资源简介 课时分层作业(二十五) 椭圆及其标准方程说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共95分一、选择题1.(多选)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是( )A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆2.过点(-3,2)且与=1有相同焦点的椭圆的方程是( )A.=1 B.=1C.=1 D.=13.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在此椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么的值为( )A. B.4C.7 D.4.点P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的两个焦点,且△PF1F2的内切圆半径为1,当点P在第一象限时,P点的纵坐标为( )A.2 B.C.5.已知F1,F2分别是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )A.24 B.26C.22 D.24二、填空题6.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|AB|=________.7.已知椭圆=1上的点P到一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为________.8.设F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,若a=2b,则椭圆的标准方程为________.三、解答题9.已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点.(1)求椭圆M的标准方程;(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.10.已知椭圆E:=1(a>b>0),A(-2,0),B(1,2),C,D四个点中恰有三个点在椭圆E上,则椭圆E的方程是( )A.=1 B.=1C.=1 D.+y2=111.椭圆=1(a>)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆与y轴正半轴的交点,若△AF1F2的面积为,则△AF1F2的周长为( )A.8 B.7C.6 D.512.(多选)已知F1,F2是椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下列结论中正确的是( )A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|·|MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60°D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为直线l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为=1或=113.已知椭圆C:mx2+ny2=1与y轴的一个交点为(0,3),焦距为4,则m的值为________.14.某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处,经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的部分路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.(1)求曲线C的标准方程;(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),探测仪在A,B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3,你能否确定P处的位置(即点P的坐标) 15.已知点F是椭圆C:=1的左焦点,P为C上一点,A(0,1),则|PA|+|PF|的最小值是________.21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程[学习目标] 1.理解并掌握椭圆的定义.(数学抽象)2.掌握椭圆的标准方程的推导.(数学运算)3.会求简单的椭圆的标准方程.(数学运算)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.椭圆是如何定义的?要注意哪些问题?问题2.如何推导椭圆的标准方程?问题3.椭圆的标准方程有何特征?探究1 椭圆的定义问题1 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,变化的量是什么?不变的量又是什么?移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?[提示] 椭圆.动点M到两定点F1,F2的距离为变量,即|MF1|,|MF2|,但距离的和为常数,即|MF1|+|MF2|为常数.笔尖到两个定点的距离的和等于常数,即绳长,且该常数大于|F1F2|.[新知生成]1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.2.几何表示:|MF1|+|MF2|=2a(常数)且2a>|F1F2|.【教用·微提醒】 (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.(2)定值必须大于两定点间的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在.[学以致用] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. ( )(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆. ( )(3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足|PF1|+|PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. ( )(4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ( )[提示] (1)√ 因为|PF1|+|PF2|>|F1F2|,所以点P的轨迹是椭圆.(2)× 因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以点P的轨迹是线段F1F2.(3)× 因为|PF1|+|PF2|<|F1F2|,所以点P的轨迹不存在.(4)√探究2 椭圆的标准方程问题2 椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|+|MF2|和|F1F2|,结合所建坐标系,将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便?[提示] 观察我们画出的图形,可以发现椭圆具有对称性,而且过两个焦点的直线是它的对称轴,所以我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy,如图所示,设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).