资源简介

课时分层作业(二十二)　直线与圆的位置关系
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共90分
一、选择题
1．已知直线l：x＋2y－3＝0与圆M：x2＋y2－2ax－4y＋5＝0相离，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．(－2，－1)
C．(1，2) D．
故选D．]
2．如果直线mx＋ny－4＝0与圆C：x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点M(m，n)与圆C的位置关系为(　　)
A．M在圆C上
B．M在圆C外
C．M在圆C内
D．M与圆C的位置不确定
3．(多选)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(　　)
A．直线过定点(－2，1)
B．圆的圆心坐标为(1，2)
C．直线与圆相交
D．直线与圆相交所截最短弦长为2
4．(多选)若圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x＋4y＋5＝0的距离为2，则实数a可能为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．10
5．下列关于直线l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1的说法不正确的是(　　)
A．若直线l与圆C相切，则b2－k2为定值
B．若4b2－k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若4b2－k2＝1，则圆上仅有两个点到直线l的距离相等
D．当b＝时，直线与圆相交
二、填空题
6．过点(1，1)的直线l被圆C：x2＋y2＝4截得的弦长最短，则直线l的斜率为________．
7．直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
8．已知直线l过点P(2，4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为________．
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，直线x＋y＋3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1，－1)．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线y＝x＋m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
10．已知直线l过点P(2，5)，且与圆C：x2＋y2－6x－4y－3＝0交于A，B两点，当△ABC面积最大时，l的方程为(　　)
A．x－3y＋13＝0
B．x－3y－13＝0或x－3y－17＝0
C．x－y＋3＝0
D．x－y＋3＝0或x＋7y－37＝0
11．过点P(－2，0)作圆x2＋y2－4y＝1的两条切线，设切点分别为A，B，则△PAB的面积为(　　)
A．
C．
12．圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)的圆的方程是________．
13．已知点A(－1，0)，B(0，2)，圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y＋4＝0，过点B的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点．
(1)求直线l的方程；
(2)求△PAB面积的最大值．
14．在平面直角坐标系Oxy中，过点A(0，－3)的直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝9交于M，N两点，若S△AON＝S△ACM，则直线l的斜率为________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
[学习目标]　1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(直观想象) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(逻辑推理、数学运算) 3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
问题2．用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
探究1　直线与圆位置关系的判定
问题　利用直线和圆的方程，如何判断它们的位置关系呢？
[提示]　转化为判断由它们的方程组成的方程组实数解个数的问题．
[新知生成]
直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
【教用·微提醒】　代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法．
[典例讲评]　1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
[解]　法一：由
②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③
方程③的根的判别式
Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)．
当－20，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离．
综上，当－22或b<－2时，直线与圆相离．
法二：圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝．
当d当d＝r，即＝时，直线与圆相切，∴b＝±2．
当d>r，即>时，直线与圆相离，∴b>2或b<－2．
综上，当－2当b＝－2或b＝2时，直线与圆相切；
当b>2或b<－2时，直线与圆相离．
　判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[学以致用]　1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
A　[圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心C(0，1)，半径r＝，
又圆心C到直线l的距离d＝＝＜，
所以直线l与圆C相交．故选A．]
2．已知直线ax－y＋2＝0与圆(x－3)2＋y2＝9只有一个公共点，则a＝(　　)
A．－
C．－
