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课时分层作业(十三)　两条直线平行和垂直的判定
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分
一、选择题
1．(多选)已知两条直线l1，l2，有如下说法，其中正确的是(　　)
A．直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且k1·k2＝－1，则l1⊥l2
B．直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在且为0，则l1⊥l2
C．若直线l1与l2相交，则必有k1≠k2
D．直线l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，若k1≠k2，则l1与l2一定相交
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
3．已知点A(m，m＋1)，B(－m，2m)，C(4，m)，D(1，0)，且直线AB与直线CD垂直，则m的值为(　　)
A．－7或0 B．0或7
C．0 D．7
4．已知a＞0，b＞0，直线l1的斜率k1＝1－a，直线l2的斜率k2＝－，且l1⊥l2，则的最小值为(　　)
A．8 B．4
C．2 D．16
5．下列条件中，使得l1⊥l2的是(　　)
①l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B；
②l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－5)；
③l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，l2经过点R(－6，0)，S(－1，3)．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
二、填空题
6．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________．
7．已知l1，l2不重合，直线l1经过点A(－2，m)和点B(m，4)，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－，若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为________．
8．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)．若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
三、解答题
9．已知A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1)．
(1)若直线AB与CD平行，求m的值；
(2)若△ABC为直角三角形，求m的值．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A．(－3，1) B．(4，1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
11．已知点A(－2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的横坐标为(　　)
A．－4 B．－2
C．6 D．－6
12．在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15，0)，C(5，10)，AD是腰且垂直于两底，则顶点D的坐标为________．
13．已知直线l1过点A(4，a)，B(a－1，3)，直线l2过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a＝________．
14．如图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长为|AD|＝5 m，宽为|AB|＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问在BC上能否找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？
15．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)．
(1)若点Q满足PQ⊥MN，PN∥MQ，求点Q的坐标；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十三)
1．ABD　[l1，l2的斜率都存在，且斜率之积为－1，则l1⊥l2，A正确；直线l1的斜率不存在，直线l1与x轴垂直，直线l2的斜率存在且为0，直线l2与x轴平行或重合，B正确；直线l1与l2相交，但斜率不一定存在，C错误；直线l1，l2的斜率存在，若k1≠k2，则l1与l2一定相交，D正确．故选ABD．]
2．D　[设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．
∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，
∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2．故选D．]
3．B　[由直线AB与直线CD垂直可分为两种情况：
当m＝0时，直线AB的斜率不存在，直线 CD的斜率为0，故AB⊥CD；
当m≠0时，kAB＝，kCD＝，
则kABkCD＝×＝－1，解得m＝7，
综上，m＝0或m＝7．故选B．]
4．A　[由已知得k1·k2＝－·(1－a)＝－1，∴a＋2b＝1，
又a>0，b>0，∴(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，
∴的最小值为8．故选A．]
5．B　[①中，易求得l2的斜率为×＝－1，故l1⊥l2；②中，l1的斜率为tan 45°＝1，l2的斜率为，1×≠－1，故l1与l2不垂直；③中，l1的斜率为，l2的斜率为，－×＝－1，故l1⊥l2．
故①③正确．故选B．]
6．　[设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC．由题意，得AD⊥BC，
则有kADkBC＝－1，所以有×＝－1，解得m＝．]
7．－10　[由题意可得，直线l1的斜率为，又直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，所以＝－2，解得m＝－8．
由于直线l3的斜率为－，l2⊥l3，所以－2×＝－1，解得n＝－2．所以m＋n＝－10．]
8．6　[∵直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则这两条直线互相平行，∴它们的斜率相等，即，解得a＝6．]
9．解：(1)依题意可得kAB＝kCD，
又因为A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1)，
即，解得m＝，又kAB＝，kAD＝，
所以kAB≠kAD，所以A，B，C，D四点不共线，所以m＝．
(2)若A为直角，因为直线AB的斜率存在，且不为0，
则kABkAC＝－1，即×＝－1，解得m＝12；
若B为直角，因为直线AB的斜率存在，且不为0，则kABkBC＝－1，
即×＝－1，解得m＝－1；
若C为直角，
当AC，BC的斜率存在且不为0时，
则kACkBC＝－1，即×＝－1，解得m＝．
综上，m的值为－1或12或．
10．A　[如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B．
根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．]
11．C　[设C(m，n)，由题意得AH⊥BC，又kAH＝＝0，
则点C的横坐标与点B的横坐标相等，则m＝6，
则点C的横坐标为6．故选C．]
12．(－11，2)　[设点D(x，y)，
由题意可知DC∥AB，DA⊥AB，直线AB的斜率存在且不为0，所以kDC＝kAB，kDAkAB＝－1，
即①，×＝－1②，由①②得x＝－11，y＝2．故顶点D的坐标为(－11，2)．]
13．0或5　[当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，满足l1⊥l2，此时解得a＝5；
当直线l1的斜率存在时，由l1⊥l2得×＝－1，解得a＝0．
综上，a＝0或a＝5．]
