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3.3　抛物线
3.3.1　抛物线及其标准方程
[学习目标]　
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模)
探究1　抛物线的定义
问题1　如图，把一个直尺固定在画板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AB的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在画板上的F处，用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔尖就描出了一条曲线．在作图的过程中，你能发现点P满足的条件吗？它的轨迹是什么形状？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______________，直线l叫做抛物线的______________．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (　　)
探究2　抛物线的标准方程
问题2　如图，已知抛物线的焦点F到准线l的距离为p(p＞0)，试建立适当的平面直角坐标系，使得到的抛物线方程最为简单，并写出此方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[新知生成]
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
______________ ______________ ______________
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______________ ______________ ______________
[典例讲评]　1．(1)已知实数x，y满足＝，其中常数p＞0，则动点P(x，y)的轨迹是(　　)
A．射线　　　　　　 B．直线
C．抛物线 D．椭圆
(2)【链接教材P132例1(1)】
已知抛物线的方程是y＝－2 025x2，则它的准线方程为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．y＝
(3)【链接教材P132例1(2)】
试求满足下列条件的抛物线的标准方程：
①过点(－3，2)；
②焦点在直线x－2y－4＝0上．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　1．求抛物线的标准方程一般采用待定系数法，即先定位(确定抛物线的开口方向)，再定量(确定参数p的值)．其中“定位”很关键，一般结合图形确定方程形式，避免漏解．
2．当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的个数．
3．求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程．
[学以致用]　2．(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝________，准线方程为________．
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为________．
探究3　抛物线定义的应用
[典例讲评]　【链接教材P133练习T3】
2．(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[母题探究]
1．若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．若将本例(2)中的“点(0，2)”换成“直线l1：3x－4y＋＝0”，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[学以致用]　3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　)
A．6　　　B．9　　　C．12　　　D．14
探究4　抛物线的实际应用
[典例讲评]　【链接教材P132例2】
3．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输．星载天线展开后形成一把口径为4.2 m的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F处．若“金色大伞”的深度为0.49 m，则“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为(　　)
A．2.25 m B．2.74 m
C．4.5 m D．4.99 m
　求解抛物线实际应用题的步骤
[学以致用]　4．如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．
C．
1．(教材P133练习T2改编)抛物线x2＝－y的焦点坐标是(　　)
A．
C．
2．(教材P133练习T1改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
3．已知点P是抛物线y2＝－4x上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A．3 B．
C．
4．抛物线y2＝2px(p＞0)过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为________．
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、定义法、数形结合．
3．警示牌：求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.3　抛物线
3.3.1　抛物线及其标准方程
[学习目标]　
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．抛物线的定义是什么？你能类比椭圆、双曲线给出抛物线的定义吗？
问题2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系能使所求抛物线的方程形式简单？
探究1　抛物线的定义
问题1　如图，把一个直尺固定在画板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AB的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在画板上的F处，用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔尖就描出了一条曲线．在作图的过程中，你能发现点P满足的条件吗？它的轨迹是什么形状？
[提示]　点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到直线l的距离，点P的轨迹是抛物线．
[新知生成]
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【教用·微提醒】　(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
探究2　抛物线的标准方程
问题2　如图，已知抛物线的焦点F到准线l的距离为p(p＞0)，试建立适当的平面直角坐标系，使得到的抛物线方程最为简单，并写出此方程．
[提示]　取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与准线l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
则|KF|＝p，焦点F，准线l的方程为x＝－．
设M(x，y)是抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d．
由抛物线的定义可知，抛物线上的点M满足|MF|＝d．
因为|MF|＝，d＝，
所以＝．
将上式两边平方并化简，得
y2＝2px(p＞0)．
[新知生成]
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0) x＝
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
