资源简介

课时分层作业(二十五)　椭圆及其标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分
一、选择题
1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
2．过点(－3，2)且与＝1有相同焦点的椭圆的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
3．椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么的值为(　　)
A． B．4
C．7 D．
4．点P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为(　　)
A．2 B．
C．
5．已知F1，F2分别是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．24 B．26
C．22 D．24
二、填空题
6．已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝10，则|AB|＝________．
7．已知椭圆＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________．
8．设F1，F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
三、解答题
9．已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
10．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，A(－2，0)，B(1，2)，C，D四个点中恰有三个点在椭圆E上，则椭圆E的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
11．椭圆＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆与y轴正半轴的交点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
12．(多选)已知F1，F2是椭圆＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A．|MF2|的最大值大于3
B．|MF1|·|MF2|的最大值为4
C．∠F1MF2的最大值为60°
D．若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为直线l上满足|PA|·|PB|＝2的点，则点P的轨迹方程为＝1或＝1
13．已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与y轴的一个交点为(0，3)，焦距为4，则m的值为________．
14．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的部分路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，探测仪在A，B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
15．已知点F是椭圆C：＝1的左焦点，P为C上一点，A(0，1)，则|PA|＋|PF|的最小值是________．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程
[学习目标]　
1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象)
2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？
问题2．如何推导椭圆的标准方程？
问题3．椭圆的标准方程有何特征？
探究1　椭圆的定义
问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，变化的量是什么？不变的量又是什么？移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
[提示]　椭圆．动点M到两定点F1，F2的距离为变量，即|MF1|，|MF2|，但距离的和为常数，即|MF1|＋|MF2|为常数．笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长，且该常数大于|F1F2|．
[新知生成]
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．
【教用·微提醒】　(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值．
(2)定值必须大于两定点间的距离．
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (　　)
[提示]　(1)√　因为|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，所以点P的轨迹是椭圆．
(2)×　因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2．
(3)×　因为|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在．
(4)√
探究2　椭圆的标准方程
问题2　椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，结合所建坐标系，将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便？
[提示]　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a．由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝，
|MF2|＝，
所以＝2a．①
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得＝2a－．②
对方程②两边平方，得
(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a．③
对方程③两边平方，得
a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＝1．⑤
由椭圆的定义可知，2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0．
令b＝，那么方程⑤就是＝1(a＞b＞0)．⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
[新知生成]
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
【教用·微提醒】　(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴．
(2)两种椭圆＝1，＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．
(4)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
[典例讲评]　【链接教材P107例1】
1．求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点(1，2)，焦点坐标分别为(0，)，(0，－)；
(2)经过P(－2，1)，Q(，－2)两点．
[解]　(1)法一：由题知，焦点在y轴上，且c＝，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，则b2＝a2－3，由椭圆过点(1，2)，知＝1，解得a2＝6或a2＝2(舍去)．
所以椭圆的标准方程为＝1．
法二：因为焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)，
由椭圆定义知，2a＝＝2＋2，
即a＝，
所以a2＝6．
又c＝，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的标准方程为＝1．
(2)法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意，有解得
所以椭圆的标准方程为＝1．
②当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意，有解得
由a＞b＞0，知不合题意，故舍去．
综上，椭圆的标准方程为＝1．
法二：椭圆经过P(－2，1)，Q(，－2)两点，设所求椭圆的方程为＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
把点P，Q的坐标代入得解得所以椭圆的标准方程为＝1．
【教材原题·P107例1】
例1　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程．
[解]　由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知
c＝2，2a＝＋＝2，
所以a＝．
所以b2＝a2－c2＝10－4＝6．
所以，所求椭圆的标准方程为＝1．
　试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤．
[提示]　(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
[学以致用]　2．(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)．
