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浙江省杭州市淳安县2024-2025学年九年级下学期期中检测数学试题
1．（2025九下·淳安期中）2025的相反数是（　　）
A． B． C． D．2025
2．（2025九下·淳安期中）如图是由立方体叠成的立体图形，从正面看，得到的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·淳安期中）据新华社年月日报道，从商务部获悉，截至月日，我国电动自行车以旧换新共交售旧车、换购新车各万辆，万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·淳安期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·淳安期中）一组数据5，4，3，6，6的中位数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2025九下·淳安期中）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为　　
A． B．
C． D．
7．（2025九下·淳安期中）已知A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点．若y3＞y1＞y2，则n的取值范围为（　　）
A．n＜﹣2 B．﹣2＜n＜﹣1 C．﹣1＜n＜0 D．n＞0
8．（2025九下·淳安期中）“赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， 如图，连接，若大正方形的面积为的面积为8，则小正方形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．2
9．（2025九下·淳安期中）关于二次函数的下列说法中，正确的是（　　）
A．该二次函数的图象都经过和．
B．当时，该二次函数的最小值为2．
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时，．
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则．
10．（2025九下·淳安期中）如图，等边三角形由三个全等的钝角三角形（），和一个等边三角形组合而成，连接．设，若，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九下·淳安期中）分解因式：　 　．
12．（2025九下·淳安期中）不等式的解为　 　．
13．（2025九下·淳安期中）已知扇形的半径长6，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于　 　．（结果保留π）
14．（2025九下·淳安期中）一个仅装有球的不透明布袋里只有个红球和个白球（仅有颜色不同）．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是　 　．
15．（2025九下·淳安期中）如图，是⊙O的切线，点B为切点，作交于点A，交⊙O于C，D两点，若，，则⊙O的半径长是　 　．
16．（2025九下·淳安期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B落在对角线上的点F处，延长交于点G，若，且，则的长是　 　．
17．（2025九下·淳安期中）计算：
18．（2025九下·淳安期中）解方程组
19．（2025九下·淳安期中）如图，在中，点是边上的一点.
（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的值.
20．（2025九下·淳安期中）某学校从九年级500名学生中随机抽取部分学生进行英语听力测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：，，制作了如图统计图（部分信息来给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩属C等级的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数．
（3）如果该校九年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有多少人？
21．（2025九下·淳安期中）如图，在平行四边形中，，垂直平分分别交于点E，O，F．
（1）判断四边形是何种特殊四边形？并说明理由．
（2）求四边形的面积．
22．（2025九下·淳安期中）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题．
（1）当乙出发后几小时甲追上了乙
（2）设甲、乙两人相距的路程为，
①如图2，补全其图象；
②当时，求对应t的值．
23．（2025九下·淳安期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标：
（2）若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N．
①当时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
24．（2025九下·淳安期中）如图1，在中，，为直径，点E在上，连结、，其中．
（1）求的度数．
（2）如图2，当经过圆心O与交于点G时，
①若，求的值．
②若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可知：2025的相反数是，
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义：符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察立体图形可得：从正面看，一共有两层，底层有2个小正方形，上层有一个小正方形，且在左边，则由前向后观察的视图为：．
故选B．
【分析】
从正面观察物体得到的视图叫做主视图．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万用科学记数法表示为；
故选：C
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数字位数与1的差.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5，A项符合题意；
B、（a2）4=a8，B不符合题意；
C、a8÷a2=a6，C不符合题意；
D、a5+a5=2a5，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，合并同类项法则，对各选项计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：排序为：3，4，5，6，6
最中间的数是5.
∴这组数据的中位数是5.
故答案为：C.