【教用·微提醒】　(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．
(2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离．
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负．
(4)抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0＋(焦半径公式)．
[典例讲评]　1．(1)已知实数x，y满足＝，其中常数p＞0，则动点P(x，y)的轨迹是(　　)
A．射线　　　　　　 B．直线
C．抛物线 D．椭圆
(2)【链接教材P132例1(1)】
已知抛物线的方程是y＝－2 025x2，则它的准线方程为(　　)
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．y＝
(3)【链接教材P132例1(2)】
试求满足下列条件的抛物线的标准方程：
①过点(－3，2)；
②焦点在直线x－2y－4＝0上．
(1)C　(2)D　[(1)因为＝表示动点P(x，y)到定点F的距离与到定直线l：y＝－的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点P(x，y)的轨迹为抛物线．故选C．
(2)已知抛物线的方程为y＝－2 025x2，
化为标准方程为x2＝－y，
则抛物线的准线方程为y＝．
故选D．]
(3)[解]　①因为点(－3，2)在第二象限，
所以抛物线的标准方程可设为
y2＝－2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，
把点(－3，2)的坐标分别代入y2＝－2px(p＞0)和x2＝2py(p＞0)，得4＝－2p×(－3)或9＝2p×2，
即2p＝或2p＝．
所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y．
②令x＝0，解得y＝－2；
令y＝0，解得x＝4．
故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．
当焦点为(4，0)时，＝4，即2p＝16，
此时抛物线方程为y2＝16x．
当焦点为(0，－2)时，＝2，即2p＝8，
此时抛物线方程为x2＝－8y．
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y．
【教材原题·P132例1】
例1　(1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程．
[解]　(1)因为p＝3，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是x＝－．
(2)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝2，p＝4，所以抛物线的标准方程是x2＝－8y．
　1．求抛物线的标准方程一般采用待定系数法，即先定位(确定抛物线的开口方向)，再定量(确定参数p的值)．其中“定位”很关键，一般结合图形确定方程形式，避免漏解．
2．当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的个数．
3．求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程．
[学以致用]　2．(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝________，准线方程为________．
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为________．
(1)2　x＝－1　(2)x2＝10y，x2＝－10y　[(1)因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，解得p＝2，准线方程为x＝－＝－1．
(2)设抛物线方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y，x2＝－10y．]
探究3　抛物线定义的应用
[典例讲评]　【链接教材P133练习T3】
2．(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
(1)A　[由题意知抛物线的准线方程为x＝－．因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A．]
(2)[解]　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P、点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝＝．
[母题探究]
1．若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
[解]　
将x＝3代入y2＝2x，
得y＝±．
所以点A在抛物线y2＝2x的内部．
设点P到准线l：x＝－的距离为d，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d．
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是．
即|PA|＋|PF|的最小值是．
2．若将本例(2)中的“点(0，2)”换成“直线l1：3x－4y＋＝0”，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
[解]　如图，作PA1⊥l1于点A1，PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min．
|A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1．
即所求最小值为1．
【教材原题·P133练习T3】填空．
(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M与焦点间的距离是a，则点M到准线的距离是________，点M的横坐标是________；
(2)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
[答案]　(1)a　a－　(2)(6，6)，(6，－6)
　抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[学以致用]　3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为(　　)
A．6　　　B．9　　　C．12　　　D．14
C　[如图所示，
过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因为点M为AB的中点，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12．故选C．]
探究4　抛物线的实际应用
[典例讲评]　【链接教材P132例2】
3．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输．星载天线展开后形成一把口径为4.2 m的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F处．若“金色大伞”的深度为0.49 m，则“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为(　　)
A．2.25 m B．2.74 m
C．4.5 m D．4.99 m
B　[建立如图所示的平面直角坐标系，依题意得A(0.49，2.1)，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由点A在抛物线上，得2.12＝2p×0.49，解得p＝4.5，
所以抛物线的标准方程为y2＝9x，焦点F(2.25，0)，准线方程为x＝－2.25，|AF|＝0.49＋2.25＝2.74，
故“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为2.74 m．
