人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程课件+学案+练习(含答案)

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人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程课件+学案+练习(含答案)

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课时分层作业(二十五) 椭圆及其标准方程
说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共95分
一、选择题
1.(多选)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是(  )
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
2.过点(-3,2)且与=1有相同焦点的椭圆的方程是(  )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在此椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么的值为(  )
A. B.4
C.7 D.
4.点P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的两个焦点,且△PF1F2的内切圆半径为1,当点P在第一象限时,P点的纵坐标为(  )
A.2 B.
C.
5.已知F1,F2分别是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(  )
A.24 B.26
C.22 D.24
二、填空题
6.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|AB|=________.
7.已知椭圆=1上的点P到一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为________.
8.设F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,若a=2b,则椭圆的标准方程为________.
三、解答题
9.已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
10.已知椭圆E:=1(a>b>0),A(-2,0),B(1,2),C,D四个点中恰有三个点在椭圆E上,则椭圆E的方程是(  )
A.=1 B.=1
C.=1 D.+y2=1
11.椭圆=1(a>)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆与y轴正半轴的交点,若△AF1F2的面积为,则△AF1F2的周长为(  )
A.8 B.7
C.6 D.5
12.(多选)已知F1,F2是椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下列结论中正确的是(  )
A.|MF2|的最大值大于3
B.|MF1|·|MF2|的最大值为4
C.∠F1MF2的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为直线l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为=1或=1
13.已知椭圆C:mx2+ny2=1与y轴的一个交点为(0,3),焦距为4,则m的值为________.
14.某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处,经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的部分路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.
(1)求曲线C的标准方程;
(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),探测仪在A,B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3,你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
15.已知点F是椭圆C:=1的左焦点,P为C上一点,A(0,1),则|PA|+|PF|的最小值是________.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
[学习目标] 
1.理解并掌握椭圆的定义.(数学抽象)
2.掌握椭圆的标准方程的推导.(数学运算)
3.会求简单的椭圆的标准方程.(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.椭圆是如何定义的?要注意哪些问题?
问题2.如何推导椭圆的标准方程?
问题3.椭圆的标准方程有何特征?
探究1 椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,变化的量是什么?不变的量又是什么?移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?
[提示] 椭圆.动点M到两定点F1,F2的距离为变量,即|MF1|,|MF2|,但距离的和为常数,即|MF1|+|MF2|为常数.笔尖到两个定点的距离的和等于常数,即绳长,且该常数大于|F1F2|.
[新知生成]
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
2.几何表示:|MF1|+|MF2|=2a(常数)且2a>|F1F2|.
【教用·微提醒】 (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.
(2)定值必须大于两定点间的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在.
[学以致用] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. (  )
(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆. (  )
(3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足|PF1|+|PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. (  )
(4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. (  )
[提示] (1)√ 因为|PF1|+|PF2|>|F1F2|,所以点P的轨迹是椭圆.
(2)× 因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以点P的轨迹是线段F1F2.
(3)× 因为|PF1|+|PF2|<|F1F2|,所以点P的轨迹不存在.
(4)√
探究2 椭圆的标准方程
问题2 椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|+|MF2|和|F1F2|,结合所建坐标系,将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便?
