资源简介 第2课时 椭圆的标准方程及其性质的应用[学习目标] 1．了解椭圆在实际生活中的应用．(直观想象、数学运算)2．进一步掌握椭圆方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(数学运算、逻辑推理)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1．直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断？问题2．解决与椭圆有关的实际问题的一般步骤是什么？探究1 直线与椭圆的位置关系问题 从椭圆C的一个焦点F1处发出的光线照射到P点，经反射后通过椭圆的另一个焦点F2，如图所示．点P及点O与椭圆C具有怎样的位置关系？直线l及直线PF2与椭圆C具有怎样的位置关系？[提示] 点P在椭圆C上，点O在椭圆内；直线l与椭圆C相切，直线PF2与椭圆C相交．[新知生成]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：点P在椭圆上；点P在椭圆内部；点P在椭圆外部．2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离．【教用·微提醒】 设直线方程时注意斜率不存在的情况．[典例讲评] 【链接教材P114例7】1．(源自湘教版教材)对不同的实数m，讨论直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋y2＝1的公共点的个数．[解] 由消去y并整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0． ③此方程的实数解的个数由它的判别式Δ决定，Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16(5－m2)．当－0，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标．此时，直线l与椭圆有两个公共点，即它们相交．当m＝－或m＝时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数根，代入方程①可得到一个公共点坐标．此时，直线l与椭圆有一个公共点．观察图象可知，它们在这一点相切．当m<－或m>时，Δ<0，方程③没有实数根．此时，直线l与椭圆没有公共点，即它们相离．综上可得：当－当m＝－或m＝时，直线l与椭圆有一个公共点；当m<－或m>时，直线l与椭圆没有公共点．直线l与椭圆C的位置关系如图所示．【教材原题·P114例7】例7 如图3.1 13，已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：＝1．m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？[分析] 直线l与椭圆C的公共点的个数与方程组解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答．[解] 由方程组消去y，得25x2＋8mx＋m2－225＝0． ①方程①的根的判别式Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2)．由Δ＞0，得－25＜m＜25．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．由Δ＝0，得m1＝25，m2＝－25．此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．由Δ＜0，得m＜－25，或m＞25．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点． 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．[学以致用] 1．直线y＝kx－k与椭圆＝1的位置关系为( )A．相交 B．相切C．相离 D．不确定A [直线y＝kx－k＝k(x－1)过定点(1，0)，由＝＜1知点(1，0)在椭圆内部，所以直线y＝kx－k与椭圆＝1相交．故选A．]探究2 中点弦问题[典例讲评] 2．在椭圆＝1(a＞b＞0)中，以点M为中点的弦所在的直线方程为( )A．3x＋4y＝0 B．3x－4y＝0C．3x＋4y－12＝0 D．3x－4y＋12＝0C [根据题意，设以点M为中点的弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得＝，又由点M为线段AB的中点，则有x1＋x2＝4，y1＋y2＝3，则有＝－＝－．即以点M为中点的弦所在直线的斜率为－，所以直线方程为y－＝－(x－2)，即3x＋4y－12＝0．故选C．][母题探究] 本例中把条件改为点M是直线x＋2y－5＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，求该椭圆的离心率．[解] 设直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝3．由＝1和＝1作差，得＝－．∴＝－．又x＋2y－5＝0的斜率为－，∴＝．∴椭圆的离心率e＝＝＝＝．【教用·备选题】 已知椭圆＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程．[解] 法一：易知直线AB的斜率k存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．由消去y得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个根，于是x1＋x2＝．又∵M为弦AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－，且满足Δ＞0．故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0．法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵M(2，1)为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2．