[解]　(1)由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5．
又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16．
因此，所求椭圆的标准方程为＝1．
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
由焦点坐标及椭圆上一点(3，2)，及椭圆的定义可知2a＝＝5＋3＝8，因此a＝4．
因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12．
因此，所求椭圆的标准方程为＝1．
探究3　椭圆定义的应用
[典例讲评]　2．已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3，
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4．
所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝．
[母题探究]　
1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”，求△PQF2的周长．
[解]　因为P，Q都在椭圆上，所以结合椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a．
又因为|PQ|＝|PF1|＋|QF1|，
所以△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a．
故△PQF2的周长为4×2＝8．
2．本例中，将“∠F1PF2＝60°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
[解]　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝3．
从而|F1F2|＝2c＝6．
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|．
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36，
解得|PF1|＝．
所以＝·|PF1|·|F1F2|＝×6＝，即△F1PF2的面积是．
【教用·备选题】　已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ．
(1)求△F1PF2的面积S；
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律．
[解]　(1)如图所示，由椭圆的定义，可得
|PF1|＋|PF2|＝2a．
由余弦定理，可得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)＝4c2，
∴|PF1|·|PF2|＝．
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 2θ＝·sin 2θ＝·b2＝b2tan θ．
(2)∵∠F1PF2为△PF1F2的内角，
∴2θ∈(0，π)，即θ∈．
令点P沿顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大．由θ∈可知，θ也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B或点D重合时，∠F1PF2达到最大值．
　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan ．
[学以致用]　3．如图，椭圆＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________．
3　[根据题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a，则|PF2|＝2a－4，又c2＝a2－2，利用余弦定理的推论可得
cos ∠F1PF2＝＝－，即＝－，整理可得＝－，解得a＝3．]
1．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，P为C上一点，若|PF1|＝4，则|PF2|＝(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
C　[由题意P为C上一点，得|PF1|＋|PF2|＝2×7＝14，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝14－4＝10．
故选C．]
2．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|·|MF2|的最小值是(　　)
A．5 B．9
C．4 D．3
C　[由已知得c＝，a＝3，|MF1|＋|MF2|＝6，
设|MF1|＝x，则3－≤x≤3＋，
所以|MF1||MF2|＝x(6－x)＝6x－x2＝－(x－3)2＋9，从而x＝3－或x＝3＋时|MF1|·|MF2|取得最小值4．
故选C．]
3．(多选)对于曲线C：＝1，下面四个说法中正确的是(　　)
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
CD　[当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，所以D正确．故选CD．]
4．(教材P109练习T4改编)已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是________．
＝1　[设|MF1|＝m，|MF2|＝n，椭圆方程为＝1(a＞b＞0)．
因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2，
所以m2＋n2＝20，mn＝8，
所以(m＋n)2＝36，
所以m＋n＝2a＝6，
所以a＝3．
又因为c＝，所以b＝＝2，
所以椭圆的方程是＝1．]
1．知识链：
2．方法链：分类讨论、待定系数法．
3．警示牌：(1)忽视定义中a，b，c的关系．
(2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
[提示]　把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
其标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)．
2．当方程＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？
[提示]　表示椭圆时，
表示焦点在x轴上的椭圆时，m>n>0，
表示焦点在y轴上的椭圆时，n>m>0．
椭圆标准方程的推理
椭圆标准方程的推理，除了课本给出的两次平方法之外，还有几种方法，选择部分归纳如下：
1．法国数学家洛必达的“和差法”
如图，设|AB|＝2a，|CD|＝2b，焦距|F1F2|＝2c，点P(x，y)是椭圆上任意一点．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以可以设|PF1|＝a＋z，|PF2|＝a－z(z为待定参数)，所以|PF1|2＝(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
|PF2|2＝(a－z)2＝(x－c)2＋y2．
两式相减得4az＝4cx，得z＝，
将z＝代入(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＝1．
2．英国数学家赖特的“平方差法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由定义得r1＋r2＝2a．
又＝＝(x－c)2＋y2，两式相减得＝4cx，即(r1－r2)(r1＋r2)＝4cx，
所以r1－r2＝，所以r1＝a＋，r2＝a－．
把r1＝a＋代入＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＝1．
3．英国数学家斯蒂尔的“三角法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，∠PF2G＝θ，设|PF2|＝z．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－z．
在△PF1F2中，由余弦定理得(2a－z)2＝z2＋4c2－4cz cos θ．
又z cos θ＝c－x，所以(2a－z)2＝z2＋4c2－4c(c－x)，
解得z＝．
在△PGF2中，由勾股定理得z2＝＝y2＋(c－x)2，
令a2－c2＝b2，整理得＝1．
通过对比这些推理方法，我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程，再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉，仅仅是就问题解决问题，没有体现方程和曲线之间关系的思想性．因此，大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法．
课时分层作业(二十五)　椭圆及其标准方程
一、选择题
1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
AC　[当a＝2时，2a＝4＜|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8＞|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．]
2．过点(－3，2)且与＝1有相同焦点的椭圆的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
