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北京市第六十五中学2024-2025学年度第二学期期中达标测试题
高二数学试卷
考试时间 120分钟 满分 150分
本部分共10题，每题4分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项，并填涂在答题卡相应位置。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各1张，从中任选2张，则一共可以组成不同的币值种数是
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
3．甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为
A． B． C． D．
4．在的展开式中，含项的系数为
A． B．40 C． D．80
5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.
下列叙述中正确的是
A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
D．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
6．设函数，则“”是“没有极值点”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为
A．6 B．24 C．36 D．120
8．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
9. 某款游戏推出新一期的开胶囊活动，玩家打开一枚胶囊会随机掉落皮肤、武器或技能，其掉落的概率分别为50%，30%，20%.小明对可能从胶囊中掉落的5%的皮肤、40%的武器和80%的技能感兴趣.若小明随机打开一枚胶囊，则他能收获自己感兴趣的游戏物品的概率是
A．0.295 B．0.305 C．0.405 D．1
10．数学家高斯在21岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这个结论被称作代数学基本定理；同样是21岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.
过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的1次近似值；
过点作曲线的切线，设切点为的切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.
当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系.
给出以下结论:
①切线的方程为；
②；
③若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算的2次近似值为.
其中所有正确结论的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸相应的位置上）
11．计算：____
12．某省中学生足球赛预选赛每组有7支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为_____
13．已知，则当时的导数值=______.
14．一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则(1)在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为 ；(2)两次取出的都是红球的概率为 ．
15．已知函数，则下面四个结论中：
①函数在上单调递减；
②当或时，有一个零点；
③函数存在最小值；
④当时，恒成立.
其中所有正确的结论序号为 ．
三、解答题（共6小题，共85分，把必要的解题过程书写在答题纸相应位置）
16．（本题13分）已知集合，．
(1)当时，求及；
(2)若，求实数的取值范围．
17．（本题15分）已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值；
(3)若对恒成立，直接写出实数的取值范围．
18．（本题14分）一个不透明的袋子中，放有大小相同的7个小球，其中4个黑球，3个白球.求下列问题：
(1)从袋中随机不放回地取出3个球，求其中恰好有两个黑球的概率；
(2)从袋中有放回地依次随机取球，每次取一个球，共取三次，求恰有两次取得黑球的概率.
19．（本题13分）已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
20．（本题15分）不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
款 40人 80人 60人 20人
款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率；
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小（结论不要求证明）.
21．（本题15分）已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值.高二期中数学 参考答案
一、选择题（每小题4分，共40分，把答案涂在答题纸相应位置）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2．壹元、伍元、拾元、贰拾元人民币各1张，从中任选2张，则一共可以组成不同的币值种数是（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
【答案】A
3．甲、乙两人各抛掷一枚骰子，则两人抛出的点数之和为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B．40 C． D．80
【答案】D
5．建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示.
下列叙述中正确的是（ ）
A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0
B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率
C．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
D．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率
【答案】C
6．设函数，则“”是“没有极值点”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
7．春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶、小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ）
A．6 B．24 C．36 D．120
【答案】C
8．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9. 某款游戏推出新一期的开胶囊活动，玩家打开一枚胶囊会随机掉落皮肤、武器或技能，其掉落的概率分别为50%，30%，20%.小明对可能从胶囊中掉落的5%的皮肤、40%的武器和80%的技能感兴趣.若小明随机打开一枚胶囊，则他能收获自己感兴趣的游戏物品的概率是( )
A．0.295 B．0.305 C．0.405 D．1
答案：B
10．数学家高斯在21岁时，证明了“任何复系数代数方程一定有根”，这个结论被称作代数学基本定理；同样是21岁的时候，法国数学家伽罗瓦证明了“五次及五次以上多项式方程没有求根公式”.但随着科学技术的发展，很多领域需要求解高次方程，比如行星轨道的计算等等.为此，数学家们想了很多办法，我们学过的“二分法”就是其中之一.牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速的给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.

过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的1次近似值；
过点作曲线的切线，设切点为的切线方程为，当时，称与轴交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.
当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系.
给出以下结论:
①切线的方程为；
②；
③若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算的2次近似值为.
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
二、填空题（每小题5分，共25分，把答案填写在答题纸相应的位置）
11．计算：____________
【答案】9
12．某省中学生足球赛预选赛每组有7支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组进行的比赛场数为__________
【答案】42
13．已知，则当时的导数值=____________.
答案：
14．一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.则(1)在第一次取出的球是红球的条件下，第2次取出红球的概率为 ；(2)两次取出的都是红球的概率为 ．
【答案】
15．已知函数，则下面四个结论中：
①函数在上单调递减；
②当或时，有一个零点；
③函数存在最小值；
④当时，恒成立.
其中所有正确的结论序号为 ．
【答案】①③④
三、解答题（共6小题，共85分，把必要的解题过程书写在答题纸相应位置）
16．已知集合，．
(1)当时，求及；
(2)若，求实数的取值范围．
【详解】（1）由，即
所以
当时，由，即.
所以.
（2）因为，
若，则，由得：；
若，则，成立；
若，则，由得：.
综上，实数的取值范围是：.
17．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间的最大值与最小值；
(3)若对恒成立，直接写出实数的取值范围．
【详解】（1）因为，则，
令，可得或，列表如下：
增 极大值28 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为，
（2）由（1）可知，函数在区间上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，
（3）因为对恒成立，则，
因此，实数的取值范围是.
18．一个不透明的袋子中，放有大小相同的7个小球，其中4个黑球，3个白球.求下列问题：
(1)从袋中随机不放回地取出3个球，求其中恰好有两个黑球的概率；
(2)从袋中有放回地依次随机取球，每次取一个球，共取三次，求恰有两次取得黑球的概率.
【详解】（1）从袋中随机不放回地取出3个球，其中恰好有两个黑球的概率为；
（2）从袋中每次取一个球，其为黑球的概率为，
则随机有放回地依次取球，每次取一个球，共取三次，
恰有两次取得黑球的概率为 ；
19．已知二项式的展开式中，各项二项式系数之和为64.
(1)求的值；
(2)求展开式中所有项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
【详解】（1）由题意可得解得
（2）取，故展开式中所有项的系数和，
（3）由于，故展开式中二项式系数最大为，故二项式系数最大的项为
．
20．不同AI大模型各有千秋，适配领域也各有所长.为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同AI大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
甲学院 乙学院
使用 不使用 使用 不使用
款 40人 80人 60人 20人
款 70人 50人 30人 50人
假设所有学生对，两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计该校甲学院学生使用款大模型的概率、该校乙学院学生使用款大模型的概率；
(2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望；
(3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小（结论不要求证明）.
【详解】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为，
该校乙学院学生使用款大模型的概率为
（2）由题意可知的可能取值为：，
则，
，
，
，
所以；
（3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为,
该校乙学院学生使用款大模型的概率为，
易知，
由二项分布的方差公式可知，
，则.
21．已知函数，.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若和有相同的最小值，求的值.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，，
所以切点为，切线的斜率为1
所以，曲线在点处的切线方程，即．
（2）函数的定义域为，
所以，，
所以，当时，在上恒成立，函数在上单调递增，
当时，时，，单调递减；时，，单调递增，
综上，当时，增区间为，无减区间；
当时， 减区间为，增区间为.
（3）由（2）知，当时，在上单调递减，在单调递增.
所以，
因为，得，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，，
因为和有相同的最小值，
所以，即，
令，，
令，，
所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
所以，在上单调递增，
因为，
所以，等价于
即的值为.

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