资源简介

(共66张PPT)
2.3.3　点到直线的距离公式
2.3.4　两条平行直线间的距离
第二章
直线和圆的方程
2.3　直线的交点坐标与距离公式
[学习目标]　
1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象、数学运算)
2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．点到直线的距离是指什么线段的长？
问题2．应用点到直线的距离公式时，必须将直线化为一般式吗？
问题3．两条平行直线间的距离是指什么线段的长？
问题4．运用两条平行直线间的距离公式时应注意什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　点到直线的距离
问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？如果A＝0或B＝0时，又如何求点P到直线l的距离呢？观察点到直线的距离公式，你能说说它的结构特征吗？

垂线段
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0．
[母题探究]　求过点P(－2，1)且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
【教材原题·P77例5、例6】
例5　求点P(－1，2)到直线l：3x＝2的距离．
[分析]　将直线l的方程写成3x－2＝0，再用点到直线的距离公式求解．
例6　已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积．
[分析]　由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可．
反思领悟　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
[学以致用]　1．(1)若点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　)
A．(8，0)
B．(－12，0)
C．(8，0)或(－12，0)
D．(－8，0)或(12，0)
√
(2)已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为____________________________．
x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
探究2　两条平行直线间的距离
问题2　如图所示，已知两平行直线l1，l2的方程，并且从l1上任选一点P(x0，y0)，思考如何求出l1与l2间的距离？
[提示]　只需求出P(x0，y0)到l2的距离，即为直线l1与l2间的距离．

公垂线段
【教用·微提醒】　(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y分别对应的系数相等的情况．
(2)如果两平行直线的方程中x，y的系数对应不同，必须先等价化为系数对应相同才能套用公式．
√
【教材原题·P78例7、例8】
例7　已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离．
[分析]　在l1上选取一点，如l1与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到l2的距离，即l1与l2间的距离．
[分析]　两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离．
反思领悟　求两条平行直线间的距离的两种思路
(1)利用化归思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
√
探究3　平行直线间的距离的最值问题
[典例讲评]　3．两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
反思领悟　应用数形结合思想求最值
(1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
[学以致用]　3．已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_________________．
x＋2y－3＝0
应用迁移 随堂评估自测
√
√
√
√
√
4．已知点P(－1，b)到直线2x＋y－1＝0的距离为2，则b＝________．
1．知识链：



2．方法链：数形结合法、分类讨论法、参数法．
3．警示牌：运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出点到直线的距离公式．
2．试写出两条平行直线间的距离公式．
3．如何解决与距离有关的最值问题？
[提示]　(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．
(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
(3)利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
课时分层作业(十九)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
二、填空题
6．已知P(－1，2)，Q(2，4)，直线l：y＝kx＋3．若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离，则k＝________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
±1
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
4
三、解答题
9．已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是AB：x＋y－1＝0，AD：3x－y＋4＝0，且它的对角线的交点是M(3，3)．
(1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
15°或75°
13．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的曼哈顿距离d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，若点M(2，1)，点P是直线y＝x＋3上的动点，则d(M，P)的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13课时分层作业(十九)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共74分