B　[因为直线ax－y＋2＝0与圆(x－3)2＋y2＝9只有一个公共点，
所以＝3，所以(3a＋2)2＝9(a2＋1)，解得a＝．故选B．]
【教用·备选题】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，
∵Δ＝4m(3m＋4)．
∴(1)当Δ>0时，
即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点．
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点．
(3)当Δ<0时，即－法二：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2．
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝．
(1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点．
(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点．
(3)当d>2，即－即直线与圆没有公共点．
探究2　圆的弦长问题
[典例讲评]　【链接教材P91例1】
2．(源自北师大版教材)已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0．
(1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；
(2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明．
[解]　(1)将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－1)2＝2，即圆P是以点(1，1)为圆心，为半径的圆(如图(1))．
(2)因为圆心P到直线m的距离d＝＝1＜，所以直线m与圆P相交．
设交点为A，B，圆P的半径为r(如图(2))，易知△PAB是等腰三角形，腰PA，PB的长为圆P的半径长，即PA＝PB＝r＝，底边AB上的高为圆心P到直线m的距离d．
所以由勾股定理，得|AB|＝2＝2．
故直线m被圆P截得的弦长为2．
【教材原题·P91例1】
例1　已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长．
[分析]　思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
解法1：联立直线l与圆C的方程，得
消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1．
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点．
把x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3．
所以，直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3)．
因此|AB|＝＝．
解法2：圆C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为，圆心C(0，1)到直线l的距离
d＝＝＜．
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点．
如图2.5-1，由垂径定理，得|AB|＝2＝．
　求弦长常用的三种方法
(1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)交点坐标法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
(3)公式法：设直线y＝kx＋b，与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝．
[学以致用]　【链接教材P98习题2.5T3】
3．求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．
[解]　法一：直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组
的解．
解这个方程组，得
所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)，
所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2．
法二：如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，
又|OM|＝＝，所以|AB|＝2|AM|＝2＝2＝2．
【教材原题·P98习题2.5T3】求直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长．
[解]　法一：联立
解得或不妨设A(2，0)，B(3，3)，可得|AB|＝．
法二：圆C的方程变形为(x－1)2＋(y－2)2＝5，半径r＝，圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离d＝＝．
所以|AB|＝2＝．
探究3　直线与圆相切
[典例讲评]　【链接教材P92例2】
3．已知圆C：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0，过点P(2，1)作圆C的切线m，则m的方程为(　　)
A．x＝2
B．3x＋4y－10＝0
C．3x＋4y－10＝0或x＝2
D．3x＋4y－10＝0或3x－4y－2＝0
C　[将圆C：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0化为标准方程(x＋2)2＋(y＋1)2＝16，
则圆心C(－2，－1)，半径r＝4，因为(2＋2)2＋(1＋1)2＝20＞16，所以P在圆外．
当切线m的斜率不存在时，切线m的方程为x＝2，此时直线m与圆C相切；
当切线m的斜率存在时，设切线m的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，由题意知，4＝，解得k＝－．
此时切线m的方程为3x＋4y－10＝0．
综上，切线m的方程为x＝2或3x＋4y－10＝0．
故选C．]
[母题探究]　
1．在本例条件下，求此切线长．
[解]　点P(2，1)到圆心的距离为＝，
∴切线长为＝2．
2．若本例点P的坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求切线m的方程．
[解]　∵22＋(－1)2＋4×2＋2×(－1)－11＝0，
∴点P在圆上，
∴过点P(2，－1)的切线方程为x＝2，
即直线m的方程为x＝2．
