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期末必考题检测卷-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）
一、单选题
1．下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ）
A．⊥ B．∠ C．△ D．
2．若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若关于的不等式组无解，则所有满足条件的非负整数的值之和是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
5．下列命题是假命题的是（ ）
A．等角的补角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等 D．对顶角相等
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在线段上取点，分别以，为边在的同侧作两个正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．下列乘法公式运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．有以下两个结论，结论Ⅰ：若m的值为3，则y的值为4；结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值一定为2．下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ，Ⅱ都对 B．Ⅰ对，Ⅱ不对 C．Ⅰ不对，Ⅱ对 D．Ⅰ，Ⅱ都不对
10．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若，则，则 ．
12．若，则 ．
13．关于的方程组有无数组解，则 ．
14．甲乙两个杯子中分别装有不同浓度的200克和300克的盐水．第一次将甲杯中的一半盐水倒入乙杯，混合均匀后再将此时乙杯的一半倒回甲杯．此时甲乙两个杯子中的盐水浓度分别为和，则原来甲杯中的盐水浓度为 ．
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ．
16．如图，是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，点C恰好落在上，，则的度数是 ．
17．西营城中心学校计划为广场上的雕塑美化绿化，打算将一块长为米，宽为米的长方形地块按照图中的要求，中间保留边长为米的正方形放置雕塑，将如图四周阴影部分进行绿化，则绿化的面积是 平方米．
18．已知关于x，y的方程组小华正确地解得小玲看错了t得到的解为，则的值为 ．
三、解答题
19．解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
20．解不等式组：，并求其整数解的和．
21．在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值．
22．某学校为丰富图书馆藏书，提高学生的阅读兴趣，计划购买一批新书．经过调研，学校决定购买科普类和文学类两种书籍．已知购买5本科普类书籍和3本文学类书籍共需270元，购买7本科普类书籍和5本文学类书籍共需410元．
(1)求科普类和文学类书籍的单价各是多少元？
(2)若学校计划购买这两种书籍共100本，在预算不超过3600元的前提下，学校至少要购买多少本科普类书籍？
23．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒．
(1)的长为 个单位长度，x的值为 ；
(2)当时，求点M表示的数；
(3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长；
(4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值．
24．观察下列两位数相乘的运算规律：
，
，
，
……
设其中一个两位数的十位上的数字为，另一个两位数的十位上的数字为（均为小于10的正整数）．
(1)请用含的等式表示上述运算规律：______；
(2)请证明上述运算规律．
25．数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
26．定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”．
(1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由；
(2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为．
①试说明，，满足的数量关系；
②设，试说明：；
(3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值．
《期末必考题检测卷-2024-2025学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B D C C C D C C
1．D
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，一个平面图形，绕一点旋转后能与原图形重合，这个图形即为中心对称图形．进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2．D
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．
根据不等式的基本性质，对选项进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴选项、、不符合题意，
∵，
∴，
∴，
∴选项符合题意，
故选：．
3．B
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含两个未知数；②每个方程均为一次整式方程；据此逐一分析各方程组即可；
【详解】解：方程组①含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，故不属于二元一次方程组；
方程组②含两个未知数x、y，且均为一次方程，属于二元一次方程组；
方程组③含两个未知数x、y，且均为一次方程，属于二元一次方程组；
方程组④中第一个方程含二次项，不符合“一次”条件，故不属于二元一次方程组；
综上，符合条件的为②和③，共2个；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，确定a的范围是解题的关键．分别解不等式，从而得到a的范围，进一步得到整数a的取值，计算整数a的值之和即可．
【详解】，
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∵不等式组无解，
∴，
又∵a为整数，
∴非负整数的值之和为．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查命题真假的判断．涉及常见的几何命题的真假判断，注意平行线的性质．
对各个命题一一判断即可．
【详解】解：A．等角的补角相等，是真命题．
B．两直线平行，内错角相等，是真命题．
C．两直线平行，同位角相等．这是平行线的性质，没有两直线平行的前提，同位角相等，是假命题．
D．对顶角相等，是真命题．
故选C．
6．C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了整式的乘法与图形的面积，根据阴影部分面积等于两个正方形的面积加上1个三角形的面积，减去空白三角形的面积，即可求解．
【详解】解：阴影部分面积等于
故选：C．
8．D
【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，利用乘法公式计算即可得到答案．
【详解】解：A、，本选项错误；
B、，本选项错误，
C、，本选项错误；
D、，本选项正确；
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意当时，，则可得方程组，解方程组即可判断结论Ⅰ；根据题意可得，则，即可判断结论Ⅱ．
【详解】解：当时，，
∴，
解得，故结论Ⅰ错误；
由题意得，，
∴，
∴，故结论Ⅱ正确，
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为，
由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，
所以．
故选：C．
11．5
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】∵，，
∴，
∴．
故答案为：5．
12．
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，用了整体代入思想，即把当作一个整体来代入．
