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课时分层作业(二十三)
1．C　[画出示意图如图所示，通过勾股定理得|OD|＝＝3.6(米)．故选C．]
2．AD　[设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，
则圆心到直线l的距离为，
得m＝－，
所以该圆运动的时间为＝6(秒)或＝16(秒)．]
3．A　[以A为坐标原点，BA，CA所在的直线分别为x轴，y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，新路长度最小，此时，解得k＝1(负值舍去)，此时求得新路长度为100 m．]
4．C　[建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(10，0)，C(0，4)，
设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
则
解得b＝－，r2＝．
∴圆的方程为x2＋．
取y＝－1，得x2＝＝120，
∴x＝±2．
则当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为4 m．
故选C．]
5．　[∵OD⊥AB，
∴AD＝DB＝×10＝5(米)，
在Rt△OAD中，设圆的半径OA＝R，
则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2，
即R2＝(7－R)2＋52，解得R＝．
∴此隧道圆的半径是米．]
6．2　[设点E，F分别为两圆圆心，如图所示．
连接EF，EA，FB，并作EG⊥BF于点G．
则|EF|＝2＋1＝3，|GF|＝2－1＝1，
∴|EG|＝．]
7．1　[如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)
为危险区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，|BN|＝|BM|，△ABE为等腰直角三角形，因为|AB|＝40，所以|BE|＝20km，在Rt△BEN中，|NE|＝＝10(km)，
则|MN|＝20 km，所以时间为＝1 h．]
8．
解：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程为x2＋y2＝252．直线AB方程为＝1，
即3x＋4y－120＝0．设O到AB距离为d，
则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，
则t＝＝0.5(h)．
所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h．
9．BCD　[点A(－3，3)关于x轴的对称点为A'(－3，－3)．圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．
由相切知＝1，
解得k＝．
所以反射光线方程为y＋3＝(x＋3)或y＋3＝(x＋3)．
即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；
又过点A'(－3，－3)，C(2，2)的直线的方程为y＝x，故B正确；
因为|A'C|＝，所以光线经过的最短路程为5－1，故C正确；
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1，0)和，所以在x轴上被挡住的范围是，故D正确．]
10．17.5　[
以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则O(0，0)，A(20，20)，观景直道所在直线的方程为y＝－10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过点A且恰与圆O相切．
①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；
②若直线l不垂直于x轴，设l：y－20＝k(x－20)，整理得kx－y－20k＋20＝0，
所以圆心O到直线l的距离d＝＝4，解得k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0或4x－3y－20＝0，
设这两条直线与y＝－10交于D，E，
由解得x＝－20，
由解得x＝－2.5，
所以|DE|＝17.5米．]
11．解：(1)由题设EF∩MN＝O，以O为原点，EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AD＝EF＝6，BN和NC为相对的两个车道，侧墙面EA＝FD＝2米，弧顶高MN＝5米，则E(－3，0)，F(3，0)，M(0，3)，易知圆心在y轴上，设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
又F，M在圆上，则
解得b＝－3，r2＝36，
所以圆弧所在圆的半径为6米．
(2)设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于P，则|CP|＝h＋0.5，
由(1)知，圆的方程为x2＋(y＋3)2＝36，
将P的横坐标x＝代入圆的方程，
有()2＋(y＋3)2＝36，解得y＝2或y＝－8(舍)，
所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(米)，
即车辆通过隧道的限制高度是3.5米．
12．3．97　[
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，设所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2＋(y－b)2＝r2．
将P(0，2)，D(4，0)的坐标代入以上方程，解得b＝－3，r＝5，故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25．
过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交于点N，
将N(－3.5，h)代入圆O1的方程，
解得h≈0.571，即|MN|≈0.571，
则|EN|≈4＋0.571＝4.571，
从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97(m)．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时　直线和圆的方程的实际应用
[学习目标]　
1．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模、数学运算)
2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．(直观想象)
探究1　圆的方程的实际应用
问题　比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将______________问题转化为______________问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
[典例讲评]　【链接教材P93例3】
1．如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，支柱A2P2的高度为4 m，求拱高OP．(精确到0.01 m)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
[学以致用]　【链接教材P95练习T2】
1．一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽度为(　　)
A．14 m B．15 m
C． m D．2 m
探究2　直线与圆的方程的实际应用
[典例讲评]　【链接教材P94例4】
2．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[学以致用]　2．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为(　　)
A．1分钟 B．分钟
C．2分钟 D．分钟
1．(教材P95练习T1改编)一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，建立如图所示的直角坐标系，则该半圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．x2＋y2＝25(y≤0)
2．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为(　　)
A．3－ B．3＋
C．3－
3．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为(　　)
A．15米 B．13米
C．9米 D．6.5米
4．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．
1．知识链：
2．方法链：数学建模、坐标法．
3．警示牌：不能正确进行数学建模．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共63张PPT)
第2课时　直线和圆的方程的实际应用
第二章
直线和圆的方程
2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
[学习目标]　
1．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模、数学运算)
2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．(直观想象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题 坐标法解决平面几何问题的步骤是什么？
探究建构 关键能力达成
探究1　圆的方程的实际应用
问题　比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？
[提示]　向量法是将点、线、面等几何要素用向量表示，通过向量运算将结果“翻译”成相应结论，为几何问题的解决带来极大便利性．坐标法与它类似，也是将几何问题“代数化”，通过计算使繁杂的问题得到解决．
[新知生成]
用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将____问题转化为____问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
几何
代数