根据椭圆的定义,设点M与焦点F1,F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.因为|MF1|=,|MF2|=,所以=2a.①为了化简方程①,我们将其左边的一个根式移到右边,得=2a-.②对方程②两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,整理,得a2-cx=a.③对方程③两边平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).④将方程④两边同除以a2(a2-c2),得=1.⑤由椭圆的定义可知,2a>2c>0,即a>c>0,所以a2-c2>0.令b=,那么方程⑤就是=1(a>b>0).⑥我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程.[新知生成]焦点在x轴上 焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系 c2=a2-b2【教用·微提醒】 (1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.(2)两种椭圆=1,=1(a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.(3)x2项和y2项谁的分母大,焦点就在谁的轴上.(4)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).[典例讲评] 【链接教材P107例1】1.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(1,2),焦点坐标分别为(0,),(0,-);(2)经过P(-2,1),Q(,-2)两点.[解] (1)法一:由题知,焦点在y轴上,且c=,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则b2=a2-3,由椭圆过点(1,2),知=1,解得a2=6或a2=2(舍去).所以椭圆的标准方程为=1.法二:因为焦点在y轴上,所以设它的标准方程为=1(a>b>0),由椭圆定义知,2a==2+2,即a=,所以a2=6.又c=,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆的标准方程为=1.(2)法一:①当椭圆的焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).依题意,有解得所以椭圆的标准方程为=1.②当椭圆的焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).依题意,有解得由a>b>0,知不合题意,故舍去.综上,椭圆的标准方程为=1.法二:椭圆经过P(-2,1),Q(,-2)两点,设所求椭圆的方程为=1(m>0,n>0,m≠n),把点P,Q的坐标代入得解得所以椭圆的标准方程为=1.【教材原题·P107例1】例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.[解] 由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为=1(a>b>0).由椭圆的定义知c=2,2a=+=2,所以a=.所以b2=a2-c2=10-4=6.所以,所求椭圆的标准方程为=1. 试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤.[提示] (1)定位置:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.(2)设方程:根据上述判断设方程=1(a>b>0)或=1(a>b>0)或整式形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).(3)找关系:根据已知条件建立关于a,b,c(或m,n)的方程组.(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,写出标准形式即为所求.[学以致用] 2.(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10;(2)焦点坐标为(0,-2)和(0,2),且经过点(3,2).[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上,故可设它的标准方程为=1(a>b>0).由椭圆的定义知2a=10,所以a=5.又因为c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16.因此,所求椭圆的标准方程为=1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上,故可设它的标准方程为=1(a>b>0).由焦点坐标及椭圆上一点(3,2),及椭圆的定义可知2a==5+3=8,因此a=4.因为c=2,所以b2=a2-c2=16-4=12.因此,所求椭圆的标准方程为=1.探究3 椭圆定义的应用[典例讲评] 2.已知P为椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.[解] 由已知得a=2,b=,所以c===3,从而|F1F2|=2c=6.在△F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4,即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②由①②得|PF1|·|PF2|=4.所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=.[母题探究] 1.本例中,“∠F1PF2=60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”,求△PQF2的周长.[解] 因为P,Q都在椭圆上,所以结合椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.又因为|PQ|=|PF1|+|QF1|,所以△PQF2的周长为|PQ|+|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+|QF2|+|PF2|=4a.故△PQF2的周长为4×2=8.2.本例中,将“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.[解] 由已知得a=2,b=,所以c===3.从而|F1F2|=2c=6.在△F1PF2中,由勾股定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,即|PF2|2=|PF1|2+36,又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4,所以|PF2|=4-|PF1|.从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+36,解得|PF1|=.所以=·|PF1|·|F1F2|=×6=,即△F1PF2的面积是.【教用·备选题】 已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆E上,∠F1PF2=2θ.(1)求△F1PF2的面积S;(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律.[解] (1)如图所示,由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a.