又∵A，B两点在椭圆上，＝＝16，两式相减，得＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴＝－＝－＝－，即kAB＝－，故所求直线AB的方程为x＋2y－4＝0．法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)．∵弦AB的中点为M(2，1)，∴直线与椭圆的另一个交点为B(4－x，2－y)．∵A，B两点都在椭圆上，∴由①－②得x＋2y－4＝0．显然点A，B的坐标满足这个方程，代入验证符合题意．故直线AB的方程为x＋2y－4＝0． 解决中点弦问题，主要有两种办法，一种是根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，利用所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解；另一种是点差法：设出弦的两端点坐标，分别代入椭圆的方程，两式相减即得弦的中点坐标与直线斜率的关系式．[学以致用] 2．椭圆＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为，则＝( )A． B． C． D．2C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，∴kOM＝＝，kAB＝＝－1，由AB的中点为M可得x1＋x2＝2x0，①y1＋y2＝2y0，②由A，B在椭圆上，可得＝＝1，两式相减可得＝0，③把①②代入③可得＝0，整理可得＝，故＝．故选C．]探究3 实际生活中的椭圆问题[典例讲评] 【链接教材P113例5】3．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋RC．2a＝m＋n D．b＝ABD [∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得∴(*)故A，B正确；由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2．∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)，∴b＝，故D正确．]【教材原题·P113例5】例5 如图3.1 11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，|F1B|＝2.8 cm，|F1F2|＝4.5 cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm)．[解] 建立如图3.1 11所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为＝1(a＞b＞0)．在Rt△BF1F2中，|F2B|＝＝．由椭圆的性质知，|F1B|＋|F2B|＝2a，所以a＝(|F1B|＋|F2B|)＝(2.8＋)≈4.1；b＝＝≈3.4．所以，所求的椭圆方程为＝1． 解决与椭圆有关的实际问题的思路(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果回答原来的实际问题．[学以致用] 【链接教材P113例6】3．著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运行的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运行的过程中，若地球轨道上的点与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则椭圆C的离心率为________． [根据题意，设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，所以地球轨道上的点与太阳中心的最远距离为a＋c，最近距离为a－c，所以＝2，即a＝3c，故e＝＝，故椭圆C的离心率为．]【教材原题·P113例6】例6 动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹．[解] 如图3.1 12，设d是点M到直线l：x＝的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝．由此得＝．将上式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225，即＝1．所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆．1．直线x－y＋＝0与椭圆＝1的位置关系是( )A．相交 B．相切C．相离 D．无法判断A [直线过点(0，)，而0＋＜1，即点(0，)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．故选A．]2．直线y＝x＋1被椭圆＝1所截得的弦的中点坐标是( )A．C．C [设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，由得3x2＋4x－2＝0．由根与系数的关系得x1＋x2＝－，∴x0＝＝＝－，y0＝x0＋1＝，∴弦的中点坐标为．]3．若动直线mx＋ny－m－n＝0始终与椭圆C：＝1(a＞0)有公共点，则a的取值范围是________．∪(，＋∞) [根据mx＋ny－m－n＝0整理得m(x－1)＋n(y－1)＝0，易知其过定点(1，1)，如果mx＋ny－m－n＝0始终与椭圆C：＝1(a＞0)有公共点，那么可得所以a≥，且a≠，因此a∈∪(，＋∞)．]4．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么该隧道设计的拱宽d至少应是________米．32 [由题意设椭圆方程为＝1(a＞0)，当点(4，4.5)在椭圆上时，＝1，解得a＝16，因为车辆高度不超过4.5米，所以a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少为32米．]1．知识链：2．方法链：点差法、分类讨论法．3．警示牌：易忽略直线斜率不存在的情况．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？[提示] 三种位置关系：相交、相切、相离．解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．2．如何处理椭圆的中点弦问题？