14．解：以点B为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．
则C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)．
设M(x，0)，0因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1，
所以·＝－1，解得x＝3.2，
所以当|BM|＝3.2 m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直．
15．解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，∴kPQ·kMN＝－1，即×3＝－1，①
由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ，∴kPN＝kMQ，即－2＝，②
联立①②，解得x＝0，y＝1，∴Q(0，1)．
(2)设Q(x0，0)．
∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP，
又kNQ＝，kNP＝－2，∴＝2，解得x0＝1，∴Q(1，0)，
又M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°．
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第二章
直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
[学习目标]　
1．理解两条直线平行和垂直的条件．(数学抽象)
2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理)
3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．是否总有l1∥l2 k1＝k2
问题2．是否总有l1⊥l2 k1k2＝－1
问题3．解决直线平行或垂直问题时，需注意什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　两条直线平行的判定
问题1　在平面几何中，我们有：“两直线平行，同位角相等”．平面直角坐标系中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，由此可以得出什么结论？
[提示]　两直线平行，倾斜角相等．
[新知生成]
两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 ______ l1∥l2 两直线斜率都______
图示
k1＝k2
不存在
【教用·微提醒】　(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论．
(2)用“l1∥l2 k1＝k2”时，要明确两个前提条件：
①l1与l2是不重合的两条直线．②斜率都存在．
【教材原题·P56例2】
例2　已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．
反思领悟　判断两条不重合的直线是否平行的方法
[学以致用]　1．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为________．
0或1
探究2　两条直线垂直的判定
问题2　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
[提示]　k1·k2＝－1．
[新知生成]　两条直线垂直与斜率之间的关系
对应
关系 l1与l2的斜率都存在(且不为零)，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率______，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
不存在
【教用·微提醒】　(1)l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在且不为0．
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2．
(3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．
[典例讲评]　【链接教材P57例4】
2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[解]　∵A，B两点纵坐标不相等，
∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，
∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，即m≠－3．
(1)当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1．
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
【教材原题·P57例4】
例4　已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．
反思领悟　判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可．若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合，则这两条直线垂直．
√
√
√
探究3　平行与垂直的综合应用
[典例讲评]　【链接教材P56例3、P57例5】
3．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
[母题探究]　将本例中B点坐标改为(5，6)，其他点不变，此时四边形ABCD是什么图形？
【教材原题·P56例3】
例3　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
【教材原题·P57例5】
例5　已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状．
[分析]　如图2.1-10，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形．
反思领悟　利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
[解]　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
所以kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
[学以致用]　3．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．

(2)[解]　当AB∥CD，AB⊥AD时，由图1可知，A(2，－1)，∴m＝2，n＝－1．
应用迁移 随堂评估自测
1．(多选)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是
(　　)
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
√
√
√
BCD　[根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行；
当直线的倾斜角相等，则直线平行，当直线平行，则倾斜角必相等．故选BCD．]
2．已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为(　　)
A．0° B．45°
C．90° D．180°
√
C　[因为直线l1的斜率为0，所以直线l1与x轴平行或重合，
又直线l1⊥l2，故直线l2的倾斜角为90°．
故选C．]
√
4．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，则AB边上的高所在直线的斜率为________．
1．知识链：
2．方法链：分类讨论、数形结合．
3．警示牌：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？
[提示]　两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在．
2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？
[提示]　两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
