可得n1＝(－1，1，－1)为平面AB′D′的一个法向量．
设平面BDC′的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
令y2＝1，则x2＝－1，z2＝－1，
可得n2＝(－1，1，－1)为平面BDC′的一个法向量．
所以n1＝n2，所以n1∥n2，
故平面AB′D′∥平面BDC′．
法二：由法一知＝(－1，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，1)，＝(0，1，1)，所以＝＝，即AD′∥BC′，AB′∥DC′，又AD′ 平面BDC′，AB′ 平面BDC′，所以AD′∥平面BDC′，AB′∥平面BDC′．
又AD′∩AB′＝A，且AD′ 平面AB′D′，AB′ 平面AB′D′，所以平面AB′D′∥平面BDC′．
法三：由法一得平面AB′D′的一个法向量为n1＝(－1，1，－1)．易知＝(1，1，0)，＝(0，1，1)．因为n1·＝(－1，1，－1)·(1，1，0)＝0，n1·＝(－1，1，－1)·(0，1，1)＝0，所以n1也是平面BDC′的一个法向量，所以平面AB′D′∥平面BDC′．
【教材原题·P30例2】
例2　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
已知：如图1.4-11，a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α．
求证：α∥β．
[分析]　设平面α的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v，则由已知条件可得n·u＝n·v＝0，由此可以证明n与平面β内的任意一个向量垂直，即n也是β的法向量．
[证明]　如图1.4-11，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v．
因为a∥α，b∥α，所以n·u＝0，n·v＝0．
因为a β，b β，a∩b＝P，
所以对任意点Q∈β，存在x，y∈R，使得＝xu＋yv．
从而n·＝n·(xu＋yv)＝xn·u＋yn·v＝0．
所以，向量n也是平面β的法向量．故α∥β．
　证明面面平行的方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[学以致用]　【链接教材P43习题1.4T12】
3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
[解]　如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q．
设正方体的棱长为1，则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，设Q(0，1，m)，0≤m≤1．
法一：因为＝＝(－1，－1，1)，所以∥，即OP∥BD1，
又BD1 平面D1BQ，OP 平面D1BQ，所以OP∥平面D1BQ．
＝＝(－1，0，m)，当m＝时，＝，即AP∥BQ，又BQ 平面D1BQ，AP 平面D1BQ，所以AP∥平面D1BQ，又AP∩OP＝P，且AP 平面PAO，OP 平面PAO，所以平面PAO∥平面D1BQ，即当点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．
法二：＝＝．
设平面PAO的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则有n1⊥，n1⊥，
因此
取x1＝1，则n1＝(1，1，2)为平面PAO的一个法向量．
＝(－1，－1，1)，＝(0，－1，1－m)，
设平面D1BQ的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则有n2⊥，n2⊥．
因此
取z2＝1，则n2＝(m，1－m，1)为平面D1BQ的一个法向量．
要使平面D1BQ∥平面PAO，需满足n1∥n2，
因此＝＝，解得m＝，这时Q，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．
【教材原题·P43习题1.4T12】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D1上，A1E＝A1F＝A1G＝1；点P，Q，R分别在棱CC1，CD，CB上，CP＝CQ＝CR＝1．求证：平面EFG∥平面PQR．
[证明]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)．设AB＝a，BC＝b，BB1＝c(a，b，c>1)，所以E(b，0，c－1)，F(b，1，c)，G(b－1，0，c)，P(0，a，1)，Q(0，a－1，0)，R(1，a，0)，
则＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，－1，－1)，＝(1，0，－1)．可得平面EFG的一个法向量是n1＝(1，－1，1)，平面PQR的一个法向量是n2＝(1，－1，1)．因为n1＝n2，所以平面EFG∥平面PQR．
【教用·备选题】　如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点，
求证：平面BMN∥平面PCD．
[证明]　连接BD，PM，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BM⊥AD，又PA＝PD，M为AD的中点，所以PM⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥平面ABCD，
所以以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA＝PD＝2a，CD＝b，
则B(2a，0，0)，C(b，2a，0)，D(0，2a，0)，P(0，0，2a)，M(0，0，0)，
N(0，－a，a)，
所以＝(0，－a，a)，＝(2a，0，0)，
＝(b，2a，－2a)，＝(0，2a，－2a)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面BMN的法向量，
n2＝(x2，y2，z2)是平面PCD的法向量，
则由·n1＝＝0，
得令y1＝1，则x1＝0，z1＝1，
所以n1＝(0，1，1)是平面BMN的一个法向量．
同理，由·n2＝0，·n2＝0，
得令y2＝1，可得x2＝0，z2＝1，所以n2＝(0，1，1)是平面PCD的一个法向量．
因为n1＝n2，所以平面BMN∥平面PCD．
1．(教材P33练习T1(1)改编)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　)
A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)
B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)
C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)
D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)
B　[根据题意，直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l∥α，则m·n＝0，
由此分析选项，对于A，m·n＝－3≠0，不符合题意；
对于B，m·n＝－4＋4＝0，符合题意；
对于C，m·n＝－11≠0，不符合题意；
对于D，m·n＝－3≠0，不符合题意．故选B．]
2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
C　[因为l1∥l2，且a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)分别为l1，l2的方向向量，所以＝＝，解得m＝8，n＝．故选C．]
3．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)
A．l⊥α
B．l∥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l α
D　[因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u．
所以l∥α或l α．故选D．]
4．已知平面α与平面ABC是不重合的两个平面，若平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________．
平行　[根据题意，平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则有m·＝2×2－4＝0，则m⊥，同理m·＝2－6＋4＝0，
则m⊥，故m也是平面ABC的法向量，必有平面α∥平面ABC．]
1．知识链：
2．方法链：坐标法、转化与化归．
3．警示牌：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线平行的向量表达式是什么？
[提示]　设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2．
2．直线和平面平行的向量表达式是什么？
[提示]　设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l α，则l∥α μ⊥n μ·n＝0．
3．平面和平面平行的向量表达式是什么？
[提示]　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
4．证明线面平行有哪些方法？
[提示]　(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内．
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内．
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
课时分层作业(八)　空间中直线、平面的平行
一、选择题
