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期末必考题检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
一、单选题
1．如图所示的4组图形中，成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
2．若、、是正整数，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不是
5．如图，四边形是平行四边形，点E在的延长线上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如果分式中的字母都扩大为原来的2倍，那么分式的值等于（ ）
A．原来的4倍 B．原来的2倍
C．原来的 D．原来的
9．如图，将（其中）绕着直角顶点C逆时针方向旋转至，点B恰好落在上，若，，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．11 D．12
10．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共个，购买资金不超过元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球元，每个排球元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图，在中，是边上的中线，作，交的延长线于点E．已知，那么 ．
13．如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么 ．
14．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，则的长为 ．
15．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为 ．
16．如图所示，的周长为，将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，如图所示．下列结论：①且；②且；③和的周长和为；④；⑤若，，则边扫过的图形的面积为，正确的是 ．（填序号）
三、解答题
17．因式分解：
(1)；
(2)．
18．解不等式组并写出该不等式组的最小整数解．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标体系．已知三角形的顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，顶点C的坐标为．
(1)把三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请你画出
(2)请直接写出点的坐标；
(3)求三角形的面积．
21．如图，已知，，，．请完成下面的作图和填空．
(1)尺规作图：作的角平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
(2)在第（1）问的条件下，试说明．请将下列解题过程补充完整．
解：（已知）
（①_______）
（已知）
②_______（等量代换）
平分（已知）
③_______（角平分线的定义）
在中，，④_______（已知）
（⑤_______）
（等量代换）
（⑥_______）
22．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，直线与轴相交于点，与直线相交于点．
(1)填空：
①线段的长度为 ；
②方程组的解为 ；
(2)结合图形直接写出的解集；
(3)求的面积．
23．孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元．
(1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？
(2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值．
24．对于实数x，y，定义新运算：当时，；当时，，其中a，b是常数，且，等式右边是通常的加法和乘法运算．
(1)若，求的值；
(2)已知，且，求a，b的值；
(3)在（2）问的条件下，若关于p的不等式组恰有2个整数解，求m的取值范围．
25．如图，已知，，．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合．
《期末必考题检测卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C C C C A D B C
1．D
【分析】本题主要考查了成轴对称图形和成中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念，并加以区分．
利用成轴对称图形和成中心对称图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A.选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意；
B. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意；
C. 选项图形是成中心对称图形，不是成轴对称图形，故不符合题意；
D. 选项图形是成轴对称图形，故符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】此题考查了因式分解的应用，构造二元一次方程组求解，解题的关键是将原等式因式分解．
首先得出，然后将左边因式分解为，然后根据题意得到，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
∵、、是正整数，
∴
∴得，．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了不等式的解集在数轴上表示的方法，根据数轴实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右，小于向左，求解即可．
【详解】解：可知解集在数轴上表示为：
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得出两种情况：当时，方程无解；当时，方程的解为，根据分式方程的分母为得出，此时分式方程无解；分别求出的值即可．
【详解】解：，
方程两边同乘，得
整理，得，
当时，方程无解，此时；
当时，方程的解为，
关于的分式方程无解，
，即，
，
解得；
综上，的值为或，
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，
根据平行四边形的性质得，再根据平行线的性质求出，进而求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查一元一次不等式组解集的求法，已知不等式解集反过来求m的范围．
先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，由题意不等式的解集为，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出m的范围．
【详解】解：
由①得，，
由②得，，
根据已知条件，不等式组解集是，
根据“同大取大”原则．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质和判定等知识，根据旋转的性质得出，结合已知条件及利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转至，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式组的实际应用，解题关键是理解不超过为小于等于，不少于为大于等于．
设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可．
【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个，
由购买资金不超过元，可得，
由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可得，
则可列不等式组为．
故选：．
11．
【分析】本题考查了用提公因式法因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．直接提公因式即可分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．6