【教材原题·P92例2】
例2　过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程．
[分析]　如图2.5-2，容易知道，点P(2，1)位于圆O：x2＋y2＝1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为y－1＝k(x－2)，k为斜率，由直线与圆相切可求出k的值．
解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0．
由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，得
＝1，解得k＝0或．
因此，所求切线l的方程为y＝1，或4x－3y－5＝0．
解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)．
因为直线l与圆相切，所以方程组
只有一组解．
消元，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k＝0．①
因为方程①只有一个解，所以
Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)＝0，
解得k＝0或．
所以，所求切线l的方程为y＝1，或4x－3y－5＝0．
　求过某一点的圆的切线方程
(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在且不为0，则先求切点和圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程．
②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当切线斜率不存在时要加以验证．
③过圆外一点的切线有两条．
[学以致用]　4．过点(－1，0)与圆x2＋y2－4x－m＝0相切的两条直线垂直，则m＝(　　)
A．－ B．－1
C．1 D．
D　[圆x2＋y2－4x－m＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4＋m，圆心(2，0)，半径r＝，
∵过点(－1，0)与圆x2＋y2－4x－m＝0相切的两条直线垂直，∴点(－1，0)到圆心的距离是r，即3＝，解得m＝．故选D．]
1．(教材P93练习T1(1)改编)直线l：y＝x＋1与圆C：(x－1)2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．都有可能
A　[圆C的圆心坐标为(1，0)，半径为2，直线l的方程为x－y＋1＝0，
圆心到直线l的距离为＝＜2，
所以直线l与圆C的位置关系是相交．故选A．]
2．已知直线l：x＋my＋1＝0和圆E：x2＋y2－4x＋3＝0，则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
C　[由题知，圆E：(x－2)2＋y2＝1，其中圆心E(2，0)，半径为1，直线l过定点(－1，0)，所以点P到直线l的距离的最大值为(－1，0)到圆心的距离加上圆的半径，即3＋1＝4．故选C．]
3．圆心在y轴上的圆C与直线x－y＝1相切于点A(1，0)，则圆心C的纵坐标为(　　)
A．2 B．
C．1 D．0
C　[圆心在y轴上的圆C与直线x－y＝1相切于点A(1，0)，可知圆的圆心在直线y＝－(x－1)上，x＝0时，y＝1，所以圆心C的纵坐标为1．故选C．]
4．直线3x＋y＋a＝0截圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5所得的弦长为2，则a的值为________．
1　[圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(－1，2)，半径为，因为直线3x＋y＋a＝0截圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5所得的弦长为2，
所以直线3x＋y＋a＝0经过圆的圆心(－1，2)，
所以－3＋2＋a＝0，解得a＝1．]
1．知识链：
2．方法链：几何法、代数法．
3．警示牌：求直线方程时易忽略直线斜率不存在的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断直线与圆的位置关系有哪些方法？
[提示]　(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
2．如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？
[提示]　(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在且不为0，则先求切点和圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程．
②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当切线斜率不存在时要加以验证．
③过圆外一点的切线有两条．
3．直线与圆相交时，如何求弦长？
[提示]　(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
课时分层作业(二十二)　直线与圆的位置关系
一、选择题
1．已知直线l：x＋2y－3＝0与圆M：x2＋y2－2ax－4y＋5＝0相离，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．(－2，－1)
C．(1，2) D．
D　[已知直线l：x＋2y－3＝0与圆M：x2＋y2－2ax－4y＋5＝0相离，
将圆M的方程化为标准方程为(x－a)2＋(y－2)2＝a2－1，
则a2－1＞0，解得a＜－1或a＞1，圆心为M(a，2)，半径为r＝，
因为直线l与圆M相离，则d＝＝＞，
整理可得2a2－a－3＜0，即(a＋1)(2a－3)＜0，解得－1＜a＜，则实数a的取值范围是．
故选D．]
2．如果直线mx＋ny－4＝0与圆C：x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点M(m，n)与圆C的位置关系为(　　)
A．M在圆C上
B．M在圆C外
C．M在圆C内
D．M与圆C的位置不确定
B　[根据题意，可得x2＋y2＝4的圆心为C(0，0)，半径r＝2．
因为直线mx＋ny－4＝0与圆C：x2＋y2＝4有两个不同的交点，
所以C到直线mx＋ny－4＝0的距离d＜r，即＜2，整理得m2＋n2＞4，所以点M(m，n)到C(0，0)的距离|MC|＝＞2，
即|MC|＞r，可知点M在圆C：x2＋y2＝4的外部．
故选B．]
