资源简介 课时分层作业(二十九) 双曲线及其标准方程的应用说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共102分一、选择题1.人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质.从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和反射光线PE(其中P为入射点)互相垂直时,∠F1F2P的余弦值大小为( )A.C.2.已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C右支上的一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于( )A.24 B.36C.48 D.963.地震预警是指在破坏性地震发生以后,在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息,以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中,两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息,可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断,震中到地震台B站的距离至少为( )A.8 km B.6 kmC.4 km D.2 km4.某农户在自家地块开展生态农家乐,如图所示,建设了三个功能区:△ABC为鱼塘休闲区,矩形BCMN为果园种植区,以CM为直径的半圆为住宿区.现农户欲对果园进行施肥,运来一批肥料放置于点A处,要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB,AC送到矩形BCMN的果园种植区去,若AB=CB=2 km,AC=1 km,该农户在矩形果园中划定了一条界线,使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近,而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近,设这条界线是曲线E的一部分,则曲线E为( )A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.双曲线5.设双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在C的右支上,且∠MF1F2=30°,则△MF1F2的面积为( )A.2 B.C.2 D.4+2二、填空题6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,动点P与点在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=12,|PF1|·|PF2|=32,则该双曲线的标准方程为________.7.设F1,F2分别是双曲线C:x2-=1的左、右焦点,点P在C上且=0,则△PF1F2面积为________.8.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且=0,则||=________.三、解答题9.设F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若P是双曲线左支上一点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.10.(多选)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则( )A.|PF1|-|PF2|=8B.|PF1|+|PF2|=C.点P到x轴的距离为4D.∠F1PF2=11.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,点Q(0,2),则|PQ|+|PF1|的最小值为( )A.2 B.4C.6 D.412.从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,且|AB|=|BC|=|CD|=2,视AD所在直线为x轴,则双曲线的方程为________.13.如图,B地在A地的正东方向6 km处,C地在A地的北偏东60°方向6 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km,则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是________;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是________km.14.某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图),|AP|=100 m,|BP|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.15.如图,P是双曲线=1(a>0,b>0)上任意一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,当点P,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形(焦点三角形).若∠F1PF2=θ,求证:=.21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 双曲线及其标准方程的应用[学习目标] 1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.(逻辑推理、数学运算)2.了解双曲线在实际生活中的应用.(数学建模、数学运算)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.双曲线的定义是什么?问题2.如何建立实际问题的双曲线模型?探究1 双曲线的实际生活应用[典例讲评] 【链接教材P120例2】1.(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A,B听到远处传来的炮弹爆炸声,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s,试判断爆炸点在什么样的曲线上,并求出曲线的方程.[解] 设爆炸点为P,由已知,得|PA|-|PB|=340×4=1 360(m).因为|AB|=2 km=2 000 m>1 360 m,|PA|>|PB|,所以点P在以点A,B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上.以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图所示).由2a=1 360,2c=2 000,得a=680,c=1 000,b2=c2-a2=537 600.