C　[椭圆＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，且过点(－3，2)，
则2a＝＝2，∴a＝，得b2＝15－5＝10．
∴所求椭圆的方程为＝1．故选C．]
3．椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么的值为(　　)
A． B．4
C．7 D．
C　[由题设知F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点在y轴上，
∴设P(3，y0)，把P(3，y0)代入椭圆＝1，得＝．
∴|PF1|＝＝，|PF2|＝＝．
∴＝＝7．故选C．]
4．点P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为(　　)
A．2 B．
C．
B　[由＝1，得a＝4，b＝，c＝＝3，
所以|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|＝2a＋2c＝8＋6＝14，
设△PF1F2的内切圆半径为r，
因为(|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|)r＝|F1F2|yP，
所以×14×1＝×6yP，得yP＝．
故选B．]
5．已知F1，F2分别是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．24 B．26
C．22 D．24
A　[由椭圆的方程可得a2＝49，b2＝24，可得c2＝a2－b2＝49－24＝25，
则a＝7，c＝5，
由3|PF1|＝4|PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，得|PF1|＝8，|PF2|＝6，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，
所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24．
故选A．]
二、填空题
6．已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝10，则|AB|＝________．
6　[依据题意及椭圆方程知，a＝4，
则|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝16，又|F2A|＋|F2B|＝10，所以|AB|＝6．]
7．已知椭圆＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________．
7　[椭圆＝1中2a＝10，
∵椭圆＝1上的点P到一个焦点的距离为3，∴P到另一个焦点的距离为10－3＝7．]
8．设F1，F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，则椭圆的标准方程为________．
＋y2＝1　[∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，
又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，
∵|PF1|·|PF2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，解得b2＝1，
则a2＝4，
故椭圆的标准方程为＋y2＝1．]
三、解答题
9．已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点．
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．
[解]　(1)由题意知，椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
则设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1．
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±．
又＝1，所以＝，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为．
10．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，A(－2，0)，B(1，2)，C，D四个点中恰有三个点在椭圆E上，则椭圆E的方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
B　[因为C与D关于x轴对称，所以点C，D在椭圆E上，点B不在椭圆E上，点A在椭圆E上，所以解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆E的方程为＝1．故选B．]
11．椭圆＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆与y轴正半轴的交点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
C　[由椭圆＝1(a＞)知b＝，设半焦距为c，则△AF1F2的面积S＝|F1F2|·b＝c，由题意得c＝，∴c＝1，a＝＝2，
由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
又|F1F2|＝2c＝2，则△AF1F2的周长为4＋2＝6．
故选C．]
12．(多选)已知F1，F2是椭圆＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下列结论中正确的是(　　)
A．|MF2|的最大值大于3
B．|MF1|·|MF2|的最大值为4
C．∠F1MF2的最大值为60°
D．若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为直线l上满足|PA|·|PB|＝2的点，则点P的轨迹方程为＝1或＝1
BCD　[由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)．
选项A中，|MF2|max＝a＋c＝3，A错误；
选项B中，|MF1|·|MF2|≤＝4，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时取等号，B正确；
选项C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，∠F1MF2取得最大值，取M(0，)，
得tan ＝，
所以＝30°，∠F1MF2＝60°，C正确；
选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)．
因为|PA|·|PB|＝2，所以|x－x1|·|x＋x1|＝2，
所以|＝2，即＝x2＋2或＝x2－2．
又由题意知＝1，
所以＝1或＝1，
化简得＝1或＝1，D正确．故选BCD．]
13．已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与y轴的一个交点为(0，3)，焦距为4，则m的值为________．
或　[将(0，3)代入椭圆C方程：mx2＋ny2＝1，解得n＝．
故椭圆方程为mx2＋＝1，
由焦距为4，得c＝2，c2＝4．
由题意知m＞0，且m≠，方程可化为＝1，
若椭圆焦点在x轴上，a2＝，b2＝9，则有c2＝－9＝4，解得m＝；
若椭圆焦点在y轴上，a2＝9，b2＝，则有c2＝9－＝4，解得m＝．
综上所述，m＝或m＝．]
14．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的部分路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，探测仪在A，B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
[解]　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a＝8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲线C的标准方程为＝1．
(2)由于探测仪在A，B两岛上收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，由B(2，0)，|PB|＝3，得＝3，
∴解得或
∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3)．
15．已知点F是椭圆C：＝1的左焦点，P为C上一点，A(0，1)，则|PA|＋|PF|的最小值是________．
4－　[由椭圆的方程，可得a＝2，c＝＝1，
设右焦点为F′(1，0)，
因为|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|
＝4－＝4－，
当且仅当A，F′，P三点共线，且A在P，F′之间时不等式取等号．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十五)
1．AC　[当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．]
2．C　[椭圆＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，且过点(－3，2)，
则2a＝，
∴a＝，得b2＝15－5＝10．
∴所求椭圆的方程为＝1．故选C．]
3．C　[由题设知F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点在y轴上，
∴设P(3，y0)，把P(3，y0)代入椭圆＝1，得．
∴|PF1|＝，|PF2|＝．
∴＝7．故选C．]
4．B　[由＝1，得a＝4，b＝，c＝＝3，