3．(多选)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4与直线x＋my－m－2＝0，下列选项正确的是(　　)
A．直线过定点(－2，1)
B．圆的圆心坐标为(1，2)
C．直线与圆相交
D．直线与圆相交所截最短弦长为2
BCD　[对于A，直线x＋my－m－2＝0可化为(x－2)＋m(y－1)＝0，
所以直线经过x－2＝0与y－1＝0的交点(2，1)，故A项不正确；
对于B，圆(x－1)2＋(y－2)2＝4表示以(1，2)为圆心，半径r＝2的圆，故B项正确；
对于C，圆心(1，2)到点(2，1)的距离d＝＝，
由d＜r，可得点(2，1)在圆内，结合直线x＋my－m－2＝0经过点(2，1)，可知直线与圆相交，故C项正确；
对于D，设圆心M(1，2)，定点N(2，1)，
由C的分析，可知当x＋my－m－2＝0与MN垂直时，直线与圆相交所截弦长最短．
因为|MN|＝d＝，所以最短弦长为
2＝2＝2，故D项正确．
故选BCD．]
4．(多选)若圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x＋4y＋5＝0的距离为2，则实数a可能为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．10
BC　[根据题意，圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0变形可得(x－1)2＋(y－3)2＝10－a，则有10－a＞0，即a＜10，其圆心为(1，3)，半径r＝，
圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝4，
若圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x＋4y＋5＝0的距离为2，则＋2≤4，解得a≥6，
而a＜10，即a的取值范围为[6，10)．
故选BC．]
5．下列关于直线l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1的说法不正确的是(　　)
A．若直线l与圆C相切，则b2－k2为定值
B．若4b2－k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若4b2－k2＝1，则圆上仅有两个点到直线l的距离相等
D．当b＝时，直线与圆相交
C　[圆C：x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，对于A选项，若l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1相切，则＝1，可得b2－k2＝1，A正确；
对于B选项，若4b2－k2＝1，则圆心到直线的距离为＝，此时直线被圆C截得的弦长为2＝，B正确；对于C选项，因为4b2－k2＝1，圆心到直线的距离为＝＜1，此时圆上有3个点到直线l的距离相等，C错误；
对于D选项，当b＝时，直线l的方程为y＝kx＋，即直线l过定点，又因为02＋＜1，可得定点在圆内，故直线与圆相交，D正确．故选C．]
二、填空题
6．过点(1，1)的直线l被圆C：x2＋y2＝4截得的弦长最短，则直线l的斜率为________．
－1　[由圆x2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(0，0)，
根据圆的性质，可得当直线l与过点A(1，1)和圆心C的直线垂直时，此时弦长最短，
因为kAC＝1，所以直线l的斜率为k＝－1．]
7．直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
2　[直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，即(x＋y＋1)m＋2x－y－1＝0，
令解得所以直线l过定点P(0，－1)，
圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心C(1，0)，半径r＝2，
因为|PC|＝＝＜2，所以点P(0，－1)在圆C内，则圆心C到直线l的距离d≤|PC|＝(PC⊥l时取等号)，
所以|AB|＝2≥2＝2(PC⊥l时取等号)，
所以|AB|的最小值为2．]
8．已知直线l过点P(2，4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为________．
x＝2或3x－4y＋10＝0　[由22＋42＝20>4，得点P在圆外，
当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，则切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，
∴＝2，解得k＝．
故所求切线方程为3x－4y＋10＝0．
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件．
则直线l的方程为x＝2或3x－4y＋10＝0．]
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，直线x＋y＋3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1，－1)．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线y＝x＋m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
[解]　(1)∵直线x＋y＋3＝0与圆C相切，且圆心C的坐标为(1，－1)，
∴圆C的半径r＝＝3，
则圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9．
(2)联立
得2x2＋2mx＋m2＋2m－7＝0，
由Δ＝4m2－8(m2＋2m－7)＞0，解得－2－3＜m＜－2＋3，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，
∵OM⊥ON，∴＝x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，
∴m2＋2m－7＝0，解得m＝－1±2，符合题意，
∴m＝－1±2．
10．已知直线l过点P(2，5)，且与圆C：x2＋y2－6x－4y－3＝0交于A，B两点，当△ABC面积最大时，l的方程为(　　)
A．x－3y＋13＝0
B．x－3y－13＝0或x－3y－17＝0
C．x－y＋3＝0
D．x－y＋3＝0或x＋7y－37＝0
D　[依题意，圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝16的圆心C(3，2)，半径r＝4，
显然|PC|＝＜4＝r，即点P(2，5)在圆C内，设AB的中点为D，连接CD，