因此,点P所在曲线是双曲线的右支,它的方程是=1(x>0).【教材原题·P120例2】例2 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.[分析] 先根据题意判断轨迹的形状.由声速及A,B两处听到炮弹爆炸声的时间差,可知A,B两处与爆炸点的距离的差为定值,所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远,所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.[解] 如图3.2 5,建立平面直角坐标系Oxy,使A,B两点在x轴上,并且原点O与线段AB的中点重合.设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),则|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340.又|AB|=800,所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44 400.因为|PA|-|PB|=680>0,所以点P的轨迹是双曲线的右支,因此x≥340.所以,炮弹爆炸点的轨迹方程为=1(x≥340). 利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).[学以致用] 1.某飞船顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.[解] 如图所示,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).∵|PB|=|PC|,∴点P在线段BC的垂直平分线上,又易知kBC=-,线段BC的中点D(-4,),∴直线PD的方程为y-=(x+4),①又|PB|-|PA|=4<6=|AB|,∴点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则a=2,c=3,∴点P的轨迹方程为=1(x≥2),②联立①②,得P点坐标为(8,5),∴kPA==,因此在A处发现P的方位角为北偏东30°.探究2 双曲线定义的应用[典例讲评] 2.已知双曲线=1的左、右焦点分别是F1,F2.P是双曲线上一点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.[解] 由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,所以=|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2=×64×=16.[母题探究] 若将本例中的“∠F1PF2=60°”改为“|PF1|·|PF2|=32”,求△F1PF2的面积.[解] ||PF2|-|PF1||=2a=6,两边平方得+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,∴|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2===0,∴∠F1PF2=90°,=|PF1|·|PF2|=×32=16. 在解答与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时,一般地,可由双曲线的定义,得|PF1|与|PF2|的关系式,或利用正弦定理、余弦定理,得 |PF1|与|PF2|的关系式,从而求出|PF1|与|PF2|的值.但是,我们一般不直接求解出|PF1|,|PF2|,而是根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.[学以致用] 2.(2024·天津卷)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1C [如图,由题意可知,点P必落在第四象限,∠F1PF2=90°,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m-n=2a,因为△PF1F2是面积为8的直角三角形,所以m2+n2=(2c)2=4c2,mn=8,因为直线PF2的斜率为2,所以tan ∠F1F2P==2,所以m=2n,联立解得所以2a=m-n=2,即a=,所以4c2=m2+n2=40,即c2=10,所以b2=c2-a2=10-2=8,所以双曲线的方程为=1.故选C.]探究3 利用双曲线的定义求最值[典例讲评] 3.已知定点A(3,1),F是双曲线=1的右焦点,P是双曲线右支上的动点,则|PA|+|PF|的最小值为( )A. B.5+4C.5-4 D.+4C [设F1是双曲线的左焦点,根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|-|PF|=2a,所以|PF|=|PF1|-2a,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|-2a=|PA|+|PF1|-4,结合图形可得|PA|+|PF1|≥|AF1|==5,当且仅当P,A,F1三点共线时取得等号,所以|PA|+|PF1|-4≥5-4,所以|PA|+|PF|的最小值为5-4.] 在求解与双曲线有关的长度问题时,注意定义的应用,在求距离的和时往往需要利用定义进行转化,注意最值取得的条件,往往在三点共线时取到.[学以致用] 3.已知A(-4,0),B是圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上的点,点P在双曲线=1的右支上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.9 B.2+6C.10 D.12C [由题知点C(1,4),点B在圆C上,则|PB|≥|PC|-r=|PC|-1,由点P在双曲线右支上,点A为双曲线左焦点,设A′为双曲线右焦点,由双曲线定义知|PA|=|PA′|+2a=|PA′|+6,所以|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|+6≥|PA′|+|PC|+6-1≥|A′C|+5=5+5=10.]1.(教材P127习题3.2T9改编)一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s),则爆炸点的轨迹可能为( )A.椭圆的一部分 B.双曲线的一支C.线段 D.圆B [设爆炸点为P,由声速为340 m/s,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s,则|PA|-|PB|=680;当680<|AB|时,点P的轨迹为双曲线的一支;当680=|AB|时,点P的轨迹为一条射线.故选B.]2.