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课时分层作业(二十一)
1．D　[圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心坐标为(1，－3)，
圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离d＝．故选D．]
2．D　[由曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0表示圆，得4m2＋4－8>0，解得m<－1或m>1，
由点P(1，2)在曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0外，得12＋22＋2m－4＋2>0，解得m>－，
所以m的取值范围是∪(1，＋∞)．
故选D．]
3．A　[由圆C：x2＋y2＋2x＋my＋3＝0关于直线2x－y＋4＝0对称，
可得圆C的圆心坐标为，圆心在直线2x－y＋4＝0上，
则－2＋＋4＝0，解得m＝－4，故圆C的方程为：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，r＝，所以圆C的半径为．
故选A．]
4．C　[设顶点为C(x，y)，·＝0，
即(－3－x，－y)·(7－x，－y)＝0，
化简得(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．]
5．A　[由题意，设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴
解得D＝－2，E＝－，F＝1，故圆的一般方程为x2＋y2－2x－y＋1＝0 (x－1)2＋，故圆的半径r＝，圆的面积S＝πr2＝π．故选A．]
6．－3　[圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，
∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4＋m＝1，∴m＝－3．]
7．(x＋1)2＋y2＝4　[设点M的坐标是(x，y)，
则．∴，
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，
即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4．]
8．x2＋y2＋x－y－2＝0　[设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将三个点的坐标代入可得
解得D＝1，E＝－1，F＝－2，
即圆C的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0．]
9．解：(1)直线BC的方程为，化简，得x－y－4＝0，
点A到直线BC的距离d＝，
|BC|＝，
所以△ABC的面积为×d×|BC|＝9．
(2)设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A，B，C的坐标代入，得
即
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－4＝0．
10．AB　[对于A，当k＝0时，圆C：x2＋(y－1)2＝1，圆C的半径为1，
故C的面积为π×12＝π，故A正确；
对于B，圆C成立的充要条件为k2＋(－2)2－4k2>0，解得－，故B正确；
对于C，圆C的圆心坐标为，半径r＝，点(1，0)到圆心的距离d＝，当k＝0时，d＝>r＝1，此时点(1，0)在圆C外，故C错误；
对于D，当k＝0时，半径取得最大值1，即C的周长最大，此时圆心坐标为(0，1)，故D错误．故选AB．]
11．A　[根据题意，x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0变形可得(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，
所以圆心坐标为(a，－2a)，半径为3，
因为圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上所有点都在第二象限，
所以解得a<－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3)．故选A．]
12．x2＋y2－4x－5＝0　[设圆C的圆心坐标为(a，0)(a>0)，由题意可得，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为＝3，所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0．]
13．π　[设点P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|得，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0，配方得，半径为π．]
14．解：(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D．
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0．
由得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5，0)，
所以
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝，
即线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝．
15．解：(1)设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)，
∴|EF|＝＝2，整理得x2＋y2＝1，
∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1．
(2)由已知得A1(－1，0)，A2(1，0)，
设P(x0，y0)，x0≠±1，＝1，
直线PA1的方程为y＝(x＋1)，
令x＝3，得y＝，
则M，
同理，可求N，
∴MN的中点坐标为，
|MN|＝，
∴以MN为直径的圆的方程为(x－3)2＋．
令y＝0，得(x－3)2＝－＝8．
∴x＝3±2，
∴该圆总过定点，定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0)．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.4.2　圆的一般方程
[学习目标]　
1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象)
2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算)
3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理)
探究1　圆的一般方程
问题　把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程______________叫做圆的一般方程，此时方程表示以_____________为圆心，_____________为半径的圆．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点_____________
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
[学以致用]　1．下列方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，说明理由．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－x＝0；
(4)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究2　求圆的一般方程
[典例讲评]　【链接教材P86例4】
1．已知点A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，D(a，3)四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为________．
[母题探究]　若点M(x0，0)在过A，B，C三点的圆内，求x0的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
(2)根据条件列出关于D，E，F的方程组．
(3)解出D，E，F，代回所设的圆的方程．
[学以致用]　2．(源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　与圆有关的轨迹问题
[典例讲评]　【链接教材P87例5】