设|BD|＝t，则|CD|＝，
∴S△ABC＝·2t·＝＝8，
当且仅当t2＝16－t2，即t＝2时等号成立，
此时，圆心C到直线的距离d＝＝2，
故过点P的直线斜率一定存在，设其方程为y＝k(x－2)＋5，
则d＝＝2，解得k＝1或k＝－，
此时直线方程为x－y＋3＝0或x＋7y－37＝0．
故选D．]
11．过点P(－2，0)作圆x2＋y2－4y＝1的两条切线，设切点分别为A，B，则△PAB的面积为(　　)
A．
C．
B　[将圆x2＋y2－4y＝1化成标准形式为x2＋(y－2)2＝5，设圆心为C(0，2)，半径为r＝，因为P(－2，0)，所以|PC|＝2，|PA|＝|PB|＝＝＝，
设AB与PC相交于点D，则PC垂直平分AB，且D为AB的中点，
因为S△PAC＝|PA|·|AC|＝|PC|·|AD|，
所以|AD|＝＝＝，|PD|＝＝＝，
所以|AB|＝2|AD|＝，
所以S△PAB＝|AB|·|PD|＝＝．
故选B．]
12．圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)的圆的方程是________．
＋＝　[设圆心坐标为C(a，b)．
∵圆心在直线y＝－x＋1上，∴b＝－a＋1．
又∵圆与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)，
则CP⊥l．
∴kCP＝＝＝＝1．
解得a＝．
∴b＝－a＋1＝．
∴圆心C．
圆的半径r＝|CP|＝＝．
∴圆的方程为＋＝．]
13．已知点A(－1，0)，B(0，2)，圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y＋4＝0，过点B的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点．
(1)求直线l的方程；
(2)求△PAB面积的最大值．
[解]　(1)易知圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，
所以圆心C的坐标为(2，－2)，半径r＝2．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心C到l的距离d＝2＝r，l与圆C相切；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋2，
因为直线l与圆C相切，
所以d＝＝r＝2，解得k＝－，
则直线l的方程为3x＋4y－8＝0，
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
(2)因为A(－1，0)，B(0，2)，
所以直线AB的方程为2x－y＋2＝0，
此时圆心C到直线AB的距离d＝＝，
所以点P到直线AB的距离的最大值为r＋d＝2＋，
因为|AB|＝＝，
所以△PAB的面积的最大值Smax＝×|AB|×(r＋d)＝＝4＋．
14．在平面直角坐标系Oxy中，过点A(0，－3)的直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝9交于M，N两点，若S△AON＝S△ACM，则直线l的斜率为________．
±　[由题意得C(0，2)，直线MN的斜率存在，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝kx－3，与x2＋(y－2)2＝9联立，得(k2＋1)x2－10kx＋16＝0，Δ＝100k2－64(k2＋1)＝36k2－64＞0，得k2＞，x1＋x2＝，x1x2＝．
因为S△AON＝S△ACM，
所以×3×|x2|＝×5×|x1|，
则|x2|＝2|x1|，
于是x2＝2x1，
所以
两式消去x1，得k2＝，
满足Δ＞0，所以k＝±．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共82张PPT)
第二章
直线和圆的方程
2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
[学习目标]　
1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(直观想象)
2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(逻辑推理、数学运算)
3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(逻辑推理、数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
问题2．用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
探究建构 关键能力达成
探究1　直线与圆位置关系的判定
问题　利用直线和圆的方程，如何判断它们的位置关系呢？
[提示]　转化为判断由它们的方程组成的方程组实数解个数的问题．
[新知生成]
直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 __个 __个 __个
判定
方法 d___r d__r d__r
Δ__0 Δ__0 Δ__0
两
一
零
＜
＝
＞
＞
＝
＜
【教用·微提醒】　代数法从方程的角度来考虑，比较直观，但计算较为烦琐；几何法从几何的角度来考虑，方法较为简单，是判断直线与圆的位置关系的常用方法．
[典例讲评]　1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
当－20，方程组有两组不同的实数解，因此直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程组有一组实数解，因此直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切；当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点，直线与圆相离．
综上，当－22或b<－2时，直线与圆相离．
发现规律　判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[学以致用]　1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
√
√
【教用·备选题】　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
探究2　圆的弦长问题
[典例讲评]　【链接教材P91例1】
2．(源自北师大版教材)已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0．
(1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；