由余弦定理,可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 2θ=(|PF1|+|PF2|)2-2·|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos 2θ=4a2-2|PF1|·|PF2|·(1+cos 2θ)=4c2,∴|PF1|·|PF2|=.∴S=|PF1|·|PF2|·sin 2θ=·sin 2θ=·b2=b2tan θ.(2)∵∠F1PF2为△PF1F2的内角,∴2θ∈(0,π),即θ∈.令点P沿顺时针方向由点A向点B运动,则△PF1F2的边F1F2不变,但F1F2上的高逐渐增大,故S逐渐增大,从而tan θ逐渐变大.由θ∈可知,θ也逐渐变大.由此可见,点P的纵坐标的绝对值越大,2θ也越大,当点P与点B或点D重合时,∠F1PF2达到最大值. 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形,可以利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S=b2tan .[学以致用] 3.如图,椭圆=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为________.3 [根据题意可得|PF1|+|PF2|=2a,则|PF2|=2a-4,又c2=a2-2,利用余弦定理的推论可得cos ∠F1PF2==-,即=-,整理可得=-,解得a=3.]1.已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,P为C上一点,若|PF1|=4,则|PF2|=( )A.6 B.8C.10 D.12C [由题意P为C上一点,得|PF1|+|PF2|=2×7=14,因为|PF1|=4,所以|PF2|=14-4=10.故选C.]2.已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,点M在椭圆C上,则|MF1|·|MF2|的最小值是( )A.5 B.9C.4 D.3C [由已知得c=,a=3,|MF1|+|MF2|=6,设|MF1|=x,则3-≤x≤3+,所以|MF1||MF2|=x(6-x)=6x-x2=-(x-3)2+9,从而x=3-或x=3+时|MF1|·|MF2|取得最小值4.故选C.]3.(多选)对于曲线C:=1,下面四个说法中正确的是( )A.曲线C不可能是椭圆B.“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件CD [当1<k<4且k≠2.5时,曲线C是椭圆,所以A错误;当k=2.5时,4-k=k-1,此时曲线C是圆,所以B错误;若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则解得2.5<k<4,所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件,所以C正确;若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得1<k<2.5,所以D正确.故选CD.]4.(教材P109练习T4改编)已知椭圆的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是________.=1 [设|MF1|=m,|MF2|=n,椭圆方程为=1(a>b>0).因为MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,|F1F2|=2,所以m2+n2=20,mn=8,所以(m+n)2=36,所以m+n=2a=6,所以a=3.又因为c=,所以b==2,所以椭圆的方程是=1.]1.知识链:2.方法链:分类讨论、待定系数法.3.警示牌:(1)忽视定义中a,b,c的关系.(2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.椭圆是如何定义的?请写出其标准方程.[提示] 把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.其标准方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0).2.当方程=1表示椭圆时,m,n满足什么条件?当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时,m,n又满足什么条件?[提示] 表示椭圆时,表示焦点在x轴上的椭圆时,m>n>0,表示焦点在y轴上的椭圆时,n>m>0.椭圆标准方程的推理椭圆标准方程的推理,除了课本给出的两次平方法之外,还有几种方法,选择部分归纳如下:1.法国数学家洛必达的“和差法”如图,设|AB|=2a,|CD|=2b,焦距|F1F2|=2c,点P(x,y)是椭圆上任意一点.因为|PF1|+|PF2|=2a,所以可以设|PF1|=a+z,|PF2|=a-z(z为待定参数),所以|PF1|2=(a+z)2=(x+c)2+y2,|PF2|2=(a-z)2=(x-c)2+y2.两式相减得4az=4cx,得z=,将z=代入(a+z)2=(x+c)2+y2,并设a2-c2=b2,整理得=1.2.英国数学家赖特的“平方差法”如图,点P(x,y)是椭圆上任意一点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,由定义得r1+r2=2a.又==(x-c)2+y2,两式相减得=4cx,即(r1-r2)(r1+r2)=4cx,所以r1-r2=,所以r1=a+,r2=a-.把r1=a+代入=(x+c)2+y2,并设a2-c2=b2,整理得=1.3.英国数学家斯蒂尔的“三角法”如图,点P(x,y)是椭圆上任意一点,∠PF2G=θ,设|PF2|=z.因为|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|=2a-z.在△PF1F2中,由余弦定理得(2a-z)2=z2+4c2-4cz cos θ.又z cos θ=c-x,所以(2a-z)2=z2+4c2-4c(c-x),解得z=.在△PGF2中,由勾股定理得z2==y2+(c-x)2,令a2-c2=b2,整理得=1.通过对比这些推理方法,我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程,再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的.其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉,仅仅是就问题解决问题,没有体现方程和曲线之间关系的思想性.因此,大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法.课时分层作业(二十五) 椭圆及其标准方程一、选择题1.(多选)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是( )A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆AC [当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.]2.过点(-3,2)且与=1有相同焦点的椭圆的方程是( )A.=1 B.=1C.=1 D.=1C [椭圆=1的焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),所求椭圆与椭圆=1的焦点相同,且过点(-3,2),则2a==2,∴a=,得b2=15-5=10.