故选B．]
【教材原题·P132例2】
例2　一种卫星接收天线如图3.3 3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3 3(1)．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
[解]　如图3.3 3(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p＞0)．由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得
2.42＝2p×1，
即p＝2.88．
所以，所求抛物线的标准方程是y2＝5.76x，焦点坐标是(1.44，0)．
　求解抛物线实际应用题的步骤
【教用·备选题】　如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行车道总宽度AB＝6 m，那么车辆通过隧道的限制高度为(　　)
A．2.25 m B．2.5 m
C．3.25 m D．3.5 m
C　[如图所示，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则C(4，－4)，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，将点C的坐标代入抛物线方程，解得p＝2，
∴抛物线方程为x2＝－4y，
∵行车道总宽度AB＝6 m，
∴将x＝3代入抛物线方程，解得y＝－2.25 m，
∴车辆通过隧道的限制高度为6－2.25－0.5＝3.25 m．
故选C．]
[学以致用]　4．如图，某桥的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A．
C．
A　[如图所示，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系Oxy．设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，结合题意可知，该抛物线经过点，则＝2hp，解得p＝，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p＝．
]
1．(教材P133练习T2改编)抛物线x2＝－y的焦点坐标是(　　)
A．
C．
B　[由题意知，抛物线的焦点在y轴上，开口向下，且2p＝，∴＝．
∴抛物线x2＝－y的焦点坐标是．故选B．]
2．(教材P133练习T1改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
B　[∵准线方程为x＝－2，∴抛物线的开口向右，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，∴－＝－2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝8x．
故选B．]
3．已知点P是抛物线y2＝－4x上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A．3 B．
C．
C　[设点P在抛物线准线上的投影为P′，抛物线的焦点为F．
∵抛物线y2＝－4x，∴F(－1，0)，
依抛物线的定义知，点P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，
则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PM|≥|MF|＝＝．
故选C．]
4．抛物线y2＝2px(p＞0)过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为________．
　[∵抛物线y2＝2px过点M(2，2)，∴4＝4p，
∴p＝1，
∴抛物线的标准方程为y2＝2x，其准线方程为x＝－，
∴点M到抛物线焦点的距离为2＋＝．]
1．知识链：
2．方法链：待定系数法、定义法、数形结合．
3．警示牌：求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．抛物线是如何定义的？试写出其标准方程．
[提示]　把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p>0)．
2．当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？
[提示]　可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
课时分层作业(三十二)　抛物线及其标准方程
一、选择题
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－，则a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．－
D　[抛物线y＝ax2，化为标准形式是x2＝y，其准线方程是y＝－，所以a＞0，
由2p＝，知－＝－＝－，解得a＝．故选D．]
2．若抛物线x＝4y2上一点P到焦点的距离为1，则点P的横坐标是(　　)
A．
C．0 D．2
A　[∵抛物线x＝4y2化为标准形式为y2＝x，
∴焦点坐标为，准线方程为x＝－，
由点P到焦点的距离为xP＋＝1，解得xP＝．
故选A．]
3．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝4x或x2＝y
B．y2＝4x
C．y2＝4x或x2＝－y
D．x2＝－y
C　[设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝ax(a≠0)，将点(1，－2)代入可得a＝4，
故抛物线的标准方程为y2＝4x；
设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝by(b≠0)，将点(1，－2)代入可得b＝－，
故抛物线的标准方程为x2＝－y．
综上，过点(1，－2)的抛物线的标准方程是y2＝4x或x2＝－y．
故选C．]
4．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若∠FPA＝，则|PF|＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
D　[因为|PF|＝|PA|，所以∠PAF＝∠PFA＝，
设准线l与y轴交于点Q，因为PA∥QF，所以∠AFQ＝∠PAF＝．
因为|QF|＝p＝2，所以|AF|＝4，所以在等边△PAF中，|PF|＝4．
故选D．]
5．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，点A(2，1)，P是C上一个动点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
C　[由抛物线C：y2＝16x，得焦点F(4，0)，准线方程为x＝－4，
易知点A(2，1)在抛物线C的内部，
过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，
则有|PF|＋|PA|＝|PD|＋|PA|≥|AB|＝4＋2＝6，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，等号成立，
所以|PF|＋|PA|的最小值为6．故选C．]
二、填空题
6．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：＝1的右焦点重合，则抛物线C的方程是 ________．
y2＝12x　[双曲线：＝1的右焦点为(3，0)，则设抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，
由＝3，可得p＝6．则抛物线C的方程为y2＝12x．]
7．已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为________．
3　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线y2＝2x，则F，又焦点F恰好是△ABC的重心，所以x1＋x2＋x3＝3×＝．故|FA|＋|FB|＋|FC|＝＝x1＋x2＋x3＋＝3．]