(2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明．
【教材原题·P91例1】
例1　已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长．
[分析]　思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
【教材原题·P98习题2.5T3】求直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长．
探究3　直线与圆相切
[典例讲评]　【链接教材P92例2】
3．已知圆C：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0，过点P(2，1)作圆C的切线m，则m的方程为(　　)
A．x＝2
B．3x＋4y－10＝0
C．3x＋4y－10＝0或x＝2
D．3x＋4y－10＝0或3x－4y－2＝0
√
[母题探究]　
1．在本例条件下，求此切线长．
2．若本例点P的坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求切线m的方程．
[解]　∵22＋(－1)2＋4×2＋2×(－1)－11＝0，
∴点P在圆上，
∴过点P(2，－1)的切线方程为x＝2，
即直线m的方程为x＝2．
【教材原题·P92例2】
例2　过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程．
[分析]　如图2.5-2，容易知道，点P(2，1)位于圆O：x2＋y2＝1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为y－1＝k(x－2)，k为斜率，由直线与圆相切可求出k的值．
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当切线斜率不存在时要加以验证．
③过圆外一点的切线有两条．
√
应用迁移 随堂评估自测
1．(教材P93练习T1(1)改编)直线l：y＝x＋1与圆C：(x－1)2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．都有可能
√
2．已知直线l：x＋my＋1＝0和圆E：x2＋y2－4x＋3＝0，则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
√
C　[由题知，圆E：(x－2)2＋y2＝1，其中圆心E(2，0)，半径为1，直线l过定点(－1，0)，所以点P到直线l的距离的最大值为(－1，0)到圆心的距离加上圆的半径，即3＋1＝4．故选C．]
√
C　[圆心在y轴上的圆C与直线x－y＝1相切于点A(1，0)，可知圆的圆心在直线y＝－(x－1)上，x＝0时，y＝1，所以圆心C的纵坐标为1．故选C．]
1
1．知识链：

2．方法链：几何法、代数法．
3．警示牌：求直线方程时易忽略直线斜率不存在的情况．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．判断直线与圆的位置关系有哪些方法？
[提示]　(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
2．如何求过圆外一点或圆上一点的圆的切线？
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当切线斜率不存在时要加以验证．
③过圆外一点的切线有两条．
3．直线与圆相交时，如何求弦长？
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
课时分层作业(二十二)　直线与圆的位置关系
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
2．如果直线mx＋ny－4＝0与圆C：x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点M(m，n)与圆C的位置关系为(　　)
A．M在圆C上
B．M在圆C外
C．M在圆C内
D．M与圆C的位置不确定
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
4．(多选)若圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x＋4y＋5＝0的距离为2，则实数a可能为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．10
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
二、填空题
6．过点(1，1)的直线l被圆C：x2＋y2＝4截得的弦长最短，则直线l的斜率为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
－1　[由圆x2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(0，0)，
根据圆的性质，可得当直线l与过点A(1，1)和圆心C的直线垂直时，此时弦长最短，
因为kAC＝1，所以直线l的斜率为k＝－1．]
－1
7．直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
8．已知直线l过点P(2，4)，且与圆O：x2＋y2＝4相切，则直线l的方程为__________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
x＝2或3x－4y＋10＝0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
10．已知直线l过点P(2，5)，且与圆C：x2＋y2－6x－4y－3＝0交于A，B两点，当△ABC面积最大时，l的方程为(　　)
A．x－3y＋13＝0
B．x－3y－13＝0或x－3y－17＝0
C．x－y＋3＝0
D．x－y＋3＝0或x＋7y－37＝0
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
12．圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)的圆的方程是_____________________________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
13．已知点A(－1，0)，B(0，2)，圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y＋4＝0，过点B的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点．