∴所求椭圆的方程为=1.故选C.]3.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在此椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么的值为( )A. B.4C.7 D.C [由题设知F1(-3,0),F2(3,0),∵线段PF1的中点在y轴上,∴设P(3,y0),把P(3,y0)代入椭圆=1,得=.∴|PF1|==,|PF2|==.∴==7.故选C.]4.点P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的两个焦点,且△PF1F2的内切圆半径为1,当点P在第一象限时,P点的纵坐标为( )A.2 B.C.B [由=1,得a=4,b=,c==3,所以|PF1|+|F1F2|+|PF2|=2a+2c=8+6=14,设△PF1F2的内切圆半径为r,因为(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)r=|F1F2|yP,所以×14×1=×6yP,得yP=.故选B.]5.已知F1,F2分别是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )A.24 B.26C.22 D.24A [由椭圆的方程可得a2=49,b2=24,可得c2=a2-b2=49-24=25,则a=7,c=5,由3|PF1|=4|PF2|,而|PF1|+|PF2|=2a=14,得|PF1|=8,|PF2|=6,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|=×8×6=24.故选A.]二、填空题6.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|AB|=________.6 [依据题意及椭圆方程知,a=4,则|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=16,又|F2A|+|F2B|=10,所以|AB|=6.]7.已知椭圆=1上的点P到一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为________.7 [椭圆=1中2a=10,∵椭圆=1上的点P到一个焦点的距离为3,∴P到另一个焦点的距离为10-3=7.]8.设F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,若a=2b,则椭圆的标准方程为________.+y2=1 [∵a=2b,a2=b2+c2,∴c2=3b2,又∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12b2,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4b,∵|PF1|·|PF2|=2,∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,解得b2=1,则a2=4,故椭圆的标准方程为+y2=1.]三、解答题9.已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点.(1)求椭圆M的标准方程;(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.[解] (1)由题意知,椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),则设椭圆M的方程为=1(a>b>0),则化简并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-(舍去),a2=5,故椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,解得y0=±.又=1,所以=,x0=±,所以点P有4个,它们的坐标分别为.10.已知椭圆E:=1(a>b>0),A(-2,0),B(1,2),C,D四个点中恰有三个点在椭圆E上,则椭圆E的方程是( )A.=1 B.=1C.=1 D.+y2=1B [因为C与D关于x轴对称,所以点C,D在椭圆E上,点B不在椭圆E上,点A在椭圆E上,所以解得a2=4,b2=3,所以椭圆E的方程为=1.故选B.]11.椭圆=1(a>)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆与y轴正半轴的交点,若△AF1F2的面积为,则△AF1F2的周长为( )A.8 B.7C.6 D.5C [由椭圆=1(a>)知b=,设半焦距为c,则△AF1F2的面积S=|F1F2|·b=c,由题意得c=,∴c=1,a==2,由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=4,又|F1F2|=2c=2,则△AF1F2的周长为4+2=6.故选C.]12.(多选)已知F1,F2是椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下列结论中正确的是( )A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|·|MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60°D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为直线l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为=1或=1BCD [由椭圆方程得a2=4,b2=3,所以c2=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误;选项B中,|MF1|·|MF2|≤=4,当且仅当|MF1|=|MF2|=2时取等号,B正确;选项C中,当点M为椭圆与y轴的交点时,∠F1MF2取得最大值,取M(0,),得tan =,所以=30°,∠F1MF2=60°,C正确;选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y).因为|PA|·|PB|=2,所以|x-x1|·|x+x1|=2,所以|=2,即=x2+2或=x2-2.又由题意知=1,所以=1或=1,化简得=1或=1,D正确.故选BCD.]13.已知椭圆C:mx2+ny2=1与y轴的一个交点为(0,3),焦距为4,则m的值为________.或 [将(0,3)代入椭圆C方程:mx2+ny2=1,解得n=.故椭圆方程为mx2+=1,由焦距为4,得c=2,c2=4.由题意知m>0,且m≠,方程可化为=1,若椭圆焦点在x轴上,a2=,b2=9,则有c2=-9=4,解得m=;若椭圆焦点在y轴上,a2=9,b2=,则有c2=9-=4,解得m=.综上所述,m=或m=.]14.某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处,经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的部分路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.