2．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求与圆有关的轨迹问题有哪些常用方法？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[学以致用]　3．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(教材P88练习T1(1)改编)圆x2＋y2＋6x－2y＝0的圆心坐标为(　　)
A．(－3，1) B．(3，－1)
C．(－6，2) D．(6，－2)
2．已知点(0，－1)在圆x2＋y2－2x－my＋2＝0的外部，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－3，＋∞) B．(－3，2)
C．(－3，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，2)
3．若方程x2＋y2－2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
4．已知A(0，2)，B(1，0)，C(3，0)，则过A，B，C三点的圆的一般方程为 ________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、几何法、定义法、代入法、直接法．
3．警示牌：忽视圆的一般方程表示圆的条件．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十一)　圆的一般方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分
一、选择题
1．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为(　　)
A． B．2
C．3 D．3
2．已知曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0表示圆，且点P(1，2)在曲线C外，则m的取值范围是(　　)
A．
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．
D．∪(1，＋∞)
3．已知圆C：x2＋y2＋2x＋my＋3＝0关于直线2x－y＋4＝0对称，则圆C的半径为(　　)
A． B．2
C．2 D．4
4．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
5．已知圆C上有三个点A(0，)，B(2，)，C(1，0)，则圆C的面积为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
二、填空题
6．已知圆x2＋y2－4x－m＝0的面积为π，则m＝________．
7．到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的的点M的轨迹方程为________．
8．已知圆C经过(0，－1)，(1，0)，(1，1)三点，则圆C的一般方程为 ________．
三、解答题
9．已知A(－1，1)，B(2，－2)，C(5，1)．
(1)求直线BC的方程及△ABC的面积；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
10．(多选)已知圆C：x2＋y2＋kx－2y＋k2＝0，k∈R，则(　　)
A．当k＝0时，C的面积是π
B．实数k的取值范围是
C．点(1，0)在C内
D．当C的周长最大时，圆心坐标是(0，－1)
11．已知圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(－∞，－3]
C．
12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________．
13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
14．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
15．在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在x，y轴上运动．
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于点M，直线PA2交直线l于点N．求证：以MN为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.4.2　圆的一般方程
[学习目标]　
1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象)
2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算)
3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
问题2．二元二次方程什么情况下可以表示圆？
问题3．圆的一般方程与圆的标准方程之间可以互相转化吗？
探究1　圆的一般方程
问题　把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？
[提示]　将x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得，＋＝，当D2＋E2－4F＞0时表示圆，当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．
[新知生成]
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点
D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆
【教用·微提醒】　(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．
(2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．
[学以致用]　1．下列方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，说明理由．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－x＝0；
(4)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)．
[解]　(1)2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆．
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆．
(3)法一：因为D2＋E2－4F＝(－1)2＝1＞0，
所以方程表示圆，圆心坐标为，
即，半径r＝＝．
法二：方程x2＋y2－x＝0可化为＋y2＝，它表示以为圆心，为半径的圆．
(4)因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，表示点(－a，0)，所以原方程不表示圆．
探究2　求圆的一般方程
[典例讲评]　【链接教材P86例4】
1．已知点A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，D(a，3)四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为________．
　[设过A，B，C三点的圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
由已知得解得
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0，又因为点D在此圆上，所以a2＋32－4×3－1＝0，解得a2＝4，所以点D到坐标原点O的距离为＝＝．]
[母题探究]　若点M(x0，0)在过A，B，C三点的圆内，求x0的取值范围．
[解]　由M(x0，0)在圆内，得－1＜0，
解得－1＜x0＜1，所以x0的取值范围是(－1，1)．
【教材原题·P86例4】
例4　求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
[分析]　将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．
[解]　设圆的方程是
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．①
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以，所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0．
