资源简介 3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质[学习目标] 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(数学抽象)2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程.(数学运算)3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题.(逻辑推理)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.椭圆的几何性质有哪些?问题2.观察不同的椭圆,其扁平程度各不相同,如何刻画椭圆的扁平程度呢?探究1 椭圆的几何性质问题1 观察椭圆=1(a>b>0)的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上有哪些特殊点?坐标是什么?[提示] 范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;对称性:对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点;特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).[新知生成]1.椭圆的几何性质:范围、顶点、焦点、对称性.焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上图形标准 方程 =1(a>b>0) (a>b>0)范围 -a≤x≤a且 -b≤y≤b -b≤x≤b且 -a≤y≤a对称性 对称轴为坐标轴,对称中心为原点顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)轴长 短轴长|B1B2|=2b,长轴长|A1A2|=2a焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)焦距 |F1F2|=2ca,b,c的关系 c2=a2-b22.椭圆的离心率(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比.(2)记法:e=∈(0,1).【教用·微提醒】 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.[典例讲评] 1.(源自北师大版教材)求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.[解] 将已知方程化为椭圆的标准方程为=1,则a=5,b=3,c==4.因此,椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=10,2b=6.离心率是e==.两个焦点分别是F1(-4,0),F2(4,0).椭圆的四个顶点分别是 A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).将方程变形为y=±,由y=,在0≤x≤5的范围内计算出一些点的坐标(x,y),如表(y的值精确到0.1).x 0 1 2 3 4 5y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形,再利用对称性画出整个椭圆(如图所示). 试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤.[提示] (1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论).(3)求出a,b,c.(4)写出椭圆的几何性质.[学以致用] 【链接教材P112例4】1.已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其范围、对称性、顶点、焦点、焦距、离心率.[解] (1)由椭圆C1:=1,可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=.(2)椭圆C2:=1.①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:对称轴为x轴、y轴;对称中心为原点;③顶点:长轴端点为(0,10),(0,-10),短轴端点为(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6),焦距为12;⑤离心率:e=.【教材原题·P112例4】例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.[解] 把原方程化成标准方程,得=1,于是a=5,b=4,c==3.因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率e==,两个焦点坐标分别是F1(-3,0)和F2(3,0),四个顶点坐标分别是A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-4)和B2(0,4).探究2 由椭圆的几何性质求标准方程[典例讲评] 2.(1)焦点在y轴上,且长轴长与短轴长之比为2∶1,焦距为2的椭圆方程为( )A.=1 B.=1C.+y2=1 D.+x2=1(2)已知椭圆C过点(3,0),且离心率为,则椭圆C的标准方程为( )A.=1B.=1C.=1或=1D.=1或=1(1)D (2)D [(1)∵焦距为2c=2,∴c=,∵长轴长与短轴长之比为2∶1,∴2a∶2b=2∶1,即a=2b,且a2=b2+c2=b2+3,联立解得a=2,b=1,∵焦点在y轴上,∴椭圆方程为+x2=1.故选D.(2)若焦点在x轴上,则a=3.由e==,得c=,所以b2=a2-c2=3,此时椭圆C的标准方程为=1.若焦点在y轴上,则b=3.由e====,得a2=27,此时椭圆C的标准方程为=1.综上所述,椭圆C的标准方程为=1或=1.故选D.] 1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:(1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程).(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e=等.2.在椭圆的简单几何性质中,长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.[学以致用] 2.求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在y轴上,c=6,e=;(2)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3.[解] (1)由c=6,e=,知a=9,b2=81-36=45.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为=1.(2)由题意知,a=5,c=3,b2=25-9=16,焦点所在坐标轴可能是x轴,也可能是y轴,故椭圆的标准方程为=1或=1.探究3 求椭圆的离心率问题2 观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用离心率来刻画它吗?[提示] 利用离心率e=来刻画椭圆的扁平程度.