资源简介 (共57张PPT)第1课时 双曲线及其标准方程第三章圆锥曲线的方程3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程[学习目标] 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(数学抽象、直观想象)2.掌握双曲线的标准方程及其求法.(数学运算)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.双曲线的定义中有怎样的限制条件?问题2.双曲线的标准方程如何推导?问题3.如何根据已知条件求解双曲线的标准方程?探究建构 关键能力达成探究1 双曲线的定义问题1 做下面一个试验.(1)取一条拉链,拉开一部分.(2)在拉开的两边各选择一点,分别固定在点F1,F2上.(3)把笔尖放在点M处,随着拉链的拉开或闭拢,画出一条曲线.试观察这是一条什么样的曲线?点M在运动过程中满足什么几何条件?[提示] 双曲线的一支.曲线上的点满足条件:||MF1|-|MF2||=常数<|F1F2|.[新知生成]文字语言 平面内与两个定点F1,F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线符号语言 ||MF1|-|MF2||=2a(常数)(2a<|F1F2|)焦点 定点__________焦距 ________的距离差的绝对值F1,F2两焦点间【教用·微提醒】 (1)常数要小于两个定点间的距离.(2)如果没有绝对值,动点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在.(5)当2a=0时,动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.[学以致用] 1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是( )A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线√D [依题意得|F1F2|=10,当a=3时,因为|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|,故点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线.]探究2 双曲线的标准方程问题2 设双曲线的焦点为F1和F2,焦距为2c,双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a,其中c>a>0,以经过F1,F2两点的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时,双曲线的标准方程是什么?[新知生成]双曲线的标准方程焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上图形标准方程 __________________________ ________________________ 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) ___________________a,b,c的关系 c2=__________F1(0,-c),F2(0,c)a2+b2【教用·微提醒】 (1)若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.记忆口诀:“焦点跟着正项走”.(2)a与b没有大小关系.(3)a,b,c满足c2=a2+b2.【教材原题·P120例1】例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.【教用·备选题】 已知圆C:(x+3)2+y2=4及点A(3,0),Q为圆周上一点,AQ的垂直平分线交直线CQ于点M,则动点M的轨迹方程为__________________.发现规律 试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤.[提示] (1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0).(3)计算:利用题中条件列出方程(组),求出相关值.(4)结论:写出双曲线的标准方程.[学以致用] 2.已知双曲线两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),并且双曲线经过点P(3,-2),则该双曲线的标准方程为______________.√C [由题意知(k-2)(5-k)<0,即(k-2)(k-5)>0,解得k>5或k<2.则实数k的取值范围是k<2或k>5.故选C.][母题探究] 若该方程表示焦点在x轴上的双曲线,求实数k的取值范围.√应用迁移 随堂评估自测√√√22 [由题意得||PF1|-|PF2||=2a=16,又|PF1|=6,|PF2|>0,所以|PF2|=22.]221.知识链: 2.方法链:待定系数法、分类讨论法.3.警示牌:(1)易忽略双曲线的定义中的2a<|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支.(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.双曲线是如何定义的?请写出它的标准方程.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号1352468791011121314一、选择题1.已知动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线的一支C.两条射线 D.一条射线课时分层作业(二十八) 双曲线及其标准方程√C [由题知||PM|-|PN||=2,且|MN|=2,则点P的轨迹是两条射线.故选C.]题号1352468791011121314题号2134568791011121314√3.已知点A(1,0),B(-1,0).动点M满足|MA|-|MB|=2,则点M的轨迹方程是( )A.y=0(-1≤x≤1) B.y=0(x≥1)C.y=0(x≤-1) D.y=0(|x|≥1)题号2134568791011121314√C [∵点A(1,0),B(-1,0),∴|AB|=2.又动点M满足|MA|-|MB|=2,∴点M的轨迹为射线y=0(x≤-1).故选C.]√题号2134568791011121314√题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号21345687910111213143题号2134568791011121314±311题号2134568791011121314三、解答题9.已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围下的k值,分别指出方程所表示的曲线类型.题号2134568791011121314题号2134568791011121314√√√题号2134568791011121314题号2134568791011121314√12.动点P与点F1(0,5),F2(0,-5)满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程为________________________.题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号2134568791011121314√题号21345687910111213143.