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南京市2025届高三年级第二次模拟考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 7．C 8．D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．BD 10．ABD 11．ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(3，0) 13． 14．216
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO．
因为底面ABCD为菱形，所以O为BD的中点．
又因为PB∥平面ACE，PB平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝EO，
所以PB∥EO，
所以E为PD的中点.
（2）方法1
取BC中点F，连结AF．
在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，所以∠ABC＝60°，则△ABC为正三角形，
所以AF⊥BC，AF⊥AD．
又因为PA⊥平面ABCD，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．
设AP=t(t＞0)， 则C(，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，t)，E(0，1，)，
则＝(，1，0)， ＝(0，1，)，
＝(0，0，t)，
则平面AED的一个法向量为m＝(1，0，0)．
设平面ACE的一个法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令y＝3，得n＝(－，3，－)．
因为二面角C－AE－D的余弦值为，
所以| cos＜m，n＞|＝＝＝，解得t＝1，
所以PA＝1．
方法2
取AD中点H，连结CH．
在平面AED内，过H作HF⊥AE，垂足为F，连接CF．
因为底面ABCD为菱形，∠ADC＝60°，所以ΔACD为正三角形．
又因为H为AD的中点，所以CH⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，CH平面ABCD，
所以PA⊥CH．
又因为PA，AD平面PAD，PA∩AD＝A，
所以CH⊥平面PAD，
因为AE平面PAD，所以CH⊥AE．
又因为HF⊥AE，CH，HF平面CHF，CH∩HF＝H，
所以AE⊥平面CHF．
因为CF平面CHF，所以AE⊥CF，
所以∠CFH为二面角C－AE－D的平面角.
由cos∠CFH＝，得tan∠CFH＝，即＝，
因为CH＝，得FH＝，
因为sin∠FAH＝＝＝sin∠ADE＝，
所以PA＝1．
16．（本小题满分15分）
解：（1）在△ABC中， ＝＝．
由＝，得＝，
即b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝＝．
因为A∈(0，π)，所以A＝．
（2）方法1
由＝2，得AD＝c．
因为BC＝CD，所以∠CDB＝∠B．
在△ABC中，＝．①
在△ACD中，＝，即＝．②
①÷②，得sin(B＋)＝3sin(B－)，
即sinB＋cosB＝sinB－cosB，即2cosB＝sinB．
因为2cosB＝sinB＞0，sin2B＋cos2B＝1，
所以cosB＝．
方法2
由＝2，得AD＝c．
在△ACD中，CD2＝b2＋－2b·cos＝b2＋－．①
在△ABC中，BC2＝b2＋c2－2bccos＝b2＋c2－bc．②
因为BC＝CD，所以b2＋－＝b2＋c2－bc，即b＝．
将b＝代入②，得a＝c．
在△ABC中，cosB＝＝．
方法3
取BD中点E，由＝2，得AE＝2BE．
因为BC＝CD，所以CE⊥BD，
则tanB＝，tanA＝，
所以tanB＝2tanA＝2，所以＝2．
因为tanB＞0，sin2B＋cos2B＝1，
所以cosB＝．
17．(本小题满分15分)
解：（1）当a＝－1时，f(x)＝x2＋2lnx＋1，
则f'(x)＝2x＋，所以f'(1)＝4．
又f(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为y＝4(x－1)＋2，
即y＝4x－2，
联立方程可得x2＋2lnx－4x＋3＝0．
令g(x)＝x2＋2lnx－4x＋3，x＞0，则g'(x)＝2x＋－4≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又因为g(1)＝0，所以g(x)＝0有且仅有1解，
所以直线l与曲线y＝f(x)公共点个数为1．
（2）x1，x2∈[1，e]，|f(x1)－f(x2)|＜e2＋1恒成立，
等价于f(x)max－f(x)min＜e2＋1．
由f(x)＝x2－2alnx＋1，得 f'(x)＝2x－＝，a＞0，x＞0，
当x∈(0，)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(0，)上单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(，＋∞)上单调递增．
①当≤1，即0＜a≤1时，f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(e)＝e2－2a＋1，
此时e2－2a＋1－2＝e2－2a－1＜e2＋1，所以0＜a≤1满足条件．
②当≥e，即a≥e2时，f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(e)＝e2－2a＋1，
此时2－e2＋2a－1＝2a－e2＋1≥e2＋1，不合题意．
③当1＜＜e，即1＜a＜e2时，f(x)在(1，)上单调递减，在(，e)上单调递增，
所以f(x)min＝f()＝a－alna＋1，f(x)max＝max{ f(1)，f(e)}，
所以2－(a－alna＋1)＜e2＋1，且(e2－2a＋1)－(a－alna＋1)＜e2＋1，
即alna－a－e2＜0，且alna－3a－1＜0，
令m(a)＝alna－a－e2，当1＜a＜e2时，m'(a)＝lna＞0，
所以m(a)在(1，e2)上单调递增，所以m(a)＜m(e2)＝0，
令t(a)＝alna－3a－1，当1＜a＜e2时，t'(a)＝lna－2＜0，
所以t(a)在(1，e2)上单调递减，所以t(a)＜t(1)＝－4＜0，
所以当1＜a＜e2时，满足题意．
综上，a的取值范围为0＜a＜e2．
18．（本小题满分17分）
解：（1）由AB＝2，PA＋PB＝4＞2＝AB，
所以点P在以A，B为焦点，4为长轴长的椭圆上．
设焦距为2c，长轴长为2a，则c＝1，a＝2，得b2＝3，
所以C的方程为＋＝1.