如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0<e<1,e越大,∠BF2O越小,椭圆越扁平;e越小,∠BF2O越大,椭圆越接近于圆.[新知生成]【教用·微提醒】 e==.e越接近1,椭圆越扁平;e越接近0,椭圆越接近于圆.(可以结合数字的特点来帮助记忆,“1”很扁平,“0”很圆)[典例讲评] 3.(2022·全国甲卷)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为( )A.C.A [已知A(-a,0),设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),x0≠±a,kAP=,kAQ=,故kAP·kAQ==,①=1,即=,②将②代入①整理得=.∴e===.故选A.][母题探究] 本例中,“若直线AP,AQ的斜率之积为”改为“若直线AP,AQ的斜率之积不小于”,求C的离心率的取值范围.[解] 已知A(-a,0),设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),显然,|x0|≠a,kAP=,kAQ=,故kAP·kAQ=.>0, ①==, ②由①②知,∴e==.又e>0,∴离心率的取值范围为.【教用·备选题】 已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N,若=3,则C的离心率为( )A. B. C. D.A [不妨设M在第一象限,由题意,M的横坐标为c,令=1,解得y=,即M,设N(x,y),又F1(-c,0),=(x+c,y),=,由=3可得:解得又N(x,y)在椭圆上,即=1=,整理得=,解得e=.故选A.] 求椭圆离心率及其取值范围的两种方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.(2)方程法或不等式法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.[学以致用] 3.开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律,其第一定律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳运动的过程中,轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心1.47亿千米,远日点(距离太阳最远的点)距太阳中心1.52亿千米,则该行星运动轨迹的离心率为( )A.C.B [设椭圆的长轴长为2a,焦距为2c,a>c>0.由题意知解得则该行星运行轨迹的离心率e===.故选B.]1.若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1A [因为旋转后椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,即2b=2c,即b=c.A中,a2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,故b=c,所以A正确;B中,a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=2≠3,所以B不正确;C中,a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4≠2,所以C不正确;D中,a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=3≠6,所以D不正确.故选A.]2.若椭圆=1的离心率为,则m=( )A.1 B.4C.1或4 D.以上都不对C [椭圆=1的离心率为,当焦点在x轴上时,e==,解得m=1;当焦点在y轴上时,e==,解得m=4.故选C.]3.椭圆=1(a>b>0)中,点F2为椭圆的右焦点,点A为椭圆的左顶点,点B为椭圆的短轴上的顶点,若⊥,则此椭圆称为“黄金椭圆”,“黄金椭圆”的离心率为( )A.C.B [设c为椭圆的半焦距,由题意可得A(-a,0),F2(c,0),由对称性可设B(0,b),则=(-c,b),=(a,b).因为⊥,所以=-ac+b2=0,所以a2-c2-ac=0,即e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去).故选B.]4.(教材P112练习T3(1)改编)焦点在x轴上的椭圆C,长轴长为10,离心率为,则椭圆C的标准方程为________.=1 [设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),由题意得,2a=10,∴a=5,e==,∴c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16,∴椭圆C的标准方程为=1.]1.知识链:2.方法链:待定系数法、方程法、分类讨论法.3.警示牌:(1)忽略离心率的取值范围(0,1).(2)把椭圆的长轴长误写作a.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤.[提示] (1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.2.试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路.[提示] 已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;(3)写出标准方程.3.试总结求椭圆离心率及其取值范围的方法.[提示] (1)若已知a,c的值或关系,则可直接利用e=求解;(2)若已知a,b的值或关系,则可利用e==求解;(3)若已知a,b,c的关系,则可转化为关于a,c的方程或不等式,进而得到关于e的方程或不等式进行求解.课时分层作业(二十六) 椭圆的简单几何性质一、选择题1.(多选)已知椭圆C:=1,则下列说法中正确的是( )A.椭圆C的焦点在x轴上B.椭圆C的长轴长是2C.椭圆C的焦距为4D.椭圆C的离心率为ABD [设椭圆C的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,因为椭圆C的方程为=1,所以椭圆C的焦点在x轴上,A正确,且a=,b=2,c==,所以椭圆C的长轴长为2,B正确,椭圆C的焦距为2,C错误;椭圆C的离心率e===,D正确.故选ABD.]2.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:=1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx与椭圆C交于A,B两点,若四边形AF1BF2的周长为12,则椭圆C的短半轴长为( )A.4 B.3C.2 D.6C [依题意,ab=6,由椭圆的对称性得,线段AB,F1F2互相平分于原点,则四边形AF1BF2为平行四边形,由椭圆的定义得4a=2(|AF1|+|AF2|)=12,解得a=3,所以椭圆C的短半轴长b=2.故选C.]3.已知A为椭圆C:+x2=1的右顶点,P为C上一点,则|PA|的最大值为( )A. B.2C.3 D.A [由题意得A(1,0),设P(x1,y1),x1∈[-1,1],则=,x1∈[-1,1],所以|PA|===,当x1=-时,|PA|取得最大值,最大值为.