一、选择题
1．(多选)已知两条直线l1，l2，有如下说法，其中正确的是(　　)
A．直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且k1·k2＝－1，则l1⊥l2
B．直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在且为0，则l1⊥l2
C．若直线l1与l2相交，则必有k1≠k2
D．直线l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，若k1≠k2，则l1与l2一定相交
课时分层作业(十三)　两条直线平行和垂直的判定
√
√
√
ABD　[l1，l2的斜率都存在，且斜率之积为－1，则l1⊥l2，A正确；直线l1的斜率不存在，直线l1与x轴垂直，直线l2的斜率存在且为0，直线l2与x轴平行或重合，B正确；直线l1与l2相交，但斜率不一定存在，C错误；直线l1，l2的斜率存在，若k1≠k2，则l1与l2一定相交，D正确．故选ABD．]
题号
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2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
√
D　[设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．
∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，
∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2．故选D．]
3．已知点A(m，m＋1)，B(－m，2m)，C(4，m)，D(1，0)，且直线AB与直线CD垂直，则m的值为(　　)
A．－7或0 B．0或7
C．0 D．7
题号
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二、填空题
6．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________．
题号
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题号
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－10
题号
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12
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15
6
三、解答题
9．已知A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1)．
(1)若直线AB与CD平行，求m的值；
(2)若△ABC为直角三角形，求m的值．
题号
2
1
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5
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10．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A．(－3，1) B．(4，1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
√
题号
2
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A　[如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B．
根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．]
题号
2
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√
11．已知点A(－2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的横坐标为(　　)
A．－4 B．－2
C．6 D．－6
题号
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12．在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15，0)，C(5，10)，AD是腰且垂直于两底，则顶点D的坐标为____________．
题号
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(－11，2)
13．已知直线l1过点A(4，a)，B(a－1，3)，直线l2过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a＝________．
题号
2
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0或5
14．如图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长为|AD|＝5 m，宽为|AB|＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问在BC上能否找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？
题号
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题号
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15．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)．
(1)若点Q满足PQ⊥MN，PN∥MQ，求点Q的坐标；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
题号
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题号
2
1
3
4
5
6
8
7
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12
13
14
152.1.2　两条直线平行和垂直的判定
[学习目标]　
1．理解两条直线平行和垂直的条件．(数学抽象)
2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理)
3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．是否总有l1∥l2 k1＝k2
问题2．是否总有l1⊥l2 k1k2＝－1
问题3．解决直线平行或垂直问题时，需注意什么？
探究1　两条直线平行的判定
问题1　在平面几何中，我们有：“两直线平行，同位角相等”．平面直角坐标系中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，由此可以得出什么结论？
[提示]　两直线平行，倾斜角相等．
[新知生成]
两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
【教用·微提醒】　(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论．
(2)用“l1∥l2 k1＝k2”时，要明确两个前提条件：
①l1与l2是不重合的两条直线．②斜率都存在．
[典例讲评]　【链接教材P56例2】
1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；
(2)l1的斜率为－，l2经过点A(4，2)，B(2，3)；
(3)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；
(4)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)．
[解]　(1)kAB＝＝，kMN＝＝1，因为kAB≠kMN，所以l1与l2不平行．
(2)l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合．
(3)由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1与l2平行．
(4)由题意，知kEF＝＝1，kGH＝＝1，kEF＝kGH，所以l1与l2平行或重合．