【分析】先将这组数据从小到大排列，处于最中间的数是5，即可得出这组数据的中位数。
6．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运件电子产品，
依题意得：，
故选C．
【分析】
设乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运件电子产品，再由等量关系“ 时间相同 ”列出方程即可．
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y中，k＝20＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点，且y3＞y1＞y2，
∴A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，
∴，
∴﹣2＜n＜﹣1，
故答案为：B．
【分析】
根据反比例函数的图象及性质结合A、B、C三点的横坐标，判断出A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，进而列出不等式组即可解答.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设，
大正方形ABCD的面积为25，
，
，
的面积为8，
，
(负值舍去)，
，
小正方形EFGH的面积，
故选：B．
【分析】
由于赵爽弦图的四个直角三角形全等，因此可设，则内部小正方形的面积为，另由勾股定理知大正方形ABCD的面积为25，即；由于且的面积为8，即，则，则根据勾股定理得到，即内部小正方形的面积可求．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，即该二次函数的图象经过点，
当时，，则该二次函数的图象经过点，故选项 A 不正确；
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴当时，该二次函数取到最小值，最小值小于2，故选项 B 不正确；
∵该二次函数的图象经过点，将该二次函数的图象向左平移 1 个单位，则经过点，
∴则当时，，故选项C不正确；
∵该二次函数的图象经过点，开口向上，且二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为，
∴，故选项D正确，
故选：D．
【分析】
A、二次函数与x轴的交点坐标为和，而二次函数可看作把把二次函数向上平移两个单位长度得到的，故不可能过点和 ；
B、当时，该二次函数的表达式可转化为，故此时最小值为1；
C、因为二次函数的对称轴为，则将该二次函数的图象向左平移1个单位长度后所得的二次函数的对称轴为，则当时，；
D、因为该二次函数的图象经过点，所以 ．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作的垂线，垂足为M，
∵是等边三角形
∴，
∵三个三角形全等，
∴，
设，
在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴；
故选：C
【分析】
如图所示，因为已知了，则可过点B作的垂线线段BM构造直角三角形，可设，解可求出的长，进而得到的长，根据，列出方程求出的值，再根据同高三角形的面积比等于底边比，再进行求解即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提取公因式a即可.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
移项得：，
∴．
故答案为：．
【分析】
解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项合并同类项，最后再系数化为1．
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】
【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式利用弧长公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】由题意，画树状图得：
，
∵共有种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的情况有种，
∴两次摸到不同颜色球的的概率是，
故答案为：．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到球的颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，过点作于，
∴，
是的切线，
，
∴，
，
∴，
∴，
四边形为是矩形，
∴，，
设半径为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
，
解得：，
∴的半径为5，
故答案为：5．
【分析】连接，，过点作于，根据切线的性质、垂直的定义得，从而证明四边形为矩形，进而得，，设半径为，则，，，在中，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长、交于点H，
∵，
∴，
由折叠可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
【分析】
因为平行四边形的对边平行，可延长交延长线于点H，由于，则，由折叠可知，则，所以，由于可证明，则，解出，设，则，，可得，再证明，得出，即．解得：，即可解答．
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别计算负整数指数幂和开立方，然后再化简绝对值代数式，最后再进行减法运算即可．
18．【答案】解：方程组可化为
，
①-②，得
2x=-6，
所以，x=-3，
把x=-3代入②，得
-3×2-3y=1，
解得y=
所以，方程组的解是

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】当二元一次方程组带分母时，先整理方程组，若得到的方程组某一未知数的系数相等或互为相反数时，可直接利用加减消元法解方程组.
19．【答案】解：(1)如图所示；
(2)∵，
∴.
∴.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)作一个角等于已知角，即以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得；
(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.
20．【答案】（1）解：（人）；
等级的学生人数为：（人）；
补全直方图如图：
（2）解：；
答：扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：（人）；
答：估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察直方图和扇形图，可求出其它等级的人数之和以及所占的总的百分比，进而求出抽取的总人数，再求出等级的学生人数，补全直方图即可；
（2）360度乘以等级的学生人数所占的比例，求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
（1）解：（人）；
等级的学生人数为：（人）；
补全直方图如图：
（2）；
答：扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）（人）；
答：估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人．
21．【答案】（1）解：四边形是菱形，
理由如下：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解；
（2）根据题意得到是直角三角形，则，再根据平行线的判定结合相似三角形的判定与性质得到，则，进而结合题意得到，从而根据菱形的性质即可求解。
22．【答案】（1）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，设，
代入得：
解得：，
∴，
设，代入得，
解得：，
∴
当时，，
解得，
∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙；
（2）解：①当时，；
当时，；
补全图象如图，
②解：当时，；
解得，，
当时，；
解得