所以|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|＝2a＋2c＝8＋6＝14，
设△PF1F2的内切圆半径为r，
因为(|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|)r＝|F1F2|yP，
所以×14×1＝×6yP，得yP＝．
故选B．]
5．A　[由椭圆的方程可得a2＝49，b2＝24，可得c2＝a2－b2＝49－24＝25，则a＝7，c＝5，
由3|PF1|＝4|PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，得|PF1|＝8，|PF2|＝6，
则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，
所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24．
故选A．]
6．6　[依据题意及椭圆方程知，a＝4，
则|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝16，又|F2A|＋|F2B|＝10，所以|AB|＝6．]
7．7　[椭圆＝1中2a＝10，
∵椭圆＝1上的点P到一个焦点的距离为3，∴P到另一个焦点的距离为10－3＝7．]
8．＋y2＝1　[∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，又∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，
∵|PF1|·|PF2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，解得b2＝1，则a2＝4，故椭圆的标准方程为＋y2＝1．]
9．解：(1)由题意知，椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)，
则设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0，
故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5，
故椭圆M的标准方程为＋y2＝1．
(2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)，
设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±．
又＝1，所以，x0＝±，
所以点P有4个，它们的坐标分别为．
10．B　[因为C关于x轴对称，所以点C，D在椭圆E上，点B不在椭圆E上，点A在椭圆E上，
所以解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆E的方程为＝1．故选B．]
11．C　[由椭圆＝1(a>)知b＝，设半焦距为c，则△AF1F2的面积S＝|F1F2|·b＝c，由题意得，∴c＝1，a＝＝2，
由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
又|F1F2|＝2c＝2，则△AF1F2的周长为4＋2＝6．
故选C．]
12．BCD　[由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，
所以F1(－1，0)，F2(1，0)．
选项A中，|MF2|max＝a＋c＝3，A错误；
选项B中，|MF1|·|MF2|≤＝4，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时取等号，B正确；
选项C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，∠F1MF2取得最大值，取M(0，)，得tan，
所以＝30°，∠F1MF2＝60°，C正确；
选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)．
因为|PA|·|PB|＝2，所以|x－x1|·|x＋x1|＝2，
所以|x2－|＝2，即＝x2－2．
又由题意知＝1，
所以＝1，
化简得＝1，D正确．故选BCD．]
13．　[将(0，3)代入椭圆C方程：mx2＋ny2＝1，解得n＝．
故椭圆方程为mx2＋＝1，
由焦距为4，得c＝2，c2＝4．
由题意知m>0，且m≠，方程可化为＝1，
若椭圆焦点在x轴上，a2＝，b2＝9，则有c2＝－9＝4，
解得m＝；
若椭圆焦点在y轴上，a2＝9，b2＝，则有c2＝9－＝4，
解得m＝．
综上所述，m＝．]
14．解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a＝8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，
∴曲线C的标准方程为＝1．
(2)由于探测仪在A，B两岛上收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，由B(2，0)，|PB|＝3，得＝3，
∴
∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3)．
15．4－　[由椭圆的方程，可得a＝2，c＝＝1，
设右焦点为F'(1，0)，
因为|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF'|＝2a－(|PF'|－|PA|)≥2a－|AF'|＝4－，
当且仅当A，F'，P三点共线，且A在P，F'之间时不等式取等号．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程
[学习目标]　
1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象)
2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
探究1　椭圆的定义
问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，变化的量是什么？不变的量又是什么？移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这______________叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的______________称为半焦距．
2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a______________|F1F2|．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (　　)
探究2　椭圆的标准方程
问题2　椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，结合所建坐标系，将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ______________ ______________
图形
焦点坐标 ______________ ______________
a，b，c的关系 ______________
[典例讲评]　【链接教材P107例1】
1．求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过点(1，2)，焦点坐标分别为(0，)，(0，－)；
(2)经过P(－2，1)，Q(，－2)两点．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[学以致用]　2．(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　椭圆定义的应用
[典例讲评]　2．已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　
1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”，求△PQF2的周长．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan ．
[学以致用]　3．如图，椭圆＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________．
1．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，P为C上一点，若|PF1|＝4，则|PF2|＝(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
2．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|·|MF2|的最小值是(　　)
A．5 B．9
C．4 D．3
3．(多选)对于曲线C：＝1，下面四个说法中正确的是(　　)
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
4．(教材P109练习T4改编)已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是________．
1．知识链：
2．方法链：分类讨论、待定系数法．
3．警示牌：(1)忽视定义中a，b，c的关系．
(2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程．
椭圆标准方程的推理
椭圆标准方程的推理，除了课本给出的两次平方法之外，还有几种方法，选择部分归纳如下：
1．法国数学家洛必达的“和差法”