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r＝＝5．
　待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
(2)根据条件列出关于D，E，F的方程组．
(3)解出D，E，F，代回所设的圆的方程．
[学以致用]　2．(源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程．
[解]　设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
因为A，B，C三点在圆上，
所以有解得
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0．
探究3　与圆有关的轨迹问题
[典例讲评]　【链接教材P87例5】
2．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解]　(1)法一(直接法)：设顶点C(x，y)，
因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，
所以x≠3且x≠－1．
又kAC·kBC＝－1，
即＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，
由直角三角形的性质知，
|CD|＝|AB|＝2．
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
(2)设点M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，M是线段BC的中点，
由中点坐标公式得
x＝，y＝，
则x0＝2x－3，y0＝2y．
由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，
将(x0，y0)代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠－1)．
【教材原题·P87例5】
例5　已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[分析]　如图2.4-4，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4．建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程．
[解]　设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以
x＝，y＝．
于是有
x0＝2x－4，y0＝2y－3．①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即
＝4．②
把①代入②，得
(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得
＋＝1．
这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆．
【教用·备选题】　已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹．
[解]　设点P的坐标为(x，y)．
当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时，符合题意；
当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意；
当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意；
当x≠0，且x≠1时，根据题意可知AP⊥OP，即kAP·kOP＝－1，
∵kAP＝，kOP＝，∴＝－1，
即＋(y－1)2＝(x≠0，且x≠1)．
经检验，点(1，0)，(1，2)，(0，0)，(0，2)也适合上式．
综上所述，点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
　求与圆有关的轨迹问题有哪些常用方法？
[提示]　(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖圆上的某一个动点，y0)而运动，找到两点的关系，把x0，y0用x，y表示，再将点Q的坐标代入已知圆的方程中得P点的轨迹方程．
[学以致用]　3．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P的坐标为(2x－2，2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
(2)设O为坐标原点，PQ的中点为N(x，y)，连接BN，ON，OP，如图所示．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|．
又ON⊥PQ，
所以|OP|2＝＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．
1．(教材P88练习T1(1)改编)圆x2＋y2＋6x－2y＝0的圆心坐标为(　　)
A．(－3，1) B．(3，－1)
C．(－6，2) D．(6，－2)
A　[将圆的方程整理为标准方程可得：(x＋3)2＋(y－1)2＝10，
可得圆心坐标为(－3，1)．故选A．]
2．已知点(0，－1)在圆x2＋y2－2x－my＋2＝0的外部，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－3，＋∞) B．(－3，2)
C．(－3，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，2)
C　[由点(0，－1)在圆x2＋y2－2x－my＋2＝0的外部，
可知解得－3＜m＜－2或m＞2．故选C．]
3．若方程x2＋y2－2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
A　[因为x2＋y2－2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，
则(－2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，解得a＜1，
所以实数a的取值范围是(－∞，1)．
故选A．]
4．已知A(0，2)，B(1，0)，C(3，0)，则过A，B，C三点的圆的一般方程为 ________．
x2＋y2－4x－y＋3＝0　[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆过A(0，2)，B(1，0)，C(3，0)，
则解得D＝－4，E＝－，F＝3，故过A，B，C三点的圆的一般方程为x2＋y2－4x－y＋3＝0．]
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、几何法、定义法、代入法、直接法．
3．警示牌：忽视圆的一般方程表示圆的条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的一般方程．
[提示]　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
[提示]　A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．
3．求动点的轨迹方程有哪些常用方法？
[提示]　直接法、定义法、代入法．
课时分层作业(二十一)　圆的一般方程
一、选择题
1．(2024·北京卷)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为(　　)
A． B．2
C．3 D．3
D　[圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心坐标为(1，－3)，
圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离d＝＝3．故选D．]
2．已知曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0表示圆，且点P(1，2)在曲线C外，则m的取值范围是(　　)
A．
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．
D．∪(1，＋∞)
D　[由曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0表示圆，得4m2＋4－8＞0，解得m＜－1或m＞1，
由点P(1，2)在曲线C：x2＋y2＋2mx－2y＋2＝0外，得12＋22＋2m－4＋2＞0，解得m＞－，
所以m的取值范围是∪(1，＋∞)．
故选D．]
3．已知圆C：x2＋y2＋2x＋my＋3＝0关于直线2x－y＋4＝0对称，则圆C的半径为(　　)
A． B．2
C．2 D．4