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程第1课时 双曲线及其标准方程[学习目标] 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(数学抽象、直观想象)2.掌握双曲线的标准方程及其求法.(数学运算)探究1 双曲线的定义问题1 做下面一个试验.(1)取一条拉链,拉开一部分.(2)在拉开的两边各选择一点,分别固定在点F1,F2上.(3)把笔尖放在点M处,随着拉链的拉开或闭拢,画出一条曲线.试观察这是一条什么样的曲线?点M在运动过程中满足什么几何条件? [新知生成]文字 语言 平面内与两个定点F1,F2的距离的______________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线符号语言 ||MF1|-|MF2||=2a(常数)(2a<|F1F2|)焦点 定点______________焦距 ______________的距离[学以致用] 1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是( )A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线探究2 双曲线的标准方程问题2 设双曲线的焦点为F1和F2,焦距为2c,双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a,其中c>a>0,以经过F1,F2两点的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时,双曲线的标准方程是什么? [新知生成]双曲线的标准方程焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上图形标准方程 ____________ ____________焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) ______________a,b,c的关系 c2=______________[典例讲评] 【链接教材P120例1】1.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)c=6,焦点在x轴上,且过点A(-5,2);(2)经过两点A(-7,-6),B(,-3).[尝试解答] 试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤. (2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0).(3)计算:利用题中条件列出方程(组),求出相关值.(4)结论:写出双曲线的标准方程.[学以致用] 2.已知双曲线两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),并且双曲线经过点P(3,-2),则该双曲线的标准方程为________.3.与双曲线=1有相同的焦点,且经过点(3,2)的双曲线的标准方程为________.探究3 双曲线标准方程的识别[典例讲评] 2.若方程=1表示双曲线,则实数k的取值范围是( )A.2<k<5 B.k>5C.k<2或k>5 D.以上答案均不对[尝试解答] [母题探究] 若该方程表示焦点在x轴上的双曲线,求实数k的取值范围. 方程表示双曲线的条件(1)对于方程=1,当mn<0时表示双曲线,进一步来说,当m>0,n<0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程=1,当mn>0时表示双曲线,且当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时表示焦点在y轴上的双曲线.[学以致用] 4.“m>2”是“方程=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1.已知双曲线Γ的方程为=1,则它的其中一个焦点的坐标为( )A.(,0) B.(0,)C.(,0) D.(0,)2.方程=4的化简结果为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=13.(教材P121练习T3改编)“a<”是“方程=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.如果双曲线=1上一点P到焦点F1的距离等于6,那么点P到另一焦点F2的距离是________.1.知识链:2.方法链:待定系数法、分类讨论法.3.警示牌:(1)易忽略双曲线的定义中的2a<|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支.(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断.21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十八) 双曲线及其标准方程说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共89分一、选择题1.已知动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线的一支C.两条射线 D.一条射线2.若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点,则a的值为( )A.1 B.1或-2C.1或3.已知点A(1,0),B(-1,0).动点M满足|MA|-|MB|=2,则点M的轨迹方程是( )A.y=0(-1≤x≤1) B.y=0(x≥1)C.y=0(x≤-1) D.y=0(|x|≥1)4.若方程=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )A.-2<m<-1 B.m>-1C.m<-2 D.m<-2或m>-15.过点(2,2)且与椭圆9x2+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1二、填空题6.若双曲线-y2=1的焦距为4,则实数m的值为________.7.若点P在双曲线=1上,且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同,则点P的纵坐标为________,点P与双曲线的左焦点之间的距离为________.8.经过两点(-3,6),(2,3)的双曲线的标准方程为________.三、解答题9.已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围下的k值,分别指出方程所表示的曲线类型.10.(多选)已知曲线C:mx2+ny2=1,则( )A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为C.若mn<0,则C是双曲线D.若m=0,n>0,则C是两条直线11.已知点M为双曲线C:=1的左支上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则|MF1|+|F1F2|-|MF2|=( )A.2 B.4C.6 D.812.动点P与点F1(0,5),F2(0,-5)满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程为________.13.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的方程.14.