需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝＝1．
所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合．
【教材原题·P56例2】
例2　已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．
[解]　如图2.1-8，由已知可得
直线BA的斜率kBA＝＝，
直线PQ的斜率kPQ＝＝．
因为kBA＝kPQ，所以直线AB∥PQ．
　判断两条不重合的直线是否平行的方法
[学以致用]　1．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为________．
0或1　[当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝，
kMN＝＝．因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，
即＝，解得m＝0或m＝1．
当m＝0或m＝1时，经检验，两直线不重合．
综上，m的值为0或1．]
探究2　两条直线垂直的判定
问题2　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
[提示]　k1·k2＝－1．
[新知生成]　两条直线垂直与斜率之间的关系
对应 关系 l1与l2的斜率都存在(且不为零)，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
【教用·微提醒】　(1)l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在且不为0．
(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2．
(3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．
[典例讲评]　【链接教材P57例4】
2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[解]　∵A，B两点纵坐标不相等，
∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，
∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，即m≠－3．
(1)当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1．
∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
(2)当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝＝，kCD＝＝．
∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，
即＝－1，解得m＝1．
综上，m的值为1或－1．
【教材原题·P57例4】
例4　已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系．
[解]　直线AB的斜率kAB＝，
直线PQ的斜率kPQ＝－．
因为kABkPQ＝＝－1，所以直线AB⊥PQ．
　判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可．若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合，则这两条直线垂直．
[学以致用]　2．(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　)
A．l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)
B．l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)
C．l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)
D．l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q
BCD　[A中，k1＝＝2，k2＝＝，因为k1k2＝1，所以l1与l2不垂直；
B中，k1＝－10，k2＝＝，因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2；
C中，由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，
k2＝＝0，则l2⊥y轴，所以l1⊥l2；
D中，l2过点P(1，1)，Q，k2＝＝，因为k1k2＝－1，所以两条直线垂直．故选BCD．]
探究3　平行与垂直的综合应用
[典例讲评]　【链接教材P56例3、P57例5】
3．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
[解]　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得
kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－，
∴kAB＝kCD，
由图可知AB与CD不重合，
∴AB∥CD．
由kAD≠kBC，
∴AD与BC不平行．
又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
∴AB⊥AD．
故四边形ABCD为直角梯形．
[母题探究]　将本例中B点坐标改为(5，6)，其他点不变，此时四边形ABCD是什么图形？
[解]　kAB＝＝，kBC＝＝－3，
所以kAB·kBC＝－1，且kAB＝kCD．
所以AB⊥BC，AB∥CD．
故四边形ABCD为矩形．
【教材原题·P56例3】
例3　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
[解]　如图2.1-9，由已知可得
AB边所在直线的斜率kAB＝－，
CD边所在直线的斜率kCD＝－，
BC边所在直线的斜率kBC＝，
DA边所在直线的斜率kDA＝．
因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA．
因此四边形ABCD是平行四边形．
【教材原题·P57例5】
例5　已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状．
[分析]　如图2.1-10，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形．
[解]　边AB所在直线的斜率kAB＝－，边BC所在直线的斜率kBC＝2．
由kABkBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°．
所以△ABC是直角三角形．
　利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
[学以致用]　3．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
[解]　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0，
所以kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，因为kBC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3．又kAD＝kBC，所以＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3)．
(2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，因为kAD＝，kCD＝，
所以
解得x＝，y＝，此时AD与BC不平行，所以D点坐标为．
综上，D点坐标为(3，3)或．
【教用·备选题】　(1)已知 ABCD的三个顶点的坐标分别为A，B，C，则点D的坐标为________．
(2)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，且四边形ABCD为直角梯形，求m和n的值．
(1)　[法一：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，AB∥CD，AD∥BC．
由两直线平行的条件知
kAB＝kCD，kAD＝kBC，
∴
化简，得解得
∴点D的坐标为．