设F1,F2分别是双曲线=1的上、下焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )A.12 B.24C.12 D.24B [由双曲线=1,得a=2,b=2,c=4,又3|PF1|=5|PF2|,且|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=10,|PF2|=6,所以|PF1|2-|PF2|2=64=(2c)2=|F1F2|2,即△PF1F2为直角三角形,所以=|PF2||F1F2|=×6×8=24.]3.已知F1,F2分别为双曲线=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最小值为( )A.+4 B.-4C.-2 +2C [因为|AF1|-|AF2|=2,所以|AF2|=|AF1|-2.则|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2,所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.如图,连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时,|AP|+|AF1|最小,最小值为|PF1|==.故|AP|+|AF2|的最小值为-2.故选C.]4.双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=________.4 [在双曲线x2-y2=1中,a=b=1,c=,设点P在右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2,在△PF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|PF1|·|PF2|,即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|,即|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2=4.]1.知识链:2.方法链:坐标法、转化法.3.警示牌:双曲线在实际生活的应用中,建模易出错.回顾本节知识,自主完成以下问题:双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线左支上一点,则|PF1|,|PF2|的最小值分别是多少?[提示] |PF1|的最小值为c-a,|PF2|的最小值为a+c.课时分层作业(二十九) 双曲线及其标准方程的应用一、选择题1.人们在进行工业设计时,巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质.从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的方程为x2-y2=1,则当入射光线F2P和反射光线PE(其中P为入射点)互相垂直时,∠F1F2P的余弦值大小为( )A.C.D [|F1F2|=2,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m-n=2,m2+n2=(2)2,解得m=+1,n=-1.∴cos ∠F1F2P==.]2.已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C右支上的一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于( )A.24 B.36C.48 D.96C [依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=6,∴|PF1|=16.=×16×=48.故选C.]3.地震预警是指在破坏性地震发生以后,在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息,以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中,两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息,可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断,震中到地震台B站的距离至少为( )A.8 km B.6 kmC.4 km D.2 kmA [设震中为P,依题意有|PB|-|PA|=6<|AB|=10,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线靠近A的一支,因为|PA|+|PB|≥|AB|=10,当且仅当A,P,B三点共线时取等号,所以|PB|-6+|PB|≥10,所以|PB|≥8,所以震中到地震台B站的距离至少为8 km.]4.某农户在自家地块开展生态农家乐,如图所示,建设了三个功能区:△ABC为鱼塘休闲区,矩形BCMN为果园种植区,以CM为直径的半圆为住宿区.现农户欲对果园进行施肥,运来一批肥料放置于点A处,要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB,AC送到矩形BCMN的果园种植区去,若AB=CB=2 km,AC=1 km,该农户在矩形果园中划定了一条界线,使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近,而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近,设这条界线是曲线E的一部分,则曲线E为( )A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.双曲线D [由题意,从点A出发经C到界线上一点P,与从A点出发经B到P所走的路程是一样的.即|AC|+|PC|=|AB|+|PB|,所以|PC|-|PB|=|AB|-|AC|.又由|AB|=|CB|=2 km,|AC|=1 km,所以|PC|-|PB|=1<|CB|=2.根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分.故选D.]5.设双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在C的右支上,且∠MF1F2=30°,则△MF1F2的面积为( )A.2 B.C.2 D.4+2C [设|MF1|=m,|MF2|=n,则|F1F2|=2=2,由双曲线的定义可知,m-n=2,即n=m-2,由余弦定理的推论可得,cos 30°==,∴m2+12-n2=6m,∴m2+12-(m-2)2=6m,解得m=4,∴△MF1F2的面积为×m×2×sin 30°=2.故选C.]二、填空题6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,动点P与点在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=12,|PF1|·|PF2|=32,则该双曲线的标准方程为________.