已知P为双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心.若=+8,则△MF1F2的面积为( )A.2 B.10C.8 D.521世纪教育网(www.21cnjy.com)3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程第1课时 双曲线及其标准方程[学习目标] 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(数学抽象、直观想象)2.掌握双曲线的标准方程及其求法.(数学运算)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.双曲线的定义中有怎样的限制条件?问题2.双曲线的标准方程如何推导?问题3.如何根据已知条件求解双曲线的标准方程?探究1 双曲线的定义问题1 做下面一个试验.(1)取一条拉链,拉开一部分.(2)在拉开的两边各选择一点,分别固定在点F1,F2上.(3)把笔尖放在点M处,随着拉链的拉开或闭拢,画出一条曲线.试观察这是一条什么样的曲线?点M在运动过程中满足什么几何条件?[提示] 双曲线的一支.曲线上的点满足条件:||MF1|-|MF2||=常数<|F1F2|.[新知生成]文字 语言 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线符号语言 ||MF1|-|MF2||=2a(常数)(2a<|F1F2|)焦点 定点F1,F2焦距 两焦点间的距离【教用·微提醒】 (1)常数要小于两个定点间的距离.(2)如果没有绝对值,动点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在.(5)当2a=0时,动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.[学以致用] 1.已知点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a为3和5时,点P的轨迹分别是( )A.双曲线和一条直线B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线D.双曲线的一支和一条射线D [依题意得|F1F2|=10,当a=3时,因为|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|,故点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,故点P的轨迹为一条射线.]探究2 双曲线的标准方程问题2 设双曲线的焦点为F1和F2,焦距为2c,双曲线上的动点P满足||PF1|-|PF2||=2a,其中c>a>0,以经过F1,F2两点的直线为y轴,线段F1F2的垂直平分线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,此时,双曲线的标准方程是什么?[提示] =1(a>0,b>0).[新知生成]双曲线的标准方程焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上图形标准方程焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系 c2=a2+b2【教用·微提醒】 (1)若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.记忆口诀:“焦点跟着正项走”.(2)a与b没有大小关系.(3)a,b,c满足c2=a2+b2.[典例讲评] 【链接教材P120例1】1.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)c=6,焦点在x轴上,且过点A(-5,2);(2)经过两点A(-7,-6),B(,-3).[解] (1)由题意,设所求双曲线的标准方程为=1,a>0,b>0,由题意得解得a2=20,b2=16,所以所求双曲线的标准方程为=1.(2)法一:当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).因为点A,B在双曲线上,所以解得所以双曲线的标准方程为x2-=1.当焦点在y轴上时,设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).因为点A,B在双曲线上,所以该方程组无解.所以双曲线的标准方程为x2-=1.法二:设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),因为点A,B在此双曲线上,所以解得m=1,n=-,所以所求双曲线的标准方程为x2-=1.【教材原题·P120例1】例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.[解] 因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为=1(a>0,b>0).由2c=10,2a=6,得c=5,又a=3,因此b2=52-32=16.所以,双曲线的标准方程为=1.【教用·备选题】 已知圆C:(x+3)2+y2=4及点A(3,0),Q为圆周上一点,AQ的垂直平分线交直线CQ于点M,则动点M的轨迹方程为________.x2-=1 [由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M,得|MA|=|MQ|,又圆C的半径为2,所以||MC|-|MA||=2<|AC|=6,故点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线,所以2a=2,2c=6,所以a=1,c=3,b2=c2-a2=8.又双曲线的焦点在x轴上,故动点M的轨迹方程为x2-=1.] 试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤.[提示] (1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0).(3)计算:利用题中条件列出方程(组),求出相关值.(4)结论:写出双曲线的标准方程.[学以致用] 2.已知双曲线两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),并且双曲线经过点P(3,-2),则该双曲线的标准方程为________.y2-=1 [由于双曲线的焦点在y轴上,故可设它的标准方程为=1(a>0,b>0).已知焦点F1,F2及双曲线上一点P,由双曲线的定义可知2a=|PF2|-|PF1|=-3=5-3=2,因此a=1.又因为c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3.因此,所求双曲线的标准方程为y2-=1.]3.与双曲线=1有相同的焦点,且经过点(3,2)的双曲线的标准方程为________.=1 [法一:因为两双曲线焦点相同,所以设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),所以c2=16+4=20,即a2+b2=20.①因为双曲线经过点(3,2),所以=1.②由①②得a2=12,b2=8,所以双曲线的标准方程为=1.法二:设所求双曲线的方程为=1(-4<λ<16).因为双曲线经过点(3,2),所以=1,解得λ=4或λ=-14(舍去).所以所求双曲线的标准方程为=1.]探究3 双曲线标准方程的识别[典例讲评] 2.