∴对应t的值为．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法先分别求关于时间的函数解析式，再令解一元一次方程即可；
（2）①当时，；当时，，据此求出对应的函数解析式，即可补全图象；
②根据①中求出的函数解析式解答即可．
（1）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，
设，
代入得：
解得：，
∴，
设，代入得，
解得：，
∴
当时，，
解得，
∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙；
（2）①当时，；
当时，；
补全图象如图，
②解：当时，；
解得，，
当时，；
解得
∴对应t的值为．
23．【答案】（1）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，
∵，
∴的顶点坐标为；
（2）解：①设点P的横坐标为m，∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴或．
②∵的解析式为：，
∴当时，，
当时，，
当时，，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
I、当且时，即，
函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，
解得或 （舍）；
Ⅱ、当且时，即，
函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，
解得或（舍）：
Ⅲ、当时，，
函数的最大值为，函数的最小值为；
∴，
解得（舍）；
综上，a的值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】
（1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，再化一般式为顶点式即可；
（2）①由二次函数图象点的坐标特征，可设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，，得出进行求解即可；
②根据题意可知抛物线C2的对称轴为，因此需要分三种情况讨论，I、当且和Ⅱ、当且以及当进行分析求解．
（1）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，
∵，
∴的顶点坐标为；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴或．
②∵的解析式为：，
∴当时，，
当时，，
当时，，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
I、当且时，即，
函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，
解得或 （舍）；
Ⅱ、当且时，即，
函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，
解得或（舍）：
Ⅲ、当时，，
函数的最大值为，函数的最小值为；
∴，
解得（舍）；
综上，a的值为或．
24．【答案】（1）解：∵，∴，
∵，
∴
∴
∵为直径，
∴，；
（2）解： ①连结交于点M，∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②延长BC交AD的延长线于点N，连结，
设，则
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
是直径
∴，
∴，
∴，
，，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得、，等量代换得，由于AC是直径，则与互余；
（2）①如图，连接BD交AC于点M，由垂径定理的推论可得，则，可由SSS证，由于BE是直径且已知，则是等腰直角三角形，因为，则由勾股定理可得且AD=BE=4，则由面积的两种表示方法得，再等量代换即可；
②延长BC交AD于点N，连结AE，则AE=BC，由于圆内接四边形一个外角等于它的内对角，即，则，由相似比得，此时可设，则；由于等弧所对的圆周角相等，则可证AE//BC，由内错角相等可证，所以，因为、，则可求．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵为直径，
∴，；
（2）解： ①连结交于点M，
∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②延长交于点N，连结，
∵，
∴设，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵都是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∵，
∴．
1 / 1浙江省杭州市淳安县2024-2025学年九年级下学期期中检测数学试题
1．（2025九下·淳安期中）2025的相反数是（　　）
A． B． C． D．2025
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可知：2025的相反数是，
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义：符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
2．（2025九下·淳安期中）如图是由立方体叠成的立体图形，从正面看，得到的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察立体图形可得：从正面看，一共有两层，底层有2个小正方形，上层有一个小正方形，且在左边，则由前向后观察的视图为：．
故选B．
【分析】
从正面观察物体得到的视图叫做主视图．
3．（2025九下·淳安期中）据新华社年月日报道，从商务部获悉，截至月日，我国电动自行车以旧换新共交售旧车、换购新车各万辆，万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万用科学记数法表示为；
故选：C
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数字位数与1的差.
4．（2025九下·淳安期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5，A项符合题意；
B、（a2）4=a8，B不符合题意；
C、a8÷a2=a6，C不符合题意；
D、a5+a5=2a5，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，合并同类项法则，对各选项计算求解即可。
5．（2025九下·淳安期中）一组数据5，4，3，6，6的中位数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：排序为：3，4，5，6，6
最中间的数是5.
∴这组数据的中位数是5.
故答案为：C.
【分析】先将这组数据从小到大排列，处于最中间的数是5，即可得出这组数据的中位数。
6．（2025九下·淳安期中）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运件电子产品，
依题意得：，
故选C．
【分析】
设乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运件电子产品，再由等量关系“ 时间相同 ”列出方程即可．
7．（2025九下·淳安期中）已知A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点．若y3＞y1＞y2，则n的取值范围为（　　）
A．n＜﹣2 B．﹣2＜n＜﹣1 C．﹣1＜n＜0 D．n＞0
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y中，k＝20＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵A（n，y1），B（n+1，y2），C（n+2，y3）是反比例函数y图象上的三点，且y3＞y1＞y2，
∴A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，
∴，
∴﹣2＜n＜﹣1，
故答案为：B．
【分析】
根据反比例函数的图象及性质结合A、B、C三点的横坐标，判断出A（n，y1），B（n+1，y2）在第三象限，C（n+2，y3）在第一象限，进而列出不等式组即可解答.