(1)求直线l的方程；
(2)求△PAB面积的最大值．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
[解]　(1)易知圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，
所以圆心C的坐标为(2，－2)，半径r＝2．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心C到l的距离d＝2＝r，l与圆C相切；
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14课时分层作业(二十二)
1．D　[已知直线l：x＋2y－3＝0与圆M：x2＋y2－2ax－4y＋5＝0相离，
将圆M的方程化为标准方程为(x－a)2＋(y－2)2＝a2－1，
则a2－1>0，解得a<－1或a>1，圆心为M(a，2)，半径为r＝，
因为直线l与圆M相离，则d＝，
整理可得2a2－a－3<0，即(a＋1)(2a－3)<0，解得－1则实数a的取值范围是．
故选D．]
2．B　[根据题意，可得x2＋y2＝4的圆心为C(0，0)，半径r＝2．
因为直线mx＋ny－4＝0与圆C：x2＋y2＝4有两个不同的交点，
所以C到直线mx＋ny－4＝0的距离d4，所以点M(m，n)到C(0，0)的距离|MC|＝>2，
即|MC|>r，可知点M在圆C：x2＋y2＝4的外部．
故选B．]
3．BCD　[对于A，直线x＋my－m－2＝0可化为(x－2)＋m(y－1)＝0，
所以直线经过x－2＝0与y－1＝0的交点(2，1)，故A项不正确；
对于B，圆(x－1)2＋(y－2)2＝4表示以(1，2)为圆心，半径r＝2的圆，故B项正确；
对于C，圆心(1，2)到点(2，1)的距离d＝，
由d对于D，设圆心M(1，2)，定点N(2，1)，
由C的分析，可知当x＋my－m－2＝0与MN垂直时，直线与圆相交所截弦长最短．
因为|MN|＝d＝，所以最短弦长为2，故D项正确．
故选BCD．]
4．BC　[根据题意，圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0变形可得(x－1)2＋(y－3)2＝10－a，则有10－a>0，即a<10，其圆心为(1，3)，半径r＝，
圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝4，
若圆x2＋y2－2x－6y＋a＝0(a∈R)上至多存在一点，使得该点到直线3x＋4y＋5＝0的距离为2，则＋2≤4，解得a≥6，
而a<10，即a的取值范围为[6，10)．
故选BC．]
5．C　[圆C：x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为1，对于A选项，若l：y＝kx＋b与圆C：x2＋y2＝1相切，则＝1，可得b2－k2＝1，A正确；
对于B选项，若4b2－k2＝1，则圆心到直线的距离为，此时直线被圆C截得的弦长为2，B正确；对于C选项，因为4b2－k2＝1，圆心到直线的距离为<1，此时圆上有3个点到直线l的距离相等，C错误；
对于D选项，当b＝时，直线l的方程为y＝kx＋，即直线l过定点，又因为02＋<1，可得定点在圆内，故直线与圆相交，D正确．故选C．]
6．－1　[由圆x2＋y2＝4，可得圆心坐标为C(0，0)，
根据圆的性质，可得当直线l与过点A(1，1)和圆心C的直线垂直时，此时弦长最短，
因为kAC＝1，所以直线l的斜率为k＝－1．]
7．2　[直线l：(m＋2)x＋(m－1)y＋m－1＝0，即(x＋y＋1)m＋2x－y－1＝0，
令所以直线l过定点P(0，－1)，
圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心C(1，0)，半径r＝2，
因为|PC|＝<2，所以点P(0，－1)在圆C内，
则圆心C到直线l的距离d≤|PC|＝(PC⊥l时取等号)，
所以|AB|＝2≥2(PC⊥l时取等号)，
所以|AB|的最小值为2．]
8．x＝2或3x－4y＋10＝0　[由22＋42＝20>4，得点P在圆外，
当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，则切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，
∴＝2，解得k＝．
故所求切线方程为3x－4y＋10＝0．
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件．
则直线l的方程为x＝2或3x－4y＋10＝0．]
9．解：(1)∵直线x＋y＋3＝0与圆C相切，且圆心C的坐标为(1，－1)，∴圆C的半径r＝＝3，
则圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9．
(2)联立
得2x2＋2mx＋m2＋2m－7＝0，
由Δ＝4m2－8(m2＋2m－7)>0，解得－2－3，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－m，x1x2＝，
∵OM⊥ON，∴·＝x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，
∴m2＋2m－7＝0，解得m＝－1±2，符合题意，
∴m＝－1±2．
10．D　[依题意，圆C：(x－3)2＋(y－2)2＝16的圆心C(3，2)，半径r＝4，
显然|PC|＝<4＝r，即点P(2，5)在圆C内，设AB的中点为D，连接CD，
设|BD|＝t，则|CD|＝，
∴S△ABC＝·2t·
＝≤＝8，
当且仅当t2＝16－t2，即t＝2时等号成立，
此时，圆心C到直线的距离d＝，
故过点P的直线斜率一定存在，设其方程为y＝k(x－2)＋5，
则d＝，解得k＝1或k＝－，
此时直线方程为x－y＋3＝0或x＋7y－37＝0．
故选D．]
11．B　[将圆x2＋y2－4y＝1化成标准形式为x2＋(y－2)2＝5，设圆心为C(0，2)，半径为r＝，因为P(－2，0)，所以|PC|＝2，|PA|＝|PB|＝，
设AB与PC相交于点D，则PC垂直平分AB，且D为AB的中点，
因为S△PAC＝|PA|·|AC|＝|PC|·|AD|，
所以|AD|＝，
|PD|＝，
所以|AB|＝2|AD|＝，
所以S△PAB＝|AB|·|PD|＝××．
故选B．]
12．　[设圆心坐标为C(a，b)．
∵圆心在直线y＝－x＋1上，∴b＝－a＋1．
又∵圆与直线l：x＋y－2＝0相切于点P(1，1)，
则CP⊥l．
∴kCP＝＝1．
解得a＝．
∴b＝－a＋1＝．
∴圆心C．
圆的半径r＝|CP|＝．
∴圆的方程为．]