一、选择题
1．已知直线l1：ax＋2y＋4＝0，直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0，若l1∥l2，则l1与l2的距离为(　　)
A． B．2
C．3 D．4
2．已知l：3x＋4y＋6＝0，P(m，n)为l上一动点，则(m＋1)2＋n2的最小值为(　　)
A．
C．
3．已知两平行直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋ay＋b＝0之间的距离为，则a＋b＝(　　)
A． B．23
C．13或23 D．或
上的点，A(－1，2)，B(0，3)，以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为(　　)
A．(4，0)或(10，0) B．(4，0)或(－10，0)
C．(－4，0)或(10，0) D．(－4，0)或(11，0)
5．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2．以下命题不正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
二、填空题
6．已知P(－1，2)，Q(2，4)，直线l：y＝kx＋3．若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离，则k＝________．
7．若两平行直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之间的距离是，则的值为________．
8．在平面直角坐标系Oxy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
三、解答题
9．已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是AB：x＋y－1＝0，AD：3x－y＋4＝0，且它的对角线的交点是M(3，3)．
(1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
10．过点P(2，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰好被点P平分，则三条直线围成的三角形的面积为(　　)
A．
C．
11．已知点A(－1，1)，B(3，5)，若A，B到直线l的距离都为2，则直线l的方程不可能为(　　)
A．x－y＋2－2＝0 B．x－y＋2＋2＝0
C．y＝3 D．x－y－1＝0
12．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角的大小为________．
13．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的曼哈顿距离d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，若点M(2，1)，点P是直线y＝x＋3上的动点，则d(M，P)的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3.3　点到直线的距离公式
2.3.4　两条平行直线间的距离
[学习目标]　
1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象、数学运算)
2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．点到直线的距离是指什么线段的长？
问题2．应用点到直线的距离公式时，必须将直线化为一般式吗？
问题3．两条平行直线间的距离是指什么线段的长？
问题4．运用两条平行直线间的距离公式时应注意什么？
探究1　点到直线的距离
问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？如果A＝0或B＝0时，又如何求点P到直线l的距离呢？观察点到直线的距离公式，你能说说它的结构特征吗？
[提示]　点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与直线l的方程联立方程组，
解得交点Q，
∴|PQ|＝．
当A＝0时，直线l：By＋C＝0，|PQ|＝|y0－yQ|＝＝＝；
当B＝0时，直线l：Ax＋C＝0，|PQ|＝|x0－xQ|＝＝＝．
所以当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立．
公式特征：(1)点到直线的距离公式中，直线的方程要转化为一般式Ax＋By＋C＝0；(2)公式中，分子是将点P(x0，y0)的坐标代入一般式左边所得值的绝对值，分母是一般式一次项系数平方和的算术平方根．
[新知生成]
点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0．
[解]　(1)根据点到直线的距离公式，得d＝＝．
即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为．
(2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0．
根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝．
即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为．
(3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴，
所以d＝＝．
即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为．
[母题探究]　求过点P(－2，1)且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
[解]　设原点为O，连接OP(图略)，易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2，
所以直线l的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0，即直线2x－y＋5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，最大距离为＝．
【教材原题·P77例5、例6】
例5　求点P(－1，2)到直线l：3x＝2的距离．
[分析]　将直线l的方程写成3x－2＝0，再用点到直线的距离公式求解．
[解]　点P(－1，2)到直线l：3x－2＝0的距离
d＝＝．