8．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面1.6 m时，水面宽6.4 m，当水面的宽度为8 m时，水面下降了 ________m．
0.9　[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
则根据题意可知图中点A坐标为(3.2，－1.6)，
所以3.22＝a×(－1.6)，所以a＝－6.4，所以抛物线方程为x2＝－6.4y，
令|x|＝4，则16＝－6.4y，即y＝－2.5，
则水面下降了2.5－1.6＝0.9(m)．]
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
(1)求该抛物线的方程；
(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．
[解]　(1)x－2y－4＝0中，令y＝0，解得x＝4，则焦点坐标为(4，0)，
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，故＝4，解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x．
(2)设点A到该抛物线焦点的距离为h，
由抛物线的定义可知：h＝xA＋＝2＋4＝6．
10．已知F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点M(3，m)在抛物线C上，且|MF|＝4，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝6x
C　[如图所示，过M作MH垂直于抛物线的准线x＝－，垂足为H，
由抛物线定义可知|MF|＝|MH|＝xM＋＝3＋＝4，
解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．
故选C．]
11．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆(x－5)2＋(y－1)2＝1上运动，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
A　[因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，
不妨过点P作准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，
所以|PF|＝|PN|，
所以|PF|＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|，
当点Q固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时，所求的和最小，
又因为Q在圆上运动，
由圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1得圆心M(5，1)，半径r＝1，
所以|QN|min＝|MN|－r＝7－1＝6．
所以|PF|＋|PQ|的最小值为6．
故选A．]
12．(多选)已知P(x，y)为抛物线x2＝4y上一动点，则(　　)
A．准线为l：x＝－1
B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C．点P到直线y＝－x－2距离的最小值等于
D．的最小值为6
BCD　[因为抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，准线为l：y＝－1，
由抛物线的定义可知，存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离，故A错误，B正确；
点P到直线y＝－x－2的距离d＝＝＝，
当x＝－2时，dmin＝＝，故C正确；
设点A(1，5)到准线l：y＝－1的距离为d1，P到准线l：y＝－1的距离为d2，
则＝|PF|＋|PA|＝d2＋|PA|≥d1＝5＋1＝6，D正确．
故选BCD．]
13．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2 cm时，水面宽度为6 cm，当水面再上升1 cm时，水面宽度为________cm．
3　[建立如图所示的平面直角坐标系，
设高脚杯的轴截面所在抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，
由题意可得A(3，2)，代入抛物线方程，可得9＝4p，即p＝，
则抛物线方程为x2＝y，由题意可知B的纵坐标为3，则＝×3＝，
即xB＝，∴当水面再上升1 cm时，水面宽度为3 cm．]
14．(源自北师大版教材)某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：m)．某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
[解]　如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－3)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
将点A的坐标代入上式，得9＝6p，即2p＝3．
所以抛物线的标准方程为x2＝－3y．
将x＝1.5代入抛物线的标准方程，得y＝－0.75，则5－0.75＝4.25<4.5．
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
15．已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋(y－1)2＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P，直线l：x＝t(0＜t＜m)与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F在第一象限的交点为B，则m＝________；△FAB周长的取值范围为________．
2　(4，6)　[如图所示，设直线l与抛物线Z的准线交于点C，由
解得所以m＝2．
由解得
所以A，由
解得
所以B(t，1＋)，
由抛物线的定义得|AF|＝|AC|，
所以△FAB的周长l＝|FA|＋|FB|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＋|BF|＝|BC|＋2＝＋4，
因为t∈(0，2)，
所以＋4∈(4，6)．]
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十二)　抛物线及其标准方程
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共92分
一、选择题
1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝－，则a的值为(　　)
A．2 B．－2
C．－
2．若抛物线x＝4y2上一点P到焦点的距离为1，则点P的横坐标是(　　)
A．
C．0 D．2
3．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝4x或x2＝y
B．y2＝4x
C．y2＝4x或x2＝－y
D．x2＝－y
4．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线为l，点P在C上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若∠FPA＝，则|PF|＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．4
5．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，点A(2，1)，P是C上一个动点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
二、填空题
6．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：＝1的右焦点重合，则抛物线C的方程是 ________．
7．已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为________．