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据线段的和差求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴，
∵在中，是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
13．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，则可求出，进而得到，即．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点O是各边垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为；．
14．1.75
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，连接，由勾股定理求得，推导出，设，则，，由勾股定理得，进一步解答即可得解，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题．
【详解】解：在中，，，，的垂直平分线分别交，于点D，E，连接，
∴的垂直平分线为，
∴，
在中，，，，
由勾股定理得：，
设，则，，
在直角三角形由ABD中，由勾股定理：，
解得，
∴，
故答案为：1.75．
15．
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集．
【详解】解：把代入，得：，解得：，
∴直线与直线交于点，
当时，则．
故答案为：．
16．①②③④
【分析】本题主要考查了平移的性质：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行（或共线）且相等，熟练掌握平移的性质是解题关键．利用平移的性质即可判断结论①②正确；根据三角形的周长公式可得，根据平移的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可判断结论③正确；利用平移可得，再根据，即可判断结论④正确；根据边扫过的图形的面积为，由此即可判断结论⑤错误．
【详解】解：∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，
∴且；且；，则结论①②正确；
∵的周长为，
∴，
∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置，
∴，，
∴和的周长和为
，则结论③正确；
∵，，，
∴，则结论④正确；
由平移的性质得：，
∴，
∵，，
∴边扫过的图形的面积为
，则结论⑤错误；
综上，正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键．
（1）提公因式计算即可；
（2）先利用完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．原不等式组的解集是，最小整数解是0
【分析】先分别解不等式，再写出解集，根据解集写出最小整数解即可．
本题考查解不等式组，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是．
∴原不等式组的最小整数解是0．
19．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把除法变成乘法后约分化简，再通分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，．
20．(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题考查了平移的性质和平移作图，正确得出平移后的对应点的坐标是解题的关键；
（1）先根据平移的性质画出平移后点A、B、C的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据画出的图形写出坐标即可；
（3）利用割补法即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如图：，，；
（3）解：三角形的面积．
21．(1)见解析
(2)等边对等角；；；；三线合一；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图；
（2）根据等腰三角形的性质得到平分，根据平分，得到，即可证明平行．
【详解】（1）解：如图，射线即为所作：
（2）解：（已知）
（等边对等角）
（已知）
（等量代换）
平分（已知）
（角平分线的定义）
在中，，（已知）
（三线合一）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：等边对等角；；；；三线合一；内错角相等，两直线平行．
22．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①解方程得到，，得，根据勾股定理得，代入数据计算即可；
②根据一次函数与二元一次方程组的关系即可得到结论；
（2）根据图形可知，两函数图象的交点，再结合图形可得结论；
（3）利用三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：①在中，
当时，；当时，，
∴，，
∴，
∴，
∴线段的长度为，
故答案为：；
②∵直线与直线交于点，
∴方程组的解为，
故答案为：；
（2）∵直线与直线交于点，直线与轴交于点，
当时，直线的图象在直线的下方且在轴的上方，
∴的解集为；
（3）∵，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象解不等式，三角形的面积等知识点，掌握一次函数的图象与性质，利用图象解不等式及求三角形的面积是解题的关键．
23．(1)康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元
(2)m的值为5
【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程或方程组．
（1）设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，根据“购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程组，即可解得答案；
（2）根据“节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍”可列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，
由题意，得：，
解得：，
答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元．
（2）解：依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
答：m的值为5．
24．(1)11；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，理解题意是解题的关键．
（1）根据新定义运算即可求出答案；
（2）根据新定义运算列出方程组即可求出与的值；
（3）根据不等式组的解法以及新定义运算即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：由（2）知：，
∵，
∴，
∴，
解得：
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴恰好有2个整数解为，
∴．
25．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路径问题，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）证明即可；
（）由，则，又，然后根据等腰三角形的性质即可求解；
（） 延长交于点，由（）知，，，则，则，此时的值最小，再由点是直线上的动点，可得当的值最小时，点与点重合．
【详解】（1）证明: ∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）证明： 延长交于点，

由（）知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，此时的值最小，
∵点是直线上的动点，
∴当的值最小时，点与点重合．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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