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3.7 二元一次方程组的应用
二元一次方程组是一种重要的数学模型. 我们可以利用二元一次方程组解决一些实际问题.
复习导入
问题 列方程解决实际问题的一般步骤是什么？
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数，
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程．
验：检验方程的解是否符合题意．
答：写出答案 (包括单位)．
合作探究
小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走40m，平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，则他从家里到学校需15min，从学校到家里需10min. 试问：小华家离学校多远
40m/min
60m/min
60m/min
80m/min
15min
10min
分析：小华到学校的路分成两段，一段为上坡路， 一段为平路.(回家所走的下坡路长即为去学校的上坡路长)
根据图示，你能找到其中得等量关系吗？
本问题中的等量关系：
走上坡路的时间+走平路的时间=15min
走平路的时间+走下坡路的时间=10min
走上坡路的时间+走平路的时间=15min
走平路的时间+走下坡路的时间=10min
解：设小华家到学校的上坡路长 x m，平路长 y m，
由题意得：
解得 ∴x+y=400+300=700(m)
答：小华家离学校700m.
直接设元法
还有其他方法吗？
方法二：
间接设元法
上学上坡的路程=放学下坡的路程
上学走平路的路程=放学走平路的路程
解：设小华上坡所花时间 为x min，下坡所花时间为 y min，
由题意得：
解得
∴平路距离：60×5=300（m) 坡路距离：40×10=400（m)
300+400=700(m)
答：小华家离学校700m.
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1) 审题：弄清题意和题目中的_________；
(2) 设元：用___________表示题目中的未知数；
(3) 列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4) 解方程组：利用__________法或___________解
出未知数的值；
(5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，
然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
方法总结
例1 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价 15%，乙商品提价 10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了 5%.求甲、乙两种商品原来的单价.
典例精析
本问题涉及的等量关系为：
甲商品原单价十乙商品原单价 = 100元，
调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1-5%)元.
x
y
x - 15%x = (1-15%)x
x + 10%x = (1+10%)x
解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元.
根据题意，得
答：甲、乙商品原来的单价分别为 60 元，40 元.
x＋y＝100，
(1－15%)x＋(1＋10%)y＝100×(1－5%).
解得
x＝60，
y＝40.
例2 一批机器零件共 840 个，如果甲先做 4 天，乙加入合 做，那么再做 8 天才能完成；如果乙先做 4 天，甲加入合做，那么再做 9 天才能完成，问：两人每天各做多少个零件
(1)甲4天的工作量＋甲乙合做8天的工作量＝工作总量；
(2)乙4天的工作量＋甲、乙合做9天的工作量＝工作总量.
等量关系：
解：设甲每天做 x 个机器零件，乙每天做 y 个机器零件．
根据题意，得
解得
答：甲每天做 50 个机器零件，乙每天做 30 个机器零件．
【应对策略】工程问题：
工程总量 = 工作效率×工作时间
工程总量 = 部分工作量之和
例3 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂， 分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车数 / 辆 2 5
乙种货车数 / 辆 3 6
累计运货量 / t 26 56
该果园第三次打算继续租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果. 如果每吨运费为 30 元，果园三次总共应付运费多少元
解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨，
解得
x = 4，
y = 6.
2x + 3y = 26，
5x + 6y = 56.
本问题涉及的等量关系为：
2 辆甲种货车运货量＋3 辆乙种货车运货量 = 26 t，
5 辆甲种货车运货量＋6 辆乙种货车运货量 = 56 t.
于是，第三次运输了： 3×4 + 5×6 = 42 ( t ).
因而合计运输了： 26 + 56 + 42 = 124 ( t ).
因此，三次总共应付运费： 124× 30 = 3 720 (元).
答：该果园三次总共应付运费 3 720 元.
方法总结
用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路，并与同学交流.
实际问题
列出二元一次方程组
解方程组
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合， 它就是实际问题的解
分析题意
找出两个
等量关系
练一练
1. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
产品类型 所需人数 生产总量
螺钉 x
螺母 y
1200x
2000y
生产螺钉人数 + 生产螺母人数 = 车间总人数
螺钉总产量 + 螺母总产量 = 螺母螺钉总产量
1. 基本数量关系：配套数量比例；
2. 生产中常见的配套问题：螺钉和螺母、盒身与盒底、桌面与桌腿、衣身与衣袖等.
总结
解：设生产螺钉的 x 人，生产螺母的 y 人.
答：设生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人.
依题意，可列方程组
解方程组，得
2.甲、乙二人相距 8 千米，二人同时出发，同向而行，甲 2.5 小时可追上乙；相向而行，1 小时相遇，二人的平均速度各是多少
(1) 甲 1 小时走的路程 + 乙 1 小时走的路程 = 8 千米；
(2) 甲 2.5 小时走的路程 = 8 千米+乙 2.5 小时走的路程.
等量关系：
解得
解：设甲的平均速度是 x 千米/小时，乙的平均速度是 y 千米/小时. 根据题意，得
答：二人平均速度分别是 5.6 千米/小时，2.4 千米/小时．
水流问题：
【应对策略】行程问题：路程 = 速度×时间
顺流船速 = 静水船速 + 水流速度
逆流船速 = 静水船速 - 水流速度
相遇问题：甲的路程 + 乙的路程 = 总路程
追及问题：追及时间×速度差 = 路程差
课堂小结
应用
二元一次方程组的应用
和差倍分、行程、工程、配套等...
解题步骤
审题：弄清题意和题目中的________
数量关系
设元：用____表示题目中的未知数
字母
列方程组：根据__个等量关系列出方程组
2
解方程组：______________
代入法、加减法
检验作答
课堂练习
1. 某星期日，七年级与八年级分别有 20，30 人去颐和园参观，有 30，15 人去圆明园参观.七年级买门票花去 450 元，八年级买门票花去 525 元. 试问：颐和园和圆明园的门票各多少元？
解：设颐和园门票为 x 元，圆明园门票为 y 元，
根据等量关系得
解这个方程组得
答：颐和园门票为 15 元，圆明园门票为 5 元.
2.已知某电脑公司有 A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其价格分别为 A 型每台 6000 元，B 型每台 4000 元，C 型每台 2500 元，我市东坡中学计划将 100500 元钱全部用于该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共 36 台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.
①A+B 型:
分析：
设 A 型台，B 型 y 台，C 型 z 台.
② A+C 型:
③ B+C 型:
2.已知某电脑公司有 A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其价格分别为 A 型每台 6000 元，B 型每台 4000 元，C 型每台 2500 元，我市东坡中学计划将 100500 元钱全部用于该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共 36 台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.
答：可供选择的方案有2种，
方案①：A型3台，C型33台；
方案②：B型7台，C型29台.
下 课
Thanks!
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