[提示] ①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．②点差法：设出弦的两个端点坐标，分别代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是解决此类问题最常用的方法．圆柱体截面问题我们可以用平面来截圆柱，观察分析其截面曲线的形状．很显然，当平面与圆柱的轴垂直时，截面曲线是圆．而用不经过圆柱上、下底面的平面斜截圆柱时，截面曲线从直观上看是椭圆(如图1)．历史上，法国数学家Dandelin采用一个巧妙的方法证明了这一结论．如图2，将两个同样大小的球嵌入圆柱内，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与截面和圆柱侧面均相切，两球面与圆柱侧面分别相切于以BC，DE为直径且平行于圆柱底面的大圆O1和O2，两球面与斜截面分别相切于点F和F′，斜截面与BD，CE分别交于点A和A′，P为所得截面边缘上一点．设圆柱过点P的母线与圆O1和O2分别交于点M和N，则PM和PN分别是两球面的一条切线．由于PM和PF是同一个球面的切线，故PM＝PF，同理PN＝PF′，于是有PF＋PF′＝PM＋PN＝MN为定值，即截面曲线上任意一点P到F和F′的距离之和为定值，由椭圆的定义可知，这时的截面曲线是椭圆，而两球与斜截面的切点是椭圆的焦点．课时分层作业(二十七) 椭圆的标准方程及其性质的应用一、选择题1．若点A(－2，3)是椭圆E：＋y2＝m2某条弦的中点，则实数m的值可以是( )A．C．－3 D．－4D [已知点A(－2，3)是椭圆E：＋y2＝m2某条弦的中点，则点A(－2，3)在椭圆E内，所以＋9＜m2，解得m＜－或m＞．故选D．]2．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )A．C．A [由消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，∴弦的中点的横坐标是x＝＝，代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，∴弦的中点坐标是．]3．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点F(0，－1)为椭圆C的一个焦点，则椭圆C与直线y＝1在第一象限的交点坐标为( )A．C．(，1) D．D [已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点F(0，－1)为椭圆C的一个焦点，则解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆方程为＝1，联立可得＝1－＝，解得x＝±，所以椭圆C与直线y＝1在第一象限的交点坐标为．故选D．]4．若椭圆＝1的弦AB被点P(1，1)平分，则弦AB所在直线的方程为( )A．4x＋9y－13＝0 B．9x＋4y－13＝0C．x＋2y－3＝0 D．x＋3y－4＝0A [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以＝0，整理得＝－，因为P(1，1)为弦AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以kAB＝＝－＝－，所以弦AB所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0．故选A．]5．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为－，则内层椭圆的短轴长为( )A．75米 B．50米C．50米 D．25米B [内、外椭圆的离心率均为，设内层椭圆的短半轴长为b，e＝＝＝，所以a＝2b，则内层椭圆方程为＝1，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，AC的方程为y＝－(x＋100)，代入内层椭圆方程可得x2＋100x＋5 000－2b2＝0，可得Δ＝10 000－4(5 000－2b2)＝0，解得b2＝1 250．所以b＝25．所以内层椭圆的短轴长为2b＝50米．故选B．]二、填空题6．直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．[1，4)∪(4，＋∞) [由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，要使直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，即解得m≥1且m≠4，故实数m的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞)．]7．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________． [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为点M是线段AB的中点，所以＝1，＝1．因为直线AB的斜率是－，所以y1－y2＝－(x1－x2)．将①②两式相减，可得＝0，即＝0．所以a＝b，c＝b．所以e＝＝．]8．已知椭圆C：＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线AB的方程为________．3x＋2y－4＝0 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝12，∴3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．∵P恰为线段AB的中点，即有x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，∴3(x1－x2)＋2(y1－y2)＝0，∴直线AB的斜率为k＝＝－，∴直线AB的方程为y－＝－(x－1)，即3x＋2y－4＝0．由于点P在椭圆内，故成立．]三、解答题9．已知椭圆C：＝1，求椭圆C上的点到直线l：x＋2y－25＝0的距离的取值范围．[解] 设与直线l：x＋2y－25＝0平行且与椭圆C相切的直线方程为x＋2y＋m＝0，m≠－25，联立整理可得25y2＋16my＋4m2－36＝0，令Δ＝162m2－4×25×(4m2－36)＝0，可得m＝±5，即所求的直线方程为x＋2y±5＝0，可得所求直线与直线x＋2y－25＝0之间的距离为＝6或＝4，所以椭圆上的点到直线l的距离的取值范围为[4，6]．