(1)求曲线C的标准方程;(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),探测仪在A,B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3,你能否确定P处的位置(即点P的坐标) [解] (1)由题意知曲线C是以A,B为焦点且2a=8的椭圆,又2c=4,则c=2,a=4,故b=2,∴曲线C的标准方程为=1.(2)由于探测仪在A,B两岛上收到鱼群反射信号的时间比为5∶3,因此设鱼群此时距A,B两岛的距离比为5∶3,即鱼群分别距A,B两岛的距离为5海里和3海里,设P(x,y),由B(2,0),|PB|=3,得=3,∴解得或∴点P的坐标为(2,3)或(2,-3).15.已知点F是椭圆C:=1的左焦点,P为C上一点,A(0,1),则|PA|+|PF|的最小值是________.4- [由椭圆的方程,可得a=2,c==1,设右焦点为F′(1,0),因为|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|=2a-(|PF′|-|PA|)≥2a-|AF′|=4-=4-,当且仅当A,F′,P三点共线,且A在P,F′之间时不等式取等号.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十五)1.AC [当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.]2.C [椭圆=1的焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),所求椭圆与椭圆=1的焦点相同,且过点(-3,2),则2a=,∴a=,得b2=15-5=10.∴所求椭圆的方程为=1.故选C.]3.C [由题设知F1(-3,0),F2(3,0),∵线段PF1的中点在y轴上,∴设P(3,y0),把P(3,y0)代入椭圆=1,得.∴|PF1|=,|PF2|=.∴=7.故选C.]4.B [由=1,得a=4,b=,c==3,所以|PF1|+|F1F2|+|PF2|=2a+2c=8+6=14,设△PF1F2的内切圆半径为r,因为(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)r=|F1F2|yP,所以×14×1=×6yP,得yP=.故选B.]5.A [由椭圆的方程可得a2=49,b2=24,可得c2=a2-b2=49-24=25,则a=7,c=5,由3|PF1|=4|PF2|,而|PF1|+|PF2|=2a=14,得|PF1|=8,|PF2|=6,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|=×8×6=24.故选A.]6.6 [依据题意及椭圆方程知,a=4,则|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=16,又|F2A|+|F2B|=10,所以|AB|=6.]7.7 [椭圆=1中2a=10,∵椭圆=1上的点P到一个焦点的距离为3,∴P到另一个焦点的距离为10-3=7.]8.+y2=1 [∵a=2b,a2=b2+c2,∴c2=3b2,又∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12b2,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4b,∵|PF1|·|PF2|=2,∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,解得b2=1,则a2=4,故椭圆的标准方程为+y2=1.]9.解:(1)由题意知,椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),则设椭圆M的方程为=1(a>b>0),则化简并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-(舍去),a2=5,故椭圆M的标准方程为+y2=1.(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,解得y0=±.又=1,所以,x0=±,所以点P有4个,它们的坐标分别为.10.B [因为C关于x轴对称,所以点C,D在椭圆E上,点B不在椭圆E上,点A在椭圆E上,所以解得a2=4,b2=3,所以椭圆E的方程为=1.故选B.]11.C [由椭圆=1(a>)知b=,设半焦距为c,则△AF1F2的面积S=|F1F2|·b=c,由题意得,∴c=1,a==2,由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=4,又|F1F2|=2c=2,则△AF1F2的周长为4+2=6.故选C.]12.BCD [由椭圆方程得a2=4,b2=3,所以c2=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误;选项B中,|MF1|·|MF2|≤=4,当且仅当|MF1|=|MF2|=2时取等号,B正确;选项C中,当点M为椭圆与y轴的交点时,∠F1MF2取得最大值,取M(0,),得tan,所以=30°,∠F1MF2=60°,C正确;选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y).因为|PA|·|PB|=2,所以|x-x1|·|x+x1|=2,所以|x2-|=2,即=x2-2.又由题意知=1,所以=1,化简得=1,D正确.故选BCD.]13. [将(0,3)代入椭圆C方程:mx2+ny2=1,解得n=.故椭圆方程为mx2+=1,由焦距为4,得c=2,c2=4.由题意知m>0,且m≠,方程可化为=1,若椭圆焦点在x轴上,a2=,b2=9,则有c2=-9=4,解得m=;若椭圆焦点在y轴上,a2=9,b2=,则有c2=9-=4,解得m=.综上所述,m=.]14.解:(1)由题意知曲线C是以A,B为焦点且2a=8的椭圆,又2c=4,则c=2,a=4,故b=2,∴曲线C的标准方程为=1.(2)由于探测仪在A,B两岛上收到鱼群反射信号的时间比为5∶3,因此设鱼群此时距A,B两岛的距离比为5∶3,即鱼群分别距A,B两岛的距离为5海里和3海里,设P(x,y),由B(2,0),|PB|=3,得=3,∴∴点P的坐标为(2,3)或(2,-3).15.4- [由椭圆的方程,可得a=2,c==1,设右焦点为F'(1,0),因为|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|=2a-(|PF'|-|PA|)≥2a-|AF'|=4-,当且仅当A,F',P三点共线,且A在P,F'之间时不等式取等号.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程[学习目标] 1.理解并掌握椭圆的定义.(数学抽象)2.掌握椭圆的标准方程的推导.(数学运算)3.会求简单的椭圆的标准方程.(数学运算)探究1 椭圆的定义问题1 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,变化的量是什么?不变的量又是什么?移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? [新知生成]1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这______________叫做椭圆的焦点,______________叫做椭圆的焦距,焦距的______________称为半焦距.2.几何表示:|MF1|+|MF2|=2a(常数)且2a______________|F1F2|.