（2）①由Q(－4，0)，直线l的斜率存在且不为0．
设直线l的方程为x＝my－4，
E(x1，y1)，F(x2，y2)，x1＜0，
联立得(3m2＋4)y2－24my＋36＝0，
则△＞0，y1＋y2＝，y1y2＝
所以my1y2＝(y1＋y2)．
又A(－1，0)，所以k1＝，k2＝，
所以＝＝＝
＝＝＝－1．
②方法1
由①知＝－1，所以k1＋k2＝0．
作E关于x轴的对称点E'(x1，－y1)，则F，A，E'三点共线．
又A(－1，0)，B(1，0)，设M(x0，y0).
则直线AF方程即为直线AE'方程x＝y－1.
又直线BE方程为x＝y＋1，
作差，得y0＝－，
所以x0＝·(－)－1＝，
所以x1＝，y1＝－．
由x1＜0，得x0＜0．
又因为＋＝1，所以＋＝1，
即x02－＝，即－＝1 (x0＜0) ，
所以点M在以A，B为焦点，1为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，
所以MA－MB＝－1．
方法2
由①知，E(x1，y1)，F(x2，y2)，A(－1，0)，B(1，0)，设M(x0，y0)．
则直线AF方程为x＝y－1，
直线BE方程为x＝y＋1.
作差，得
y0＝＝＝．
所以x0＝·－1＝·－1＝，
又由①知，my1y2＝(y1＋y2)，所以x0＝．
则M(，)，所以y1＝－，
再由my1y2＝(y1＋y2)，得y2＝＝，
所以x0＝＝＝，即x1＝．
由x1＜0，得x0＜0．
又因为＋＝1，所以＋＝1，
即x02－＝，即－＝1 (x0＜0) ，
所以点M在以A，B为焦点，1为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，
所以MA－MB＝－1．
19．（本小题满分17分）
解：（1）由X~BM(2，2)，得
方法1
P(X＝2)＝C()1()1＋C()2＝，
方法2
P(X＝2)＝P(X≤2)－P(X≤1)＝＝．
（2）由X~BM(4，m)，X＝1，2，3，4，
得P(X＝k)＝P(X≤k)－P(X≤k－1)＝，k＝1，2，3，4．
则E(X)＝[1m＋2(2m－1m)＋3(3m－2m)＋4(4m－3m)]
＝[4×4m－(1m＋2m＋3m)]
＝4－[()m＋()m＋()m]．
令E(X)≥，得()m＋()m＋()m≤4－＝．
又f(m)＝()m＋()m＋()m在m∈N*上单调递减，
且f(1)＝＞，f(2)＝＞，f(3)＝≤，
故m的最小值为3．
（3）由X~BM(n，n)，X＝1，2，…，n (n≥2)，得
P(X＝k)＝P(X≤k)－P(X≤k－1)＝，k＝1，2，…，n，
所以E(X)＝kP(X＝k)＝{1×1n＋2(2n－1n)＋3(3n－2n)＋…＋n[nn－(n－1)n]}
＝{nn＋1－[1n＋2 n＋…＋(n－1)n]}
＝n－[()n＋()n＋…＋()n]．
方法1
先证x∈R，ex≥x＋1．
设g(x)＝ex－x－1，x∈R，则g'(x)＝ex－1．令g'(x)＝0，得x＝0，列表如下：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
g'(x) － 0 ＋
g(x) ↘ 极小值 ↗
所以g(x)≥g(0)＝0，
故x∈R，ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”．
令x＝－(n∈N*，k＝1，2，…，n－1)，则0＜1－＜e，
故(1－)n＜(e)n＝e－k (k＝1，2，…，n－1)，
即()n＜e－k (k＝1，2，…，n－1)．
所以()n＋()n＋…＋()n＜e－(n－1)＋e－(n－2)＋…＋e－2＋e－1
＝[1－()n－1]＝[1－()n－1]＜，
所以－[()n＋()n＋…＋()n]＞－,
所以E(X)＞n－＞n－1，故n≥2且n∈N*，E(X)＞n－1．
方法2
要证n≥2且n∈N*，E(X)＞n－1，即证()n＋()n＋…＋()n＜1，
即证1n＋2n＋…＋(n－1)n＜nn．
①当n＝2时，左边＝1＜4＝右边，成立；
②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时命题成立，即1k＋2k＋…＋(k－1)k＜kk．
则当n＝k＋1时，1k＋1＋2k＋1＋…＋kk＋1＝1×1k＋2×2k＋…＋k×kk
＜k(1k＋2k＋…＋kk)＜k(kk＋kk)＝2·kk＋1，
只要证2kk＋1＜(k＋1)k＋1，即证2＜(1＋)k＋1，k≥2且k∈N*．
因为(1＋)k＋1＝C()r＝1＋＋C()r＞2＋＞2，
所以k≥2且k∈N*，2＜(1＋)k＋1．
故当n＝k＋1时，1k＋1＋2k＋1＋…＋kk＋1＜(k＋1)k＋1，命题也成立．
综合①②，n≥2且n∈N*，1n＋2n＋…＋(n－1)n＜nn，
故E(X)＞n－1得证．南京市2025届高三年级第二次模拟考试
数 学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3，4}， B＝{3，4}，则A∩B＝
A．{1} B．{3，4} C．{1，2，3，4} D．
2．已知＝2＋i，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则||＝
A． B．2 C．2 D．8