=1 [∵|PF1|+|PF2|=12,|PF1|·|PF2|=32,∴(|PF1|-|PF2|)2=(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1|·|PF2|=16,即||PF1|-|PF2||=4,故a=2,又点在双曲线上,所以=1,解得b2=5,故双曲线的标准方程为=1.]7.设F1,F2分别是双曲线C:x2-=1的左、右焦点,点P在C上且=0,则△PF1F2面积为________.3 [由题意得双曲线C中a=1,b=,c==2,则其焦点坐标F1(-2,0),F2(2,0),根据双曲线对称性,不妨假设点P在第一象限,设||=m,||=m+2,其中m>c-a=1,因为=0,所以PF1⊥PF2,根据勾股定理知||2+||2=||2,即m2+(m+2)2=42,解得m=-1+(负值舍去),则||=+1,则△PF1F2面积为||||=×(+1)×(-1)=3.]8.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,且=0,则||=________.2 [由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0).设点P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y).∵=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.∴||===2.]三、解答题9.设F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若P是双曲线左支上一点,且|PF1|·|PF2|=32,试求△F1PF2的面积.[解] (1)由题意知a=3,b=4,c=5,设点M到另一个焦点的距离为m,由双曲线定义可知|m-16|=2a=6,解得m=10或m=22,即点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)P是双曲线左支上的点,则|PF2|-|PF1|=2a=6,则|PF2|2-2|PF1|·|PF2|+|PF1|2=36,将|PF1|·|PF2|=32代入,可得|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100,即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,所以△F1PF2为直角三角形,所以=|PF1|·|PF2|=×32=16.10.(多选)已知点P在双曲线C:=1上,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则( )A.|PF1|-|PF2|=8B.|PF1|+|PF2|=C.点P到x轴的距离为4D.∠F1PF2=BC [由双曲线C:=1,得a=4,b=3,则c==5,由双曲线的定义可知,||PF1|-|PF2||=2a=8,故A错误;设点P(xP,yP),则=×2c|yP|=×10×|yP|=20,∴|yP|=4,故C正确;由双曲线的对称性,不妨取点P,得|PF2|==,由双曲线的定义,得|PF1|=|PF2|+2a=+8=,∴|PF1|+|PF2|==,故B正确;由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2==≠,∴∠F1PF2≠,故D错误.故选BC.]11.已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,点Q(0,2),则|PQ|+|PF1|的最小值为( )A.2 B.4C.6 D.4D [双曲线方程变形为=1,则a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),点P在双曲线的右支上,由题意并结合双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+2≥|QF2|+2=2+2=4,当且仅当Q,P,F2三点共线时等号成立.所以|PQ|+|PF1|的最小值为4.故选D.]12.从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,且|AB|=|BC|=|CD|=2,视AD所在直线为x轴,则双曲线的方程为________.x2-=1 [设所求双曲线的标准方程为=1,a>0,b>0,则根据题意可得a=1,点在双曲线上,∴=1,∴b2=,∴所求双曲线的方程为x2-=1.]13.如图,B地在A地的正东方向6 km处,C地在A地的北偏东60°方向6 km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远4 km,则曲线PQ的轨迹方程(以AB中点为原点)是________;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是________km.=1(x≥2) 6-4 [以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图,由题意得|MA|-|MB|=4<6,根据双曲线的定义知,曲线PQ的轨迹为双曲线的右支,故2a=4,a=2,2c=6,c=3,b=,所以曲线PQ的轨迹方程为=1(x≥2).由题意知A(-3,0),C(6,3),因为|AC|=6,所以|MB|+|MC|=|MC|+|MA|-2a≥|AC|-4=6-4,当且仅当A,M,C三点共线时等号成立.所以这两条公路MB,MC的路程之和最短为(6-4) km.]14.某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图),|AP|=100 m,|BP|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.[解] 如图,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设点M沿AP,BP到点P的路程相等,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=150-100=50,这说明点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线右支上的一段,且a=25.在△APB中,|AB|2=|AP|2+|BP|2-2|AP|·|BP|cos 60°=17 500,即|AB|=50,从而c2==4 375,b2=3 750,所以点M所在曲线的方程为=1(x≥25),即在运土时,以点M的轨迹为分界线,将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处,右侧的土沿道路BP运到P处最省工.15.如图,P是双曲线=1(a>0,b>0)上任意一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,当点P,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形(焦点三角形).