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课时分层作业(三十)
1．BD　[双曲线C：x2－2y2＝3，即＝1，
则a＝，b＝，c＝，
C的实轴长为2a＝2，故A错误；
C的焦距为2c＝3，故B正确；
C的离心率为，故C错误；
C的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，即x±y＝0，故D正确．故选BD．]
2．C　[设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，则|F1F2|＝2c＝8，
|PF1|＝＝10，
|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，则e＝＝2．
故选C．]
3．B　[根据题意可得，
∴所求双曲线的方程为x2－＝1．故选B．]
4．A　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则mn·sin 60°＝ac，
∴mn＝4ac，由余弦定理可得|F1F2|2＝4c2＝m2＋n2－mn＝(m－n)2＋mn，
由双曲线的定义可知m－n＝2a，∴4c2＝4a2＋4ac，即c2－a2＝ac，
∴e2－e－1＝0，解得e＝(舍)．故选A．]
5．ACD　[对于A，曲线C：＝1，
若曲线C表示椭圆，
则解得－2对于B，若曲线C表示双曲线，则(2＋k)(2－k)<0，解得k<－2或k>2，取k＝3和k＝4，则双曲线的焦距分别为2，
故焦距不为定值，故B错误；
对于C，若k＝，则曲线C：＝1，故b2＝，解得b＝，
所以短轴长为，故C正确；
对于D，若k＝3，则曲线C：＝1，故a＝，b＝1，
所以渐近线方程为y＝±x，故D正确．故选ACD．]
6．10　y＝±x　[由双曲线方程为＝1，可得a2＝25，b2＝9，即a＝5，b＝3．
∴实轴长为2a＝10．∴渐近线方程为y＝±x＝±x．]
7．＝1　[由题知在椭圆中，
焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
∴双曲线中，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，c＝5，
∵e＝，∴a＝3，a2＝9，b2＝c2－a2＝16．
故双曲线的方程为＝1．]
8．－1　[由a>－2，可得a＋2>0，又由离心率为2，
可得e2＝＝4，解得a＝－1．]
9．解：(1)由题意知a2＝9，b2＝16，
所以c2＝a2＋b2＝25，则a＝3，c＝5，
所以该双曲线的离心率e＝．
(2)根据题意，可设双曲线的标准方程为＝λ(λ≠0)，
又因为双曲线经过点A(－3，2)，
代入方程可得λ＝，
故所求双曲线的方程为＝1．
10．AD　[已知双曲线M的方程为＝1(a>b>0)，
则双曲线M的渐近线方程为y＝±x，又双曲线M的两条渐近线的夹角为60°，
则，又a>b>0，双曲线M的焦距为4，
则
对于选项A，M的离心率为，
选项A正确；
对于选项B，双曲线M的标准方程为－y2＝1，
选项B错误；
对于选项C，M的渐近线方程为y＝±x，
选项C错误；
对于选项D，直线x＋y－2＝0经过点(2，0)，
则直线x＋y－2＝0经过M的右焦点，选项D正确．
故选AD．]
11．A　[根据题意可知椭圆方程中的a＝13，∵，∴c＝5．
根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8，∴虚轴长为2＝6，
∴曲线C2的标准方程为＝1．
故选A．]
12．A　[双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
∵M(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，
则直线bx－ay＋4a＝0与直线bx－ay＝0间的距离d＝，
∵圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝8与双曲线C的右支没有公共点，
∴d≥2，则≥2，即e＝≤，又e>1，
故e的取值范围为(1，]．故选A．]
13．[，＋∞)　[如图所示，，所以2||＝b，所以|，又因为||≥||＝a，即≥a，即b≥2a，所以离心率e＝≥，所以双曲线E的离心率的取值范围为[，＋∞)．]
14．解：(1)设双曲线C的焦距为2c，实轴长为2a，虚轴长为2b，
由双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，
可得2c＝16，，解得a＝6，c＝8，b＝，所以C的方程为＝1，从而它的共轭双曲线的方程为＝1．
(2)不妨设双曲线C1的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则C2的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
所以e1＝，e2＝．
①证明：＝1．
②，
因为a>0，b>0，由不等式a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，
可得0<≤1，
所以1<≤，即的取值范围是(1，]．
15．　[由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60°的直线过右焦点，该直线与两条渐近线交于A，B两点．
由双曲线－y2＝1可得渐近线方程为y＝±x，
双曲线的半焦距为c＝2，故右焦点坐标为F(2，0)，
过点F且倾斜角为60°的直线方程为y＝(x－2)，
由可得交点坐标为A(3，)，
由，
故倾斜角为60°的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝×2×．]
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第1课时　双曲线的简单几何性质
第三章
圆锥曲线的方程
3.2　双曲线
3.2.2　双曲线的简单几何性质
[学习目标]　
1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、直观想象)
2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．双曲线有哪些几何性质？
问题2．双曲线的离心率与双曲线的形状有怎样的联系？
探究建构 关键能力达成
[提示]　(1)|x|≥1，y∈R，双曲线C位于直线x＝－1及其左侧和直线x＝1及其右侧的区域．
(2)双曲线C关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称．
(3)与x轴交于(±1，0)，与y轴无交点．
(4)|x|增大，|y|随着增大，随着|x|的增大，双曲线C无限接近y＝±2x．
[新知生成]
1．双曲线的几何性质
标准方程
图形
标准方程
性质 范围 _____________________ ______________________