先算乘法，再合并同类项，最后整体代入求出即可．
【详解】解：∵
∴
．
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，得，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：，
得：，
方程组有无数组解，
，，
解得：，，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确表示出浓度．
设原来甲杯中的盐水浓度为为，乙杯中的盐水浓度为为，首先表示出第一次倒液后，甲杯和乙杯剩余盐量，然后表示出第二次倒液后，甲杯和乙杯的浓度，然后联立方程组求解即可．
【详解】设原来甲杯中的盐水浓度为为，乙杯中的盐水浓度为为，
第一次倒液后，甲杯剩余盐量为x克，乙杯盐量为克
第二次倒液后，甲杯盐量为克，浓度为，
整理得，
乙杯盐量为克，浓度为，
整理得，
联立①②，解得．
∴原来甲杯中的盐水浓度为．
故答案为：．
15．
【分析】根据的解是，可得，对于新方程，令，，解得：，再代入，，则问题得解．
本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．
【详解】∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴，
对于，
令，，
则，
解得：，
∴，，
∴．
故答案为：．
16．/20度
【分析】本题考查了旋转变换的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
由旋转的性质可得，进一步即可求得结果．
【详解】解：∵是绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了阴影部分的面积，多项式乘多项式，完全平方公式，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积．
根据图形可得阴影部分的面积等于长方形面积与正方形面积之差，列出代数式进行化简即可．
【详解】解：绿化面积为
（平方米）．
故答案为：．
18．
【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解；将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可．
本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法是解题的关键．
【详解】解：将和分别代入方程，
得到关于m和n的二元一次方程组，
解得；
将代入，
得到关于t的一元一次方程，
解得，
故答案为：
19．(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）将原方程组整理后利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：
，得：，
解得：，
代入，得：
，
故原方程的解为：；
（2）解：
去分母整理得：，
得：，
解得：，
代入，得：
，
故原方程的解为：．
20．；6
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再从解集中选择整数解求和即可．
【详解】解：解不等式①，得；
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
则整数解有0，1，2，3，
所以整数解的和是．
21．
【分析】本题考查二元一次方程组错解复原问题，熟练掌握解二元一次方程的方法和步骤是解题关键．将解代入没有抄错的方程，得到关于的二元一次方程组，再进行求解即可．
【详解】解：将代入方程，将代入方程，
可得，解得．
22．(1)科普类书籍的单价为30元，文学类书籍的单价为40元
(2)学校至少要购买40本科普类书籍
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设科普类书籍的单价为x元，文学类书籍的单价为y元，根据购买5本科普类书籍和3本文学类书籍共需270元，购买7本科普类书籍和5本文学类书籍共需410元建立方程组求解即可；
（2）设学校购买m本科普类书籍，则购买本文学类书籍，根据预算不超过3600元建立不等式求解即可．
【详解】（1）解：设科普类书籍的单价为x元，文学类书籍的单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：科普类书籍的单价为30元，文学类书籍的单价为40元；
（2）解：设学校购买m本科普类书籍，则购买本文学类书籍，
由题意得，，
解得，
∴m的最小值为40，
答：学校至少要购买40本科普类书籍．
23．(1)8，6
(2)点M表示的数是
(3)机器人M变成彩色的总时长为8秒
(4)t的值为4或10.4或8或20或
【分析】此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论．
（1）本问考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值．
（2）本问根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题；
（3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长；
（4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值；
【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，，
∴，
∵ 是的中点，
∴，
∴表示的数分别为，即的值为，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴点只能在点的右边，位置如图所示：
∴，即，整理得，解得，
∴点表示的数为；
（3）解：由（）可知，从运动到需秒，
∴，，
∴，
当追上时，
，
解得，
当追上之前，
∵，
∴
解得，
∴，
当追上之后，
，
∵，
∴
解得，
∴，
综上可知，，
（秒）
∴机器人变成彩色的总时长为秒；
（4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点，此时点与点重合，即，
当机器人过点时，即，
解得或，
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人到达点时，即，
当机器人超过机器人时，，
解得或（舍去），
当时，即点到点和点到点距离相等时，
当机器人未到达点时，即，
当机器人与机器人相遇时，即，
解得或，
综上可知，的值为或或或或．
24．(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题干的信息，得，即可作答．
（2）先运用多项式乘多项式法则展开等式左边，合并同类项，则等式的左边等于等式的右边，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
，
，
……
设其中一个两位数的十位上的数字为，另一个两位数的十位上的数字为
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，
故等式的左边等于等式的右边，
即，
∴此等式成立．
25．(1)
(2)16
(3)见解析
【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键．
（1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案；
（2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案；
（3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
26．(1)不是，见解析
(2)①；②见解析
(3)，
【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程．
（1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解；
（2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可；
（3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可．
【详解】（1）不是
它们不是“和谐多项式群”．
（2）①
，，为“和谐多项式群”
②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为
（3）①当时
，
，（舍）
②当时
，
解得
．
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