资源简介

课时分层作业(十八)　两点间的距离公式
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共79分
一、选择题
1．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则＝(　　)
A．
C．3 D．2
2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　)
A．2 B．3
C．
3．过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
4．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　)
A．－ B．－
C．
5．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　)
A．(－4，5) B．(－1，2)
C．(－3，4) D．(1，－5)
二、填空题
6．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________．
7．在直线x－y＋4＝0上有一点P，它到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为________．
8．点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标是________．
三、解答题
9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．
10．点D(－2，－2)到直线l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距离的最大值为(　　)
A．5 B．
C．2 D．3
11．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，P为线段CD的中点，则＝________．
12．如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十八)
1．D　[∵A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，∴|AC|＝，
|CB|＝，∴＝2．故选D．]
2．C　[由中点坐标公式可得：BC边的中点D，即．
由两点之间的距离公式可得|AD|＝．故选C．]
3．B　[∵过点M(－2，a)，N(a，4)的直线斜率为
k＝，解得a＝2，
∴|MN|＝．故选B．]
4．C　[因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，
所以|AB|＝
＝
＝，
所以当a＝时，|AB|取得最小值．]
5．BC　[设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且，两式联立解得
故选BC．]
6．　[由题意知kAB＝＝b－a＝1，
所以|AB|＝．]
7．　[设点P的坐标是(a，a＋4)，
由题意可知|PM|＝|PN|，
即，
解得a＝－，故点P的坐标是．]
8．(2，10)或(－10，10)　[∵点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，
∴设点M的坐标为(x，10)或(x，－10)，
由距离公式可得(x＋4)2＋(10－2)2＝100，①
或(x＋4)2＋(－10－2)2＝100，②
由①解得x＝2或x＝－10，方程②无实数解，
∴点M的坐标是(2，10)或(－10，10)．]
9．解：由题意知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，
则A，令x＝0，有y＝，
则B，故AB的中点为，
∵线段AB的中点到原点的距离为，
∴，解得a＝±2．
10．A　[直线l：2x－y＋m(x－1)＝0，
令
所以直线l过定点A(1，2)，
所以直线l表示过定点(1，2)的直线，如图，当DA⊥l时，|DA|表示点到直线l的距离，
当DA不垂直于l时，|DB|表示点到直线l的距离，显然|DB|<|DA|，
所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝＝5，所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝5．故选A．]
11．10　[以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，
所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，
于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，即＝10．]
12．证明：如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．设B(b，c)，C(a，0)，
依题意得A(－a，0)．
|AB|2＋|BC|2－|AC|2
＝(b＋a)2＋c2＋(a－b)2＋(－c)2－(2a)2
＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，
2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3.2　两点间的距离公式
[学习目标]　
1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)
2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．两点间距离公式是如何推导的？
问题2．“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？
探究1　两点间的距离公式
问题　已知平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理计算|P1P2|
[提示]　(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|；
(2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|；
(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝．
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．
[新知生成]
1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为
．
2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
[解]　(1)根据两点间的距离公式，得
|AB|＝＝，
|BC|＝＝2，
|CA|＝＝5．
因为()2＋(2)2＝(5)2，即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，所以△ABC是直角三角形．
(2)因为BC的中点D的横坐标x＝＝2，纵坐标y＝＝－1，所以BC边上中线的长|AD|＝＝2．
【教材原题·P73例3】
例3　已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解]　设所求点为P(x，0)，则
|PA|＝＝，
|PB|＝＝．
由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11．
解得x＝1．
所以，所求点为P(1，0)，且
|PA|＝＝2．
　1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝·|x1－x2|＝|y1－y2|(k为直线P1P2的斜率)．
2．若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数．
[学以致用]　【链接教材P74练习T2】
1．已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值．
[解]　∵点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，
∴＝5，
即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝．
所以a的值为－1或．
【教材原题·P74练习T2】已知A(a，－5)与B(0，10)两点间的距离是17，求a的值．
[答案]　a＝±8．
探究2　坐标法的应用
[典例讲评]　【链接教材P73例4】
2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|．
[证明]　如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝．
故|AC|＝|BD|．
【教材原题·P73例4】
例4　用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
[分析]　首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
[证明]　如图2.3-4，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
在 ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)．
由两点间的距离公式，得
|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝＝a2，|AD|2＝b2＋c2．
所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2．
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
　1．利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．
(2)进行有关代数运算．
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
2．用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．
[学以致用]　【链接教材P74练习T3】
2．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
[证明]　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．
设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，
则|AB|＝|c|．
又由中点坐标公式，得D，E，
∴|DE|＝＝，
∴|DE|＝|AB|，
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
(教材原题·P74练习T3)用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．
[证明]　如图，在Rt△ABC中，点M是斜边AB的中点．以直角顶点C为原点，两条直角边AC，BC所在直线为x轴、y轴，建立坐标系．在Rt△ABC中，有C(0，0)，设A(a，0)，B(0，b)，则有M．
|MC|＝＝，|AB|＝，所以|MA|＝|MB|＝．所以，直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．
【教用·备选题】　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明|AE|＝|CD|．