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：_________，______________ 顶点坐标：__________，______________
x≤－a或x≥a；y∈R
y≤－a，或y≥a；x∈R
A1(－a，0)
A2(a，0)
A1(0，－a)
A2(0，a)
标准方程
性质 轴长 实轴长：____；虚轴长：____
渐近线 y＝_______ y＝_______
离心率 e＝___，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝__________(c>a>0，c>b>0)
2a
2b



a2＋b2
2．等轴双曲线
实轴和虚轴____的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为_____．
等长
y＝±x

[母题探究]　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
反思领悟　由双曲线方程研究其几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键．
(2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
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【教材原题·P124例3】
例3　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
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发现规律　结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．

应用迁移 随堂评估自测
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1．知识链：


2．方法链：待定系数法、直接法、方程法．
3．警示牌：由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
[提示]　(1)把双曲线方程化为标准方程；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
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课时分层作业(三十)　双曲线的简单几何性质
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153.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
[学习目标]　
1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、直观想象)
2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．双曲线有哪些几何性质？
问题2．双曲线的离心率与双曲线的形状有怎样的联系？
探究1　双曲线的几何性质
问题　已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程回答下列问题：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
[提示]　(1)|x|≥1，y∈R，双曲线C位于直线x＝－1及其左侧和直线x＝1及其右侧的区域．
(2)双曲线C关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称．
(3)与x轴交于(±1，0)，与y轴无交点．
(4)|x|增大，|y|随着增大，随着|x|的增大，双曲线C无限接近y＝±2x．
[新知生成]
1．双曲线的几何性质
标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b
渐近线 y＝ y＝
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为．
【教用·微提醒】　对于双曲线＝1：
(1)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫做双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．B1，B2不是双曲线上的点，不能称为顶点．
(2)离心率：e表示双曲线的焦距与实轴长的比值．e越大，双曲线“张口”越开阔．
(3)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交．
双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线都是＝0．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)求双曲线＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图．
[解]　由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4，c＝＝＝5，于是焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．
渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率e＝＝．
为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线y＝±x，顶点(±3，0)．算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取x＝5，算出y＝≈5.33，可见点(5，±5.33)在双曲线上．将y轴右边已知的三点(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支．由对称性可画出位于y轴左边的另一支，如图所示．
[母题探究]　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
[解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝；c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)；
离心率e＝＝＝；
顶点坐标为(－，0)，(，0)；
渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．
　由双曲线方程研究其几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键．
(2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
[学以致用]　【链接教材P124例3】
