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2024—2025学年度第二学期
高二年级数学科段考试题
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．口袋中装有5个白球4个红球, 每个球编有不同的号码, 现从中取出2个球, 至少有一个红球的取法种数是（ ）
A．26 B．20 C．32 D．36
2．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列满足，，则值为（ ）
A． B． C． D．
4．的展开式中，项的系数为（ ）
A．1 B．－5 C．6 D．－20
5．如图，已知函数的图象在点处的切线
为，则（ ）
A．－3
B．－2
C．1
D．2
6．甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同学相约到电影院观看电影《哪吒2》，他们恰好买到了六张连号且在同一排的电影票，若甲不坐在6个人的两端，乙和丙相邻，则不同的排列方式种数为（ ）
A．72 B．108 C．288 D．144
7．现有4个红色教育基地和2个劳动实践基地，甲、乙两人分别从这6个基地中各选取1个基地研学（每个基地均可重复选取），则在甲、乙两人中至少一人选择红色教育基地研学的条件下，甲、乙两人中一人选择红色教育基地研学、另一人选择劳动实践基地研学的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线l分别与曲线,相切于点,,则的值为（ ）
A．2 B．1 C．－2 D．－5
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．以下结论正确的是（ ）
A．从4本不同的书中选出3本送给3名同学，每人一本，有种不同的送法
B．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为480
C．将7人分成3组，要求每组至多3人，则不同的分组方法种数是175
D．若a∈N*，且a<20，则(27-a)(28-a)…(34-a) =
10．已知，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．=
C．= D．=
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在极小值
B．
C．当时，
D．若函数有且仅有两个零点，则且
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。
12．函数在 [1, 3]上的最小值为 ．
13．已知展开式中二项式系数和为1024，则展开式中常数项的值为 ．
（用数字作答）
14．已知函数 ，则函数在处切线方程为 ；
该切线与的图象有三个公共点，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知正项数列是等差数列，前项和为，满足首项与公差相等，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列 的前项和．
16．（本小题满分15分）
现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球．
（1）分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答）
（2）从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答）
（3）先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率；（以字母表述解题，并计算结果）
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱台 中, ⊥底面，，，为的中点, ．
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面
夹角的余弦值．
18.（本小题满分17分）
已知函数有两个不同的零点．
（1）求函数的极值点；
（2）求实数的取值范围；
（3）求证：．
19．（本小题满分17分）
已知椭圆C：过点，且离心率为．设A, B为椭圆C
的左、右顶点，P为椭圆上异于A, B的一点，直线AP，BP分别与直线l:相交于M，N两点，且直线MB与椭圆C交于另一点H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线AP与BP的斜率之积为定值；
（3）判断三点A，H，N是否共线？并证明你的结论．2024—2025学年度第二学期
高二年级数学科段考试题参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C B C D A B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 BC BCD ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。
12． 13．210 14．；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（1） （2）
【解析】
设等差数列的公差为，，由首项与公差相等，且,,
成等比数列，解得 …………4分
有，所以数列的通项公式为 …………6分
（2）由，有， …………8分
有， …………9分
可得 ……13分
16.【解析】
（1）设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”，事件为“两
球颜色不同”，则，，
所以 …………4分
（2） …………8分
（3）设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，
则，， …………10分则
…………15分
17.【解析】
（1）在三棱台 中,
为 的中点, , ,
四边形 为平行四边形,故 …………2分
…………3分
底面 底面 …………5分
平面 为相交直线,
平面 ,
平面 …………6分
以 为原点,以 分别为 轴, 轴, 轴
的正方向，建立如图所示空间直角坐标系, ……7分
则
……9分
设 是平面 的法向量,则
即
令 ,则 , 故 …………11分
设 是平面 的法向量, 则
即
令 ,则 ,
故 …………13分
…………14分
平面 与平面 夹角的余弦值为 …………15分
18.【解析】
（1）f(x)的定义域为 ,
因为 , …………2分
所以当 时, ,当 时, ,
所以 在(0,1)上单调递减,在 上单调递增, …………3分
所以当 为极小值点，无极大值点。 …………4分
（2）由（1）当 时, 取得最小值 . …………6分
又当 趋近于 0 或 时, 趋于 , …………7分
所以，要使 有两个不同的零点 ,
只需满足 ,即 .
所以实数 的取值范围为 …10分
不妨设 ,由 (1) 可知, ,
则 ,
要证 , 只需证 , …………11分
又 在 上单调递增, 所以只需证 ,
即证 . …………12分
记 , ……13分
则 , …………14分
当 时, 单调递增, …………15分
又 , …………16分
所以 ,即 .
所以 . …………17分
19.【解析】
（1）根据题意得，解得， …………3分
所以椭圆的标准方程为 …………4分
（2）根据题意可知直线与的斜率都存在且不为零，，…5分
设，则（），
则， …………8分
因为点在椭圆上，
所以，所以， …………9分
所以，
所以直线与的斜率之积为定值 …………10分
（3），，三点共线，证明如下：
设直线的方程为，
则直线的方程为， …………11分
所以， …………12分
所以，
所以设直线的方程为， …………13分
由，得
， …………14分
设，则，得，
所以，
所以， …………15分
因为，
所以，
， …………16分
所以，
所以，，三点共线. …………17分

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