[证明]　如图所示，以B点为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy．
设△ABD和△BCE的边长分别为a和c．
则A(－a，0)，C(c，0)，E，D，由距离公式，得
|AE|＝＝，
|CD|＝＝，
所以|AE|＝|CD|．
1．(教材P74练习T1(3)改编)已知两点M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝(　　)
A．3 B．5
C．9 D．25
B　[因为M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝＝5．故选B．]
2．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
C　[因为|AB|＝＝＝＝2，
|BC|＝＝＝
＝4，|AC|＝＝＝2，
所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以△ABC为直角三角形．故选C．]
3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________．
　[BC的中点坐标为(0，1)，则BC边上的中线长为＝．]
1．知识链：
——
2．方法链：待定系数法、坐标法．
3．警示牌：(1)已知距离求参数易漏解．
(2)用坐标法解决平面几何问题时，坐标系建立不恰当，造成坐标确定困难，线段长度计算烦琐．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出两点间的距离公式．
[提示]　P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|＝．
2．试写出利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤．
[提示]　(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．
(2)进行有关代数运算．
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
笛卡儿与解析几何
解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596－1650)是解析几何的创始人之一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．
解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期．
解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展．
课时分层作业(十八)　两点间的距离公式
一、选择题
1．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则＝(　　)
A．
C．3 D．2
D　[∵A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，∴|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，∴＝＝2．故选D．]
2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　)
A．2 B．3
C．
C　[由中点坐标公式可得：BC边的中点D，即．
由两点之间的距离公式可得|AD|＝＝．故选C．]
3．过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
B　[∵过点M(－2，a)，N(a，4)的直线斜率为
k＝＝，解得a＝2，
∴|MN|＝＝2．
故选B．]
4．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　)
A．－ B．－
C．
C　[因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，
所以|AB|＝
＝＝
＝，
所以当a＝时，|AB|取得最小值．]
5．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　)
A．(－4，5) B．(－1，2)
C．(－3，4) D．(1，－5)
BC　[设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或故选BC．]
二、填空题
6．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________．
　[由题意知kAB＝＝b－a＝1，
所以|AB|＝＝．]
7．在直线x－y＋4＝0上有一点P，它到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为________．
　[设点P的坐标是(a，a＋4)，
由题意可知|PM|＝|PN|，
即＝，
解得a＝－，故点P的坐标是．]
8．点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标是________．
(2，10)或(－10，10)　[∵点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，
∴设点M的坐标为(x，10)或(x，－10)，
由距离公式可得(x＋4)2＋(10－2)2＝100，①
或(x＋4)2＋(－10－2)2＝100，②
由①解得x＝2或x＝－10，方程②无实数解，
∴点M的坐标是(2，10)或(－10，10)．]
三、解答题
9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值．
[解]　由题意知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，
则B，故AB的中点为，
∵线段AB的中点到原点的距离为，
∴＝，解得a＝±2．
10．点D(－2，－2)到直线l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距离的最大值为(　　)
A．5 B．
C．2 D．3
A　[直线l：2x－y＋m(x－1)＝0，
令解得
所以直线l过定点A(1，2)，
所以直线l表示过定点(1，2)的直线，如图，当DA⊥l时，|DA|表示点到直线l的距离，
当DA不垂直于l时，|DB|表示点到直线l的距离，显然|DB|＜|DA|，
所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝＝5，所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝5．故选A．]
11．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，P为线段CD的中点，则＝________．
10　[以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，
所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，即＝10．]
12．如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2．
[证明]　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．设B(b，c)，C(a，0)，
依题意得A(－a，0)．
|AB|2＋|BC|2－|AC|2
＝－(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2，
所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3.2　两点间的距离公式
[学习目标]　
1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)
2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)
探究1　两点间的距离公式
问题　已知平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理计算|P1P2|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为．
2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝·|x1－x2|＝|y1－y2|(k为直线P1P2的斜率)．
2．若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数．
[学以致用]　【链接教材P74练习T2】
1．已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　坐标法的应用
[典例讲评]　【链接教材P73例4】
2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．
(2)进行有关代数运算．
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
2．用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．
[学以致用]　【链接教材P74练习T3】
2．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(教材P74练习T1(3)改编)已知两点M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝(　　)
A．3 B．5
C．9 D．25
2．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________．
1．知识链：
——
2．方法链：待定系数法、坐标法．
3．警示牌：(1)已知距离求参数易漏解．
(2)用坐标法解决平面几何问题时，坐标系建立不恰当，造成坐标确定困难，线段长度计算烦琐．
笛卡儿与解析几何
解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596－1650)是解析几何的创始人之一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．
解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期．
解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共44张PPT)
2.3.2　两点间的距离公式
第二章
直线和圆的方程
2.3　直线的交点坐标与距离公式
[学习目标]　
1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)
2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．两点间距离公式是如何推导的？
问题2．“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　两点间的距离公式
问题　已知平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理计算|P1P2|
[提示]　(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|；
(2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|；