若∠F1PF2=θ,求证:=.[证明] 在△PF1F2中,因为∠F1PF2=θ,则由双曲线的定义及余弦定理得,||PF1|-|PF2||=2a |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2,①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos θ=|F1F2|2=4c2,②由②-①得2|PF1|·|PF2|·(1-cos θ)=4c2-4a2,则|PF1|·|PF2|=.又=|PF1|·|PF2|·sin θ,从而=b2·=.21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十九)1.D [|F1F2|=2,设|PF1|=m,|PF2|=n,则m-n=2,m2+n2=(2)2,解得m=+1,n=-1.∴cos∠F1F2P=.]2.C [依题意得|PF2|=|F1F2|=10,由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=6,∴|PF1|=16.∴×16×=48.故选C.]3.A [设震中为P,依题意有|PB|-|PA|=6<|AB|=10,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线靠近A的一支,因为|PA|+|PB|≥|AB|=10,当且仅当A,P,B三点共线时取等号,所以|PB|-6+|PB|≥10,所以|PB|≥8,所以震中到地震台B站的距离至少为8 km.]4.D [由题意,从点A出发经C到界线上一点P,与从A点出发经B到P所走的路程是一样的.即|AC|+|PC|=|AB|+|PB|,所以|PC|-|PB|=|AB|-|AC|.又由|AB|=|CB|=2 km,|AC|=1 km,所以|PC|-|PB|=1<|CB|=2.根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分.故选D.]5.C [设|MF1|=m,|MF2|=n,则|F1F2|=2,由双曲线的定义可知,m-n=2,即n=m-2,由余弦定理的推论可得,cos 30°=,∴m2+12-n2=6m,∴m2+12-(m-2)2=6m,解得m=4,∴△MF1F2的面积为×m×2×sin 30°=2.故选C.]6.=1 [∵|PF1|+|PF2|=12,|PF1|·|PF2|=32,∴(|PF1|-|PF2|)2=(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1|·|PF2|=16,即||PF1|-|PF2||=4,故a=2,又点在双曲线上,所以=1,解得b2=5,故双曲线的标准方程为=1.]7.3 [由题意得双曲线C中a=1,b=,c==2,则其焦点坐标F1(-2,0),F2(2,0),根据双曲线对称性,不妨假设点P在第一象限,设||=m,||=m+2,其中m>c-a=1,因为·=0,所以PF1⊥PF2,根据勾股定理知||2,即m2+(m+2)2=42,解得m=-1+(负值舍去),则|+1,则△PF1F2面积为×(+1)(-1)=3.]8.2 [由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0).设点P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y).∵·=0,∴x2+y2-10=0,即x2+y2=10.∴|=.]9.解:(1)由题意知a=3,b=4,c=5,设点M到另一个焦点的距离为m,由双曲线定义可知|m-16|=2a=6,解得m=10或m=22,即点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)P是双曲线左支上的点,则|PF2|-|PF1|=2a=6,则|PF2|2-2|PF1|·|PF2|+|PF1|2=36,将|PF1|·|PF2|=32代入,可得|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100,即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,所以△F1PF2为直角三角形,所以|PF1|·|PF2|=×32=16.10.BC [由双曲线C:=1,得a=4,b=3,则c==5,由双曲线的定义可知,||PF1|-|PF2||=2a=8,故A错误;设点P(xP,yP),则×2c|yP|=×10×|yP|=20,∴|yP|=4,故C正确;由双曲线的对称性,不妨取点P,得|PF2|=,由双曲线的定义,得|PF1|=|PF2|+2a=,∴|PF1|+|PF2|=,故B正确;由余弦定理的推论得cos∠F1PF2=≠,∴∠F1PF2≠,故D错误.故选BC.]11.D [双曲线方程变形为=1,则a=b=,c=2,F1(-2,0),F2(2,0),点P在双曲线的右支上,由题意并结合双曲线的定义可得,|PF1|-|PF2|=2a=2,所以|PQ|+|PF1|=|PQ|+|PF2|+2≥|QF2|+2,当且仅当Q,P,F2三点共线时等号成立.所以|PQ|+|PF1|的最小值为4.故选D.]12.x2-=1 [设所求双曲线的标准方程为=1,a>0,b>0,则根据题意可得a=1,点在双曲线上,∴=1,∴b2=,∴所求双曲线的方程为x2-=1.]13.=1(x≥2) 6-4 [以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图,由题意得|MA|-|MB|=4<6,根据双曲线的定义知,曲线PQ的轨迹为双曲线的右支,故2a=4,a=2,2c=6,c=3,b=,所以曲线PQ的轨迹方程为=1(x≥2).由题意知A(-3,0),C(6,3),因为|AC|=6,所以|MB|+|MC|=|MC|+|MA|-2a≥|AC|-4=6-4,当且仅当A,M,C三点共线时等号成立.所以这两条公路MB,MC的路程之和最短为(6-4) km.]14.解:如图,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设点M沿AP,BP到点P的路程相等,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=150-100=50,这说明点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线右支上的一段,且a=25.在△APB中,|AB|2=|AP|2+|BP|2-2|AP|·|BP|cos 60°=17 500,即|AB|=50,从而c2==4 375,b2=3 750,所以点M所在曲线的方程为=1(x≥25),即在运土时,以点M的轨迹为分界线,将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处,右侧的土沿道路BP运到P处最省工.15.