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灌云县第一中学高二年级下学期阶段考试
数学试卷
一．选择题（8小题，每小题5分，共计40分）
1．的展开式中含项的系数为（ ）
A．20 B．40 C．120 D．80（ ）
2．如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
3．的值为（ ）
A．64 B．63 C．62 D．61
4．八音是中国古代对乐器的统称，包含“金、石、土、革、丝、木、匏páo、竹”八类，每类又包括若干种乐器．现有“土、丝、竹”三类乐器，其中“土”包括“缶fǒu、埙xūn”2种乐器：“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器：“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器．现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲、乙、丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（ ）
A．144种 B．72种 C．44种 D．48种
5．今天是星期四，小美在参加数学考试，那么再过天后是星期（ ）
A．一 B．二 C．三 D．日
6．四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．2
7．灌云县第一中学高二动漫社团中有6名优秀学员、、、、、和他们的指导老师共7人站成一排合影留念，则指导老师和同学站在两端，、相邻，、不相邻的排法种数为（ ）
A．56 B．72 C．36 D．48
8．曲线与曲线在处的切线平行，则的增区间为（ ）
A．B． C． D．
二．多选题（3小题，每小题6分，共计18分）
9．已知双曲线过点和，则下列说法正确的是（ ）
A．实轴长为2 B．焦距为4
C．渐近线方程为 D．离心率为
10．下列给出的命题正确的是（ ）
A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底．
B．点为平面上的一点，且，则．
C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则或．
D．两个不重合的平面，的法向量分别是，则．
11．定义“圆排列”：从个不同元素中选个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为．圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以．现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（ ）
A．共有种排法
B．若两名女生相邻，则有种排法
C．若男生甲位置固定，则有种排法
D．若两名女生不相邻，共有种排法
三．填空题（3小题，每小题5分，共计15分）
12．将两个2，两个3，一个4排成一行，则不同的排法种数为___________．（用数字作答）
13．如图，在长方体中，，，为底面的中心，则点到直线的距离为___________．
14．的展开式中的系数为56，则的值为___________．
四．解答题（5小题，15题13分，16、17题，每题15分，18、19题，每题17分，共计77）
15．设.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值；
16．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与面所成角的正弦值．
17．已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，且展开式中第二项系数为20．
（1）求实数的值；
（2）求展开式中的所有的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项．
18．在四棱柱中，已知平面，，，，，是线段上的点．
（1）点到平面的距离；
（2）若为的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点位置；若不存在，试说明理由．
19．已知数列的前项和为，且满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数，使得，，（）成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．
2025年04月03日灌云县第一中学阶段检测周练试卷的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B A A C B A
二.多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABC CD ABD
一.选择题（共8小题）
1．【解答】解：由题意，的展开式中含的项为.
故选：D.
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.
2．【解答】解：
故选：D.
【点评】本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决.
3．【分析】利用组合数公式进行求解即可.
【解答】解：，
，
故选：B.
【点评】本题主要考查组合数公式的应用，比较基础.
4．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①“土”包括“缶(fǒu)、埙(xūn)“2种乐器，在其中选出1种有2种选法，
“丝”包括“琴、瑟、筝、琵琶”4种乐器，在其中选出1种有4种选法，
“竹”，包括“箫、笛、笋”3种乐器，在其中选出1种有3种选法，
测在三类乐器中各选1种乐器，有种选法；
②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，有种情况，
则有种不同的分配方法；
故选：A.
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.
5．【解答】
所以，，
故选：A.
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到求解个位数问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.
6．【分析】将原问题进行等价转化，然后结合空间向量的结论计算四棱锥的高即可.
【解答】解：原问题等价于求解点到平面的距离，
设平面的法向量，
则，据此可得：，
且，
结合点面距离公式可得四棱锥的高.
故选：C.
【点评】本题主要考查点面距离的计算，空间向量的应用等知识，属于基础题.
7．【分析】根据题意，分2步进行分析：①主教练和站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间5人分2种情况讨论：若相邻且与相邻，若相邻且不与相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①主教练和站在两端，有种情况，
②中间5人分2种情况讨论：
若相邻且与相邻，有种安排方法，
若相邻且不与相邻，有种安排方法，
则中间5人有安排方法，则有种不同的安排方法.
故选：B.
【点评】本题考查了排列组合的应用，属于基础题.
8．【分析】由题意，根据两曲线的切线平行，列出方程求出的值，令曲线的导数小于0，进而可得的减区间.
【解答】解：易知，，因为曲线与曲线在处的切线平行，所以，即，解得，此时，令解得，，则的减区间为，.
故选：A.
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题.
二.多选题（共3小题）
9．【解答】
解：因为双曲线过点和，
则，则，
对于A、实轴长为故A正确；
对于B、焦距为，故B正确；
对于C、渐近线方程为，故C正确；
对于D、离心率为，故D错误.