1．(多选)关于双曲线C：＝1，下列说法正确的是(　　)
A．渐近线方程为y＝±x
B．离心率为
C．焦点坐标为(±，0)
D．实轴长是虚轴长的4倍
AB　[双曲线C：＝1，焦点在x轴上，a＝4，b＝2，c＝＝2，
则渐近线方程为y＝±x，故A正确；离心率为e＝＝，故B正确；
焦点坐标为(±2，0)，故C错误；
实轴长为2a＝8，虚轴长为2b＝4，所以C的实轴长是虚轴长的2倍，故D错误．
故选AB．]
【教材原题·P124例3】
例3　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
[解]　把双曲线的方程9y2－16x2＝144化为标准方程
＝1．
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x．
探究2　由双曲线的几何性质求标准方程
[典例讲评]　2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝；
(2)双曲线E与双曲线＝1有共同的渐近线，且经过点(3，－2)．
[解]　(1)∵椭圆＝1的焦点坐标为(±3，0)，
∴双曲线的焦点在x轴上，且c＝3，
∵e＝，∴a＝2，∵c2＝a2＋b2，∴b2＝9－4＝5，
∴双曲线的标准方程为＝1．
(2)因为双曲线E与双曲线＝1有共同的渐近线，
所以可设双曲线E的方程为＝k，k≠0，
因为双曲线E过点(3，－2)，则＝k，解得k＝－2，
故双曲线E的标准方程为＝1．
　巧设双曲线方程的方法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[学以致用]　2．求下列双曲线的标准方程：
(1)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)；
(2)过点(2，0)，且与双曲线＝1的离心率相等．
[解]　(1)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则＝．①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴＝1．②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则＝．③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴＝1．④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32．
∴所求双曲线的标准方程为＝1．
综上可知，所求双曲线的标准方程为＝1．
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8．
∴所求双曲线的标准方程为＝1．
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，设其方程为＝λ(λ＞0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，
设其方程为＝λ(λ＞0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1．
探究3　求双曲线的渐近线和离心率
　求双曲线的渐近线
[典例讲评]　3．(1)双曲线＝1的一个顶点到渐近线的距离为(　　)
A． B．4
C． D．2
(2)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
(1)C　(2)C　[(1)由双曲线的方程知两顶点为A1(－2，0)，A2(2，0)，
渐近线方程为y＝±x＝±2x，
根据双曲线的对称性，不妨求A1到直线y＝2x的距离，d＝＝．
故选C．
(2)由双曲线方程＝1，知渐近线方程为y＝±x，
又因为e＝＝2，c2＝a2＋b2，所以＝4＝，得到＝，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x．
故选C．]
　求渐近线的方法
(1)计算a，b的值代入渐近线方程．
(2)利用＝或＝进行转化．
[学以致用]
3．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝(　　)
A．
C． D．3
A　[根据题意可知＝，解得a＝．
故选A．]
　求双曲线的离心率
[典例讲评]　4．设F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M．若|MF2|＝b，则双曲线C的离心率为(　　)
A．
C．3 D．
A　[由双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c，0)，可得渐近线方程为y＝±x，点F1到渐近线的距离|MF1|＝＝b，
在Rt△MOF1中，
cos ∠OF1M＝＝，在△MF1F2中，由余弦定理得|MF2|2＝－2|F1F2|·|MF1|cos ∠OF1M，即3b2＝4c2＋b2－4cb·＝4c2－3b2，所以2c2＝3b2＝3(c2－a2)，所以c2＝3a2，所以e＝＝．故选A．]
【教用·备选题】　已知F为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，P为C左支上的点，A为右顶点，若|FA|＝|PA|＝2|PF|，则C的离心率为(　　)
A．
C．
A　[设双曲线C的右焦点为F′，
设|PF|＝t，则|AF|＝|AP|＝2t，|PF′|＝t＋2a，在△PAF中，由余弦定理可得cos ∠PFA＝＝，
在△PFF′中，由余弦定理可得cos ∠PFF′＝＝，
化简得t(c＋4a)＝4c2－4a2，
又2t＝a＋c，可得8c2－8a2＝(a＋c)(c＋4a)＝c2＋5ac＋4a2，即7c2－5ac－12a2＝0，即(7c－12a)(c＋a)＝0，解得c＝a，即e＝＝．
故选A．]
　结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．
[提示]　(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
(2)若已知a，b，可利用e＝得解．
(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解．
[学以致用]　4．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
1．双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为(　　)
A．y＝ B．y＝x
C．y＝2x D．y＝4x
A　[∵双曲线的方程为－y2＝1，∴它的渐近线方程为y＝±x，
∴y＝x是它的一条渐近线方程．
故选A．]
2．已知双曲线－y2＝1的实轴长是4，则实数m的值为(　　)
A．－4 B．4
C． D．－
B　[双曲线－y2＝1的实轴长是4，
则2＝4，解得m＝4．
故选B．]