如图，设|AB|＝2a，|CD|＝2b，焦距|F1F2|＝2c，点P(x，y)是椭圆上任意一点．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以可以设|PF1|＝a＋z，|PF2|＝a－z(z为待定参数)，所以|PF1|2＝(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，
|PF2|2＝(a－z)2＝(x－c)2＋y2．
两式相减得4az＝4cx，得z＝，
将z＝代入(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＝1．
2．英国数学家赖特的“平方差法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由定义得r1＋r2＝2a．
又＝＝(x－c)2＋y2，两式相减得＝4cx，即(r1－r2)(r1＋r2)＝4cx，
所以r1－r2＝，所以r1＝a＋，r2＝a－．
把r1＝a＋代入＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＝1．
3．英国数学家斯蒂尔的“三角法”
如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，∠PF2G＝θ，设|PF2|＝z．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－z．
在△PF1F2中，由余弦定理得(2a－z)2＝z2＋4c2－4cz cos θ．
又z cos θ＝c－x，所以(2a－z)2＝z2＋4c2－4c(c－x)，
解得z＝．
在△PGF2中，由勾股定理得z2＝＝y2＋(c－x)2，
令a2－c2＝b2，整理得＝1．
通过对比这些推理方法，我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程，再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉，仅仅是就问题解决问题，没有体现方程和曲线之间关系的思想性．因此，大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共80张PPT)
第三章
圆锥曲线的方程
3.1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程
[学习目标]　
1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象)
2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算)
3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？
问题2．如何推导椭圆的标准方程？
问题3．椭圆的标准方程有何特征？
探究建构 关键能力达成
探究1　椭圆的定义
问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，
变化的量是什么？不变的量又是什么？移动的笔尖(动点)
满足的几何条件是什么？
[提示]　椭圆．动点M到两定点F1，F2的距离为变量，即|MF1|，|MF2|，但距离的和为常数，即|MF1|＋|MF2|为常数．笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长，且该常数大于|F1F2|．
[新知生成]
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这________叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距．
2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a__|F1F2|．
常数
两个定点
两焦点间的距离
一半
>
【教用·微提醒】　(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值．
(2)定值必须大于两定点间的距离．
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． (　　)
(4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (　　)
√
×
×
√
[提示]　(1)√　因为|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，所以点P的轨迹是椭圆．
(2)×　因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2．
(3)×　因为|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在．
(4)√
探究2　椭圆的标准方程
问题2　椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，结合所建坐标系，将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便？
[提示]　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标
[新知生成]
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
______________________
_____________________
图形


焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 ____________________ ___________________
a，b，c的关系 ________________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
c2＝a2－b2
发现规律　试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤．
[学以致用]　2．(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；
(2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)．
[母题探究]　
1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”，求△PQF2的周长．
2．本例中，将“∠F1PF2＝60°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积．
3
应用迁移 随堂评估自测
√
C　[由题意P为C上一点，得|PF1|＋|PF2|＝2×7＝14，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝14－4＝10．故选C．]
√
√
√
1．知识链：
2．方法链：分类讨论、待定系数法．
3．警示牌：(1)忽视定义中a，b，c的关系．
(2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程．
椭圆标准方程的推理
椭圆标准方程的推理，除了课本给出的两次平方法之外，还有几种方法，选择部分归纳如下：
阅读材料 拓展数学视野
通过对比这些推理方法，我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程，再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉，仅仅是就问题解决问题，没有体现方程和曲线之间关系的思想性．因此，大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
一、选择题
1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　)
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
课时分层作业(二十五)　椭圆及其标准方程
√
√
AC　[当a＝2时，2a＝4＜|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a＝4时，2a＝8＞|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；
当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
6　[依据题意及椭圆方程知，a＝4，
则|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝16，又|F2A|＋|F2B|＝10，所以|AB|＝6．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
6
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
7
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
13．已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与y轴的一个交点为(0，3)，焦距为4，则m的值为____________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
14．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的部分路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发
出不同频率的探测信号(传播速度相同)，探测仪在A，B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15

展开更多......

收起↑