8．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面1.6 m时，水面宽6.4 m，当水面的宽度为8 m时，水面下降了 ________m．
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
(1)求该抛物线的方程；
(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．
10．已知F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点M(3，m)在抛物线C上，且|MF|＝4，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝6x
11．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆(x－5)2＋(y－1)2＝1上运动，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
12．(多选)已知P(x，y)为抛物线x2＝4y上一动点，则(　　)
A．准线为l：x＝－1
B．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C．点P到直线y＝－x－2距离的最小值等于
D．的最小值为6
13．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2 cm时，水面宽度为6 cm，当水面再上升1 cm时，水面宽度为________cm．
14．(源自北师大版教材)某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：m)．某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
15．已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋(y－1)2＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P，直线l：x＝t(0＜t＜m)与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F在第一象限的交点为B，则m＝________；△FAB周长的取值范围为________．
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3.3.1　抛物线及其标准方程
第三章
圆锥曲线的方程
3.3　抛物线
[学习目标]　
1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(数学抽象)
2．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题．(数学运算、数学建模)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．抛物线的定义是什么？你能类比椭圆、双曲线给出抛物线的定义吗？
问题2．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系能使所求抛物线的方程形式简单？
探究建构 关键能力达成
探究1　抛物线的定义
问题1　如图，把一个直尺固定在画板内直线l的位置上，截取一根绳子的长度等于AB的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端用图钉固定在画板上的F处，用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔尖就描出了一条曲线．在作图的过程中，你能发现点P满足的条件吗？它的轨迹是什么形状？
[提示]　点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到直线l的距离，点P的轨迹是抛物线．
[新知生成]
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．
相等
焦点
准线
【教用·微提醒】　(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
[学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(2)若点P到点F(1，0)的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(3)若点P到点F(1，0)的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线． (　　)
(4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线． (　　)
√
×
√
×
探究2　抛物线的标准方程
问题2　如图，已知抛物线的焦点F到准线l的距离为p(p＞0)，试建立适当的平面直角坐标系，使得到的抛物线方程最为简单，并写出此方程．
[提示]　取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与准线l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
[新知生成]
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
________________ _________ _________
________________ _________ ______
y2＝2px(p>0)



y2＝－2px(p>0)
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
_________________ __________ __________
_________________ __________ __________

x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)


√
√
(3)【链接教材P132例1(2)】
试求满足下列条件的抛物线的标准方程：
①过点(－3，2)；
②焦点在直线x－2y－4＝0上．
【教材原题·P132例1】
例1　(1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0，－2)，求它的标准方程．
反思领悟　1．求抛物线的标准方程一般采用待定系数法，即先定位(确定抛物线的开口方向)，再定量(确定参数p的值)．其中“定位”很关键，一般结合图形确定方程形式，避免漏解．
2．当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的个数．
3．求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程．
[学以致用]　2．(1)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝________，准线方程为___________．
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为__________________________．
2
x＝－1
x2＝10y，x2＝－10y
√
[母题探究]
1．若将本例(2)中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值．
a
反思领悟　抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[学以致用]　3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为
(　　)
A．6　　　B．9　　　C．12　　　D．14
√
C　[如图所示，过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，因为点M为AB的中点，且|MM′|＝6，所以|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12．故选C．]
探究4　抛物线的实际应用