[学以致用] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. ( )(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆. ( )(3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足|PF1|+|PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. ( )(4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ( )探究2 椭圆的标准方程问题2 椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|+|MF2|和|F1F2|,结合所建坐标系,将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便? [新知生成]焦点在x轴上 焦点在y轴上标准方程 ______________ ______________图形焦点坐标 ______________ ______________a,b,c的关系 ______________[典例讲评] 【链接教材P107例1】1.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(1,2),焦点坐标分别为(0,),(0,-);(2)经过P(-2,1),Q(,-2)两点.[尝试解答] 试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤. [学以致用] 2.(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10;(2)焦点坐标为(0,-2)和(0,2),且经过点(3,2).[尝试解答] 探究3 椭圆定义的应用[典例讲评] 2.已知P为椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.[尝试解答] [母题探究] 1.本例中,“∠F1PF2=60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”,求△PQF2的周长. 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形,可以利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S=b2tan .[学以致用] 3.如图,椭圆=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为________.1.已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,P为C上一点,若|PF1|=4,则|PF2|=( )A.6 B.8C.10 D.122.已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,点M在椭圆C上,则|MF1|·|MF2|的最小值是( )A.5 B.9C.4 D.33.(多选)对于曲线C:=1,下面四个说法中正确的是( )A.曲线C不可能是椭圆B.“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件4.(教材P109练习T4改编)已知椭圆的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是________.1.知识链:2.方法链:分类讨论、待定系数法.3.警示牌:(1)忽视定义中a,b,c的关系.(2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程.椭圆标准方程的推理椭圆标准方程的推理,除了课本给出的两次平方法之外,还有几种方法,选择部分归纳如下:1.法国数学家洛必达的“和差法”如图,设|AB|=2a,|CD|=2b,焦距|F1F2|=2c,点P(x,y)是椭圆上任意一点.因为|PF1|+|PF2|=2a,所以可以设|PF1|=a+z,|PF2|=a-z(z为待定参数),所以|PF1|2=(a+z)2=(x+c)2+y2,|PF2|2=(a-z)2=(x-c)2+y2.两式相减得4az=4cx,得z=,将z=代入(a+z)2=(x+c)2+y2,并设a2-c2=b2,整理得=1.2.英国数学家赖特的“平方差法”如图,点P(x,y)是椭圆上任意一点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,由定义得r1+r2=2a.又==(x-c)2+y2,两式相减得=4cx,即(r1-r2)(r1+r2)=4cx,所以r1-r2=,所以r1=a+,r2=a-.把r1=a+代入=(x+c)2+y2,并设a2-c2=b2,整理得=1.3.英国数学家斯蒂尔的“三角法”如图,点P(x,y)是椭圆上任意一点,∠PF2G=θ,设|PF2|=z.因为|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|=2a-z.在△PF1F2中,由余弦定理得(2a-z)2=z2+4c2-4cz cos θ.又z cos θ=c-x,所以(2a-z)2=z2+4c2-4c(c-x),解得z=.在△PGF2中,由勾股定理得z2==y2+(c-x)2,令a2-c2=b2,整理得=1.通过对比这些推理方法,我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程,再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的.其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉,仅仅是就问题解决问题,没有体现方程和曲线之间关系的思想性.因此,大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法.21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共80张PPT)第三章圆锥曲线的方程3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程[学习目标] 1.理解并掌握椭圆的定义.(数学抽象)2.掌握椭圆的标准方程的推导.(数学运算)3.会求简单的椭圆的标准方程.(数学运算)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.椭圆是如何定义的?要注意哪些问题?问题2.如何推导椭圆的标准方程?问题3.椭圆的标准方程有何特征?探究建构 关键能力达成探究1 椭圆的定义问题1 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,变化的量是什么?不变的量又是什么?移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?[提示] 椭圆.动点M到两定点F1,F2的距离为变量,即|MF1|,|MF2|,但距离的和为常数,即|MF1|+|MF2|为常数.笔尖到两个定点的距离的和等于常数,即绳长,且该常数大于|F1F2|.[新知生成]1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这________叫做椭圆的焦点,______________叫做椭圆的焦距,焦距的____称为半焦距.2.几何表示:|MF1|+|MF2|=2a(常数)且2a__|F1F2|.