A　[由圆C：x2＋y2＋2x＋my＋3＝0关于直线2x－y＋4＝0对称，
可得圆C的圆心坐标为，圆心在直线2x－y＋4＝0上，
则－2＋＋4＝0，解得m＝－4，故圆C的方程为：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，
r＝＝，所以圆C的半径为．故选A．]
4．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
C　[设顶点为C(x，y)，＝0，
即(－3－x，－y)·(7－x，－y)＝0，
化简得(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．]
5．已知圆C上有三个点A(0，)，B(2，)，C(1，0)，则圆C的面积为(　　)
A．π B．π
C．π D．π
A　[由题意，设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴
解得D＝－2，E＝－，F＝1，故圆的一般方程为x2＋y2－2x－y＋1＝0 (x－1)2＋＝，故圆的半径r＝，圆的面积S＝πr2＝π．故选A．]
二、填空题
6．已知圆x2＋y2－4x－m＝0的面积为π，则m＝________．
－3　[圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，
∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4＋m＝1，∴m＝－3．]
7．到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的的点M的轨迹方程为________．
(x＋1)2＋y2＝4　[设点M的坐标是(x，y)，
则＝．∴＝，
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，
即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4．]
8．已知圆C经过(0，－1)，(1，0)，(1，1)三点，则圆C的一般方程为 ________．
x2＋y2＋x－y－2＝0　[设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将三个点的坐标代入可得
解得D＝1，E＝－1，F＝－2，
即圆C的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0．]
三、解答题
9．已知A(－1，1)，B(2，－2)，C(5，1)．
(1)求直线BC的方程及△ABC的面积；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
[解]　(1)直线BC的方程为＝，化简，得x－y－4＝0，
点A到直线BC的距离d＝＝3，
|BC|＝＝3，
所以△ABC的面积为×d×|BC|＝9．
(2)设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A，B，C的坐标代入，得
即解得
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－4＝0．
10．(多选)已知圆C：x2＋y2＋kx－2y＋k2＝0，k∈R，则(　　)
A．当k＝0时，C的面积是π
B．实数k的取值范围是
C．点(1，0)在C内
D．当C的周长最大时，圆心坐标是(0，－1)
AB　[对于A，当k＝0时，圆C：x2＋(y－1)2＝1，圆C的半径为1，
故C的面积为π×12＝π，故A正确；
对于B，圆C成立的充要条件为k2＋(－2)2－4k2＞0，解得－＜k＜，故B正确；
对于C，圆C的圆心坐标为，半径r＝＝，点(1，0)到圆心的距离d＝＝，当k＝0时，d＝＞r＝1，此时点(1，0)在圆C外，故C错误；
对于D，当k＝0时，半径取得最大值1，即C的周长最大，此时圆心坐标为(0，1)，故D错误．故选AB．]
11．已知圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3) B．(－∞，－3]
C．
A　[根据题意，x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0变形可得(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，
所以圆心坐标为(a，－2a)，半径为3，
因为圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上所有点都在第二象限，
所以解得a＜－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3)．故选A．]
12．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________．
x2＋y2－4x－5＝0　[设圆C的圆心坐标为(a，0)(a＞0)，由题意可得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为＝3，所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0．]
13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为________，面积为________．
π　[设点P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|得＝2，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0，配方得＋y2＝．所以点P的轨迹的圆心为，半径为．圆的面积为π．]
14．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
[解]　(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D．
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0．
由得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25．
(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5，0)，
所以即
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝，
即线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝．
15．在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在x，y轴上运动．
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于点M，直线PA2交直线l于点N．求证：以MN为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．
[解]　(1)设G(x，y)，由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)，
∴|EF|＝＝2，
整理得x2＋y2＝1，
∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2＋y2＝1．
(2)由已知得A1(－1，0)，A2(1，0)，
设P(x0，y0)，x0≠±1，
＝1，
直线PA1的方程为y＝(x＋1)，
令x＝3，得y＝，则M，
同理，可求N，
∴MN的中点坐标为，
|MN|＝＝2，
∴以MN为直径的圆的方程为(x－3)2＋＝．
令y＝0，得(x－3)2＝＝＝8．
∴x＝3±2，
∴该圆总过定点，定点坐标为(3＋2，0)或(3－2，0)．
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第二章
直线和圆的方程
2.4　圆的方程
2.4.2　圆的一般方程
[学习目标]　
1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象)
2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算)
3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
问题2．二元二次方程什么情况下可以表示圆？
问题3．圆的一般方程与圆的标准方程之间可以互相转化吗？
探究建构 关键能力达成
探究1　圆的一般方程
问题　把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？


x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