证明:在△PF1F2中,因为∠F1PF2=θ,则由双曲线的定义及余弦定理得,||PF1|-|PF2||=2a |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2,①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos θ=|F1F2|2=4c2,②由②-①得2|PF1|·|PF2|·(1-cos θ)=4c2-4a2,则|PF1|·|PF2|=.又|PF1|·|PF2|·sin θ,从而=b2·.21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共62张PPT)第2课时 双曲线及其标准方程的应用第三章圆锥曲线的方程3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程[学习目标] 1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.(逻辑推理、数学运算)2.了解双曲线在实际生活中的应用.(数学建模、数学运算)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.双曲线的定义是什么?问题2.如何建立实际问题的双曲线模型?探究建构 关键能力达成探究1 双曲线的实际生活应用[典例讲评] 【链接教材P120例2】1.(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A,B听到远处传来的炮弹爆炸声,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s,试判断爆炸点在什么样的曲线上,并求出曲线的方程.[解] 设爆炸点为P,由已知,得|PA|-|PB|=340×4=1 360(m).因为|AB|=2 km=2 000 m>1 360 m,|PA|>|PB|,所以点P在以点A,B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上.以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图所示).【教材原题·P120例2】例2 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.[分析] 先根据题意判断轨迹的形状.由声速及A,B两处听到炮弹爆炸声的时间差,可知A,B两处与爆炸点的距离的差为定值,所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远,所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.反思领悟 利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).[学以致用] 1.某飞船顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.[母题探究] 若将本例中的“∠F1PF2=60°”改为“|PF1|·|PF2|=32”,求△F1PF2的面积.反思领悟 在解答与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时,一般地,可由双曲线的定义,得|PF1|与|PF2|的关系式,或利用正弦定理、余弦定理,得 |PF1|与|PF2|的关系式,从而求出|PF1|与|PF2|的值.但是,我们一般不直接求解出|PF1|,|PF2|,而是根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.√√反思领悟 在求解与双曲线有关的长度问题时,注意定义的应用,在求距离的和时往往需要利用定义进行转化,注意最值取得的条件,往往在三点共线时取到.√C [由题知点C(1,4),点B在圆C上,则|PB|≥|PC|-r=|PC|-1,由点P在双曲线右支上,点A为双曲线左焦点,设A′为双曲线右焦点,由双曲线定义知|PA|=|PA′|+2a=|PA′|+6,所以|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|+6≥|PA′|+|PC|+6-1≥|A′C|+5=5+5=10.]应用迁移 随堂评估自测1.(教材P127习题3.2T9改编)一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s),则爆炸点的轨迹可能为( )A.椭圆的一部分 B.双曲线的一支C.线段 D.圆√B [设爆炸点为P,由声速为340 m/s,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s,则|PA|-|PB|=680;当680<|AB|时,点P的轨迹为双曲线的一支;当680=|AB|时,点P的轨迹为一条射线.故选B.]√√4.双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=________.41.知识链: 2.方法链:坐标法、转化法.3.警示牌:双曲线在实际生活的应用中,建模易出错.[提示] |PF1|的最小值为c-a,|PF2|的最小值为a+c.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号135246879101112131415课时分层作业(二十九) 双曲线及其标准方程的应用√题号135246879101112131415题号213456879101112131415√3.地震预警是指在破坏性地震发生以后,在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息,以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中,两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息,可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断,震中到地震台B站的距离至少为( )A.8 km B.6 kmC.4 km D.2 km题号213456879101112131415√A [设震中为P,依题意有|PB|-|PA|=6<|AB|=10,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线靠近A的一支,因为|PA|+|PB|≥|AB|=10,当且仅当A,P,B三点共线时取等号,所以|PB|-6+|PB|≥10,所以|PB|≥8,所以震中到地震台B站的距离至少为8 km.]题号2134568791011121314154.某农户在自家地块开展生态农家乐,如图所示,建设了三个功能区:△ABC为鱼塘休闲区,矩形BCMN为果园种植区,以CM为直径的半圆为住宿区.现农户欲对果园进行施肥,运来一批肥料放置于点A处,要把这批肥料沿鱼塘两侧的道路AB,AC送到矩形BCMN的果园种植区去,若AB=CB=2 km,AC=1 km,该农户在矩形果园中划定了一条界线,使位于界线一侧的点沿道路AB运送肥料较近,而另一侧的点沿道路AC运送肥料较近,设这条界线是曲线E的一部分,则曲线E为( )A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.