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2024—2025学年度第二学期
高一年级数学科段考试题
（满分150分，考试时间为120分钟）
考生注意：
1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。
2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效。写在试卷上无效。
第Ⅰ卷 选择题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A． B．－ C． D．－
2．下面关于空间几何体叙述不正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
C．正四棱柱都是长方体
D．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a－bi为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=18，底面△ABC边AB上的高为h，当底面ABC水平放置时水面高度为16（如图①）. 当侧面AA1B1B水平放置时（如图②），水面高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若向量两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．4　 B． C．2 D．
6．如图，为了测量山顶上灯塔CD的高度，某人从高h＝40m的高楼AB的底部A处和楼顶B，测得灯塔顶部D处的仰角分别为β＝60°，α＝30°．
若山顶高a＝35m，则灯塔的高度是（ ）
A．15m　
B．25m
C．40m
D．60m
7．已知过球面上三点A, B, C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，则球的表面积（ ）
A．　 B． C． D．
8．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）
A．　 B． C．　 D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。
9．已知函数，的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象与轴交点的纵坐标为，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．的最小正周期为
B．的最大值为
C．
D．为偶函数
10．设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
11．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，，下列选项正确的是（ ）
A．
B．若，则△ABC有两解
C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是
D．若D为边上的中点，则的最大值为
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．i是虚数单位，若复数z满足，则 .
13．已知，，则 .
14．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G. 若，则的值是 ；若，则的值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知向量，．
（1）求向量与的夹角的正弦值；
（2）若向量∥，求实数的值.
16.（本小题满分15分）
如图，已知三角形的内角的对边分别为，
且．
（1）求的大小；
（2）若，设为三角形
的角平分线，求的长．
17.（本小题满分15分）
已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，当时，求不等式的解集．
18.（本小题满分17分）
如图，四边形中，．
（1）求；
（2）P为边上一点，且的面积为，
求△ABP的外接圆半径．
19.（本小题满分17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角所对的边分别为，
（1）若，
①求；
②若，设点P为△ABC的费马点，求；
（2）若，设点P为△ABC的费马点，，求实数的最小值．2024—2025学年度第二学期
高一年级数学科段考试题参考答案
第Ⅰ卷 选择题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D C B D B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABC AC BCD
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：
（1）由向量，得
，=，= …………（3分）
于是，而， …………（6分）
所以. …………（7分）
（2）由向量，得， ……（9分）
由，得， …………（12分）
解得，
所以实数的值是. …………（13分）
16．解：
（1）由得, …………（2分）
又因为， …………（4分）
所以, …………（5分）
又因为， …………（6分）
所以, …………（7分）
又因为, 所以. …………（8分）
（2）因为， …………（10分）
所以, …（12分）
又因为, …………（13分）
所以, …………（14分）
所以 …………（15分）
17．解：
（1）因
…………（1分）
…………（3分）
则的最小正周期是， …………（4分）
令，，
解得，， …………（6分）
故的单调递增区间是，. …………（7分）
（2）因为将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，
所以经过变换可得， …………（9分）
由题意得，即，
所以，， …………（11分）
解得，， …………（12分）
令，则，时，， …………（14分）
所以当时，不等式的解集为. …………（15分）
18．解：
（1）因为，所以，
在中，由余弦定理得：
， …………（2分）
在中，由余弦定理得：
， …………（4分）
两式作差得：，解得， …………（6分）
因为，所以． …………（7分）
（2）因为 …………（8分）
由（1）知，可得，且…（9分）
则所以， …………（10分）
在中，可得，
所以 …………（11分）
在中，可得，……（12分）
在中，可得，……（13分）
可得，所以，
则， …………（14分）
所以，解得，……（15分）
设△ABP的外接圆半径为R，
由正弦定理得，解得， …………（16分）
所以△ABP的外接圆半径为． …………（17分）
19．解：
（1）①由正弦定理得，即，
所以，又，所以 ……（3分）
②由①，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，
整理得 ……（5分）
则
……（7分）
（2）因为，
所以， …………（8分）
所以，即，
所以或， …………（10分）
当时，，△ABC为直角三角形，
当，
则，
得，在三角形中不可能成立，
所以为的直角三角形， …………（12分）
因为点为的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得
即 …………（15分）
而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为. …………（17分）

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