D2＋E2－4F>0

【教用·微提醒】　(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．
(2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件．
[学以致用]　1．下列方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，说明理由．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－x＝0；
(4)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)．
[解]　(1)2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆．
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆．
探究2　求圆的一般方程
[典例讲评]　【链接教材P86例4】
1．已知点A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，D(a，3)四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为________．

[母题探究]　若点M(x0，0)在过A，B，C三点的圆内，求x0的取值范围．
【教材原题·P86例4】
例4　求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
[分析]　将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．
反思领悟　待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．
(2)根据条件列出关于D，E，F的方程组．
(3)解出D，E，F，代回所设的圆的方程．
[学以致用]　2．(源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程．
探究3　与圆有关的轨迹问题
[典例讲评]　【链接教材P87例5】
2．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
【教材原题·P87例5】
例5　已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[分析]　如图2.4-4，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4．建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程．
【教用·备选题】　已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1，2)的弦的中点P的轨迹．
[解]　设点P的坐标为(x，y)．
当AP垂直于x轴，即点P的坐标为(1，0)时，符合题意；
当AP垂直于y轴，即点P的坐标为(0，2)时，符合题意；
当点P与点A或点O重合，即点P的坐标为(1，2)或(0，0)时，符合题意；
发现规律　求与圆有关的轨迹问题有哪些常用方法？
[学以致用]　3．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P的坐标为(2x－2，2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P88练习T1(1)改编)圆x2＋y2＋6x－2y＝0的圆心坐标为(　　)
A．(－3，1) B．(3，－1)
C．(－6，2) D．(6，－2)
√
A　[将圆的方程整理为标准方程可得：(x＋3)2＋(y－1)2＝10，
可得圆心坐标为(－3，1)．故选A．]
2．已知点(0，－1)在圆x2＋y2－2x－my＋2＝0的外部，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－3，＋∞) B．(－3，2)
C．(－3，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，2)
√
3．若方程x2＋y2－2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
√
A　[因为x2＋y2－2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，
则(－2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，解得a＜1，
所以实数a的取值范围是(－∞，1)．
故选A．]
4．已知A(0，2)，B(1，0)，C(3，0)，则过A，B，C三点的圆的一般方程为 _______________________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、几何法、定义法、代入法、直接法．
3．警示牌：忽视圆的一般方程表示圆的条件．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．试写出圆的一般方程．
[提示]　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需满足什么条件？
[提示]　A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．
3．求动点的轨迹方程有哪些常用方法？
[提示]　直接法、定义法、代入法．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
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课时分层作业(二十一)　圆的一般方程
√
题号
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4．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D．(x－2)2＋y2＝25
√
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二、填空题
6．已知圆x2＋y2－4x－m＝0的面积为π，则m＝________．
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－3　[圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，
∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4＋m＝1，∴m＝－3．]
－3
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(x＋1)2＋y2＝4
8．已知圆C经过(0，－1)，(1，0)，(1，1)三点，则圆C的一般方程为 ____________________．
题号
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x2＋y2＋x－y－2＝0
三、解答题
9．已知A(－1，1)，B(2，－2)，C(5，1)．
(1)求直线BC的方程及△ABC的面积；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
题号
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x2＋y2－4x－5＝0
13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满
足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为__________，面积为________．
题号
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14．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
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15．在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在x，y轴上运动．
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x＝3于点M，直线PA2交直线l于点N．求证：以MN为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．
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