10．已知点A，B是椭圆＝1上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点M(m，0)的距离相等，则实数m的取值范围为( )A． B．(－1，1)C． D．(－2，2)B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，线段AB的中点为G(x0，y0)，则两式相减得＝0，所以＝－，所以＝－，所以＝－，因为M(m，0)，|MA|＝|MB|，所以MG⊥AB，所以＝，所以4x0－4m＝3x0，所以x0＝4m，因为－4＜x0＜4，所以－4＜4m＜4，所以－1＜m＜1，即实数m的取值范围为(－1，1)．故选B．]11．已知椭圆＋y2＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝2x＋m对称，则实数m的取值范围是________． [∵椭圆方程为＋y2＝1，∴x2＋2y2－2＝0．设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝2x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)，故直线y＝2x＋m是线段AB的垂直平分线．则＝2，①＝2，②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即 2x0·(x1－x2)＋2·2y0·(y1－y2)＝0，∴kAB＝＝－＝－．∴y0＝x0，代入直线方程y＝2x＋m得x0＝－m，y0＝－m．因为点M(x0，y0)在椭圆内部，∴m2＋2·(－m)2＜2，解得－＜m＜，即实数m的取值范围是．]12．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦距为12，长半轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(－4，1)，求直线l的方程．[解] (1)由题可得解得所以椭圆C的方程为＝1．(2)由题意知，直线l的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减并化简得＝－，因为线段AB的中点坐标为(－4，1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以直线l的斜率k＝＝－＝－＝1，故直线l的方程为y－1＝x＋4，即x－y＋5＝0．13．如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＝1(x≤0)和＝1(x≥0)组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且仅有一个公共点)．(1)求“挞圆”的方程；(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值．[解] (1)由题意知a＋9＝34，解得a＝25，又b＝15，所以“挞圆”方程为＝1(x≤0)和＝1(x≥0)．(2)设P(x0，t)为矩形网箱在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形网箱在第二象限内的顶点，则＝＝1，x0＞0，x1＜0，可得x1＝－x0．所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝＝510，当且仅当＝时，S取最大值510．所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米．21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 椭圆的标准方程及其性质的应用[学习目标] 1．了解椭圆在实际生活中的应用．(直观想象、数学运算)2．进一步掌握椭圆方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(数学运算、逻辑推理)探究1 直线与椭圆的位置关系问题 从椭圆C的一个焦点F1处发出的光线照射到P点，经反射后通过椭圆的另一个焦点F2，如图所示．点P及点O与椭圆C具有怎样的位置关系？直线l及直线PF2与椭圆C具有怎样的位置关系？ [新知生成]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：点P在椭圆上；点P在椭圆内部；点P在椭圆外部．2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程．当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆______________；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆______________；当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆______________．[典例讲评] 【链接教材P114例7】1．(源自湘教版教材)对不同的实数m，讨论直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋y2＝1的公共点的个数．[尝试解答] 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．[学以致用] 1．直线y＝kx－k与椭圆＝1的位置关系为( )A．相交 B．相切C．相离 D．不确定探究2 中点弦问题[典例讲评] 2．在椭圆＝1(a＞b＞0)中，以点M为中点的弦所在的直线方程为( )A．3x＋4y＝0 B．3x－4y＝0C．3x＋4y－12＝0 D．3x－4y＋12＝0[母题探究] 本例中把条件改为点M是直线x＋2y－5＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，求该椭圆的离心率． 