法二：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，＝．
依题意得，＝，＝，
因此解得
∴点D的坐标为．]
(2)[解]　当AB∥CD，AB⊥AD时，由图1可知，A(2，－1)，∴m＝2，n＝－1．
当AD∥BC，AD⊥AB时，由图2可知，
即
解得m＝，n＝－．
综上，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－．
1．(多选)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
BCD　[根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行；
当直线的倾斜角相等，则直线平行，当直线平行，则倾斜角必相等．故选BCD．]
2．已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为(　　)
A．0° B．45°
C．90° D．180°
C　[因为直线l1的斜率为0，所以直线l1与x轴平行或重合，
又直线l1⊥l2，故直线l2的倾斜角为90°．
故选C．]
3．(教材P58习题2.1T5(1)改编)若经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线与倾斜角为135°的直线l平行，则m＝(　　)
A．－4 B．－2
C． D．2
D　[经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线的斜率k＝＝，
又直线l的倾斜角为135°，∴＝tan 135°＝－1，解得m＝2．
故选D．]
4．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，则AB边上的高所在直线的斜率为________．
－　[∵kAB＝＝，
∴AB边上的高所在直线的斜率为－．]
1．知识链：
2．方法链：分类讨论、数形结合．
3．警示牌：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？
[提示]　两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在．
2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？
[提示]　两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．
课时分层作业(十三)　两条直线平行和垂直的判定
一、选择题
1．(多选)已知两条直线l1，l2，有如下说法，其中正确的是(　　)
A．直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且k1·k2＝－1，则l1⊥l2
B．直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在且为0，则l1⊥l2
C．若直线l1与l2相交，则必有k1≠k2
D．直线l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，若k1≠k2，则l1与l2一定相交
ABD　[l1，l2的斜率都存在，且斜率之积为－1，则l1⊥l2，A正确；直线l1的斜率不存在，直线l1与x轴垂直，直线l2的斜率存在且为0，直线l2与x轴平行或重合，B正确；直线l1与l2相交，但斜率不一定存在，C错误；直线l1，l2的斜率存在，若k1≠k2，则l1与l2一定相交，D正确．故选ABD．]
2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直
D　[设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．
∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，
∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2．故选D．]
3．已知点A(m，m＋1)，B(－m，2m)，C(4，m)，D(1，0)，且直线AB与直线CD垂直，则m的值为(　　)
A．－7或0 B．0或7
C．0 D．7
B　[由直线AB与直线CD垂直可分为两种情况：
当m＝0时，直线AB的斜率不存在，直线 CD的斜率为0，故AB⊥CD；
当m≠0时，kAB＝＝，kCD＝＝，
则kABkCD＝＝－1，解得m＝7，
综上，m＝0或m＝7．故选B．]
4．已知a＞0，b＞0，直线l1的斜率k1＝1－a，直线l2的斜率k2＝－，且l1⊥l2，则的最小值为(　　)
A．8 B．4
C．2 D．16
A　[由已知得k1·k2＝－·(1－a)＝－1，∴a＋2b＝1，
又a＞0，b＞0，∴＝(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，
∴的最小值为8．故选A．]
5．下列条件中，使得l1⊥l2的是(　　)
①l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B；
②l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－5)；
③l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，l2经过点R(－6，0)，S(－1，3)．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
B　[①中，易求得l2的斜率为＝＝－1，故l1⊥l2；②中，l1的斜率为tan 45°＝1，l2的斜率为＝－，1×≠－1，故l1与l2不垂直；③中，l1的斜率为＝－，l2的斜率为＝，－＝－1，故l1⊥l2．
故①③正确．故选B．]
二、填空题
6．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________．
　[设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC．由题意，得AD⊥BC，
则有kADkBC＝－1，所以有＝－1，解得m＝．]
7．已知l1，l2不重合，直线l1经过点A(－2，m)和点B(m，4)，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－，若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为________．
－10　[由题意可得，直线l1的斜率为，又直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，所以＝－2，解得m＝－8．
由于直线l3的斜率为－，l2⊥l3，所以－2×＝－1，解得n＝－2．所以m＋n＝－10．]
8．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)．若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________．
6　[∵直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则这两条直线互相平行，∴它们的斜率相等，
即＝，解得a＝6．]
三、解答题
9．已知A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1)．
(1)若直线AB与CD平行，求m的值；
(2)若△ABC为直角三角形，求m的值．
[解]　(1)依题意可得kAB＝kCD，
又因为A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1)，
即＝，解得m＝，又kAB＝＝－，kAD＝＝－，
所以kAB≠kAD，所以A，B，C，D四点不共线，所以m＝．
(2)若A为直角，因为直线AB的斜率存在，且不为0，
则kABkAC＝－1，即＝－1，解得m＝12；
若B为直角，因为直线AB的斜率存在，且不为0，则kABkBC＝－1，
即＝－1，解得m＝－1；
若C为直角，
当AC，BC的斜率存在且不为0时，
则kACkBC＝－1，即＝－1，解得m＝．
综上，m的值为－1或12或．
10．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A．(－3，1) B．(4，1)
C．(－2，1) D．(2，－1)
A　[如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B．