3．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)到其渐近线的距离为c，则该双曲线的离心率为(　　)
A．2 B．2
C． D．2
C　[根据双曲线的几何性质可知，左焦点F(－c，0)，
其到渐近线bx±ay＝0的距离为＝b＝c，因为c2＝a2＋b2，
所以e＝＝＝＝＝．
故选C．]
4．(教材P124练习T4改编)写出一个与双曲线x2－＝1有相同渐近线，且焦点在y轴上的双曲线方程________．
－x2＝1(答案不唯一)　[双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，
因为所求双曲线的焦点在y轴上，
则＝，不妨取a＝，b＝1，
故所求双曲线的方程为－x2＝1(答案不唯一)．]
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、直接法、方程法．
3．警示牌：由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何根据双曲线的方程研究其几何性质？
[提示]　(1)把双曲线方程化为标准方程；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
2．离心率e和有怎样的关系？
[提示]　e＝．
3．如何用待定系数法设出与双曲线＝1有相同渐近线的双曲线方程？
[提示]　可设为＝λ(λ≠0)．
课时分层作业(三十)　双曲线的简单几何性质
一、选择题
1．(多选)已知双曲线C：x2－2y2＝3，则(　　)
A．C的实轴长为2
B．C的焦距为3
C．C的离心率为
D．C的渐近线方程为x±y＝0
BD　[双曲线C：x2－2y2＝3，即＝1，
则a＝，b＝＝，c＝＝，
C的实轴长为2a＝2，故A错误；
C的焦距为2c＝3，故B正确；
C的离心率为＝＝，故C错误；
C的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，即x±y＝0，故D正确．故选BD．]
2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．
C　[设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，
|PF1|＝＝10，
|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，
则e＝＝2．
故选C．]
3．双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝－x，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到F2的距离的最小值为3，则双曲线的方程为(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．＝1 D．＝1
B　[根据题意可得，
解得
∴所求双曲线的方程为x2－＝1．故选B．]
4．已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝＝ac，则双曲线C的离心率为(　　)
A． －1
C． D．2
A　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则＝mn·sin 60°＝ac，
∴mn＝4ac，由余弦定理可得|F1F2|2＝4c2＝m2＋n2－mn＝(m－n)2＋mn，
由双曲线的定义可知m－n＝2a，∴4c2＝4a2＋4ac，即c2－a2＝ac，
∴e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)．故选A．]
5．(多选)已知曲线C：＝1，下列结论正确的有(　　)
A．若曲线C表示椭圆，则－2＜k＜2且k≠0
B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值
C．若k＝，则短轴长为
D．若k＝3，则渐近线方程为y＝±x
ACD　[对于A，曲线C：＝1，
若曲线C表示椭圆，
则解得－2＜k＜2且k≠0，故A正确；
对于B，若曲线C表示双曲线，则(2＋k)(2－k)＜0，解得k＜－2或k＞2，取k＝3和k＝4，则双曲线的焦距分别为2和4，
故焦距不为定值，故B错误；
对于C，若k＝，则曲线C：＝1，故b2＝，解得b＝，
所以短轴长为，故C正确；
对于D，若k＝3，则曲线C：＝1，故a＝，b＝1，
所以渐近线方程为y＝±x，故D正确．故选ACD．]
二、填空题
6．双曲线＝1的实轴长为________，渐近线方程为________．
10　y＝±x　[由双曲线方程为＝1，可得a2＝25，b2＝9，即a＝5，b＝3．
∴实轴长为2a＝10．∴渐近线方程为y＝±x＝±x．]
7．离心率为的双曲线与椭圆＝1的焦点相同，则双曲线的方程是________．
＝1　[由题知在椭圆中，
焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，
∴双曲线中，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，c＝5，
∵e＝＝，∴a＝3，a2＝9，b2＝c2－a2＝16．
故双曲线的方程为＝1．]
8．已知双曲线＝1(a＞－2)的离心率为2，则a＝________．
－1　[由a＞－2，可得a＋2＞0，又由离心率为2，
可得e2＝＝4，解得a＝－1．]
三、解答题
9．已知双曲线C的方程为＝1．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A(－3，2)的双曲线的方程．
[解]　(1)由题意知a2＝9，b2＝16，
所以c2＝a2＋b2＝25，
则a＝3，c＝5，
所以该双曲线的离心率e＝＝．
(2)根据题意，可设双曲线的标准方程为＝λ(λ≠0)，
又因为双曲线经过点A(－3，2)，
代入方程可得λ＝，
故所求双曲线的方程为＝1．
10．(多选)已知双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　)
A．M的离心率为
B．M的标准方程为－y2＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
AD　[已知双曲线M的方程为＝1(a＞b＞0)，
则双曲线M的渐近线方程为y＝±x，又双曲线M的两条渐近线的夹角为60°，
则＝或＝，又a＞b＞0，双曲线M的焦距为4，
则即
对于选项A，M的离心率为＝＝，
选项A正确；
对于选项B，双曲线M的标准方程为－y2＝1，
选项B错误；
对于选项C，M的渐近线方程为y＝±x，
选项C错误；
对于选项D，直线x＋y－2＝0经过点(2，0)，
则直线x＋y－2＝0经过M的右焦点，选项D正确．
故选AD．]
11．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到C1的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线C2的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