[提示] 观察我们画出的图形,可以发现椭圆具有对称性,而且过两个焦点的直线是它的对称轴,所以我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy,如图所示,设M(x,y)是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).根据椭圆的定义,设点M与焦点F1,F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.因为|MF1|=,
|MF2|=,
所以=2a.①
为了化简方程①,我们将其左边的一个根式移到右边,得=2a-.②
对方程②两边平方,得
(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,整理,得a2-cx=a.③
对方程③两边平方,得
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,
整理,得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).④
将方程④两边同除以a2(a2-c2),
得=1.⑤
由椭圆的定义可知,2a>2c>0,即a>c>0,所以a2-c2>0.
令b=,那么方程⑤就是=1(a>b>0).⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
[新知生成]
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 c2=a2-b2
【教用·微提醒】 (1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程,所谓标准位置,就是指椭圆的中心在坐标原点,椭圆的对称轴为坐标轴.
(2)两种椭圆=1,=1(a>b>0)的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
(3)x2项和y2项谁的分母大,焦点就在谁的轴上.
(4)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
[典例讲评] 【链接教材P107例1】
1.求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点(1,2),焦点坐标分别为(0,),(0,-);
(2)经过P(-2,1),Q(,-2)两点.
[解] (1)法一:由题知,焦点在y轴上,且c=,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0),则b2=a2-3,由椭圆过点(1,2),知=1,解得a2=6或a2=2(舍去).
所以椭圆的标准方程为=1.
法二:因为焦点在y轴上,所以设它的标准方程为=1(a>b>0),
由椭圆定义知,2a==2+2,
即a=,
所以a2=6.
又c=,所以b2=a2-c2=3,
所以椭圆的标准方程为=1.
(2)法一:①当椭圆的焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
依题意,有解得
所以椭圆的标准方程为=1.
②当椭圆的焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
依题意,有解得
由a>b>0,知不合题意,故舍去.
综上,椭圆的标准方程为=1.
法二:椭圆经过P(-2,1),Q(,-2)两点,设所求椭圆的方程为=1(m>0,n>0,m≠n),
把点P,Q的坐标代入得解得所以椭圆的标准方程为=1.
【教材原题·P107例1】
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.
[解] 由于椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义知
c=2,2a=+=2,
所以a=.
所以b2=a2-c2=10-4=6.
所以,所求椭圆的标准方程为=1.
 试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤.
[提示] (1)定位置:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.
(2)设方程:根据上述判断设方程=1(a>b>0)或=1(a>b>0)或整式形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
(3)找关系:根据已知条件建立关于a,b,c(或m,n)的方程组.
(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,写出标准形式即为所求.
[学以致用] 2.(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10;
(2)焦点坐标为(0,-2)和(0,2),且经过点(3,2).
[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上,故可设它的标准方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义知2a=10,所以a=5.
又因为c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16.
因此,所求椭圆的标准方程为=1.
(2)由于椭圆的焦点在y轴上,故可设它的标准方程为=1(a>b>0).
由焦点坐标及椭圆上一点(3,2),及椭圆的定义可知2a==5+3=8,因此a=4.
因为c=2,所以b2=a2-c2=16-4=12.
因此,所求椭圆的标准方程为=1.
探究3 椭圆定义的应用
[典例讲评] 2.已知P为椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
[解] 由已知得a=2,b=,
所以c===3,
从而|F1F2|=2c=6.
在△F1PF2中,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°,
即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4,
即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|=4.
所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=.
[母题探究] 
1.本例中,“∠F1PF2=60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”,求△PQF2的周长.
[解] 因为P,Q都在椭圆上,所以结合椭圆的定义知
|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.
又因为|PQ|=|PF1|+|QF1|,
所以△PQF2的周长为|PQ|+|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+|QF2|+|PF2|=4a.
故△PQF2的周长为4×2=8.
2.本例中,将“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.
[解] 由已知得a=2,b=,
所以c===3.
从而|F1F2|=2c=6.
在△F1PF2中,由勾股定理可得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,
即|PF2|2=|PF1|2+36,
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4,
所以|PF2|=4-|PF1|.