3．设α是平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
C．若m∥α，m∥n，则n∥α
D．若m，n与α所成的角相等，则m∥n
4．把函数y＝cos x图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝
A．cos (2x－) B．cos (2x－) C．cos (x－) D．cos (x－)
5．(－)6的展开式中，常数项为
A．60 B．－60 C．160 D．－160
6．已知a＝log23，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
7．在四边形ABCD中，AB∥DC，A＝90°，AB＝AD＝2CD＝2，E是线段AD中点，F是线段BE上的动点，则·的最小值为
A．－ B．－ C．－ D．－
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点M，N在C的右支上，且＝3，点N关于原点O的对称点为P．若PF⊥MN，则C的离心率为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与水稻每公顷产量y(单位：t)的关系，所得数据资料如下表：
耕种深度x/cm 8 10 12 14 16
每公顷产量y/t 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5
经计算可知每公顷产量y与耕种深度x的线性回归方程为＝0.435x＋，则下列说法中正确的是
A．每公顷产量与耕种深度呈负相关
B．耕种深度的平均数为12
C．每公顷产量的平均数为7.8
D．＝2.78
10．已知数列{an}中，a3＝，an－a＝－3aan，n∈N*，其前n项和为Sn，则
A．a1＝ B．an＝ C．an≥a7 D．S10＜0
11．已知定义在R上的函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x＋2k)＝(k＋1)f(x)(k∈Z)，且f(x)＝
x|x－a|，a＞0，则下列说法正确的是
A．f(2)＝0
B．若a＝2，则f(－99)＝－50
C．若a＝1，则g(x)＝f(x)－(x＋1)在[－6，6]上恰有5个零点
D．若k∈N*，f(x)在区间[2k－2，2k]有最大值，则4－4≤a＜4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若圆心在x轴上的圆C与直线l：x－y＋1＝0相切于点A(1，2)，则圆心C的坐标为．
13．所有棱长均为2的正三棱柱ABC－A1B1C1，它的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为．
14．英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同．该猜想于1976年由阿佩尔和哈肯借助计算机完成证明．如图，一个地区分为6个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每个区域涂1种颜色，相邻区域不同色．现有红、黄、蓝、绿4种颜色可供选择，则不同的涂色方法有种．（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在线段PD上，PB∥平面AEC．
（1）证明：E为PD的中点；
（2）若AB＝2，二面角C－AE－D的余弦值为，求PA的长．
16．（本小题满分15分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝．
（1）求A；
（2）若＝2，BC＝CD，求cosB．
17．(本小题满分15分)
已知函数f(x)＝x2－2alnx＋1，a∈R．
（1）当a＝－1时，设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线为l，求l与曲线y＝f(x)的公共点个数；
（2）当a＞0时，若x1，x2∈[1，e]，|f(x1)－f(x2)|＜e2＋1恒成立，求实数a的取值范围．
18．(本小题满分17分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，0)，B(1，0)，Q(－4，0)，动点P满足PA＋PB＝4，记点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为k1，k2．
①求证：为定值；
②设直线AF，BE相交于点M，求证：MA－MB为定值．
19．(本小题满分17分)
不透明的口袋中装有编号分别为1，2，…，n(n≥2，n∈N*)的n个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回地任取r次，每次取1个球，记取出的r个球的最大编号为随机变量X，则称X服从参数为n，r的“BM”分布，记为X～BM(n，r)．
（1）若X～BM(2，2)，求P(X＝2)；
（2）若X～BM(4，m)，且E(X)≥，求m的最小值；
（3）若X～BM(n，n)，求证：n≥2且n∈N*，E(X)＞n－1．

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