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2025学年毕节市民族中学高二下学期期末模拟考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，若，则实数m的值是（ ）
A． B． C．1 D．4
2．点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
3．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．7 B．9 C．81 D．3
5．如图所示，点是函数的图象与轴的交点，点在之间的图象上运动，若，且当的面积最大时，，则（ ）
A． B．
C．的单调增区间为 D．的图象关于直线对称
6．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN的长为，若△MF2N的周长为20，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
7．已知向量满足，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为，连续闯过前三关的概率为，且各关相互独立.事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第三关闯关成功，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则( )
A．的最小值为2 B．，
C． D．
10．已知复数z在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
11．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为 ．
13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为________．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为,，直线与交于两点,.若△的面积是△面积的3倍,则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校对学生餐厅的就餐环境,菜品种类与质量等方面进行了改造与提升,随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分(满分100分)调查,调查结果统计如下表：
男生：
评分分组 70分以下
人数 3 27 38 32
女生：
评分分组 70分以下
频数 5 35 34 26
学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．
(1)由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？
满意 不满意 总计
男生
女生
总计
(2)从男生，女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16．已知函数
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，，求的值．
17．如图①，在平行四边形中，，，，，分别为，的中点，现把平行四边形沿折起如图②所示．在图②中，连接，，若，试解答下列两个小题：
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小．
18．过双曲线（常数）上任意一点A作轴，交y轴于点E，作轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S＝k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线，并证明你的推广．
19．刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.若记，则函数在点处的曲率.
(1)求曲线在点处的曲率；
(2)已知函数，，若存在,使得的曲率为0，求证：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为向量，，且
所以，
所以，解得：，所以.
故选：B.
2．【答案】D
【详解】点到直线的距离.
故选：D
3．【答案】C
【详解】因为函数是增函数，
所以，即，
又，所以.
故选C.
4．【答案】D
【详解】依题意可得，
又，所以，
所以.
故选D
5．【答案】D
【详解】因为当的面积最大时，在最高点，所以，
又，由函数的对称性质知，为等腰直角三角形，
所以在中，，
所以，，即，又，所以，
因为函数经过，则，
所以，即，又因为，所以.
所以函数表达式为.
对于A，，故A错误；
对于B，故B错误；
对于C，令，解得，
所以的单调增区间为，故C错误；
对于D，，取得函数最小值，
所以的图象关于直线对称，故D正确.
故选D
6．【答案】　C
【详解】　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
则由椭圆的定义，可得|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a.由△MF2N的周长为20，
可得4a＝20，
即a＝5.过点F1作直线与椭圆相交，当直线垂直于x轴时，弦长最短，
令x＝－c，代入椭圆的方程，可得y＝±，
即＝，解得b2＝9，所以c＝＝4，所以椭圆的离心率e＝＝.
7．【答案】A
【详解】由题意知向量满足，，
故，
则，
故选：A
8．【答案】D
【详解】
设事件表示小明第二关闯关成功，可得，
由条件概率的计算公式，可得.
故选：D.
9．【答案】AC
【详解】，在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
，函数关于对称，
对选项A，的最小值为，正确；
对选项B，，错误；
对选项C，，故，，正确；
对选项D，，故，错误；
故选AC.
10．【答案】ACD
【详解】由题可知，，，故A正确；
，，故B错误；
，所以，C正确；
，
所以，故D正确.
故选：ACD
11．【答案】ACD
【详解】选项A：因为，所以，
所以当时，，即，A说法正确；
选项B：因为为偶函数，所以，
所以，即，
所以的图象关于点对称，，
又因为，所以，即，
所以的图象关于点对称，
所以由A得，解得，所以，B说法错误；
选项C： 因为的图象关于点对称，的图象关于点对称，
所以由得，
所以，
将代入得，
所以，所以，C说法正确；
选项D：因为的图象关于点对称，所以的图象关于对称，
所以的图象关于对称，
所以，D说法正确；
故选ACD.
12．【答案】11
【详解】首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据
，
所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11，
故答案为：11.
13．【答案】
【详解】画出如图所示示意图，
设底面边长为a，则塔高EF＝a，
AF＝AC＝a，
所以侧棱与底面所成的角∠EAF的正切值为＝＝．
14．【答案】/0.5
【详解】设直线与轴交于点,
则△的面积,△的面积
又
由椭圆,得,,
在直线上,
故答案为:.
15．【答案】(1)列联表见详解;没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联.(2).
【详解】（1）依统计表可得列联表如下：
满意 不满意 总计
男生 70 30 100
女生 60 40 100
总计 130 70 200
则，
故没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联．
（2）男生的评分在70分以下的有3人,女生的评分在70分以下的有5人,则为0,1,2,3，
则，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
P
故.
16．【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为
（2）
【详解】（1）因为，
所以，函数的最小正周期为.
由解得，
所以，函数的单调递增区间为.
（2）由（1）知，
又因为，则，
因为，则，
因为，则．
所以，
.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】
（1）取的中点，连接，，，证明平面即可得出平面与平面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角大小即可.
(1)
取的中点，连接，，，如图，
在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，
，为边长为2的正三角形，
则，，且，
又，，
又，平面，
平面，平面平面.
(2)
以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，则
则，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，即，
设平面的法向量为，则易知，
则，因为，
所以，
即平面与平面所成的锐二面角的大小为．
18．【答案】答案见解析.
【详解】推广结论：设A是双曲线上任意一点，过点A分别作渐近线的平行线AE、AF，并分别交渐近线于E、F，得到平行四边形AEOF，则平行四边形AEOF的面积S是与点A位置无关的常数．
证明：设，直线AE的方程为，
联立方程组，解得交点，
则，
点A到OE的距离，
平行四边形AEOF的面积，
又因为点在双曲线上，所以，即，
所以，是与点A位置无关的常数．
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：，，
所以曲线在点处的曲率为
（2）证明：由题意可得，，
若曲率为0，则，即，即，
令，则，得，
所以在上，，单调递增，且；
在上，，单调递减，且.
又，所以有两个解.
设为，，，
又，所以，
可设，，
所以，，
，
化简可得，则.
要证，即证，
需证，即证，
令，
，
所以在上单调递增，
所以，得证．

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