例6　已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积．
[分析]　由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB的长和边AB上的高即可．
[解]　如图2.3-7，设边AB上的高为h，则
S△ABC＝|AB|h．
|AB|＝＝2．
边AB上的高h就是点C到直线AB的距离．
边AB所在直线l的方程为＝，
即x＋y－4＝0．
点C(－1，0)到直线l：x＋y－4＝0的距离
h＝＝．
因此，S△ABC＝×2＝5．
　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
[学以致用]　1．(1)若点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　)
A．(8，0)
B．(－12，0)
C．(8，0)或(－12，0)
D．(－8，0)或(12，0)
(2)已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为________．
(1)C　(2)x＋2＝0或5x＋12y－26＝0　[(1)设点P(a，0)，则＝6，解得a＝8或a＝－12．故选C．
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2；
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，
由原点到直线l的距离d＝＝2，得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0．
综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0．]
探究2　两条平行直线间的距离
问题2　如图所示，已知两平行直线l1，l2的方程，并且从l1上任选一点P(x0，y0)，思考如何求出l1与l2间的距离？
[提示]　只需求出P(x0，y0)到l2的距离，即为直线l1与l2间的距离．
[新知生成]
两条平行直线间的距离
(1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝．
【教用·微提醒】　(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y分别对应的系数相等的情况．
(2)如果两平行直线的方程中x，y的系数对应不同，必须先等价化为系数对应相同才能套用公式．
[典例讲评]　【链接教材P78例7、例8】
2．若直线l1：ax－y－2＝0与l2：x－ay＋2＝0平行，则它们之间的距离为(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
D　[直线l1：ax－y－2＝0与l2：x－ay＋2＝0平行，则解得a＝1，故l1：x－y－2＝0与l2：x－y＋2＝0之间的距离d＝＝2．故选D．]
【教材原题·P78例7、例8】
例7　已知两条平行直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，求l1与l2间的距离．
[分析]　在l1上选取一点，如l1与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到l2的距离，即l1与l2间的距离．
[解]　先求l1与x轴的交点A的坐标．容易知道，点A的坐标为(4，0)．
点A到直线l2的距离
d＝＝＝，
所以l1与l2间的距离为．
例8　求证：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝．
[分析]　两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离．
[证明]　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离就是这两条平行直线间的距离，即
d＝．
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此
d＝＝＝．
　求两条平行直线间的距离的两种思路
(1)利用化归思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
[学以致用]　2．已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的点，则|AB|的最小值为(　　)
A．0 B．
C．
C　[由题意可知直线l1∥l2，所以当AB⊥l1，且AB⊥l2时，|AB|有最小值，
其最小值为平行直线 l1与l2的距离，直线l1的方程可化为4x＋2y－4＝0，
所以|AB|min＝＝．
故选C．]
探究3　平行直线间的距离的最值问题
[典例讲评]　3．两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
[解]　(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3；
当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－＝－＝－3．
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0．
　应用数形结合思想求最值
(1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
[学以致用]　3．已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
x＋2y－3＝0　[当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．
因为A(1，1)，B(0，－1)．
所以kAB＝＝2，所以直线l1，l2的斜率为－，所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0．]
1．(教材P77练习T3改编)已知点A(2，1)，点B在直线x－y＋3＝0上，则|AB|的最小值为(　　)
A．
C．2 D．4
C　[|AB|的最小值即为点A到直线x－y＋3＝0的距离，即＝＝2．故选C．]
2．两条平行直线x＋y＋4＝0与2x＋2y＋3＝0间的距离为(　　)
A．
C．
D　[直线x＋y＋4＝0，即为2x＋2y＋8＝0，
由平行直线间的距离公式可得d＝＝＝．故选D．]
3．(多选)已知直线y＝2x与直线x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则(　　)
A．a＝－3
B．b＝2