【教用·微提醒】　建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．
[典例讲评]　【链接教材P93例3】
1．如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，支柱A2P2的高度为4 m，求拱高OP．(精确到0.01 m)．
【教材原题·P93例3】
例3　图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，
拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)．
[分析]　建立如图2.5-4所示的直角坐标系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出点P2的纵坐标．
反思领悟　建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
√
【教材原题·P95练习T2】某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5．
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1．
由于船在水面以上高3 m，3＜3.1，所以这条船可以从桥下通过．
【教材原题·P94例4】
例4　一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为
20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
[分析]　先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图2.5-5，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险．
发现规律　试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．
[提示]　(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
√
【教用·备选题】　为了适应市场需要，某地准备建一个圆形蔬菜储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向正东方向走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东走7 km到达公路上的点B．从基地中心O向正北方向走8 km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求|DE|的最小值．
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P95练习T1改编)一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，建立如图所示的直角坐标系，则该半圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．x2＋y2＝25(y≤0)
√
B　[在给定坐标系中，半圆方程中y≥0，故选B．]
√
3．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为(　　)
A．15米
B．13米
C．9米
D．6.5米
√
4．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．
1．知识链：
2．方法链：数学建模、坐标法．
3．警示牌：不能正确进行数学建模．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用坐标法解答几何问题？
[提示]　建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
2．用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？
[提示]　
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
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2
4
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10
11
12
一、选择题
1．一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过(　　)
A．1.4米 B．3.0米
C．3.6米 D．4.5米
课时分层作业(二十三)　直线和圆的方程的实际应用
√
题号
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题号
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二、填空题
5．如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是________米．
题号
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题号
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6．如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为________．
题号
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题号
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7．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心
30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为________h．
题号
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三、解答题
8．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h．问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
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17.5
17.5　[以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则O(0，0)，A(20，20)，观景直道所在直线的方程为y＝－10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过点A且恰与圆O相切．
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3.97
题号
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12第2课时　直线和圆的方程的实际应用
[学习目标]　
1．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(数学建模、数学运算)
2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．(直观想象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题 坐标法解决平面几何问题的步骤是什么？
探究1　圆的方程的实际应用
问题　比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？
[提示]　向量法是将点、线、面等几何要素用向量表示，通过向量运算将结果“翻译”成相应结论，为几何问题的解决带来极大便利性．坐标法与它类似，也是将几何问题“代数化”，通过计算使繁杂的问题得到解决．
[新知生成]
用坐标法解决几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
【教用·微提醒】　建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响．因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单．
[典例讲评]　【链接教材P93例3】
1．如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，支柱A2P2的高度为4 m，求拱高OP．(精确到0.01 m)．
[解]　建立如图所示的平面直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上．由题意，点A，P2的坐标分别为A(－10，0)，P2(－2，4)．
设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得b＝－10，r2＝200，
所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝200，
当x＝0时，点P的纵坐标y＝10－10≈4.14 m．(另一根舍去)．
答：拱高OP约为4.14 m．
【教材原题·P93例3】
例3　图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)．
[分析]　建立如图2.5-4所示的直角坐标系，要得到支柱A2P2的高度，只需求出点P2的纵坐标．
[解]　建立如图2.5-4所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上．由题意，点P，B的坐标分别为(0，4)，(10，0)．设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是
x2＋(y－b)2＝r2．
下面确定b和r的值．
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2．
于是，得到方程组
解得b＝－10.5，r2＝14.52．
所以，圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52．
把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得
(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52，
即y＋10.5＝(P2的纵坐标y＞0，平方根取正值)．所以