从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+36,
解得|PF1|=.
所以=·|PF1|·|F1F2|=×6=,即△F1PF2的面积是.
【教用·备选题】 已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆E上,∠F1PF2=2θ.
(1)求△F1PF2的面积S;
(2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律.
[解] (1)如图所示,由椭圆的定义,可得
|PF1|+|PF2|=2a.
由余弦定理,可得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 2θ=(|PF1|+|PF2|)2-2·|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|·cos 2θ=4a2-2|PF1|·|PF2|·(1+cos 2θ)=4c2,
∴|PF1|·|PF2|=.
∴S=|PF1|·|PF2|·sin 2θ=·sin 2θ=·b2=b2tan θ.
(2)∵∠F1PF2为△PF1F2的内角,
∴2θ∈(0,π),即θ∈.
令点P沿顺时针方向由点A向点B运动,则△PF1F2的边F1F2不变,但F1F2上的高逐渐增大,故S逐渐增大,从而tan θ逐渐变大.由θ∈可知,θ也逐渐变大.由此可见,点P的纵坐标的绝对值越大,2θ也越大,当点P与点B或点D重合时,∠F1PF2达到最大值.
 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形,可以利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S=b2tan .
[学以致用] 3.如图,椭圆=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为________.
3 [根据题意可得|PF1|+|PF2|=2a,则|PF2|=2a-4,又c2=a2-2,利用余弦定理的推论可得
cos ∠F1PF2==-,即=-,整理可得=-,解得a=3.]
1.已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,P为C上一点,若|PF1|=4,则|PF2|=(  )
A.6 B.8
C.10 D.12
C [由题意P为C上一点,得|PF1|+|PF2|=2×7=14,因为|PF1|=4,所以|PF2|=14-4=10.
故选C.]
2.已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,点M在椭圆C上,则|MF1|·|MF2|的最小值是(  )
A.5 B.9
C.4 D.3
C [由已知得c=,a=3,|MF1|+|MF2|=6,
设|MF1|=x,则3-≤x≤3+,
所以|MF1||MF2|=x(6-x)=6x-x2=-(x-3)2+9,从而x=3-或x=3+时|MF1|·|MF2|取得最小值4.
故选C.]
3.(多选)对于曲线C:=1,下面四个说法中正确的是(  )
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件
D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件
CD [当1<k<4且k≠2.5时,曲线C是椭圆,所以A错误;当k=2.5时,4-k=k-1,此时曲线C是圆,所以B错误;若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则解得2.5<k<4,所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件,所以C正确;若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得1<k<2.5,所以D正确.故选CD.]
4.(教材P109练习T4改编)已知椭圆的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是________.
=1 [设|MF1|=m,|MF2|=n,椭圆方程为=1(a>b>0).
因为MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,|F1F2|=2,
所以m2+n2=20,mn=8,
所以(m+n)2=36,
所以m+n=2a=6,
所以a=3.
又因为c=,所以b==2,
所以椭圆的方程是=1.]
1.知识链:
2.方法链:分类讨论、待定系数法.
3.警示牌:(1)忽视定义中a,b,c的关系.
(2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.椭圆是如何定义的?请写出其标准方程.
[提示] 把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
其标准方程为=1(a>b>0)或=1(a>b>0).
2.当方程=1表示椭圆时,m,n满足什么条件?当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时,m,n又满足什么条件?
[提示] 表示椭圆时,
表示焦点在x轴上的椭圆时,m>n>0,
表示焦点在y轴上的椭圆时,n>m>0.
椭圆标准方程的推理
椭圆标准方程的推理,除了课本给出的两次平方法之外,还有几种方法,选择部分归纳如下:
1.法国数学家洛必达的“和差法”
如图,设|AB|=2a,|CD|=2b,焦距|F1F2|=2c,点P(x,y)是椭圆上任意一点.
因为|PF1|+|PF2|=2a,所以可以设|PF1|=a+z,|PF2|=a-z(z为待定参数),所以|PF1|2=(a+z)2=(x+c)2+y2,
|PF2|2=(a-z)2=(x-c)2+y2.
两式相减得4az=4cx,得z=,
将z=代入(a+z)2=(x+c)2+y2,并设a2-c2=b2,整理得=1.
2.英国数学家赖特的“平方差法”
如图,点P(x,y)是椭圆上任意一点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,由定义得r1+r2=2a.
又==(x-c)2+y2,两式相减得=4cx,即(r1-r2)(r1+r2)=4cx,
所以r1-r2=,所以r1=a+,r2=a-.
把r1=a+代入=(x+c)2+y2,并设a2-c2=b2,整理得=1.
3.英国数学家斯蒂尔的“三角法”
如图,点P(x,y)是椭圆上任意一点,∠PF2G=θ,设|PF2|=z.
因为|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|=2a-z.
在△PF1F2中,由余弦定理得(2a-z)2=z2+4c2-4cz cos θ.
又z cos θ=c-x,所以(2a-z)2=z2+4c2-4c(c-x),
解得z=.
在△PGF2中,由勾股定理得z2==y2+(c-x)2,
令a2-c2=b2,整理得=1.
通过对比这些推理方法,我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程,再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的.其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉,仅仅是就问题解决问题,没有体现方程和曲线之间关系的思想性.因此,大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法.