1．已知直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，若l∥α，则m等于(　　)
A．5 B．2
C． D．－4
A　[根据题意，因为l∥α，且直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，所以a⊥n，所以a·n＝0，则有1×2＋2×4＋(－2)×m＝0，解得m＝5．故选A．]
2．(多选)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　)
A．a＝，b＝(－2，－4，0)
B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
AB　[对于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于选项C、D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2．故选AB．]
3．已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
C　[因为α∥β，所以＝＝，所以k＝4．]
4．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
B　[如图，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝a，
所以M，N，所以＝．
又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，
所以＝(0，a，0)，
所以＝0，
所以⊥．
因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C．]
5．如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　)
A．(1，1，1) B．
C．
C　[∵M在EF上，∴不妨设ME＝x，
则M，
∵A(，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，
∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，＝．
设平面BDE的法向量为n＝(a，b，c)，
易求其中一个法向量为n＝(1，1，)，
∴有n·＝0，即x－x－＝0，
∴x＝，∴x＝1．
∴M，故选C．]
二、填空题
6．已知直线l的方向向量为(1，m，2)，平面α的一个法向量为(3，－1，1)，且l∥α，则m＝________．
5　[根据题意，设直线l的方向向量为a＝(1，m，2)，
平面α的一个法向量为b＝(3，－1，1)，
若l∥α，必有a⊥b，则有a·b＝3－m＋2＝0，解得m＝5．]
7．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________．
　[由题意知
即
解得∴a＝．]
8．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________．
－3　[根据题意，若α∥β，则有a∥b，设a＝kb，即(0，1，m)＝k(0，n，－3)，
则有变形可得mn＝－3．]
三、解答题
9．在一个正方体ABCD-A1B1C1D1木块上，已知M，N分别是CC1，B1C1的中点，试判断直线MN与平面A1BD有无交点．
[解]　直线MN与平面A1BD无交点，MN∥平面A1BD．
法一：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n．又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
法二：∵＝＝＝)＝，∴∥．
又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
法三：＝＝＝＝)－)＝，即可用与线性表示，
∴与是共面向量．
又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
10．如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD．
[证明]　(1)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝b，AD＝d，则A(0，0，0)，B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，C(b，d，0)．因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q，所以＝．
因为平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，所以·m＝0，即⊥m，因为MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD．
(2)由(1)知，＝(0，－d，0)，所以·m＝0，所以⊥m，又由(1)知⊥m，所以m也是平面QMN的一个法向量，所以平面QMN∥平面PAD．
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
问：侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．
[解]　在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD．证明如下：
因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
设侧棱PA的中点是E，
则E＝．
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则
因为＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，
所以
取x＝1，则y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)．
所以n·＝(1，1，2)·＝0，所以n⊥．
因为BE 平面PCD，
所以BE∥平面PCD．
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(八)
1．A　[根据题意，因为l∥α，且直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，所以a⊥n，所以a·n＝0，则有1×2＋2×4＋(－2)×m＝0，解得m＝5．故选A．]
2．AB　[对于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正确；对于选项C、D，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2．故选AB．]
3．C　[因为α∥β，所以，所以k＝4．]
4．B　[如图，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
因为A1M＝AN＝a，
所以M，N，
所以．
又C1(0，0，0)，D1(0，a，0)，所以＝(0，a，0)，
所以·＝0，所以⊥．
因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C．]
5．C　[∵M在EF上，∴不妨设ME＝x，则M，
∵A(，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，
∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，．设平面BDE的法向量为n＝(a，b，c)，
易求其中一个法向量为n＝(1，1，)，
∴有n·＝0，即＝0，
∴，∴x＝1．
∴M，故选C．]
6．5　[根据题意，设直线l的方向向量为a＝(1，m，2)，
平面α的一个法向量为b＝(3，－1，1)，
若l∥α，必有a⊥b，则有a·b＝3－m＋2＝0，解得m＝5．]
7．　[由题意知
即
解得∴a＝．]
8．－3　[根据题意，若α∥β，则有a∥b，设a＝kb，即(0，1，m)＝k(0，n，－3)，则有变形可得mn＝－3．]
9．解：直线MN与平面A1BD无交点，MN∥平面A1BD．
法一：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n．又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
法二：∵()＝，∴∥．
又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
法三：()－()＝，即线性表示，∴是共面向量．
又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．
10．证明：(1)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝b，AD＝d，则A(0，0，0)，B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d)，C(b，d，0)．因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q，所以．
因为平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，所以·m＝0，即⊥m，因为MN 平面PAD，所以MN∥平面PAD．
(2)由(1)知，＝(0，－d，0)，所以·m＝0，所以⊥m，又由(1)知⊥m，所以m也是平面QMN的一个法向量，所以平面QMN∥平面PAD．
11．解：在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD．证明如下：
因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
设侧棱PA的中点是E，则E．
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则