13．解：(1)易知圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4，
所以圆心C的坐标为(2，－2)，半径r＝2．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心C到l的距离d＝2＝r，l与圆C相切；
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋2，
因为直线l与圆C相切，
所以d＝＝r＝2，解得k＝－，
则直线l的方程为3x＋4y－8＝0，
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
(2)因为A(－1，0)，B(0，2)，
所以直线AB的方程为2x－y＋2＝0，
此时圆心C到直线AB的距离d＝，
所以点P到直线AB的距离的最大值为r＋d＝2＋，
因为|AB|＝，
所以△PAB的面积的最大值Smax＝×|AB|×(r＋d)＝××．
14．±　[由题意得C(0，2)，直线MN的斜率存在，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝kx－3，与x2＋(y－2)2＝9联立，得(k2＋1)x2－10kx＋16＝0，Δ＝100k2－64(k2＋1)＝36k2－64>0，得k2>，x1＋x2＝，x1x2＝．
因为S△AON＝S△ACM，所以×3×|x2|＝××5×|x1|，
则|x2|＝2|x1|，于是x2＝2x1，
所以
两式消去x1，得k2＝，
满足Δ>0，所以k＝±．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
[学习目标]　1．掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(直观想象) 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(逻辑推理、数学运算) 3．能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题．(逻辑推理、数学运算)
探究1　直线与圆位置关系的判定
问题　利用直线和圆的方程，如何判断它们的位置关系呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 __________个 __________个 __________个
判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d_________r d_________r d_________r
代数法：由 消元得到一元二次方程，计算方程的判别式Δ Δ________0 Δ________0 Δ_______0
[典例讲评]　1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　判断直线和圆的位置关系有哪些方法？
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
[学以致用]　1．直线l：2x－y－1＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．已知直线ax－y＋2＝0与圆(x－3)2＋y2＝9只有一个公共点，则a＝(　　)
A．－
C．－
探究2　圆的弦长问题
[典例讲评]　【链接教材P91例1】
2．(源自北师大版教材)已知直线m：3x＋4y－2＝0与圆P：x2＋y2－2x－2y＝0．
(1)写出圆P的圆心坐标和半径，并在平面直角坐标系中画出直线m和圆P的图形；
(2)由(1)所画图形，判断直线m与圆P的位置关系，若相交，求直线m被圆P截得的弦长；若相切或相离，给出证明．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求弦长常用的三种方法
(1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)交点坐标法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
(3)公式法：设直线y＝kx＋b，与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝．
[学以致用]　【链接教材P98习题2.5T3】
3．求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　直线与圆相切
[典例讲评]　【链接教材P92例2】
3．已知圆C：x2＋y2＋4x＋2y－11＝0，过点P(2，1)作圆C的切线m，则m的方程为(　　)
A．x＝2
B．3x＋4y－10＝0
C．3x＋4y－10＝0或x＝2
D．3x＋4y－10＝0或3x－4y－2＝0
[母题探究]　
1．在本例条件下，求此切线长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求过某一点的圆的切线方程
(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在且不为0，则先求切点和圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式方程可得切线方程．
②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0．
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当切线斜率不存在时要加以验证．
③过圆外一点的切线有两条．
[学以致用]　4．过点(－1，0)与圆x2＋y2－4x－m＝0相切的两条直线垂直，则m＝(　　)
A．－ B．－1
C．1 D．
1．(教材P93练习T1(1)改编)直线l：y＝x＋1与圆C：(x－1)2＋y2＝4的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．都有可能
2．已知直线l：x＋my＋1＝0和圆E：x2＋y2－4x＋3＝0，则圆E上的点P到直线l的距离的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
3．圆心在y轴上的圆C与直线x－y＝1相切于点A(1，0)，则圆心C的纵坐标为(　　)
A．2 B．
C．1 D．0
4．直线3x＋y＋a＝0截圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5所得的弦长为2，则a的值为________．
1．知识链：
2．方法链：几何法、代数法．
3．警示牌：求直线方程时易忽略直线斜率不存在的情况．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