课时分层作业(二十五) 椭圆及其标准方程
一、选择题
1.(多选)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是(  )
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
AC [当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;
当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;
当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.]
2.过点(-3,2)且与=1有相同焦点的椭圆的方程是(  )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
C [椭圆=1的焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),
所求椭圆与椭圆=1的焦点相同,且过点(-3,2),
则2a==2,∴a=,得b2=15-5=10.
∴所求椭圆的方程为=1.故选C.]
3.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在此椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么的值为(  )
A. B.4
C.7 D.
C [由题设知F1(-3,0),F2(3,0),
∵线段PF1的中点在y轴上,
∴设P(3,y0),把P(3,y0)代入椭圆=1,得=.
∴|PF1|==,|PF2|==.
∴==7.故选C.]
4.点P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的两个焦点,且△PF1F2的内切圆半径为1,当点P在第一象限时,P点的纵坐标为(  )
A.2 B.
C.
B [由=1,得a=4,b=,c==3,
所以|PF1|+|F1F2|+|PF2|=2a+2c=8+6=14,
设△PF1F2的内切圆半径为r,
因为(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)r=|F1F2|yP,
所以×14×1=×6yP,得yP=.
故选B.]
5.已知F1,F2分别是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(  )
A.24 B.26
C.22 D.24
A [由椭圆的方程可得a2=49,b2=24,可得c2=a2-b2=49-24=25,
则a=7,c=5,
由3|PF1|=4|PF2|,而|PF1|+|PF2|=2a=14,得|PF1|=8,|PF2|=6,
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,
所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|=×8×6=24.
故选A.]
二、填空题
6.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|AB|=________.
6 [依据题意及椭圆方程知,a=4,
则|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=16,又|F2A|+|F2B|=10,所以|AB|=6.]
7.已知椭圆=1上的点P到一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为________.
7 [椭圆=1中2a=10,
∵椭圆=1上的点P到一个焦点的距离为3,∴P到另一个焦点的距离为10-3=7.]
8.设F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,若a=2b,则椭圆的标准方程为________.
+y2=1 [∵a=2b,a2=b2+c2,∴c2=3b2,
又∵PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12b2,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4b,
∵|PF1|·|PF2|=2,∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,解得b2=1,
则a2=4,
故椭圆的标准方程为+y2=1.]
三、解答题
9.已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
[解] (1)由题意知,椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),
则设椭圆M的方程为=1(a>b>0),
则化简并整理得5b4+11b2-16=0,
故b2=1或b2=-(舍去),a2=5,
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,解得y0=±.
又=1,所以=,x0=±,
所以点P有4个,它们的坐标分别为.
10.已知椭圆E:=1(a>b>0),A(-2,0),B(1,2),C,D四个点中恰有三个点在椭圆E上,则椭圆E的方程是(  )
A.=1 B.=1
C.=1 D.+y2=1
B [因为C与D关于x轴对称,所以点C,D在椭圆E上,点B不在椭圆E上,点A在椭圆E上,所以解得a2=4,b2=3,
所以椭圆E的方程为=1.故选B.]
11.椭圆=1(a>)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆与y轴正半轴的交点,若△AF1F2的面积为,则△AF1F2的周长为(  )
A.8 B.7
C.6 D.5
C [由椭圆=1(a>)知b=,设半焦距为c,则△AF1F2的面积S=|F1F2|·b=c,由题意得c=,∴c=1,a==2,
由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=4,
又|F1F2|=2c=2,则△AF1F2的周长为4+2=6.
故选C.]
12.(多选)已知F1,F2是椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下列结论中正确的是(  )
A.|MF2|的最大值大于3
B.|MF1|·|MF2|的最大值为4
C.∠F1MF2的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为直线l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为=1或=1
BCD [由椭圆方程得a2=4,b2=3,所以c2=1,
所以F1(-1,0),F2(1,0).
选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误;
选项B中,|MF1|·|MF2|≤=4,当且仅当|MF1|=|MF2|=2时取等号,B正确;
选项C中,当点M为椭圆与y轴的交点时,∠F1MF2取得最大值,取M(0,),
得tan =,
所以=30°,∠F1MF2=60°,C正确;
选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y).
因为|PA|·|PB|=2,所以|x-x1|·|x+x1|=2,
所以|=2,即=x2+2或=x2-2.
又由题意知=1,
所以=1或=1,
化简得=1或=1,D正确.故选BCD.]
13.已知椭圆C:mx2+ny2=1与y轴的一个交点为(0,3),焦距为4,则m的值为________.