解决中点弦问题，主要有两种办法，一种是根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，利用所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解；另一种是点差法：设出弦的两端点坐标，分别代入椭圆的方程，两式相减即得弦的中点坐标与直线斜率的关系式．[学以致用] 2．椭圆＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，过AB的中点M与坐标原点的直线的斜率为，则＝( )A． B． C． D．2探究3 实际生活中的椭圆问题[典例讲评] 【链接教材P113例5】3．(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则( )A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋RC．2a＝m＋n D．b＝[尝试解答] 解决与椭圆有关的实际问题的思路(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果回答原来的实际问题．[学以致用] 【链接教材P113例6】3．著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运行的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运行的过程中，若地球轨道上的点与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则椭圆C的离心率为________．1．直线x－y＋＝0与椭圆＝1的位置关系是( )A．相交 B．相切C．相离 D．无法判断2．直线y＝x＋1被椭圆＝1所截得的弦的中点坐标是( )A．C．3．若动直线mx＋ny－m－n＝0始终与椭圆C：＝1(a＞0)有公共点，则a的取值范围是________．4．某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为8米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么该隧道设计的拱宽d至少应是________米．1．知识链：2．方法链：点差法、分类讨论法．3．警示牌：易忽略直线斜率不存在的情况．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？2．如何处理椭圆的中点弦问题？圆柱体截面问题我们可以用平面来截圆柱，观察分析其截面曲线的形状．很显然，当平面与圆柱的轴垂直时，截面曲线是圆．而用不经过圆柱上、下底面的平面斜截圆柱时，截面曲线从直观上看是椭圆(如图1)．历史上，法国数学家Dandelin采用一个巧妙的方法证明了这一结论．如图2，将两个同样大小的球嵌入圆柱内，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与截面和圆柱侧面均相切，两球面与圆柱侧面分别相切于以BC，DE为直径且平行于圆柱底面的大圆O1和O2，两球面与斜截面分别相切于点F和F′，斜截面与BD，CE分别交于点A和A′，P为所得截面边缘上一点．设圆柱过点P的母线与圆O1和O2分别交于点M和N，则PM和PN分别是两球面的一条切线．由于PM和PF是同一个球面的切线，故PM＝PF，同理PN＝PF′，于是有PF＋PF′＝PM＋PN＝MN为定值，即截面曲线上任意一点P到F和F′的距离之和为定值，由椭圆的定义可知，这时的截面曲线是椭圆，而两球与斜截面的切点是椭圆的焦点．21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十七) 椭圆的标准方程及其性质的应用说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共95分一、选择题1．若点A(－2，3)是椭圆E：＋y2＝m2某条弦的中点，则实数m的值可以是( )A．C．－3 D．－42．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是( )A．C．3．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点F(0，－1)为椭圆C的一个焦点，则椭圆C与直线y＝1在第一象限的交点坐标为( )A．C．(，1) D．4．若椭圆＝1的弦AB被点P(1，1)平分，则弦AB所在直线的方程为( )A．4x＋9y－13＝0 B．9x＋4y－13＝0C．x＋2y－3＝0 D．x＋3y－4＝05．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为－，则内层椭圆的短轴长为( )A．75米 B．50米C．50米 D．25米二、填空题6．直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是________．7．过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．8．已知椭圆C：＝1，过点P的直线交椭圆C于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线AB的方程为________．三、解答题9．已知椭圆C：＝1，求椭圆C上的点到直线l：x＋2y－25＝0的距离的取值范围．10．已知点A，B是椭圆＝1上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点M(m，0)的距离相等，则实数m的取值范围为( )A． B．(－1，1)C． D．(－2，2)11．已知椭圆＋y2＝1，若此椭圆上存在不同的两点A，B关于直线y＝2x＋m对称，则实数m的取值范围是________．12．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的焦距为12，长半轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(－4，1)，求直线l的方程．13．如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆＝1(x≤0)和＝1(x≥0)组成，其中a＞b＞9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且仅有一个公共点)．