【答案】ABC
10．【分析】根据题意，由空间向量基本定理分析、，由平面法向量的定义分析、，综合可得答案.
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若为空间的一组基底，则向量、、不共线，
而，则、、共面，不能作为空间向量的基底，A错误；
对于B，点为平面上的一点，且，由空间向量基本定理的推论，则有，变形可得，B正确；
对于C，由于，则，则有或，C正确；
对于D，由于，则，必有，D正确.
故选：BCD.
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及空间向量基本定理，属于基础题.
11．【分析】根据题意，由“圆排列”的计算公式分析A，由捆绑法分析B，由插空法分析C，由分步计数原理分析D，综合可得答案.
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，6名同学围坐成一圈，由“圆排列”的计算公式，有种排法，A正确；
对于B，若两名女生相邻，将两名女生看成一个整体，与4名男生一起围坐成一圈，有种排法，B正确；
对于C，若男生甲位置固定，先将剩下5人围成一圈，再安排甲即可，有种排法，C错误；
对于D，先将4名男生围坐成一圈，排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排两名女生，有种排法，D正确.
故选：ABD.
【点评】本题考查排列组合的应用，注意“圆排列”的定义，属于基础题，
三.填空题（共3小题）
12．【分析】先给两个2找两个位置，再给两个3找两个位置，最后剩的一个位置排4即可.
【解答】解：由题意将两个2，两个3，一个4排成一行，可分两步进行；
第一步选2个空给两个1有种选法，第二步选剩下的3个空给两个3有种选法，最后剩一个空排4即可，根据分步乘法计数原理有种排法，
故答案为：30.
【点评】本题考查了分步乘法计数原理，排列组合的运用，是中档题.
13．【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到直线的距离.
【解答】解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以点到直线的距离为.
故答案为：.
【点评】本题考查向量法的应用，属于中档题.
14．【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解.
【解答】解：由于的展开式中的系数为56，
因为的二项展开式为，，
令，可得；令，可得；
可得，
所以，解得：3.故答案为：3.
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题.
四.解答题（共5小题）
15．【解答】解：（1）令，则①；
（2），则
，则②；
得，③
（3）得，④
④-③化简
【点评】本题考查了二项式定理问题，重点考查二项式展开式项系数之间关系，属中档题.
16．【分析】（1）先分别求出平面与平面的空间向量，要证平面平面，转化为证，结合向量数量积的性质即可证明；
（2）结合线面角公式及空间向量的数量积的性质即可求解.
【解答】解：（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，
即，令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
同理可得，，
因为，所以，
所以平面平面.
（2）由（1）知，，
因为，所以，
所以，解得，
故，所以，
设直线与平面所成的角为，
则.
【点评】本题主要考查了空间向量在线面垂直关系判断中的应用，还考查了空间向量在空间角的求解中的应用，属于中档题.
17．【分析】（1）根据题意可得，在根据通项公式可解；
（2）根据二项式展开式的通项公式可解；
（3）根据二项式展开式的通项公式可解.
【解答】解：（1）已知展开式中，二项式系数最大的项为第6项，
则，所以，
则的展开式的通项公式为，
又展开式中第二项系数为20，
则令时，第二项的系数为，得；
（2）由（1）得，展开式中的通项公式为且，，
当时，则则；
当时，则则；
当时，则则；
当时，则则；
所以，展开式中所有有理项：
；；13440；
则展开式的常数项为；
（3）设项的系数最大，
则，解得
所以当时，系数最大，
则.
【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题.
18．【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，求出各个点的坐标，设面的一个法向量为，由法向量的定义求出的坐标，由点到平面的距离计算可得答案；
（2）根据题意，求出的坐标，进而可得、的坐标，由向量数量积的计算公式计算可得答案；
（3）设面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由平面法向量的定义求出和的坐标，由面面夹角的计算方法可得关于的方程，解可得答案.
【解答】解：（1）根据题意，以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离；
（2）根据题意，因为为的中点，所以，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（3）设，其中，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则有，
令，则，，
所以，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则
令，由于，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
若存在点，使得二面角的余弦值为，
则，所以，解得（舍）或，
故存在满足题意，即存在点在靠近的三等分点处.
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及点到平面的距离以及异面直线所成的角，属于中档题.
19．【分析】（1）由已知结合和与项的递推关系转化为项与项的递推关系，即可求解；
（2）先求出，然后利用裂项求和即可求解；
（3）先求出，然后结合等差数列的性质即可求解.
【解答】解：（1）由，
当时，，两式相减得，
即，所以，
所以，
当时，，，适合上式，
所以，
所以.
（2）因为，
则，
的前项和为；
（3）由（1）知.
由题意知，，
即，整理得，
因为，为正整数，所以只能取2，3，5.
当时，；
当时，；
当时，.
故存在正整数，使得，，成等差数列.
【点评】本题主要考查了数列的递推关系在通项公式求解中的应用，还考查了裂项求和，等差数列性质的应用，属于中档题.

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