因为＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以
取x＝1，则y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)．
所以n·＝(1，1，2)·＝0，所以n⊥．
因为BE 平面PCD，所以BE∥平面PCD．
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD．
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第一章
空间向量与立体几何
第2课时　空间中直线、平面的平行
1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
[学习目标]　
1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象)
2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．空间直线、平面平行的向量条件是什么？
问题2．对比平面的两种向量表示式，能写出线面平行的两种向量条件吗？
问题3．用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　直线与直线平行
问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？反之，直线的方向向量平行，可以得到直线的什么关系？
[提示]　平行．
[新知生成]
两直线平行的判定方法
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 _______ λ∈R，使得____________．
u1∥u2
u1＝λu2
【教用·微提醒】　利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．
【教材原题·P31练习T2】如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点．直线AD上是否存在点F，使得AE∥CF
反思领悟　向量法证明线线平行的两种思路
[学以致用]　1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS．
探究2　直线与平面平行
问题2如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则u与n有什么关系？
[提示]　垂直．
[新知生成]
直线和平面平行的判定方法
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α ________ __________．
u⊥n
u·n＝0
【教用·微提醒】　(1)证明线面平行的关键是看直线的方向向量与平面的法向量是否垂直．
(2)特别强调直线在平面外．
[典例讲评]　【链接教材P30例3】
2．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2，AB＝1．求证：MN∥平面BDE．
【教材原题·P30例3】
例3　如图1.4-12，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2．线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1
反思领悟　利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示．
【教材原题·P31练习T3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是面AB1，面A1C1的中心．求证：EF∥平面ACD1．
探究3　平面与平面平行
问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1与n2具有什么关系？
[提示]　平行．
[新知生成]
平面和平面平行的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β _________ λ∈R，使得_________．
【教用·微提醒】　证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
n1∥n2
n1＝λn2
[典例讲评]　【链接教材P30例2】
3．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′．
【教材原题·P30例2】
例2　证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
已知：如图1.4-11，a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α．
求证：α∥β．
[分析]　设平面α的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v，则由已知条件可得n·u＝n·v＝0，由此可以证明n与平面β内的任意一个向量垂直，即n也是β的法向量．
反思领悟　证明面面平行的方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[学以致用]　【链接教材P43习题1.4T12】
3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
【教材原题·P43习题1.4T12】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D1上，A1E＝A1F＝A1G＝1；点P，Q，R分别在棱CC1，CD，CB上，CP＝CQ＝CR＝1．求证：平面EFG∥平面PQR．
【教用·备选题】　如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点，

求证：平面BMN∥平面PCD．
[证明]　连接BD，PM，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BM⊥AD，又PA＝PD，M为AD的中点，所以PM⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥平面ABCD，
所以以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P33练习T1(1)改编)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　)
A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)
B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)
C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)
D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)
√
B　[根据题意，直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l∥α，则m·n＝0，
由此分析选项，对于A，m·n＝－3≠0，不符合题意；
对于B，m·n＝－4＋4＝0，符合题意；
对于C，m·n＝－11≠0，不符合题意；
对于D，m·n＝－3≠0，不符合题意．故选B．]
√
3．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l α
√
D　[因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u．
所以l∥α或l α．故选D．]
平行
1．知识链：



2．方法链：坐标法、转化与化归．
3．警示牌：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两直线平行的向量表达式是什么？
[提示]　设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得μ1＝λμ2．
2．直线和平面平行的向量表达式是什么？
[提示]　设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，且l α，则l∥α μ⊥n μ·n＝0．
3．平面和平面平行的向量表达式是什么？
[提示]　设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
4．证明线面平行有哪些方法？
[提示]　(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内．
(2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面且直线不在平面内．
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
课时分层作业(八)　空间中直线、平面的平行
√
A　[根据题意，因为l∥α，且直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，所以a⊥n，所以a·n＝0，则有1×2＋2×4＋(－2)×m＝0，解得m＝5．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
3．已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
√
√
题号
2
1
3
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5
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11
题号
2
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√
题号
2
1
3
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11
题号
2
1
3