(1)求“挞圆”的方程；(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y＝t(t∈(0，15))，求该网箱所占水面面积的最大值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(二十七)1．D [已知点A(－2，3)是椭圆E：＋y2＝m2某条弦的中点，则点A(－2，3)在椭圆E内，所以＋9解得m<－．故选D．]2．A [由消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0，∴弦的中点的横坐标是x＝×，代入直线方程y＝x－1中，得y＝－，∴弦的中点坐标是．]3．D [已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且点F(0，－1)为椭圆C的一个焦点，则解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆方程为＝1，联立，解得x＝±，所以椭圆C与直线y＝1在第一象限的交点坐标为．故选D．]4．A [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以＝0，整理得，因为P(1，1)为弦AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以kAB＝，所以弦AB所在直线的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0．故选A．]5．B [内、外椭圆的离心率均为，设内层椭圆的短半轴长为b，e＝，所以a＝2b，则内层椭圆方程为＝1，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，AC的方程为y＝－(x＋100)，代入内层椭圆方程可得x2＋100x＋5 000－2b2＝0，可得Δ＝10 000－4(5 000－2b2)＝0，解得b2＝1 250．所以b＝25米．故选B．]6．[1，4)∪(4，＋∞) [由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，要使直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，即解得m≥1且m≠4，故实数m的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞)．]7． [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为点M是线段AB的中点，所以＝1，＝1．因为直线AB的斜率是－，所以y1－y2＝－(x1－x2)．将①②两式相减，可得＝0，即·＝0．所以a＝b，c＝b．所以e＝．]8．3x＋2y－4＝0 [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则3＝12，3＝12，∴3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．∵P恰为线段AB的中点，即有x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，∴3(x1－x2)＋2(y1－y2)＝0，∴直线AB的斜率为k＝，∴直线AB的方程为y－(x－1)，即3x＋2y－4＝0．由于点P在椭圆内，故成立．]9．解：设与直线l：x＋2y－25＝0平行且与椭圆C相切的直线方程为x＋2y＋m＝0，m≠－25，联立整理可得25y2＋16my＋4m2－36＝0，令Δ＝162m2－4×25×(4m2－36)＝0，可得m＝±5，即所求的直线方程为x＋2y±5＝0，可得所求直线与直线x＋2y－25＝0之间的距离为，所以椭圆上的点到直线l的距离的取值范围为[4，6]．10．B [设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，线段AB的中点为G(x0，y0)，则＝0，所以，所以，所以，因为M(m，0)，|MA|＝|MB|，所以MG⊥AB，所以，所以4x0－4m＝3x0，所以x0＝4m，因为－4即实数m的取值范围为(－1，1)．故选B．]11． [∵椭圆方程为＋y2＝1，∴x2＋2y2－2＝0．设椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝2x＋m对称，AB中点为M(x0，y0)，故直线y＝2x＋m是线段AB的垂直平分线．则＝2，①＝2，②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即 2x0·(x1－x2)＋2·2y0·(y1－y2)＝0，∴kAB＝·．∴y0＝x0，代入直线方程y＝2x＋m得x0＝－m，y0＝－m．因为点M(x0，y0)在椭圆内部，∴m2＋2·(－m)2<2，解得－，即实数m的取值范围是．]12．解：(1)由题可得所以椭圆C的方程为＝1．(2)由题意知，直线l的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则·，因为线段AB的中点坐标为(－4，1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，所以直线l的斜率k＝·×＝1，故直线l的方程为y－1＝x＋4，即x－y＋5＝0．13．解：(1)由题意知a＋9＝34，解得a＝25，又b＝15，所以“挞圆”方程为＝1(x≤0)和＝1(x≥0)．(2)设P(x0，t)为矩形网箱在第一象限内的顶点，Q(x1，t)为矩形网箱在第二象限内的顶点，则＝1，＝1，x0>0，x1<0，可得x1＝－x0．所以内接矩形的面积S＝2t(x0－x1)＝2t×x0＝15×34×2··≤15×34＝510，当且仅当时，S取最大值510．所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米．21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共74张PPT)第三章圆锥曲线的方程3.1 椭圆3.1.2 椭圆的简单几何性质第2课时 椭圆的标准方程及其性质的应用[学习目标] 1．了解椭圆在实际生活中的应用．(直观想象、数学运算)2．进一步掌握椭圆方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(数学运算、逻辑推理)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1．