8．（2025九下·淳安期中）“赵爽弦图”被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， 如图，连接，若大正方形的面积为的面积为8，则小正方形的面积是（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设，
大正方形ABCD的面积为25，
，
，
的面积为8，
，
(负值舍去)，
，
小正方形EFGH的面积，
故选：B．
【分析】
由于赵爽弦图的四个直角三角形全等，因此可设，则内部小正方形的面积为，另由勾股定理知大正方形ABCD的面积为25，即；由于且的面积为8，即，则，则根据勾股定理得到，即内部小正方形的面积可求．
9．（2025九下·淳安期中）关于二次函数的下列说法中，正确的是（　　）
A．该二次函数的图象都经过和．
B．当时，该二次函数的最小值为2．
C．将该二次函数的图象向左平移1个单位，则当或时，．
D．设该二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为，则．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当时，，即该二次函数的图象经过点，
当时，，则该二次函数的图象经过点，故选项 A 不正确；
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴当时，该二次函数取到最小值，最小值小于2，故选项 B 不正确；
∵该二次函数的图象经过点，将该二次函数的图象向左平移 1 个单位，则经过点，
∴则当时，，故选项C不正确；
∵该二次函数的图象经过点，开口向上，且二次函数与轴的两个交点的横坐标分别为，
∴，故选项D正确，
故选：D．
【分析】
A、二次函数与x轴的交点坐标为和，而二次函数可看作把把二次函数向上平移两个单位长度得到的，故不可能过点和 ；
B、当时，该二次函数的表达式可转化为，故此时最小值为1；
C、因为二次函数的对称轴为，则将该二次函数的图象向左平移1个单位长度后所得的二次函数的对称轴为，则当时，；
D、因为该二次函数的图象经过点，所以 ．
10．（2025九下·淳安期中）如图，等边三角形由三个全等的钝角三角形（），和一个等边三角形组合而成，连接．设，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作的垂线，垂足为M，
∵是等边三角形
∴，
∵三个三角形全等，
∴，
设，
在中，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴；
故选：C
【分析】
如图所示，因为已知了，则可过点B作的垂线线段BM构造直角三角形，可设，解可求出的长，进而得到的长，根据，列出方程求出的值，再根据同高三角形的面积比等于底边比，再进行求解即可．
11．（2025九下·淳安期中）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】直接提取公因式a即可.
12．（2025九下·淳安期中）不等式的解为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
移项得：，
∴．
故答案为：．
【分析】
解一元一次不等式的一般步骤是去分母、去括号、移项合并同类项，最后再系数化为1．
13．（2025九下·淳安期中）已知扇形的半径长6，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于　 　．（结果保留π）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】
【分析】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式利用弧长公式计算即可.
14．（2025九下·淳安期中）一个仅装有球的不透明布袋里只有个红球和个白球（仅有颜色不同）．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】由题意，画树状图得：
，
∵共有种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的情况有种，
∴两次摸到不同颜色球的的概率是，
故答案为：．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到球的颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
15．（2025九下·淳安期中）如图，是⊙O的切线，点B为切点，作交于点A，交⊙O于C，D两点，若，，则⊙O的半径长是　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，过点作于，
∴，
是的切线，
，
∴，
，
∴，
∴，
四边形为是矩形，
∴，，
设半径为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
，
解得：，
∴的半径为5，
故答案为：5．
【分析】连接，，过点作于，根据切线的性质、垂直的定义得，从而证明四边形为矩形，进而得，，设半径为，则，，，在中，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可.
16．（2025九下·淳安期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，将沿翻折，使点B落在对角线上的点F处，延长交于点G，若，且，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长、交于点H，
∵，
∴，
由折叠可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
【分析】
因为平行四边形的对边平行，可延长交延长线于点H，由于，则，由折叠可知，则，所以，由于可证明，则，解出，设，则，，可得，再证明，得出，即．解得：，即可解答．
17．（2025九下·淳安期中）计算：
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先分别计算负整数指数幂和开立方，然后再化简绝对值代数式，最后再进行减法运算即可．
18．（2025九下·淳安期中）解方程组
【答案】解：方程组可化为
，
①-②，得
2x=-6，
所以，x=-3，
把x=-3代入②，得
-3×2-3y=1，
解得y=
所以，方程组的解是

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】当二元一次方程组带分母时，先整理方程组，若得到的方程组某一未知数的系数相等或互为相反数时，可直接利用加减消元法解方程组.
19．（2025九下·淳安期中）如图，在中，点是边上的一点.
（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的值.
【答案】解：(1)如图所示；
(2)∵，
∴.
∴.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)作一个角等于已知角，即以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得；
(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.