故选A.]4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-2,则椭圆C的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1B [由离心率e===,解得=,即b2=a2,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为上顶点,则A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),于是=(-a,-b),=(a,-b),而=-2,即-a2+b2=-2,又b2=a2,解得a2=8,b2=6,所以椭圆的方程为=1.故选B.]5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点,则椭圆C的标准方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1B [因为M(1,0)为线段OB的中点,且B(b,0),所以b=2,又椭圆C的离心率e=,所以===,所以a=2,所以椭圆C的标准方程为=1.]二、填空题6.椭圆=1的长轴长为________.8 [因为椭圆的标准方程为=1,所以a2=16,所以a=4,所以椭圆的长轴长为2a=8.]7.在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的标准方程为________.=1 [因为△ABF2的周长为16,所以4a=16,即a=4,又离心率为,所以==,所以c=2,所以b===2,所以椭圆C的标准方程为=1.]8.设B,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点和上焦点,点P在椭圆C上,且=2,则椭圆C的离心率为________. [根据题意可得B(b,0),F2(0,c),设P(x,y),∵=2,∴(-b,c)=2(x,y-c),∴解得∴P,又点P在椭圆C:=1(a>b>0)上,∴=1,∴=,∴椭圆C的离心率为=.]三、解答题9.已知椭圆C的长轴端点是A(-2,0)和B(2,0),离心率是.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P在椭圆C上,求点P到点M(0,1)的距离的取值范围.[解] (1)因为椭圆C的长轴端点是A(-2,0)和B(2,0),离心率是,则解得所以椭圆C的方程为=1.(2)设P(x,y)是椭圆上的任意一点,由椭圆的方程可得x2=8-4y2,所以|PM|==,其中y∈[-].所以-1≤|PM|≤.故点P到点M(0,1)的距离的取值范围是.10.开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律,其内容如下:每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳运动,而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点,H绕太阳运动的轨迹近似成曲线=1(m>n>0),行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离,距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星H的近日点距离和远日点距离之和是20(距离单位:亿千米),近日点距离和远日点距离之积是81,则m+n=( )A.181 B.97 C.52 D.19A [设椭圆方程为=1,a>b>0,由椭圆的性质可得:椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c],又椭圆方程为=1(m>n>0),则a=,b=,c=,由题意可得即则m+n=181.故选A.]11.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,满足PF1⊥PF2,以C的短轴为直径作圆O,截直线PF1的弦长为b,则椭圆C的离心率为( )A.C.A [∵以椭圆C的短轴为直径作圆O,截直线PF1的弦长为b,∴圆心O到直线PF1的距离d==,又PF1⊥PF2,且O为F1F2的中点,∴|PF2|=2d=b,∴|PF1|=2a-b,又|F1F2|=2c,在Rt△PF1F2中,由勾股定理可得,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴(2a-b)2+b2=4c2=4(a2-b2),解得=,∴椭圆C的离心率e===.故选A.]12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.若椭圆C上存在一点M,使得|F1F2|2=|MF1|·|MF2|,则椭圆C的离心率的取值范围是( )A. B.C.A [设|MF1|=m,|MF2|=n,椭圆C的半焦距为c,则m+n=2a,mn=4c2,所以a2-4c2=-mn==(m-a)2.因为a-c≤m≤a+c,所以-c≤m-a≤c.所以a2-4c2=(m-a)2∈[0,c2],即4c2≤a2≤5c2,则≤e2≤,所以≤e≤.]13.已知椭圆=1(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为F,若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=,则椭圆的标准方程是________.若点P为椭圆上任意一点,则的取值范围是________.=1 [0,12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.因为离心率e=,所以c=1,b==,则椭圆的标准方程为=1,所以点A的坐标为(-2,0),点F的坐标为(-1,0).设P(x,y),则=(x+2,y)·(x+1,y)=x2+3x+2+y2.由椭圆的方程,得y2=3-x2,所以=x2+3x-x2+5=(x+6)2-4.因为x∈[-2,2],所以∈[0,12].]14.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)证明:△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.[解] (1)不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mn cos 60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号),所以,即e≥.又因为0<e<1,所以e的取值范围是.(2)证明:由(1)知4c2=4a2-3mn,所以mn=b2.所以=mn sin 60°=b2,即△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若离心率e=,则椭圆C的离心率的取值范围为( )A.(0,-1) B.C. D.[-1,1)D [因为e=,所以|PF1|=e|PF2|,由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,解得|PF2|=,因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以a-c≤≤a+c,即1-e≤≤1+e,解得e≥-1,因为 0<e<1,所以-1≤e<1,所以椭圆C的离心率e的取值范围是[-1,1).