或 [将(0,3)代入椭圆C方程:mx2+ny2=1,解得n=.
故椭圆方程为mx2+=1,
由焦距为4,得c=2,c2=4.
由题意知m>0,且m≠,方程可化为=1,
若椭圆焦点在x轴上,a2=,b2=9,则有c2=-9=4,解得m=;
若椭圆焦点在y轴上,a2=9,b2=,则有c2=9-=4,解得m=.
综上所述,m=或m=.]
14.某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处,经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的部分路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.
(1)求曲线C的标准方程;
(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),探测仪在A,B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3,你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
[解] (1)由题意知曲线C是以A,B为焦点且2a=8的椭圆,又2c=4,则c=2,a=4,故b=2,
∴曲线C的标准方程为=1.
(2)由于探测仪在A,B两岛上收到鱼群反射信号的时间比为5∶3,因此设鱼群此时距A,B两岛的距离比为5∶3,即鱼群分别距A,B两岛的距离为5海里和3海里,设P(x,y),由B(2,0),|PB|=3,得=3,
∴解得或
∴点P的坐标为(2,3)或(2,-3).
15.已知点F是椭圆C:=1的左焦点,P为C上一点,A(0,1),则|PA|+|PF|的最小值是________.
4- [由椭圆的方程,可得a=2,c==1,
设右焦点为F′(1,0),
因为|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|=2a-(|PF′|-|PA|)≥2a-|AF′|
=4-=4-,
当且仅当A,F′,P三点共线,且A在P,F′之间时不等式取等号.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十五)
1.AC [当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;
当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;
当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.]
2.C [椭圆=1的焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),
所求椭圆与椭圆=1的焦点相同,且过点(-3,2),
则2a=,
∴a=,得b2=15-5=10.
∴所求椭圆的方程为=1.故选C.]
3.C [由题设知F1(-3,0),F2(3,0),
∵线段PF1的中点在y轴上,
∴设P(3,y0),把P(3,y0)代入椭圆=1,得.
∴|PF1|=,|PF2|=.
∴=7.故选C.]
4.B [由=1,得a=4,b=,c==3,
所以|PF1|+|F1F2|+|PF2|=2a+2c=8+6=14,
设△PF1F2的内切圆半径为r,
因为(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)r=|F1F2|yP,
所以×14×1=×6yP,得yP=.
故选B.]
5.A [由椭圆的方程可得a2=49,b2=24,可得c2=a2-b2=49-24=25,则a=7,c=5,
由3|PF1|=4|PF2|,而|PF1|+|PF2|=2a=14,得|PF1|=8,|PF2|=6,
则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2,
所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|=×8×6=24.
故选A.]
6.6 [依据题意及椭圆方程知,a=4,
则|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=16,又|F2A|+|F2B|=10,所以|AB|=6.]
7.7 [椭圆=1中2a=10,
∵椭圆=1上的点P到一个焦点的距离为3,∴P到另一个焦点的距离为10-3=7.]
8.+y2=1 [∵a=2b,a2=b2+c2,∴c2=3b2,又∵PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12b2,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=4b,
∵|PF1|·|PF2|=2,∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,解得b2=1,则a2=4,故椭圆的标准方程为+y2=1.]
9.解:(1)由题意知,椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),
则设椭圆M的方程为=1(a>b>0),
则化简并整理得5b4+11b2-16=0,
故b2=1或b2=-(舍去),a2=5,
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,解得y0=±.
又=1,所以,x0=±,
所以点P有4个,它们的坐标分别为.
10.B [因为C关于x轴对称,所以点C,D在椭圆E上,点B不在椭圆E上,点A在椭圆E上,
所以解得a2=4,b2=3,
所以椭圆E的方程为=1.故选B.]
11.C [由椭圆=1(a>)知b=,设半焦距为c,则△AF1F2的面积S=|F1F2|·b=c,由题意得,∴c=1,a==2,
由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=4,
又|F1F2|=2c=2,则△AF1F2的周长为4+2=6.
故选C.]
12.BCD [由椭圆方程得a2=4,b2=3,所以c2=1,
所以F1(-1,0),F2(1,0).
选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误;
选项B中,|MF1|·|MF2|≤=4,
当且仅当|MF1|=|MF2|=2时取等号,B正确;
选项C中,当点M为椭圆与y轴的交点时,∠F1MF2取得最大值,取M(0,),得tan,
所以=30°,∠F1MF2=60°,C正确;
选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y).
因为|PA|·|PB|=2,所以|x-x1|·|x+x1|=2,
所以|x2-|=2,即=x2-2.
又由题意知=1,
所以=1,
化简得=1,D正确.故选BCD.]
13. [将(0,3)代入椭圆C方程:mx2+ny2=1,解得n=.
故椭圆方程为mx2+=1,
由焦距为4,得c=2,c2=4.
由题意知m>0,且m≠,方程可化为=1,
若椭圆焦点在x轴上,a2=,b2=9,则有c2=-9=4,
解得m=;
若椭圆焦点在y轴上,a2=9,b2=,则有c2=9-=4,
解得m=.
综上所述,m=.]
14.解:(1)由题意知曲线C是以A,B为焦点且2a=8的椭圆,又2c=4,则c=2,a=4,故b=2,
∴曲线C的标准方程为=1.
(2)由于探测仪在A,B两岛上收到鱼群反射信号的时间比为5∶3,因此设鱼群此时距A,B两岛的距离比为5∶3,即鱼群分别距A,B两岛的距离为5海里和3海里,设P(x,y),由B(2,0),|PB|=3,得=3,