若方程=1表示双曲线,则实数k的取值范围是( )A.2<k<5 B.k>5C.k<2或k>5 D.以上答案均不对C [由题意知(k-2)(5-k)<0,即(k-2)(k-5)>0,解得k>5或k<2.则实数k的取值范围是k<2或k>5.故选C.][母题探究] 若该方程表示焦点在x轴上的双曲线,求实数k的取值范围.[解] 方程表示焦点在x轴上的双曲线,则有解得k>5.因此实数k的取值范围是(5,+∞). 方程表示双曲线的条件(1)对于方程=1,当mn<0时表示双曲线,进一步来说,当m>0,n<0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程=1,当mn>0时表示双曲线,且当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时表示焦点在y轴上的双曲线.[学以致用] 4.“m>2”是“方程=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A [若方程=1表示双曲线,则(m-2)·(m-1)>0,解得m<1或m>2,所以“m>2”是“方程=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.]1.已知双曲线Γ的方程为=1,则它的其中一个焦点的坐标为( )A.(,0) B.(0,)C.(,0) D.(0,)D [已知双曲线Γ的方程为=1,则双曲线的焦点在y轴上,且a2=56,b2=49,所以c==,则它的其中一个焦点的坐标为(0,).故选D.]2.方程=4的化简结果为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1A [根据题意可得,方程=4的几何意义为:平面上一点到两定点(-,0),(,0)的距离之差的绝对值为4,则a=2,c=,则a2=4,b2=2,则根据双曲线的定义可得标准方程为=1.故选A.]3.(教材P121练习T3改编)“a<”是“方程=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B [若方程=1表示双曲线,则3a(4a-1)<0,解得0<a<.当a<时,方程=1不一定表示双曲线,例如当a=-1时;而当方程=1表示双曲线时,一定有0<a<,即一定满足a<.∴“a<”是“方程=1表示双曲线”的必要不充分条件.故选B.]4.如果双曲线=1上一点P到焦点F1的距离等于6,那么点P到另一焦点F2的距离是________.22 [由题意得||PF1|-|PF2||=2a=16,又|PF1|=6,|PF2|>0,所以|PF2|=22.]1.知识链:2.方法链:待定系数法、分类讨论法.3.警示牌:(1)易忽略双曲线的定义中的2a<|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支.(2)易忽略对双曲线焦点位置的判断.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.双曲线是如何定义的?请写出它的标准方程.[提示] 定义:把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.标准方程:=1(a>0,b>0)和=1(a>0,b>0).2.若方程=1表示双曲线,则m,n满足的条件是什么?若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线,则m,n需要满足什么条件?[提示] (1)若方程表示双曲线,则满足mn>0.(2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则满足(3)若方程表示焦点在y轴上的双曲线,则满足课时分层作业(二十八) 双曲线及其标准方程一、选择题1.已知动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为2,则点P的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线的一支C.两条射线 D.一条射线C [由题知||PM|-|PN||=2,且|MN|=2,则点P的轨迹是两条射线.故选C.]2.若椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点,则a的值为( )A.1 B.1或-2C.1或A [由题意知解得a=1.]3.已知点A(1,0),B(-1,0).动点M满足|MA|-|MB|=2,则点M的轨迹方程是( )A.y=0(-1≤x≤1) B.y=0(x≥1)C.y=0(x≤-1) D.y=0(|x|≥1)C [∵点A(1,0),B(-1,0),∴|AB|=2.又动点M满足|MA|-|MB|=2,∴点M的轨迹为射线y=0(x≤-1).故选C.]4.若方程=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )A.-2<m<-1 B.m>-1C.m<-2 D.m<-2或m>-1D [若方程=1表示的曲线为双曲线,则(2+m)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1.故选D.]5.过点(2,2)且与椭圆9x2+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1D [由椭圆9x2+3y2=27,得=1,所以椭圆焦点在y轴上,且c==,即上焦点坐标为(0,),设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则解得a2=2,b2=4,故双曲线的方程为=1.故选D.]二、填空题6.若双曲线-y2=1的焦距为4,则实数m的值为________.3 [双曲线-y2=1的焦距为4,所以m>0,所以22=m+1,解得m=3.]7.若点P在双曲线=1上,且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同,则点P的纵坐标为________,点P与双曲线的左焦点之间的距离为________.±3 11 [记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,设P(xP,yP).因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同,所以xP==2,所以=1,解得yP=±3,所以|PF2|=3.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,所以|PF1|=11.]8.经过两点(-3,6),(2,3)的双曲线的标准方程为________.x2-=1 [设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),故解得故双曲线的标准方程为x2-=1.]三、解答题9.已知方程kx2+y2=4,其中k为实数,对于不同范围下的k值,分别指出方程所表示的曲线类型.[解] (1)当k=0时,方程为y=±2,表示两条与x轴平行的直线;(2)当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心为原点,半径为2的圆;(3)当k<0时,方程为=1,表示焦点在y轴上的双曲线;(4)当0<k<1时,方程为=1,表示焦点在x轴上的椭圆;(5)当k>1时,方程为=1,表示焦点在y轴上的椭圆.10.(多选)已知曲线C:mx2+ny2=1,则( )A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上B.若m=n>0,则C是圆,其半径为C.