y＝－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m)．
答：支柱A2P2的高度约为3.86 m．
　建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
[学以致用]　【链接教材P95练习T2】
1．一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽度为(　　)
A．14 m B．15 m
C． m D．2 m
D　[以圆弧形拱桥的顶点为原点，过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，
过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B．则由已知可得A(6，－2)．设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2．将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100．当水面下降1 m后，设水面所在弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，故水面宽度为2 m．故选D．]
【教材原题·P95练习T2】某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
[解]　建立如图所示的平面直角坐标系．依题意，有A(－10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(－5，0)，E(5，0)．
设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，于是有
解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5．
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)．
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1．
由于船在水面以上高3 m，3＜3.1，所以这条船可以从桥下通过．
探究2　直线与圆的方程的实际应用
[典例讲评]　【链接教材P94例4】
2．如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？
[解]　(1)由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
解得
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0．
(2)该船初始位置为点D，则D(－20，－20)，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航线所在直线l：x－y＋20－20＝0，
由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10，
由于圆心C到直线l的距离
d＝＝10＜10，故该船有触礁的危险．
【教材原题·P94例4】
例4　一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
[分析]　先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图2.5-5，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险．
[解]　以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图2.5-5所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0，3)，轮船所在位置的坐标为(4，0)．
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2＋y2＝4；
轮船航线所在直线l的方程为
＝1，即3x＋4y－12＝0．
联立直线l与圆O的方程，得
消去y，得
25x2－72x＋80＝0．
由Δ＝(－72)2－4×25×80＜0，可知方程组无解．
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．
　试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．
[提示]　(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
[学以致用]　2．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为(　　)
A．1分钟 B．分钟
C．2分钟 D．分钟
C　[以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，则A(50，0)，B(0，50)，可得lAB：x＋y＝50，圆O：x2＋y2＝10 000．记从N处开始被监测，到M处监测结束，因为O到lAB的距离为|OO′|＝＝50(米)，所以|MN|＝2＝100(米)，故监测时长为＝2(分钟)．
]
【教用·备选题】　为了适应市场需要，某地准备建一个圆形蔬菜储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向正东方向走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东走7 km到达公路上的点B．从基地中心O向正北方向走8 km到达公路的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求|DE|的最小值．
[解]　以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，
则圆O的方程为x2＋y2＝1．因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＝1，即x＋y－8＝0．
易知，当O，D，E三点共线且OE⊥BC时，DE的长最小，|DE|的最小值为－1＝4－1．
故|DE|的最小值为(4－1) km．
1．(教材P95练习T1改编)一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，建立如图所示的直角坐标系，则该半圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．x2＋y2＝25(y≤0)
B　[在给定坐标系中，半圆方程中y≥0，
故选B．]
2．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在公园外两点A(－2，0)，B(0，2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为(　　)
A．3－ B．3＋
C．3－
A　[lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离d＝＝，|AB|＝2，
所以AB边上的高的最小值为－1．
所以Smin＝×2＝3－．]
3．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为(　　)
A．15米 B．13米
C．9米 D．6.5米
B　[如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13米．
]
4．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．
－2　[从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，为－2＝－2．]
1．知识链：
2．方法链：数学建模、坐标法．
3．警示牌：不能正确进行数学建模．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何用坐标法解答几何问题？
[提示]　建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．
2．用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？
[提示]　
课时分层作业(二十三)　直线和圆的方程的实际应用
一、选择题
1．一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过(　　)
A．1.4米 B．3.0米
C．3.6米 D．4.5米
C　[画出示意图如图所示，通过勾股定理得
|OD|＝＝＝3.6(米)．故选C．]
2．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为(　　)
A．6秒 B．8秒
C．10秒 D．16秒
AD　[设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，
则圆心到直线l的距离为＝，
得m＝－或m＝－，
所以该圆运动的时间为＝6(秒)或＝16(秒)．]
3．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)(　　)
A．100 B．100
C．150 D．150
A　[以A为坐标原点，BA，CA所在的直线分别为x轴，y轴，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k＞0)，则当该直线与圆O相切时，新路长度最小，此时＝45，解得k＝1(负值舍去)，此时求得新路长度为100 m．]
4．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20 m，拱顶离水面4 m，当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为(　　)
A．2 m B．20 m
C．4 m D．12 m
C　[建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(10，0)，C(0，4)，
设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
则解得b＝－，r2＝．
∴圆的方程为x2＋＝．
取y＝－1，得x2＝－＝120，
∴x＝±2．
则当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为4 m．
故选C．]
二、填空题
5．如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是________米．