故选D.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质[学习目标] 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(数学抽象)2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程.(数学运算)3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题.(逻辑推理)探究1 椭圆的几何性质问题1 观察椭圆=1(a>b>0)的形状,你能从图上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上有哪些特殊点?坐标是什么? [新知生成]1.椭圆的几何性质:范围、顶点、焦点、对称性.焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上图形标准 方程 =1(a>b>0) ____________ (a>b>0)范围 ______________ ______________ ______________ ______________对称性 对称轴为______________,对称中心为______________顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)轴长 短轴长|B1B2|=______________,长轴长|A1A2|=______________焦点 ______________ ______________焦距 |F1F2|=______________a,b,c的关系 c2=a2-b22.椭圆的离心率(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比.(2)记法:e=______∈(0,1).[典例讲评] 1.(源自北师大版教材)求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.[尝试解答] 试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤. [学以致用] 【链接教材P112例4】1.已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其范围、对称性、顶点、焦点、焦距、离心率. 探究2 由椭圆的几何性质求标准方程[典例讲评] 2.(1)焦点在y轴上,且长轴长与短轴长之比为2∶1,焦距为2的椭圆方程为( )A.=1 B.=1C.+y2=1 D.+x2=1(2)已知椭圆C过点(3,0),且离心率为,则椭圆C的标准方程为( )A.=1B.=1C.=1或=1D.=1或=1 1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:(1)确定焦点位置.(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程).(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2=a2-c2,e=等.2.在椭圆的简单几何性质中,长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.[学以致用] 2.求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在y轴上,c=6,e=;(2)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3. 探究3 求椭圆的离心率问题2 观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用离心率来刻画它吗? [新知生成][典例讲评] 3.(2022·全国甲卷)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为( )A.C.[尝试解答] [母题探究] 本例中,“若直线AP,AQ的斜率之积为”改为“若直线AP,AQ的斜率之积不小于”,求C的离心率的取值范围. 求椭圆离心率及其取值范围的两种方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.(2)方程法或不等式法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.[学以致用] 3.开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律,其第一定律指出所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳运动的过程中,轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心1.47亿千米,远日点(距离太阳最远的点)距太阳中心1.52亿千米,则该行星运动轨迹的离心率为( )A.C.1.若将一个椭圆绕其中心旋转90°,所得椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是( )A.=1 B.=1C.=1 D.=12.若椭圆=1的离心率为,则m=( )A.1 B.4C.1或4 D.以上都不对3.椭圆=1(a>b>0)中,点F2为椭圆的右焦点,点A为椭圆的左顶点,点B为椭圆的短轴上的顶点,若⊥,则此椭圆称为“黄金椭圆”,“黄金椭圆”的离心率为( )A.C.4.(教材P112练习T3(1)改编)焦点在x轴上的椭圆C,长轴长为10,离心率为,则椭圆C的标准方程为________.1.知识链:2.方法链:待定系数法、方程法、分类讨论法.3.警示牌:(1)忽略离心率的取值范围(0,1).(2)把椭圆的长轴长误写作a.21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十六)1.ABD [设椭圆C的长半轴长为a,短半轴长为b,半焦距为c,因为椭圆C的方程为=1,所以椭圆C的焦点在x轴上,A正确,且a=,b=2,c=,所以椭圆C的长轴长为2,B正确,椭圆C的焦距为2,C错误;椭圆C的离心率e=,D正确.故选ABD.]2.C [依题意,ab=6,由椭圆的对称性得,线段AB,F1F2互相平分于原点,则四边形AF1BF2为平行四边形,由椭圆的定义得4a=2(|AF1|+|AF2|)=12,解得a=3,所以椭圆C的短半轴长b=2.故选C.]3.A [由题意得A(1,0),设P(x1,y1),x1∈[-1,1],则,x1∈[-1,1],所以|PA|==,当x1=-时,|PA|取得最大值,最大值为.故选A.]4.B [由离心率e=,解得,即b2=a2,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为上顶点,则A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),于是=(-a,-b),=(a,-b),而·=-2,即-a2+b2=-2,又b2=a2,解得a2=8,b2=6,所以椭圆的方程为=1.故选B.]5.B [因为M(1,0)为线段OB的中点,且B(b,0),所以b=2,又椭圆C的离心率e=,所以,所以a=2,所以椭圆C的标准方程为=1.]6.8 [因为椭圆的标准方程为=1,所以a2=16,所以a=4,所以椭圆的长轴长为2a=8.]7.