双曲线题号213456879101112131415√D [由题意,从点A出发经C到界线上一点P,与从A点出发经B到P所走的路程是一样的.即|AC|+|PC|=|AB|+|PB|,所以|PC|-|PB|=|AB|-|AC|.又由|AB|=|CB|=2 km,|AC|=1 km,所以|PC|-|PB|=1<|CB|=2.根据双曲线的定义可知曲线E为双曲线的一部分.故选D.]题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号2134568791011121314153题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415[解] (1)由题意知a=3,b=4,c=5,设点M到另一个焦点的距离为m,由双曲线定义可知|m-16|=2a=6,解得m=10或m=22,即点M到另一个焦点的距离为10或22.题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号21345687910111213141512.从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2所示,篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线的一部分,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,且|AB|=|BC|=|CD|=2,视AD所在直线为x轴,则双曲线的方程为____________.题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号21345687910111213141514.某工程队需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图),|AP|=100 m,|BP|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415第2课时 双曲线及其标准方程的应用[学习目标] 1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.(逻辑推理、数学运算)2.了解双曲线在实际生活中的应用.(数学建模、数学运算)探究1 双曲线的实际生活应用[典例讲评] 【链接教材P120例2】1.(源自北师大版教材)相距2 km的两个哨所A,B听到远处传来的炮弹爆炸声,在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s,试判断爆炸点在什么样的曲线上,并求出曲线的方程.[尝试解答] 利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).[学以致用] 1.某飞船顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角. 探究2 双曲线定义的应用[典例讲评] 2.已知双曲线=1的左、右焦点分别是F1,F2.P是双曲线上一点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.[尝试解答] [母题探究] 若将本例中的“∠F1PF2=60°”改为“|PF1|·|PF2|=32”,求△F1PF2的面积. 在解答与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时,一般地,可由双曲线的定义,得|PF1|与|PF2|的关系式,或利用正弦定理、余弦定理,得 |PF1|与|PF2|的关系式,从而求出|PF1|与|PF2|的值.但是,我们一般不直接求解出|PF1|,|PF2|,而是根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.[学以致用] 2.(2024·天津卷)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.P是双曲线右支上一点,且直线PF2的斜率为2,△PF1F2是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1探究3 利用双曲线的定义求最值[典例讲评] 3.已知定点A(3,1),F是双曲线=1的右焦点,P是双曲线右支上的动点,则|PA|+|PF|的最小值为( )A. B.5+4C.5-4 D.+4 在求解与双曲线有关的长度问题时,注意定义的应用,在求距离的和时往往需要利用定义进行转化,注意最值取得的条件,往往在三点共线时取到.[学以致用] 3.已知A(-4,0),B是圆C:(x-1)2+(y-4)2=1上的点,点P在双曲线=1的右支上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.9 B.2+6C.10 D.121.(教材P127习题3.2T9改编)一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s),则爆炸点的轨迹可能为( )A.椭圆的一部分 B.双曲线的一支C.线段 D.圆2.设F1,F2分别是双曲线=1的上、下焦点,P是该双曲线上的一点,且3|PF1|=5|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )A.12 B.24C.12 D.243.已知F1,F2分别为双曲线=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最小值为( )A.+4 B.-4C.-2 +24.双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P满足∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=________.1.知识链:2.方法链:坐标法、转化法.3.警示牌:双曲线在实际生活的应用中,建模易出错.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2.1第2课时双曲线及其标准方程的应用学案.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2.1第2课时双曲线及其标准方程的应用学案(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2.1第2课时双曲线及其标准方程的应用课件.ppt 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业29双曲线及其标准方程的应用(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业29答案.docx