∴点P的坐标为(2,3)或(2,-3).
15.4- [由椭圆的方程,可得a=2,c==1,
设右焦点为F'(1,0),
因为|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF'|=2a-(|PF'|-|PA|)≥2a-|AF'|=4-,
当且仅当A,F',P三点共线,且A在P,F'之间时不等式取等号.]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
[学习目标] 
1.理解并掌握椭圆的定义.(数学抽象)
2.掌握椭圆的标准方程的推导.(数学运算)
3.会求简单的椭圆的标准方程.(数学运算)
探究1 椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,变化的量是什么?不变的量又是什么?移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?
                                    
                                    
[新知生成]
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于______________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这______________叫做椭圆的焦点,______________叫做椭圆的焦距,焦距的______________称为半焦距.
2.几何表示:|MF1|+|MF2|=2a(常数)且2a______________|F1F2|.
[学以致用] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. (  )
(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆. (  )
(3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足|PF1|+|PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. (  )
(4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. (  )
探究2 椭圆的标准方程
问题2 椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|+|MF2|和|F1F2|,结合所建坐标系,将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便?
                                    
                                    
[新知生成]
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ______________ ______________
图形
焦点坐标 ______________ ______________
a,b,c的关系 ______________
[典例讲评] 【链接教材P107例1】
1.求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点(1,2),焦点坐标分别为(0,),(0,-);
(2)经过P(-2,1),Q(,-2)两点.
[尝试解答]                                     
                                    