=1 [因为△ABF2的周长为16,所以4a=16,即a=4,又离心率为,所以,所以c=2,所以b=,所以椭圆C的标准方程为=1.]8. [根据题意可得B(b,0),F2(0,c),设P(x,y),∵,∴(-b,c)=2(x,y-c),∴∴P,又点P在椭圆C:=1(a>b>0)上,∴=1,∴,∴椭圆C的离心率为.]9.解:(1)因为椭圆C的长轴端点是A(-2,0)和B(2,0),离心率是,则所以椭圆C的方程为=1.(2)设P(x,y)是椭圆上的任意一点,由椭圆的方程可得x2=8-4y2,所以|PM|=,其中y∈[-].所以-1≤|PM|≤.故点P到点M(0,1)的距离的取值范围是.10.A [设椭圆方程为=1,a>b>0,由椭圆的性质可得:椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c],又椭圆方程为=1(m>n>0),则a=,b=,c=,由题意可得即则m+n=181.故选A.]11.A [∵以椭圆C的短轴为直径作圆O,截直线PF1的弦长为b,∴圆心O到直线PF1的距离d=,又PF1⊥PF2,且O为F1F2的中点,∴|PF2|=2d=b,∴|PF1|=2a-b,又|F1F2|=2c,在Rt△PF1F2中,由勾股定理可得,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴(2a-b)2+b2=4c2=4(a2-b2),解得,∴椭圆C的离心率e=.故选A.]12.A [设|MF1|=m,|MF2|=n,椭圆C的半焦距为c,则m+n=2a,mn=4c2,所以a2-4c2==(m-a)2.因为a-c≤m≤a+c,所以-c≤m-a≤c.所以a2-4c2=(m-a)2∈[0,c2],即4c2≤a2≤5c2,则≤e2≤,所以≤e≤.]13.=1 [0,12] [因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.因为离心率e=,所以c=1,b=,则椭圆的标准方程为=1,所以点A的坐标为(-2,0),点F的坐标为(-1,0).设P(x,y),则·=(x+2,y)·(x+1,y)=x2+3x+2+y2.由椭圆的方程,得y2=3-x2,所以·(x+6)2-4.因为x∈[-2,2],所以·∈[0,12].]14.解:(1)不妨设椭圆的方程为=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos 60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号),所以≥,即e≥.又因为0(2)证明:由(1)知4c2=4a2-3mn,所以mn=b2.所以mnsin 60°=b2,即△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.15.D [因为e=,所以|PF1|=e|PF2|,由椭圆的定义得,|PF1|+|PF2|=2a,解得|PF2|=,因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以a-c≤≤a+c,即1-e≤≤1+e,解得e≥-1,因为 0所以椭圆C的离心率e的取值范围是[-1,1).故选D.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共76张PPT)第1课时 椭圆的简单几何性质第三章圆锥曲线的方程3.1 椭圆3.1.2 椭圆的简单几何性质[学习目标] 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.(数学抽象)2.能利用椭圆的简单几何性质求标准方程.(数学运算)3.能运用椭圆的简单几何性质分析和解决问题.(逻辑推理)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.椭圆的几何性质有哪些?问题2.观察不同的椭圆,其扁平程度各不相同,如何刻画椭圆的扁平程度呢?探究建构 关键能力达成[提示] 范围:-a≤x≤a,-b≤y≤b;对称性:对称轴为x轴、y轴,对称中心为原点;特殊点:顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b).[新知生成]1.椭圆的几何性质:范围、顶点、焦点、对称性.焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上图形标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上范围 _____________________ ______________________对称性 对称轴为______,对称中心为____顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a坐标轴原点焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上轴长 短轴长|B1B2|=____,长轴长|A1A2|=____焦点 ____________________ ______________________焦距 |F1F2|=____a,b,c的关系 c2=a2-b22b2aF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)2c 【教用·微提醒】 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.[典例讲评] 1.(源自北师大版教材)求椭圆9x2+25y2=225的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.x 0 1 2 3 4 5y 3.0 2.9 2.7 2.4 1.8 0先用描点法画出椭圆在第一象限内的图形,再利用对称性画出整个椭圆(如图所示).发现规律 试总结根据椭圆方程研究其几何性质的步骤.[提示] (1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论).(3)求出a,b,c.(4)写出椭圆的几何性质.【教材原题·P112例4】例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.√√2.在椭圆的简单几何性质中,长轴长、短轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.探究3 求椭圆的离心率问题2 观察下图,我们发现,不同椭圆的扁平程度不同,扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用离心率来刻画它吗?[新知生成]√√√应用迁移 随堂评估自测√A [因为旋转后椭圆短轴的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,即2b=2c,即b=c.A中,a2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,故b=c,所以A正确;B中,a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=2≠3,所以B不正确;C中,a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=4≠2,所以C不正确;D中,a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=3≠6,所以D不正确.