A　[根据题意可知椭圆方程中的a＝13，
∵＝，
∴c＝5．
根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8，
∴虚轴长为2＝6，
∴曲线C2的标准方程为＝1．
故选A．]
12．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，M(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，若圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝8与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，] B．(1，2]
C．(2，＋∞) D．[，＋∞)
A　[双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
∵M(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，
则直线bx－ay＋4a＝0与直线bx－ay＝0间的距离d＝＝，
∵圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝8与双曲线C的右支没有公共点，
∴d≥2，则≥2，即e＝，又e＞1，
故e的取值范围为(1，]．故选A．]
13．已知F1，F2分别是双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若双曲线E上存在一点P使得||＝b，则双曲线E的离心率的取值范围为________．
[，＋∞)　[如图所示，＝2，所以2||＝b，所以||＝，又因为||≥||＝a，即≥a，即b≥2a，所以离心率e＝＝＝，所以双曲线E的离心率的取值范围为[，＋∞)．
]
14．定义：以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．
(1)已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求C的共轭双曲线的方程．
(2)已知双曲线C1和它的共轭双曲线C2的离心率分别为e1，e2．
①求证：＝1；
②求的取值范围．
[解]　(1)设双曲线C的焦距为2c，实轴长为2a，虚轴长为2b，
由双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，
可得2c＝16，＝，解得a＝6，c＝8，b＝＝＝2，
所以C的方程为＝1，从而它的共轭双曲线的方程为＝1．
(2)不妨设双曲线C1的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，
则C2的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)，
所以e1＝，e2＝．
①证明：＝＝1．
②＝＝＝＝，
因为a＞0，b＞0，由不等式a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，
可得0＜≤1，
所以1＜，即的取值范围是(1，]．
15．过双曲线－y2＝1的一个焦点作倾斜角为60°的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是________．
　[由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60°的直线过右焦点，该直线与两条渐近线交于A，B两点．
由双曲线－y2＝1可得渐近线方程为y＝±x，双曲线的半焦距为c＝2，故右焦点坐标为F(2，0)，过点F且倾斜角为60°的直线方程为y＝(x－2)，
由可得交点坐标为A(3，)，
由可得交点坐标为B，
故倾斜角为60°的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝×2×＝．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
[学习目标]　
1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、直观想象)
2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象)
探究1　双曲线的几何性质
问题　已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程回答下列问题：
(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；
(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；
(4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
1．双曲线的几何性质
标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0)
图形
性质 范围 ______________ ______________
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 顶点坐标：______________，______________ 顶点坐标：______________，______________
轴长 实轴长：______________；虚轴长：______________
渐近线 y＝__________ y＝__________
离心率 e＝__________，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝______________(c>a>0，c>b>0)
2．等轴双曲线
实轴和虚轴______________的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为______________，离心率为．
[典例讲评]　1．(源自湘教版教材)求双曲线＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　由双曲线方程研究其几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键．
(2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
[学以致用]　【链接教材P124例3】
1．(多选)关于双曲线C：＝1，下列说法正确的是(　　)
A．渐近线方程为y＝±x
B．离心率为
C．焦点坐标为(±，0)
D．实轴长是虚轴长的4倍
探究2　由双曲线的几何性质求标准方程
[典例讲评]　2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝；