[典例讲评]　【链接教材P132例2】
3．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输．星载天线展开后形成一把口径为4.2 m的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F处．若“金色大伞”的深度为0.49 m，则“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为(　　)
A．2.25 m B．2.74 m
C．4.5 m D．4.99 m
√
B　[建立如图所示的平面直角坐标系，依题意得A(0.49，2.1)，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由点A在抛物线上，得2.12＝2p×0.49，解得p＝4.5，
所以抛物线的标准方程为y2＝9x，焦点F(2.25，0)，
准线方程为x＝－2.25，|AF|＝0.49＋2.25＝2.74，
故“金色大伞”的边缘A点到焦点F的距离为2.74 m．
故选B．]
【教材原题·P132例2】
例2　一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1)．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m，深度为
1 m．试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
[解]　如图3.3-3(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合，焦点在x轴上．
设抛物线的标准方程是y2＝2px(p＞0)．由已知条件得，点A的坐标是(1，2.4)，代入方程，得
2.42＝2p×1，
即p＝2.88．
所以，所求抛物线的标准方程是y2＝5.76x，
焦点坐标是(1.44，0)．
反思领悟　求解抛物线实际应用题的步骤
【教用·备选题】　如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5 m，已知行车道总宽度AB＝6 m，那么车辆通过隧道的限制高度为(　　)
A．2.25 m
B．2.5 m
C．3.25 m
D．3.5 m
√
C　[如图所示，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则C(4，－4)，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，将点C的坐标代入抛物线方程，解得p＝2，
∴抛物线方程为x2＝－4y，
∵行车道总宽度AB＝6 m，
∴将x＝3代入抛物线方程，解得y＝－2.25 m，
∴车辆通过隧道的限制高度为6－2.25－0.5＝3.25 m．
故选C．]
√
应用迁移 随堂评估自测
√
2．(教材P133练习T1改编)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝
－2，则抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－8x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝4x
√
√
4．抛物线y2＝2px(p＞0)过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为________．

1．知识链：
2．方法链：待定系数法、定义法、数形结合．
3．警示牌：求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．抛物线是如何定义的？试写出其标准方程．
[提示]　把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p>0)．
2．当抛物线的焦点位置不确定时，如何设抛物线方程？
[提示]　可设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．
章末综合测评(一)　动量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
课时分层作业(三十二)　抛物线及其标准方程
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
√
5．已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，点A(2，1)，P是C上一个动点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
C　[由抛物线C：y2＝16x，得焦点F(4，0)，准线方程为x＝－4，
易知点A(2，1)在抛物线C的内部，
过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，
则有|PF|＋|PA|＝|PD|＋|PA|≥|AB|＝4＋2＝6，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，等号成立，
所以|PF|＋|PA|的最小值为6．故选C．]
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
y2＝12x
7．已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|＋|FB|＋|FC|的值为________．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
3
8．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥．这座桥的拱顶离水面1.6 m时，水面宽6.4 m，当水面的宽度为8 m时，水面下降了 ________m．
题号
2
1
3
4
5
6
8
7
9
10
11
12
13
14
15
0.9
0.9　[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
则根据题意可知图中点A坐标为(3.2，－1.6)，
所以3.22＝a×(－1.6)，所以a＝－6.4，所以抛物线方程为x2＝
－6.4y，
令|x|＝4，则16＝－6.4y，即y＝－2.5，
则水面下降了2.5－1.6＝0.9(m)．]
题号
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三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线x－2y－4＝0上．
(1)求该抛物线的方程；
(2)若该抛物线上点A的横坐标为2，求点A到该抛物线焦点的距离．
题号
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10．已知F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点M(3，m)在抛物线C上，且|MF|＝4，则抛物线C的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝6x
√
题号
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11．已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆(x－5)2＋(y－1)2＝1上运动，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
√
题号
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A　[因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝
－2，
不妨过点P作准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，所以|PF|＝|PN|，
所以|PF|＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|，
当点Q固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于