　[∵OD⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝×10＝5(米)，
在Rt△OAD中，设圆的半径OA＝R，
则OD＝CD－R＝7－R，
∴OA2＝OD2＋AD2，
即R2＝(7－R)2＋52，解得R＝．
∴此隧道圆的半径是米．]
6．如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为________．
2　[设点E，F分别为两圆圆心，如图所示．
连接EF，EA，FB，并作EG⊥BF于点G．
则|EF|＝2＋1＝3，|GF|＝2－1＝1，
∴|EG|＝＝2．]
7．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为________h．
1　[如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，|BN|＝|BM|，△ABE为等腰直角三角形，因为|AB|＝40，所以|BE|＝20km，在Rt△BEN中，|NE|＝＝10(km)，则|MN|＝20 km，所以时间为＝1 h．
]
三、解答题
8．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h．问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
[解]　如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程为x2＋y2＝252．直线AB方程为＝1，
即3x＋4y－120＝0．设O到AB距离为d，
则d＝＝24＜25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，
则t＝＝0.5(h)．
所以外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h．
9．(多选)从点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是(　　)
A．若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B．若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5－1
D．若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是
BCD　[点A(－3，3)关于x轴的对称点为A′(－3，－3)．圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．
由相切知＝1，
解得k＝或k＝．
所以反射光线方程为y＋3＝(x＋3)或y＋3＝(x＋3)．
即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；
又过点A′(－3，－3)，C(2，2)的直线的方程为y＝x，故B正确；
因为|A′C|＝＝5，所以光线经过的最短路程为5－1，故C正确；
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1，0)和，所以在x轴上被挡住的范围是，故D正确．]
10．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向20米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为________米．
17.5　[以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则O(0，0)，A(20，20)，观景直道所在直线的方程为y＝－10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过点A且恰与圆O相切．
①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；
②若直线l不垂直于x轴，设l：y－20＝k(x－20)，整理得kx－y－20k＋20＝0，
所以圆心O到直线l的距离d＝＝4，解得k＝或k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0或4x－3y－20＝0，
设这两条直线与y＝－10交于D，E，
由解得x＝－20，
由解得x＝－2.5，
所以|DE|＝17.5米．]
11．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度AD＝EF＝6米，行车道总宽度BC＝2米，BN和NC为相对的两个车道，侧墙面EA＝FD＝2米，弧顶高MN＝5米．
(1)求圆弧所在圆的半径的长度；
(2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米？
[解]　(1)由题设EF∩MN＝O，以O为原点，EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
因为AD＝EF＝6，BN和NC为相对的两个车道，侧墙面EA＝FD＝2米，弧顶高MN＝5米，
则E(－3，0)，F(3，0)，M(0，3)，
易知圆心在y轴上，设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
又F，M在圆上，则
解得b＝－3，r2＝36，
所以圆弧所在圆的半径为6米．
(2)设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于P，则|CP|＝h＋0.5，
由(1)知，圆的方程为x2＋(y＋3)2＝36，
将P的横坐标x＝代入圆的方程，有()2＋(y＋3)2＝36，解得y＝2或y＝－8(舍)，
所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(米)，
即车辆通过隧道的限制高度是3.5米．
12．如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m．(精确到0.01 m，≈7.141)
3.97　[建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，设所在圆的圆心坐标为O1(0，b)，半径为r，则其方程为x2＋(y－b)2＝r2．
将P(0，2)，D(4，0)的坐标代入以上方程，解得b＝－3，r＝5，故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25．
过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交于点N，将N(－3.5，h)代入圆O1的方程，
解得h≈0.571，即|MN|≈0.571，
则|EN|≈4＋0.571＝4.571，
从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97(m)．]
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说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共80分
一、选择题
1．一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过(　　)
A．1.4米 B．3.0米
C．3.6米 D．4.5米
2．(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位长度的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为(　　)
A．6秒 B．8秒
C．10秒 D．16秒
3．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)(　　)
A．100 B．100
C．150 D．150
4．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20 m，拱顶离水面4 m，当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为(　　)
A．2 m B．20 m
C．4 m D．12 m
二、填空题
5．如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是________米．
6．如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为2和1，则它们与墙的切点A，B间的距离为________．
7．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为________h．
三、解答题
8．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h．问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
9．(多选)从点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是(　　)
A．若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B．若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
C．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5－1
D．若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是
10．某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向20米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为________米．
11．某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度AD＝EF＝6米，行车道总宽度BC＝2米，BN和NC为相对的两个车道，侧墙面EA＝FD＝2米，弧顶高MN＝5米．
(1)求圆弧所在圆的半径的长度；
(2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米？
12．如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m______________(精确到0.01 m，≈7.141)
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