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8
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9
10
11
二、填空题
6．已知直线l的方向向量为(1，m，2)，平面α的一个法向量为(3，
－1，1)，且l∥α，则m＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
5　[根据题意，设直线l的方向向量为a＝(1，m，2)，
平面α的一个法向量为b＝(3，－1，1)，
若l∥α，必有a⊥b，则有a·b＝3－m＋2＝0，解得m＝5．]
5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11

8．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
－3
三、解答题
9．在一个正方体ABCD-A1B1C1D1木块上，已知M，N分别是CC1，B1C1的中点，试判断直线MN与平面A1BD有无交点．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
题号
2
1
3
4
5
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11
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
10．如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
题号
2
1
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题号
2
1
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11
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
[解]　在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD．证明如下：
因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
题号
2
1
3
4
5
6
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11
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11第2课时　空间中直线、平面的平行
[学习目标]　
1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．(数学抽象)
2．能用向量方法判断或证明线线、线面、面面间的平行关系．(逻辑推理、数学运算)
探究1　直线与直线平行
问题1　由直线与直线的平行关系，可以得到直线的方向向量具有什么关系？反之，直线的方向向量平行，可以得到直线的什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
两直线平行的判定方法
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 ______________ λ∈R，使得______________．
[典例讲评]　【链接教材P31练习T2】
1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2．求证：MN∥AP．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　向量法证明线线平行的两种思路
[学以致用]　1．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　直线与平面平行
问题2如图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，则u与n有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
直线和平面平行的判定方法
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α ______________ ______________．
[典例讲评]　【链接教材P30例3】
2．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2，AB＝1．求证：MN∥平面BDE．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用空间向量证明线面平行的三种方法
(1)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
(3)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示．
[学以致用]　【链接教材P31练习T3】
2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1．问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　平面与平面平行
问题3　如图，平面α与β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1与n2具有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
平面和平面平行的判定方法
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β ______________ λ∈R，使得______________．
[典例讲评]　【链接教材P30例2】
3．如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　证明面面平行的方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
[学以致用]　【链接教材P43习题1.4T12】
3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(教材P33练习T1(1)改编)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是(　　)
A．m＝(3，－1，0)，n＝(－1，0，2)
B．m＝(－2，1，4)，n＝(2，0，1)
C．m＝(2，9，7)，n＝(－2，0，－1)
D．m＝(1，－2，3)，n＝(0，3，1)
2．已知向量a＝(3，6，7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28
C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝
3．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的一个法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)
A．l⊥α
B．l∥α
C．l与α相交但不垂直
D．l∥α或l α
4．已知平面α与平面ABC是不重合的两个平面，若平面α的一个法向量为m＝(2，－1，4)，且＝(2，0，－1)，＝(1，6，1)，则平面α与平面ABC的位置关系是________．
1．知识链：
2．方法链：坐标法、转化与化归．
3．警示牌：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的条件．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(八)　空间中直线、平面的平行
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共82分
一、选择题
1．已知直线l的方向向量为a＝(1，2，－2)，平面α的一个法向量为n＝(2，4，m)，若l∥α，则m等于(　　)
A．5 B．2
C． D．－4
2．(多选)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是(　　)
A．a＝，b＝(－2，－4，0)
B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
3．已知平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
4．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
5．如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(　　)
A．(1，1，1) B．
C．
二、填空题
6．已知直线l的方向向量为(1，m，2)，平面α的一个法向量为(3，－1，1)，且l∥α，则m＝________．
7．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________．
8．已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________．
三、解答题
9．在一个正方体ABCD-A1B1C1D1木块上，已知M，N分别是CC1，B1C1的中点，试判断直线MN与平面A1BD有无交点．
10．如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证：
(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD．
11．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
问：侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．
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