                                    
                                    
                                    
 试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤.
                                    
                                    
[学以致用] 2.(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10;
(2)焦点坐标为(0,-2)和(0,2),且经过点(3,2).
[尝试解答]                                     
                                    
                                    
                                    
                                    
探究3 椭圆定义的应用
[典例讲评] 2.已知P为椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
[尝试解答]                                     
                                    
                                    
                                    
                                    
[母题探究] 
1.本例中,“∠F1PF2=60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”,求△PQF2的周长.
                                    
                                    
                                    
                                    
 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形,可以利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S=b2tan .
[学以致用] 3.如图,椭圆=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为________.
1.已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,P为C上一点,若|PF1|=4,则|PF2|=(  )
A.6 B.8
C.10 D.12
2.已知F1,F2分别是椭圆C:=1的左、右焦点,点M在椭圆C上,则|MF1|·|MF2|的最小值是(  )
A.5 B.9
C.4 D.3
3.(多选)对于曲线C:=1,下面四个说法中正确的是(  )
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件
D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件
4.(教材P109练习T4改编)已知椭圆的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是椭圆上一点,若MF1⊥MF2,|MF1|·|MF2|=8,则该椭圆的方程是________.
1.知识链:
2.方法链:分类讨论、待定系数法.
3.警示牌:(1)忽视定义中a,b,c的关系.
(2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程.
椭圆标准方程的推理
椭圆标准方程的推理,除了课本给出的两次平方法之外,还有几种方法,选择部分归纳如下:
1.法国数学家洛必达的“和差法”
如图,设|AB|=2a,|CD|=2b,焦距|F1F2|=2c,点P(x,y)是椭圆上任意一点.
因为|PF1|+|PF2|=2a,所以可以设|PF1|=a+z,|PF2|=a-z(z为待定参数),所以|PF1|2=(a+z)2=(x+c)2+y2,
|PF2|2=(a-z)2=(x-c)2+y2.
两式相减得4az=4cx,得z=,
将z=代入(a+z)2=(x+c)2+y2,并设a2-c2=b2,整理得=1.
2.英国数学家赖特的“平方差法”
如图,点P(x,y)是椭圆上任意一点,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,由定义得r1+r2=2a.
又==(x-c)2+y2,两式相减得=4cx,即(r1-r2)(r1+r2)=4cx,
所以r1-r2=,所以r1=a+,r2=a-.
把r1=a+代入=(x+c)2+y2,并设a2-c2=b2,整理得=1.
3.英国数学家斯蒂尔的“三角法”
如图,点P(x,y)是椭圆上任意一点,∠PF2G=θ,设|PF2|=z.
因为|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|=2a-z.
在△PF1F2中,由余弦定理得(2a-z)2=z2+4c2-4cz cos θ.
又z cos θ=c-x,所以(2a-z)2=z2+4c2-4c(c-x),
解得z=.
在△PGF2中,由勾股定理得z2==y2+(c-x)2,
令a2-c2=b2,整理得=1.
通过对比这些推理方法,我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程,再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的.其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉,仅仅是就问题解决问题,没有体现方程和曲线之间关系的思想性.因此,大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法.
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第三章
圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
[学习目标] 
1.理解并掌握椭圆的定义.(数学抽象)
2.掌握椭圆的标准方程的推导.(数学运算)
3.会求简单的椭圆的标准方程.(数学运算)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1.椭圆是如何定义的?要注意哪些问题?
问题2.如何推导椭圆的标准方程?
问题3.椭圆的标准方程有何特征?
探究建构 关键能力达成
探究1 椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2(如图),套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,
变化的量是什么?不变的量又是什么?移动的笔尖(动点)
满足的几何条件是什么?
[提示] 椭圆.动点M到两定点F1,F2的距离为变量,即|MF1|,|MF2|,但距离的和为常数,即|MF1|+|MF2|为常数.笔尖到两个定点的距离的和等于常数,即绳长,且该常数大于|F1F2|.
[新知生成]
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这________叫做椭圆的焦点,______________叫做椭圆的焦距,焦距的____称为半焦距.
2.几何表示:|MF1|+|MF2|=2a(常数)且2a__|F1F2|.
常数
两个定点
两焦点间的距离
一半
>
【教用·微提醒】 (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.
(2)定值必须大于两定点间的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在.
[学以致用] 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. (  )
(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆. (  )
(3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足|PF1|+|PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. (  )
(4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. (  )