故选A.]√√1.知识链: 2.方法链:待定系数法、方程法、分类讨论法.3.警示牌:(1)忽略离心率的取值范围(0,1).(2)把椭圆的长轴长误写作a.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.试总结根据椭圆的标准方程研究其几何性质的步骤.[提示] (1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.2.试总结根据椭圆的几何性质求其标准方程的思路.[提示] 已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;(3)写出标准方程.3.试总结求椭圆离心率及其取值范围的方法.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号135246879101112131415课时分层作业(二十六) 椭圆的简单几何性质√√√题号135246879101112131415题号213456879101112131415√C [依题意,ab=6,由椭圆的对称性得,线段AB,F1F2互相平分于原点,则四边形AF1BF2为平行四边形,由椭圆的定义得4a=2(|AF1|+|AF2|)=12,解得a=3,所以椭圆C的短半轴长b=2.故选C.]题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号2134568791011121314158题号213456879101112131415题号213456879101112131415 题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415[0,12]题号21345687910111213141514.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)证明:△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415课时分层作业(二十六) 椭圆的简单几何性质说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共94分一、选择题1.(多选)已知椭圆C:=1,则下列说法中正确的是( )A.椭圆C的焦点在x轴上B.椭圆C的长轴长是2C.椭圆C的焦距为4D.椭圆C的离心率为2.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积,当我们垂直地缩小一个圆时,得到一个椭圆,椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:=1(a>b>0)的面积为6π,两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx与椭圆C交于A,B两点,若四边形AF1BF2的周长为12,则椭圆C的短半轴长为( )A.4 B.3C.2 D.63.已知A为椭圆C:+x2=1的右顶点,P为C上一点,则|PA|的最大值为( )A. B.2C.3 D.4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-2,则椭圆C的方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,短轴的右端点为B,M(1,0)为线段OB的中点,则椭圆C的标准方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1二、填空题6.椭圆=1的长轴长为________.7.在平面直角坐标系Oxy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交椭圆C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的标准方程为________.8.设B,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点和上焦点,点P在椭圆C上,且=2,则椭圆C的离心率为________.三、解答题9.已知椭圆C的长轴端点是A(-2,0)和B(2,0),离心率是.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P在椭圆C上,求点P到点M(0,1)的距离的取值范围.10.开普勒第一定律也称椭圆定律、轨道定律,其内容如下:每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳运动,而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点,H绕太阳运动的轨迹近似成曲线=1(m>n>0),行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离,距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星H的近日点距离和远日点距离之和是20(距离单位:亿千米),近日点距离和远日点距离之积是81,则m+n=( )A.181 B.97 C.52 D.1911.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,满足PF1⊥PF2,以C的短轴为直径作圆O,截直线PF1的弦长为b,则椭圆C的离心率为( )A.C.12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.若椭圆C上存在一点M,使得|F1F2|2=|MF1|·|MF2|,则椭圆C的离心率的取值范围是( )A. B.C.13.已知椭圆=1(a>b>0)的左顶点为A,左焦点为F,若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2,离心率e=,则椭圆的标准方程是________.若点P为椭圆上任意一点,则的取值范围是________.14.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)证明:△F1PF2的面积只与椭圆的短半轴长有关.15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若离心率e=,则椭圆C的离心率的取值范围为( )A.(0,-1) B.C. D.[-1,1)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质学案.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质学案(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质课件.ppt 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业26椭圆的简单几何性质(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业26答案.docx