根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．
]
11．已知点A(－2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的横坐标为(　　)
A．－4 B．－2
C．6 D．－6
C　[设C(m，n)，由题意得AH⊥BC，又kAH＝＝0，
则点C的横坐标与点B的横坐标相等，则m＝6，
则点C的横坐标为6．故选C．]
12．在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15，0)，C(5，10)，AD是腰且垂直于两底，则顶点D的坐标为________．
(－11，2)　[设点D(x，y)，
由题意可知DC∥AB，DA⊥AB，直线AB的斜率存在且不为0，所以kDC＝kAB，kDAkAB＝－1，
即＝①，＝－1②，由①②得x＝－11，y＝2．故顶点D的坐标为(－11，2)．]
13．已知直线l1过点A(4，a)，B(a－1，3)，直线l2过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a＝________．
0或5　[当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，满足l1⊥l2，此时解得a＝5；
当直线l1的斜率存在时，由l1⊥l2得＝－1，解得a＝0．
综上，a＝0或a＝5．]
14．如图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长为|AD|＝5 m，宽为|AB|＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问在BC上能否找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？
[解]　以点B为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)．
则C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)．
设M(x，0)，0＜x＜5．
因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1，
所以＝－1，
解得x＝3.2，
所以当|BM|＝3.2 m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直．
15．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)．
(1)若点Q满足PQ⊥MN，PN∥MQ，求点Q的坐标；
(2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角．
[解]　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，∴kPQ·kMN＝－1，即×3＝－1，①
由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ，∴kPN＝kMQ，即－2＝，②
联立①②，解得x＝0，y＝1，∴Q(0，1)．
(2)设Q(x0，0)．
∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP，
又kNQ＝，kNP＝－2，∴＝2，解得x0＝1，∴Q(1，0)，又M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
[学习目标]　
1．理解两条直线平行和垂直的条件．(数学抽象)
2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理)
3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算)
探究1　两条直线平行的判定
问题1　在平面几何中，我们有：“两直线平行，同位角相等”．平面直角坐标系中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，由此可以得出什么结论？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
两条直线平行与斜率之间的关系
类型 斜率存在 斜率不存在
条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 ______________ l1∥l2 两直线斜率都______________
图示
[典例讲评]　【链接教材P56例2】
1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)；
(2)l1的斜率为－，l2经过点A(4，2)，B(2，3)；
(3)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；
(4)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断两条不重合的直线是否平行的方法
[学以致用]　1．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为________．
探究2　两条直线垂直的判定
问题2　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]　两条直线垂直与斜率之间的关系
对应 关系 l1与l2的斜率都存在(且不为零)，分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率______________，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2
图示
[典例讲评]　【链接教材P57例4】
2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断两条直线是否垂直的方法
在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可．若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合，则这两条直线垂直．
[学以致用]　2．(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　)
A．l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)
B．l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)
C．l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)
D．l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q
探究3　平行与垂直的综合应用
[典例讲评]　【链接教材P56例3、P57例5】
3．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　将本例中B点坐标改为(5，6)，其他点不变，此时四边形ABCD是什么图形？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
[学以致用]　3．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
2．已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为(　　)
A．0° B．45°
C．90° D．180°
3．(教材P58习题2.1T5(1)改编)若经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线与倾斜角为135°的直线l平行，则m＝(　　)
A．－4 B．－2
C． D．2
4．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，则AB边上的高所在直线的斜率为________．
1．知识链：
2．方法链：分类讨论、数形结合．
3．警示牌：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？
2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？
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