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2024学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
初二数学试卷
（时间90分钟 满分100分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1. 一次函数y=－3x－1的图象不经过（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 下列事件中，是确定事件的是( )
A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上
B. 直线与直线有公共点
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯
D. 射击运动员射击一次，命中9环
3. 下列方程中，有实数根是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列命题中，是假命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 下列命题中，不正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直平行四边形是菱形
B. 对角线相等的平行四边形是矩形；
C. 对角线相等的矩形是正方形
D. 对角线相等的菱形是正方形．
6. 台风影响着人们的生产和生活．从函数角度研究地面风速随着离台风中心距离（即台风半径）变化而变化的规律，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中画出了如图所示的函数图像，并在图中标注了该台风的12级、10级和7级风圈半径．例如当离台风中心的距离约为时，地面风速衰减至，此时为12级风圈半径．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（ ）
A. 越靠近台风中心位置，风速越大
B. 距台风中心处，风速达到最大值
C. 10级风圈半径约为
D. 在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7. 方程根是______．
8. 方程的解是_____．
9. 用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为______．
10. 已知直线（）经过点，那么不等式的解集是______．
11. 如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为______．
12. 在矩形中，对角线、交于点，已知，，那么的长是______．
13. 如图，在中，是边的中点，，，用向量、表示向量为______．
14. 如图，在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，如果，那么______．
15. 晚上在清洗三只除颜色外完全相同的有盖茶杯时，忽然停电，爸爸摸黑将三个杯盖随机盖在三个茶杯上，运用枚举法可以求出三只茶杯和杯盖搭配完全正确的概率为______．
16. 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．良工高士素好奇，算出索长有几？（1步尺）
这段话的意思是：秋千静止时，踏板离地面1尺高；将秋千的踏板向前推动2步10尺时，踏板就和推秋千的人一样高，同为5尺．小明根据上述信息画出了如图所示的示意图，则可求秋千的绳索长为_____尺．
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，轴于点．以为边作菱形，若点在轴上，则点的坐标为______．
18. 如图，已知矩形中，，，是射线上一点，将矩形沿着直线翻折，点的对应点恰好和点、在一条直线上，则的长为______．
三、（本大题共7题，第19-20题每题7分；第21题8分；第22题9分；第23题10分；第24题11分；第25题12分；满分64分）
19. 解方程：．
20. 解方程组：．
21. 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）像这样规格的饭碗整齐地叠放在桌面上时，求一摞饭碗的高度与饭碗数（个）之间的函数解析式；
（2）把图中这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
（3）如果一摞饭碗的高度超过时容易发生侧翻，请问一摞最多能放多少个碗？
22. 已知：如图，四边形中，，．
（1）求证：四边形是等腰梯形；
（2）当时，求的度数．
23. 在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点．
（1）当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式；
（2）当四边形是正方形时，求点的坐标．
24. 已知，如图，正方形的边长为6，点为射线上一个动点，连接，以点为圆心，为半径画弧与直线交于点，连接，且规定．
（1）如图1，当点在边上时，求证：；
（2）如图2，当点在边的延长线上时，求解下列问题：
①设的长为，的长为，试求关于的函数解析式及的取值范围；
②当时，求的长．
25. 综合与探究
新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
请运用研究特殊四边形的经验，对“邻等对补四边形”进行探究．
（1）概念理解：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有______（填序号）．
（2）性质探究：
小明从特殊到一般，围绕邻等对补四边形对角线展开研究，首先根据图1②中的特殊情况得到一个结论：
若邻等对补四边形中，两组邻边均相等，则必有一条对角线平分一组对角；
于是他画出了如图2的更一般的邻等对补四边形，并从对角线的维度得到了以下猜想：
若邻等对补四边形中，仅有一组邻边相等，则必有一条对角线平分一个内角；
请根据图2，改写命题，写出已知条件和求证，并进行证明．
（3）综合应用：
如图3，在中，，．分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形．
若，请画出所有符合条件的图形，并直接写出或用含的代数式表示．
2024学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
初二数学试卷
（时间90分钟 满分100分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】##900度
【12题答案】
【答案】2
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】6
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】或
【18题答案】
【答案】1或9
三、（本大题共7题，第19-20题每题7分；第21题8分；第22题9分；第23题10分；第24题11分；第25题12分；满分64分）
【19题答案】
【答案】
【20题答案】
【答案】，，，
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）13个
【22题答案】
【答案】（1）见解析 （2）
【23题答案】
【答案】（1）点的坐标为，直线：
（2）
【24题答案】
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【25题答案】
【答案】（1）②④ （2）见解析
（3）或或

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