[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
[学以致用]　【链接教材P74练习T2】
1．已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值．
【教材原题·P74练习T2】已知A(a，－5)与B(0，10)两点间的距离是17，求a的值．
[答案]　a＝±8．
探究2　坐标法的应用
[典例讲评]　【链接教材P73例4】
2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|．
【教材原题·P73例4】
例4　用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
[分析]　首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
反思领悟　1．利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．
(2)进行有关代数运算．
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
2．用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．
[学以致用]　【链接教材P74练习T3】
2．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．
[证明]　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．
(教材原题·P74练习T3)用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．
【教用·备选题】　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明|AE|＝|CD|．
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P74练习T1(3)改编)已知两点M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝
(　　)
A．3 B．5
C．9 D．25
√
2．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．以上都不是
√
3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________．

回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出两点间的距离公式．
2．试写出利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤．
[提示]　(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量．
(2)进行有关代数运算．
(3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
笛卡儿与解析几何
解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596－1650)是解析几何的创始人之一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．
阅读材料 拓展数学视野
解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期．
解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
课时分层作业(十八)　两点间的距离公式
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
√
二、填空题
6．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12

7．在直线x－y＋4＝0上有一点P，它到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为___________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12

8．点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标是________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
(2，10)或(－10，10)　[∵点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，
∴设点M的坐标为(x，10)或(x，－10)，
由距离公式可得(x＋4)2＋(10－2)2＝100，①
或(x＋4)2＋(－10－2)2＝100，②
由①解得x＝2或x＝－10，方程②无实数解，
∴点M的坐标是(2，10)或(－10，10)．]
(2，10)或(－10，10)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12

展开更多......

收起↑