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八年级（下）数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断
3.一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数是（ ）
A.12 B.10 C.9 D.8
4.△ABC的三条边是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
5.用配方法解方程，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6.某班抽取5名同学进行体育达标测试，成绩如下：59，57，58，56，60.下列关于这组数据的描述错误的是（ ）
A.方差是2 B.平均数是58 C.中位数是58 D.众数是58
7.某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为x，则可列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB交AB于点H，连接OH，若OA＝5，OH＝3，则菱形ABCD的面积为（ ）
A.15 B.20 C.30 D.60
9.若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E是BC边上的一动点，连接DE、AE，过点D作DF⊥AE交BC于点G，垂足为点F，若且ED平分∠AEC，则BC的长为（ ）
A.4 B.5 C. D.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12.若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 .
13.如图①是一种彭罗斯瓷砖的图案，它是由两种不同的菱形非周期性拼接而成（不重叠、无缝隙），图②是其中一部分抽象出的几何图形，图中的 °.
14.如图，矩形ABCD中，AB＝4，对折矩形ABCD，使得AD与BC重合，折痕为EF；展平后再沿BM折叠，使得点A落在EF上的点N处；再次展平，连接BN，MN，并延长MN交BC于点G.
（1）△BMG是 三角形；
（2）若点P、H分别为线段BM、BN上的动点，则的最小值是 .
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.计算：
16.解方程：
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.如图，5×5的网格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点上.
（1）求点C到边AB的距离；
（2）借助网格，利用无刻度直尺画出边AB上的中线CD（保留作图痕迹）.
18.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，.
（1）求a的取值范围；
（2）若，求a的值.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.阅读下面的材料，解决下面的问题.
；
；
；
……
（1）填空： （填最后的化简结果）；
（2）根据你所发现的规律计算：
.
20.如图，中，对角线AC、BD交于点O，点E是AC上一点，延长BE至点F，使得EF＝BE，且交CD于点G，连接DF.
（1）求证：DF∥AC；
（2）若BF垂直平分CD，DF＝4，∠BAC＝30°，求AD的长.
六、（本题满分12分）
21.某学校为加强学生的防溺水安全意识，组织了全校2000名学生参加防溺水安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的统计表和频数分布直方图，解答下列问题：
分数段 频数 频率
50.5～60.5 16 8%
0.5～70.5 40 20%
70.5～80.5 50 25%
80.5～90.5 m 35%
90.5～100.5 24 n%
频数分布直方图
（1）这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为防溺水安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校约有多少名学生需要进一步加强安全教育？
七、（本题满分12分）
22.2025池州马拉松将于11月16日在池州市平天湖莲花台广场鸣枪开跑。本次赛事按照中国田径协会A1类和世界田联精英标牌赛事标准打造，延续“相聚池马、逐梦未来”主题。在某电商平台了解到：“池马”吉祥物绿宝玩偶的进货价为每件50元，根据去年的经验：赛事期间销售价定为每件90元，平均每天可售出500件。今年该平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利。经市场调查发现：如果每件降价1元，那么平均每天就可多售出50件，设每件降价x元.
（1）预计今年平均每天将卖出（ ）件，每件盈利（ ）元（用含x的代数式表示并化到最简）；
（2）每件售价应定为多少元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利32000元，可能吗？请通过计算说明.
八、（本题满分14分）
23.已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF.
（1）若点E为CD的中点，AE⊥DF于点O.
①如图，求证：BF＝CF；
②如图，连接OC，求的值；
（2）如图，若，DE＝BF，则的最小值为 （直接写出结果）.
八（下）数学参考答案及评分标准
2025.6
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A B D C C A B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.x≥3 12.4 13.36 14.（1）等边 （2）
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.解：原式
16.解：
∴，
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.解：
（1）过点C作CE⊥AB交AB于点E
由勾股定理知：，，
∵
∴
∴△ABC是直角三角形且∠ACB＝90°
∴
∴
∴
∴点C到边AB的距离为.
（2）如图，CD即为所求作的中线.（答案不唯一，合理即可）
18.解：
（1）由题意知：
解得：；
（2）由韦达定理知：
原方程可化为：
即：
解得：，
由（1）知：
∴a的值为.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.解：
（1）；
（2）原式
.
20.解：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD
又∵EF＝BE
∴OE是△BDF的中位线
∴OE∥DF
∴DF∥AC；（答案不唯一，合理即可）
（2）由（1）知：DF∥AC
∴∠FDG＝∠ECG，∠F＝∠CEG
又∵BF垂直平分CD
∴∠FDG＝90°，CG＝DG
∴△FDG≌△ECG（AAS）
∴CE＝DF＝4，FG＝EG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD＝BC
∴∠ACD＝∠BAC＝30°
∴在Rt△CEG中，，
∴FG＝EG＝2
∴
∴
在Rt△BCG中
∴
∴AD的长为.
六、（本题满分12分）
21.解：
（1）200，70，12；
（2）如图；
（3）
答：该校约有560名学生需要进一步加强安全教育.
七、（本题满分12分）
22.解：
（1），；
（2）由题意知：
整理得：
解得：，
∵要使顾客得到较多的实惠
∴x取20
∴
答：售价应定为70元，平均每天盈利30000元，同时又能使顾客得到较多的实惠.
（3）平均每天不可能盈利32000元，理由如下：
若平均每天盈利32000元，即：
整理得：
∴方程无解故平均每天不可能盈利32000元.（答案不唯一，合理即可）
八、（本题满分14分）
23.解：
（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠C＝90°
∴
又∵AE⊥DF
∴
∴∠DAE＝∠CDF
∴△ADE≌△DCF（ASA）
∴DE＝CF
∵E为DC的中点
∴
∴BF＝CF
②如图，过点C作CM⊥DF于点M
则∠AOD＝∠DMC，CM∥AE
由①知：∠DAO＝∠CDM，AD＝DC
∴△ADO≌△DCM（AAS）
∴DO＝CM，AO＝DM
∵点E为CD的中点，CM∥AE
∴点O为DM的中点
∴DO＝OM＝CM
∴在Rt△COM中
又∵AO＝DM＝2OM
（2）5（如图，当点A、F、D′在一条直线上取最小值）
（注：以上各题只要解答步骤正确可参照赋分）

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