C．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
D．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
ABD　[∵直线y＝2x与直线x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，∴解得b＝2，a＝－3，
故点P(1，2)，直线ax＋by＋3＝0可化为－3x＋2y＋3＝0，
故点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为＝．故选ABD．]
4．已知点P(－1，b)到直线2x＋y－1＝0的距离为2，则b＝________．
3±2　[由题意可得＝2 b＝3±2．]
1．知识链：
2．方法链：数形结合法、分类讨论法、参数法．
3．警示牌：运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出点到直线的距离公式．
[提示]　点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d＝．
2．试写出两条平行直线间的距离公式．
[提示]　两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝．
3．如何解决与距离有关的最值问题？
[提示]　(1)利用对称转化为两点之间的距离问题．
(2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
(3)利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题．
课时分层作业(十九)　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离
一、选择题
1．已知直线l1：ax＋2y＋4＝0，直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0，若l1∥l2，则l1与l2的距离为(　　)
A． B．2
C．3 D．4
C　[因为l1：ax＋2y＋4＝0，l2：x＋(a＋1)y＋4＝0，且l1∥l2，
所以a≠0，且＝≠，解得a＝－2，
则l1：－2x＋2y＋4＝0，即x－y－2＝0，l2：x－y＋4＝0，所以l1与l2的距离为＝3．
故选C．]
2．已知l：3x＋4y＋6＝0，P(m，n)为l上一动点，则(m＋1)2＋n2的最小值为(　　)
A．
C．
C　[由于(m＋1)2＋n2＝()2，
所以(m＋1)2＋n2的最小值即为P(m，n)与(－1，0)的距离的平方的最小值，则点(－1，0)到直线上P(m，n)的最小值即为点(－1，0)到直线3x＋4y＋6＝0的距离，故d＝＝，又＝，所以(m＋1)2＋n2的最小值为．
故选C．]
3．已知两平行直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋ay＋b＝0之间的距离为，则a＋b＝(　　)
A． B．23
C．13或23 D．或
C　[由直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋ay＋b＝0平行，得＝≠，则a＝8，b≠10，
因为两平行直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋ay＋b＝0之间的距离为，
直线l1的方程可化为6x＋8y＋10＝0，则＝，解得b＝5或b＝15，
所以a＋b＝13或a＋b＝23．
故选C．]
4．点P为x轴上的点，A(－1，2)，B(0，3)，以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为(　　)
A．(4，0)或(10，0) B．(4，0)或(－10，0)
C．(－4，0)或(10，0) D．(－4，0)或(11，0)
B　[设点P(x，0)，由点A(－1，2)，B(0，3)，
可知直线AB的方程为x－y＋3＝0，
所以点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝，
|AB|＝＝，
因为以A，B，P为顶点的三角形的面积为，
所以S△ABP＝×|AB|·d＝，
即＝，解得x＝4或x＝－10．
故P(4，0)或P(－10，0)．故选B．]
5．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2．以下命题不正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
BCD　[设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，A正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，所以B错误；对于C，由A知，当d1＝d2＝0时，满足d1＋d2＝0，
但此时ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，
此时直线P1P2与直线l重合，所以C错误；对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，所以D错误．故选BCD．]
二、填空题
6．已知P(－1，2)，Q(2，4)，直线l：y＝kx＋3．若P点到直线l的距离等于Q点到直线l的距离，则k＝________．
0或　[由题可知＝，解得k＝0或k＝．]
7．若两平行直线3x－2y－1＝0和6x＋ay＋c＝0之间的距离是，则的值为________．
±1　[由两直线平行得3a＋12＝0，解得a＝－4．
方程3x－2y－1＝0可化为6x－4y－2＝0，利用平行直线间的距离公式得＝，
解得|c＋2|＝4，所以＝＝±1．]
8．在平面直角坐标系Oxy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
4　[设P，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝4，
当且仅当2x＝，即x＝时取等号，
故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4．]
三、解答题
9．已知平行四边形ABCD的两条边所在直线的方程分别是AB：x＋y－1＝0，AD：3x－y＋4＝0，且它的对角线的交点是M(3，3)．
(1)求这个平行四边形其他两边所在直线的斜截式方程；
(2)求平行四边形ABCD的面积．
[解]　(1)设与x＋y－1＝0平行的直线为x＋y＋C＝0(C≠－1)，
∴＝，∴5＝|6＋C|，
∴C＝－11，即边CD所在的直线方程为x＋y－11＝0．
设与3x－y＋4＝0平行的直线方程为3x－y＋D＝0(D≠4)，