若mn<0,则C是双曲线D.若m=0,n>0,则C是两条直线ACD [对于A,当m>n>0时,有>>0,方程化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;对于B,由m=n>0,方程变形为x2+y2=,该方程表示半径为的圆,故B错误;对于C,由mn<0知曲线C是双曲线,故C正确;对于D,当m=0,n>0时,方程变为ny2=1,表示两条直线,故D正确.故选ACD.]11.已知点M为双曲线C:=1的左支上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则|MF1|+|F1F2|-|MF2|=( )A.2 B.4C.6 D.8A [由于M为双曲线C:=1的左支上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,所以|MF2|-|MF1|=2a,故|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a,由于a=2,b=,c==3,所以|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a=6-4=2.故选A.]12.动点P与点F1(0,5),F2(0,-5)满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程为________.=1(y≤-3) [由|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=10知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的下支,故c=5,2a=6,∴a=3,∴b2=16,故动点P的轨迹方程是=1(y≤-3).]13.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的方程.[解] 因为△MPN的周长为48,且tan ∠PMN=,所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.若焦点在x轴上,以MN所在直线为x轴,以MN的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程为=1;若焦点在y轴上,同理可得双曲线的方程为=1.综上所述,所求双曲线的方程为=1或=1.14.已知P为双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,M为△PF1F2的内心.若=+8,则△MF1F2的面积为( )A.2 B.10C.8 D.5B [设△PF1F2的内切圆的半径为R,由双曲线的标准方程可知a=4,b=3,c=5.因为=+8,所以(|PF1|-|PF2|)R=8,即aR=8,所以R=2,所以=·2c·R=10.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十八)1.C [由题知||PM|-|PN||=2,且|MN|=2,则点P的轨迹是两条射线.故选C.]2.A [由题意知解得a=1.]3.C [∵点A(1,0),B(-1,0),∴|AB|=2.又动点M满足|MA|-|MB|=2,∴点M的轨迹为射线y=0(x≤-1).故选C.]4.D [若方程=1表示的曲线为双曲线,则(2+m)(m+1)>0,解得m<-2或m>-1.故选D.]5.D [由椭圆9x2+3y2=27,得=1,所以椭圆焦点在y轴上,且c=,即上焦点坐标为(0,),设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则解得a2=2,b2=4,故双曲线的方程为=1.故选D.]6.3 [双曲线-y2=1的焦距为4,所以m>0,所以22=m+1,解得m=3.]7.±3 11 [记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,设P(xP,yP).因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同,所以xP=,所以=1,解得yP=±3,所以|PF2|=3.由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,所以|PF1|=11.]8.x2-=1 [设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),故故双曲线的标准方程为x2-=1.]9.解:(1)当k=0时,方程为y=±2,表示两条与x轴平行的直线;(2)当k=1时,方程为x2+y2=4,表示圆心为原点,半径为2的圆;(3)当k<0时,方程为=1,表示焦点在y轴上的双曲线;(4)当0(5)当k>1时,方程为=1,表示焦点在y轴上的椭圆.10.ACD [对于A,当m>n>0时,有>0,方程化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;对于B,由m=n>0,方程变形为x2+y2=,该方程表示半径为的圆,故B错误;对于C,由mn<0知曲线C是双曲线,故C正确;对于D,当m=0,n>0时,方程变为ny2=1,表示两条直线,故D正确.故选ACD.]11.A [由于M为双曲线C:=1的左支上一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,所以|MF2|-|MF1|=2a,故|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a,由于a=2,b=,c==3,所以|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a=6-4=2.故选A.]12.=1(y≤-3) [由|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|=10知,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的下支,故c=5,2a=6,∴a=3,∴b2=16,故动点P的轨迹方程是=1(y≤-3).]13.解:因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.若焦点在x轴上,以MN所在直线为x轴,以MN的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程为=1;若焦点在y轴上,同理可得双曲线的方程为=1.综上所述,所求双曲线的方程为=1.14.B [设△PF1F2的内切圆的半径为R,由双曲线的标准方程可知a=4,b=3,c=5.因为+8,所以(|PF1|-|PF2|)R=8,即aR=8,所以R=2,所以·2c·R=10.]21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2.1第1课时双曲线及其标准方程学案.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2.1第1课时双曲线及其标准方程学案(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2.1第1课时双曲线及其标准方程课件.ppt 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业28双曲线及其标准方程(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业28答案.docx