常数两个定点两焦点间的距离一半> 【教用·微提醒】 (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.(2)定值必须大于两定点间的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在.[学以致用] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. ( )(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆. ( )(3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足|PF1|+|PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. ( )(4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ( )√××√[提示] (1)√ 因为|PF1|+|PF2|>|F1F2|,所以点P的轨迹是椭圆.(2)× 因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以点P的轨迹是线段F1F2.(3)× 因为|PF1|+|PF2|<|F1F2|,所以点P的轨迹不存在.(4)√探究2 椭圆的标准方程问题2 椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|+|MF2|和|F1F2|,结合所建坐标系,将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便?[提示] 观察我们画出的图形,可以发现椭圆具有对称性,而且过两个焦点的直线是它的对称轴,所以我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy,如图所示,设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标[新知生成] 焦点在x轴上 焦点在y轴上标准方程___________________________________________图形 焦点在x轴上 焦点在y轴上焦点坐标 ____________________ ___________________a,b,c的关系 ________________F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)c2=a2-b2发现规律 试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤.[学以致用] 2.(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10;(2)焦点坐标为(0,-2)和(0,2),且经过点(3,2).[母题探究] 1.本例中,“∠F1PF2=60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”,求△PQF2的周长.2.本例中,将“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.3应用迁移 随堂评估自测√C [由题意P为C上一点,得|PF1|+|PF2|=2×7=14,因为|PF1|=4,所以|PF2|=14-4=10.故选C.]√√√1.知识链:2.方法链:分类讨论、待定系数法.3.警示牌:(1)忽视定义中a,b,c的关系.(2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.椭圆是如何定义的?请写出其标准方程.椭圆标准方程的推理椭圆标准方程的推理,除了课本给出的两次平方法之外,还有几种方法,选择部分归纳如下:阅读材料 拓展数学视野通过对比这些推理方法,我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程,再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的.其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉,仅仅是就问题解决问题,没有体现方程和曲线之间关系的思想性.因此,大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号135246879101112131415一、选择题1.(多选)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是( )A.当a=2时,点P的轨迹不存在B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆课时分层作业(二十五) 椭圆及其标准方程√√AC [当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.]题号135246879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号2134568791011121314156 [依据题意及椭圆方程知,a=4,则|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=16,又|F2A|+|F2B|=10,所以|AB|=6.]题号2134568791011121314156题号2134568791011121314157题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415题号213456879101112131415√题号213456879101112131415√√题号213456879101112131415题号21345687910111213141513.已知椭圆C:mx2+ny2=1与y轴的一个交点为(0,3),焦距为4,则m的值为____________.题号213456879101112131415题号21345687910111213141514.某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处,经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的部分路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.(1)求曲线C的标准方程;(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),探测仪在A,B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3,你能否确定P处的位置(即点P的坐标) 题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415题号213456879101112131415 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程学案.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程学案(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程课件.ppt 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业25椭圆及其标准方程(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业25答案.docx