∴＝，∴10＝|6＋D|，
∴D＝－16，此时直线BC边所在的直线方程为3x－y－16＝0，
故斜截式方程分别为y＝3x－16，y＝－x＋11．
(2)联立可得x＝－，y＝，
即A，
联立可得x＝，y＝－，
即B，
所以|AB|＝5，又AB与CD的距离d＝＝5，
故平行四边形ABCD的面积S＝5×5＝50．
10．过点P(2，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰好被点P平分，则三条直线围成的三角形的面积为(　　)
A．
C．
B　[设直线l夹在直线l1，l2之间的线段是AB(A在l1上，B在l2上)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB被点P平分，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝0，于是x2＝4－x1，y2＝－y1，
由于A在l1 上，B在l2上，
所以解得x1＝3，y1＝4，即A(3，4)，则B(1，－4)，
联立 即l1与l2交于点C，
则|BC|＝＝，
又点A到直线l2的距离为＝5，
则三条直线围成的三角形面积为S△ABC＝×5＝．
故选B．]
11．已知点A(－1，1)，B(3，5)，若A，B到直线l的距离都为2，则直线l的方程不可能为(　　)
A．x－y＋2－2＝0 B．x－y＋2＋2＝0
C．y＝3 D．x－y－1＝0
D　[根据题意，|AB|＝＝4|AB|＞2，
则A与B可能在直线l的同侧且与直线l平行，也可能直线l过线段AB中点．
①当直线l平行直线AB时，kAB＝＝1，可设直线l的方程为x－y＋b＝0，
依题意得：＝＝2，解得b＝2－2或b＝2＋2，
故直线l的方程为x－y＋2－2＝0或x－y＋2＋2＝0．
②当直线l过线段AB中点(1，3)时，
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1；
若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，
依题意得：＝＝2，解得k＝0，
直线l的方程为y＝3．故选D．]
12．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角的大小为________．
15°或75°　[由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°．]
13．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的曼哈顿距离d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，若点M(2，1)，点P是直线y＝x＋3上的动点，则d(M，P)的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
C　[设P(t，t＋3)，由题意知d(M，P)＝|t－2|＋|t＋3－1|＝|t－2|＋|t＋2|＝
y＝－2t在(－∞，－2)上单调递减，y＝2t在(2，＋∞)上单调递增，均有d(M，P)＞4，所以当－2≤t≤2时，d(M，P)取得最小值为4．故选C．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3.3　点到直线的距离公式
2.3.4　两条平行直线间的距离
[学习目标]　
1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象、数学运算)
2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算)
探究1　点到直线的距离
问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？如果A＝0或B＝0时，又如何求点P到直线l的距离呢？观察点到直线的距离公式，你能说说它的结构特征吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
点到直线的距离
(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的______________的长度．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝___________．
[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离：
(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　求过点P(－2，1)且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．
(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．
[学以致用]　1．(1)若点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　)
A．(8，0)
B．(－12，0)
C．(8，0)或(－12，0)
D．(－8，0)或(12，0)
(2)已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为________．
探究2　两条平行直线间的距离
问题2　如图所示，已知两平行直线l1，l2的方程，并且从l1上任选一点P(x0，y0)，思考如何求出l1与l2间的距离？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
两条平行直线间的距离
(1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的______________的长．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝___________．
[典例讲评]　【链接教材P78例7、例8】
2．若直线l1：ax－y－2＝0与l2：x－ay＋2＝0平行，则它们之间的距离为(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
　求两条平行直线间的距离的两种思路
(1)利用化归思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
(2)利用两条平行直线间的距离公式求解．
[学以致用]　2．已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的点，则|AB|的最小值为(　　)
A．0 B．
C．
探究3　平行直线间的距离的最值问题