(2)双曲线E与双曲线＝1有共同的渐近线，且经过点(3，－2)．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　巧设双曲线方程的方法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)．
(2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
[学以致用]　2．求下列双曲线的标准方程：
(1)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)；
(2)过点(2，0)，且与双曲线＝1的离心率相等．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
探究3　求双曲线的渐近线和离心率
　求双曲线的渐近线
[典例讲评]　3．(1)双曲线＝1的一个顶点到渐近线的距离为(　　)
A． B．4
C． D．2
(2)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　求渐近线的方法
(1)计算a，b的值代入渐近线方程．
(2)利用＝或＝进行转化．
[学以致用]
3．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝(　　)
A．
C． D．3
　求双曲线的离心率
[典例讲评]　4．设F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M．若|MF2|＝b，则双曲线C的离心率为(　　)
A．
C．3 D．
　结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[学以致用]　4．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
1．双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为(　　)
A．y＝ B．y＝x
C．y＝2x D．y＝4x
2．已知双曲线－y2＝1的实轴长是4，则实数m的值为(　　)
A．－4 B．4
C． D．－
3．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)到其渐近线的距离为c，则该双曲线的离心率为(　　)
A．2 B．2
C． D．2
4．(教材P124练习T4改编)写出一个与双曲线x2－＝1有相同渐近线，且焦点在y轴上的双曲线方程________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、直接法、方程法．
3．警示牌：由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十)　双曲线的简单几何性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共96分
一、选择题
1．(多选)已知双曲线C：x2－2y2＝3，则(　　)
A．C的实轴长为2
B．C的焦距为3
C．C的离心率为
D．C的渐近线方程为x±y＝0
2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．
3．双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝－x，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到F2的距离的最小值为3，则双曲线的方程为(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．＝1 D．＝1
4．已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝＝ac，则双曲线C的离心率为(　　)
A． －1
C． D．2
5．(多选)已知曲线C：＝1，下列结论正确的有(　　)
A．若曲线C表示椭圆，则－2＜k＜2且k≠0
B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值
C．若k＝，则短轴长为
D．若k＝3，则渐近线方程为y＝±x
二、填空题
6．双曲线＝1的实轴长为________，渐近线方程为________．
7．离心率为的双曲线与椭圆＝1的焦点相同，则双曲线的方程是________．
8．已知双曲线＝1(a＞－2)的离心率为2，则a＝________．
三、解答题
9．已知双曲线C的方程为＝1．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A(－3，2)的双曲线的方程．
10．(多选)已知双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　)
A．M的离心率为
B．M的标准方程为－y2＝1
C．M的渐近线方程为y＝±x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
11．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到C1的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线C2的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
12．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，M(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，若圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝8与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A．(1，] B．(1，2]
C．(2，＋∞) D．[，＋∞)
13．已知F1，F2分别是双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若双曲线E上存在一点P使得||＝b，则双曲线E的离心率的取值范围为________．
14．定义：以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．
(1)已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求C的共轭双曲线的方程．
(2)已知双曲线C1和它的共轭双曲线C2的离心率分别为e1，e2．
①求证：＝1；
②求的取值范围．
15．过双曲线－y2＝1的一个焦点作倾斜角为60°的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是________．
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