20．（2025九下·淳安期中）某学校从九年级500名学生中随机抽取部分学生进行英语听力测试（测试满分100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等级：，，制作了如图统计图（部分信息来给出）．
由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求测试成绩属C等级的学生人数，并补全频数分布直方图．
（2）求扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数．
（3）如果该校九年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有多少人？
【答案】（1）解：（人）；
等级的学生人数为：（人）；
补全直方图如图：
（2）解：；
答：扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）解：（人）；
答：估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察直方图和扇形图，可求出其它等级的人数之和以及所占的总的百分比，进而求出抽取的总人数，再求出等级的学生人数，补全直方图即可；
（2）360度乘以等级的学生人数所占的比例，求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
（1）解：（人）；
等级的学生人数为：（人）；
补全直方图如图：
（2）；
答：扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）（人）；
答：估计该校九年级听力成绩获得D等级的学生有75人．
21．（2025九下·淳安期中）如图，在平行四边形中，，垂直平分分别交于点E，O，F．
（1）判断四边形是何种特殊四边形？并说明理由．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：四边形是菱形，
理由如下：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明得到，再根据平行四边形的判定结合菱形的判定即可求解；
（2）根据题意得到是直角三角形，则，再根据平行线的判定结合相似三角形的判定与性质得到，则，进而结合题意得到，从而根据菱形的性质即可求解。
22．（2025九下·淳安期中）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，乙骑自行车，甲骑摩托车．图1中DE，OC分别表示甲、乙离开A地的路程与时间的函数关系的图象，其中点F在OC上．请根据图象回答下列问题．
（1）当乙出发后几小时甲追上了乙
（2）设甲、乙两人相距的路程为，
①如图2，补全其图象；
②当时，求对应t的值．
【答案】（1）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，设，
代入得：
解得：，
∴，
设，代入得，
解得：，
∴
当时，，
解得，
∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙；
（2）解：①当时，；
当时，；
补全图象如图，
②解：当时，；
解得，，
当时，；
解得
∴对应t的值为．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法先分别求关于时间的函数解析式，再令解一元一次方程即可；
（2）①当时，；当时，，据此求出对应的函数解析式，即可补全图象；
②根据①中求出的函数解析式解答即可．
（1）解：设甲距离A地的路程为，乙距离A地的路程为，
设，
代入得：
解得：，
∴，
设，代入得，
解得：，
∴
当时，，
解得，
∴当乙出发后1.8小时，甲追上了乙；
（2）①当时，；
当时，；
补全图象如图，
②解：当时，；
解得，，
当时，；
解得
∴对应t的值为．
23．（2025九下·淳安期中）新定义：我们把抛物线（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的表达式（用含a的式子表示）及顶点坐标：
（2）若，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N．
①当时，求点P的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【答案】（1）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，
∵，
∴的顶点坐标为；
（2）解：①设点P的横坐标为m，∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴或．
②∵的解析式为：，
∴当时，，
当时，，
当时，，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
I、当且时，即，
函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，
解得或 （舍）；
Ⅱ、当且时，即，
函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，
解得或（舍）：
Ⅲ、当时，，
函数的最大值为，函数的最小值为；
∴，
解得（舍）；
综上，a的值为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的三种形式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】
（1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，再化一般式为顶点式即可；
（2）①由二次函数图象点的坐标特征，可设点P的横坐标为m，过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，，得出进行求解即可；
②根据题意可知抛物线C2的对称轴为，因此需要分三种情况讨论，I、当且和Ⅱ、当且以及当进行分析求解．
（1）解：根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，
∵，
∴的顶点坐标为；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线于点M，N，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴或．
②∵的解析式为：，
∴当时，，
当时，，
当时，，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
I、当且时，即，
函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，
解得或 （舍）；
Ⅱ、当且时，即，
函数的最大值为；函数的最小值为，
∴，
解得或（舍）：
Ⅲ、当时，，
函数的最大值为，函数的最小值为；
∴，
解得（舍）；
综上，a的值为或．
24．（2025九下·淳安期中）如图1，在中，，为直径，点E在上，连结、，其中．
（1）求的度数．
（2）如图2，当经过圆心O与交于点G时，
①若，求的值．
②若，求的值．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵，
∴
∴
∵为直径，
∴，；
（2）解： ①连结交于点M，∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②延长BC交AD的延长线于点N，连结，
设，则
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
是直径
∴，
∴，
∴，
，，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得、，等量代换得，由于AC是直径，则与互余；
（2）①如图，连接BD交AC于点M，由垂径定理的推论可得，则，可由SSS证，由于BE是直径且已知，则是等腰直角三角形，因为，则由勾股定理可得且AD=BE=4，则由面积的两种表示方法得，再等量代换即可；
②延长BC交AD于点N，连结AE，则AE=BC，由于圆内接四边形一个外角等于它的内对角，即，则，由相似比得，此时可设，则；由于等弧所对的圆周角相等，则可证AE//BC，由内错角相等可证，所以，因为、，则可求．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵为直径，
∴，；
（2）解： ①连结交于点M，
∵，
∴，
由（1）得，
∵，
∴
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②延长交于点N，连结，
∵，
∴设，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵都是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∵，
∴．
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