准线时，所求的和最小，又因为Q在圆上运动，
由圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1得圆心M(5，1)，半径r＝1，
所以|QN|min＝|MN|－r＝7－1＝6．
所以|PF|＋|PQ|的最小值为6．故选A．]
题号
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13．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2 cm时，水面宽度为6 cm，当水面再上升1 cm时，水面宽度为________cm．
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14．(源自北师大版教材)某单行隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示(单位：m)．某卡车载一集装箱，车宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？说明理由．
题号
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[解]　如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－3)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
将点A的坐标代入上式，得9＝6p，即2p＝3．
所以抛物线的标准方程为x2＝－3y．
将x＝1.5代入抛物线的标准方程，得y＝－0.75，
则5－0.75＝4.25<4.5．
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与
集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
题号
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(4，6)
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15课时分层作业(三十二)
1．D　[抛物线y＝ax2，化为标准形式是x2＝y，其准线方程是y＝－，所以a>0，
由2p＝，知－，解得a＝．
故选D．]
2．A　[∵抛物线x＝4y2化为标准形式为y2＝x，
∴焦点坐标为，准线方程为x＝－，
由点P到焦点的距离为xP＋＝1，解得xP＝．
故选A．]
3．C　[设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝ax(a≠0)，将点(1，－2)代入可得a＝4，故抛物线的标准方程为y2＝4x；
设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝by(b≠0)，将点(1，－2)代入可得b＝－，故抛物线的标准方程为x2＝－y．
综上，过点(1，－2)的抛物线的标准方程是y2＝4x或x2＝－y．
故选C．]
4．D　[因为|PF|＝|PA|，所以∠PAF＝∠PFA＝，
设准线l与y轴交于点Q，因为PA∥QF，所以∠AFQ＝∠PAF＝．
因为|QF|＝p＝2，所以|AF|＝4，所以在等边△PAF中，|PF|＝4．
故选D．]
5．C　[由抛物线C：y2＝16x，得焦点F(4，0)，准线方程为x＝－4，
易知点A(2，1)在抛物线C的内部，
过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，则有|PF|＋|PA|＝|PD|＋|PA|≥|AB|＝4＋2＝6，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，等号成立，
所以|PF|＋|PA|的最小值为6．
故选C．]
6．y2＝12x　[双曲线：＝1的右焦点为(3，0)，则设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，
由＝3，可得p＝6．则抛物线C的方程为y2＝12x．]
7．3　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，抛物线y2＝2x，则F，又焦点F恰好是△ABC的重心，所以x1＋x2＋x3＝3×＝3．]
8．0．9　[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
则根据题意可知图中点A坐标为(3.2，－1.6)，
所以3.22＝a×(－1.6)，所以a＝－6.4，所以抛物线方程为x2＝－6.4y，令|x|＝4，则16＝－6.4y，即y＝－2.5，
则水面下降了2.5－1.6＝0.9(m)．]
9．解：(1)x－2y－4＝0中，令y＝0，解得x＝4，则焦点坐标为(4，0)，
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，故＝4，解得p＝8，
故抛物线的方程为y2＝16x．
(2)设点A到该抛物线焦点的距离为h，
由抛物线的定义可知：h＝xA＋＝2＋4＝6．
10．C　[如图所示，过M作MH垂直于抛物线的准线x＝－，垂足为H，
由抛物线定义可知|MF|＝|MH|＝xM＋＝4，
解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．
故选C．]
11．A　[因为抛物线y2＝8x，所以抛物线的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，
不妨过点P作准线的垂线，垂足为N，
因为点P在抛物线上，
所以|PF|＝|PN|，
所以|PF|＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|，
当点Q固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时，所求的和最小，
又因为Q在圆上运动，
由圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1得圆心M(5，1)，半径r＝1，
所以|QN|min＝|MN|－r＝7－1＝6．
所以|PF|＋|PQ|的最小值为6．
故选A．]
12．BCD　[因为抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，准线为l：y＝－1，
由抛物线的定义可知，存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离，故A错误，B正确；
点P到直线y＝－x－2的距离d＝，
当x＝－2时，dmin＝，故C正确；
设点A(1，5)到准线l：y＝－1的距离为d1，P到准线l：y＝－1的距离为d2，
则＝|PF|＋|PA|＝d2＋|PA|≥d1＝5＋1＝6，D正确．故选BCD．]
13．3　[建立如图所示的平面直角坐标系，
设高脚杯的轴截面所在抛物线方程为x2＝2py(p>0)，
由题意可得A(3，2)，代入抛物线方程，可得9＝4p，即p＝，
则抛物线方程为x2＝y，由题意可知B的纵坐标为3，则×3＝，
即xB＝，∴当水面再上升1 cm时，水面宽度为3 cm．]
14．解：如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(3，－3)．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
将点A的坐标代入上式，得9＝6p，即2p＝3．
所以抛物线的标准方程为x2＝－3y．
将x＝1.5代入抛物线的标准方程，得y＝－0.75，
则5－0.75＝4.25<4.5．
这说明，即使集装箱处于隧道的正中位置，车与集装箱的总高也会高于BD，所以此车不能安全通过隧道．
15．2　(4，6)　[如图所示，设直线l与抛物线Z的准线交于点C，由
解得所以m＝2．
由所以A，由
解得
所以B(t，1＋)，
由抛物线的定义得|AF|＝|AC|，所以△FAB的周长l＝|FA|＋|FB|＋|AB|＝|AC|＋|AB|＋|BF|＝|BC|＋2＝＋4，因为t∈(0，2)，所以＋4∈(4，6)．]
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