[典例讲评]　3．两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的取值范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　应用数形结合思想求最值
(1)解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
[学以致用]　3．已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
1．(教材P77练习T3改编)已知点A(2，1)，点B在直线x－y＋3＝0上，则|AB|的最小值为(　　)
A．
C．2 D．4
2．两条平行直线x＋y＋4＝0与2x＋2y＋3＝0间的距离为(　　)
A．
C．
3．(多选)已知直线y＝2x与直线x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则(　　)
A．a＝－3
B．b＝2
C．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
D．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为
4．已知点P(－1，b)到直线2x＋y－1＝0的距离为2，则b＝________．
1．知识链：
2．方法链：数形结合法、分类讨论法、参数法．
3．警示牌：运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十九)
1．C　[因为l1：ax＋2y＋4＝0，l2：x＋(a＋1)y＋4＝0，且l1∥l2，
所以a≠0，且≠，解得a＝－2，
则l1：－2x＋2y＋4＝0，即x－y－2＝0，l2：x－y＋4＝0，
所以l1与l2的距离为．
故选C．]
2．C　[由于(m＋1)2＋n2＝()2，
所以(m＋1)2＋n2的最小值即为P(m，n)与(－1，0)的距离的平方的最小值，
则点(－1，0)到直线上P(m，n)的最小值即为点(－1，0)到直线3x＋4y＋6＝0的距离，故d＝，又，所以(m＋1)2＋n2的最小值为．
故选C．]
3．C　[由直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋ay＋b＝0平行，得≠，则a＝8，b≠10，
因为两平行直线l1：3x＋4y＋5＝0与l2：6x＋ay＋b＝0之间的距离为，
直线l1的方程可化为6x＋8y＋10＝0，则，解得b＝5或b＝15，所以a＋b＝13或a＋b＝23．故选C．]
4．B　[设点P(x，0)，由点A(－1，2)，B(0，3)，
可知直线AB的方程为x－y＋3＝0，
所以点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝，
|AB|＝，
因为以A，B，P为顶点的三角形的面积为，
所以S△ABP＝×|AB|·d＝，
即××，解得x＝4或x＝－10．
故P(4，0)或P(－10，0)．故选B．]
5．BCD　[设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，A正确；对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，所以B错误；对于C，由A知，当d1＝d2＝0时，满足d1＋d2＝0，
但此时ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，
此时直线P1P2与直线l重合，所以C错误；对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，所以D错误．故选BCD．]
6．0或　[由题可知，解得k＝0或k＝．]
7．±1　[由两直线平行得3a＋12＝0，解得a＝－4．
方程3x－2y－1＝0可化为6x－4y－2＝0，利用平行直线间的距离公式得，解得|c＋2|＝4，所以＝±1．]
8．4　[设P，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝≥＝4，
当且仅当2x＝，即x＝时取等号，
故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4．]
9．解：(1)设与x＋y－1＝0平行的直线为x＋y＋C＝0(C≠－1)，
∴，∴5＝|6＋C|，
∴C＝－11，即边CD所在的直线方程为x＋y－11＝0．
设与3x－y＋4＝0平行的直线方程为3x－y＋D＝0(D≠4)，
∴，∴10＝|6＋D|，
∴D＝－16，此时直线BC边所在的直线方程为3x－y－16＝0，
故斜截式方程分别为y＝3x－16，y＝－x＋11．
(2)联立，y＝，
即A，
联立，y＝－，
即B，
所以|AB|＝5，又AB与CD的距离d＝，
故平行四边形ABCD的面积S＝5×5＝50．
10．B　[设直线l夹在直线l1，l2之间的线段是AB(A在l1上，B在l2上)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB被点P平分，
所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝0，于是x2＝4－x1，y2＝－y1，
由于A在l1 上，B在l2上，
所以解得x1＝3，y1＝4，即A(3，4)，则B(1，－4)，
联立
即l1与l2交于点C，
则|BC|＝，
又点A到直线l2的距离为，
则三条直线围成的三角形面积为S△ABC＝××5．
故选B．]
11．D　[根据题意，|AB|＝|AB|>2，
则A与B可能在直线l的同侧且与直线l平行，也可能直线l过线段AB中点．
①当直线l平行直线AB时，kAB＝＝1，可设直线l的方程为x－y＋b＝0，
依题意得：＝2，解得b＝2－2，
故直线l的方程为x－y＋2－2＝0．
②当直线l过线段AB中点(1，3)时，
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1；
若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，
依题意得：＝2，解得k＝0，
直线l的方程为y＝3．故选D．]
12．15°或75°　[由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°．]
13．C　[设P(t，t＋3)，由题意知d(M，P)＝|t－2|＋|t＋3－1|＝|t－2|＋|t＋2|＝
y＝－2t在(－∞，－2)上单调递减，y＝2t在(2，＋∞)上单调递增，均有d(M，P)>4，所以当－2≤t≤2时，d(M，P)取得最小值为4．故选C．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