×
×

[提示] (1)√ 因为|PF1|+|PF2|>|F1F2|,所以点P的轨迹是椭圆.
(2)× 因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以点P的轨迹是线段F1F2.
(3)× 因为|PF1|+|PF2|<|F1F2|,所以点P的轨迹不存在.
(4)√
探究2 椭圆的标准方程
问题2 椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|+|MF2|和|F1F2|,结合所建坐标系,将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便?
[提示] 观察我们画出的图形,可以发现椭圆具有对称性,而且过两个焦点的直线是它的对称轴,所以我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系Oxy,如图所示,设M(x,y)是椭圆上任意一点,
椭圆的焦距为2c(c>0),那么焦点F1,F2的坐标
[新知生成]
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
______________________
_____________________
图形


焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 ____________________ ___________________
a,b,c的关系 ________________
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
c2=a2-b2
发现规律 试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤.
[学以致用] 2.(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10;
(2)焦点坐标为(0,-2)和(0,2),且经过点(3,2).
[母题探究] 
1.本例中,“∠F1PF2=60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”,求△PQF2的周长.
2.本例中,将“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2=90°”,求△F1PF2的面积.
3
应用迁移 随堂评估自测

C [由题意P为C上一点,得|PF1|+|PF2|=2×7=14,因为|PF1|=4,所以|PF2|=14-4=10.故选C.]



1.知识链:
2.方法链:分类讨论、待定系数法.
3.警示牌:(1)忽视定义中a,b,c的关系.
(2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程.
回顾本节知识,自主完成以下问题:
1.椭圆是如何定义的?请写出其标准方程.
椭圆标准方程的推理
椭圆标准方程的推理,除了课本给出的两次平方法之外,还有几种方法,选择部分归纳如下:
阅读材料 拓展数学视野
通过对比这些推理方法,我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程,再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的.其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉,仅仅是就问题解决问题,没有体现方程和曲线之间关系的思想性.因此,大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法.
章末综合测评(一) 动量守恒定律
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一、选择题
1.(多选)已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列说法中正确的是(  )
A.当a=2时,点P的轨迹不存在
B.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3
C.当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6
D.当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆
课时分层作业(二十五) 椭圆及其标准方程


AC [当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,A正确;
当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,B错误,C正确;
当a=3时,2a=6=|AB|,故点P的轨迹为线段AB,D错误.]
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6 [依据题意及椭圆方程知,a=4,
则|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=16,又|F2A|+|F2B|=10,所以|AB|=6.]
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13.已知椭圆C:mx2+ny2=1与y轴的一个交点为(0,3),焦距为4,则m的值为____________.
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14.某海域有A,B两个岛屿,B岛在A岛正东4海里处,经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的部分路线是曲线C,曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示.
(1)求曲线C的标准方程;
(2)某日,研究人员在A,B两岛同时用声呐探测仪发
出不同频率的探测信号(传播速度相同),探测仪在A,B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3,你能否确定P处的位置(即点P的坐标)
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