直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断？问题2．解决与椭圆有关的实际问题的一般步骤是什么？探究建构 关键能力达成探究1 直线与椭圆的位置关系问题 从椭圆C的一个焦点F1处发出的光线照射到P点，经反射后通过椭圆的另一个焦点F2，如图所示．点P及点O与椭圆C具有怎样的位置关系？直线l及直线PF2与椭圆C具有怎样的位置关系？[提示] 点P在椭圆C上，点O在椭圆内；直线l与椭圆C相切，直线PF2与椭圆C相交． 相交相切相离【教用·微提醒】 设直线方程时注意斜率不存在的情况．反思领悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．√√反思领悟 解决中点弦问题，主要有两种办法，一种是根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程消去一个未知数，利用所得到的一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解；另一种是点差法：设出弦的两端点坐标，分别代入椭圆的方程，两式相减即得弦的中点坐标与直线斜率的关系式．√√√√【教材原题·P113例5】例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，|F1B|＝2.8 cm，|F1F2|＝4.5 cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1 cm)．反思领悟 解决与椭圆有关的实际问题的思路(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果回答原来的实际问题．[学以致用] 【链接教材P113例6】3．著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运行的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运行的过程中，若地球轨道上的点与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则椭圆C的离心率为________． 应用迁移 随堂评估自测√√321．知识链： 2．方法链：点差法、分类讨论法．3．警示牌：易忽略直线斜率不存在的情况．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？[提示] 三种位置关系：相交、相切、相离．解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．2．如何处理椭圆的中点弦问题？[提示] ①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．②点差法：设出弦的两个端点坐标，分别代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是解决此类问题最常用的方法．圆柱体截面问题我们可以用平面来截圆柱，观察分析其截面曲线的形状．很显然，当平面与圆柱的轴垂直时，截面曲线是圆．而用不经过圆柱上、下底面的平面斜截圆柱时，截面曲线从直观上看是椭圆(如图1)．历史上，法国数学家Dandelin采用一个巧妙的方法证明了这一结论．阅读材料 拓展数学视野如图2，将两个同样大小的球嵌入圆柱内，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与截面和圆柱侧面均相切，两球面与圆柱侧面分别相切于以BC，DE为直径且平行于圆柱底面的大圆O1和O2，两球面与斜截面分别相切于点F和F′，斜截面与BD，CE分别交于点A和A′，P为所得截面边缘上一点．设圆柱过点P的母线与圆O1和O2分别交于点M和N，则PM和PN分别是两球面的一条切线．由于PM和PF是同一个球面的切线，故PM＝PF，同理PN＝PF′，于是有PF＋PF′＝PM＋PN＝MN为定值，即截面曲线上任意一点P到F和F′的距离之和为定值，由椭圆的定义可知，这时的截面曲线是椭圆，而两球与斜截面的切点是椭圆的焦点．章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213课时分层作业(二十七) 椭圆的标准方程及其性质的应用√题号13524687910111213题号21345687910111213√题号21345687910111213题号21345687910111213√题号21345687910111213√题号21345687910111213题号21345687910111213√题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213[1，4)∪(4，＋∞)题号21345687910111213题号21345687910111213 题号21345687910111213题号213456879101112133x＋2y－4＝0题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213√题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213 题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.2第2课时椭圆的标准方程及其性质的应用学案.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.2第2课时椭圆的标准方程及其性质的应用学案（学生用）.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1.2第2课时椭圆的标准方程及其性质的应用课件.ppt 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业27椭圆的标准方程及其性质的应用（学生用）.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业27答案.docx
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