资源简介 课时分层作业(三十三) 抛物线的简单几何性质说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共91分一、选择题1.已知点F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为抛物线C上一点,且|MF|=4,则M到x轴的距离为( )A.4 B.4C.8 D.162.已知抛物线C:y2=4x,过焦点F且斜率为的直线与抛物线C交于两个不同的点A,B,则线段AB的长为( )A.2 B.4C.40 D.203.(多选)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则( )A.F的坐标为(1,0) B.y0=4C.|OM|=4 D.S△OFM=24.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率大于0的直线l交C于A,B两点,若|AB|=,则l的斜率为( )A.C.5.已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为( )A.24 B.28C.30 D.32二、填空题6.设P是抛物线y2=4x上任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为________.7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=12,那么x1+x2=________.8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且C经过点A(x0,2),O为坐标原点,若|AF|=3|OF|,则p的值为________.三、解答题9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB,其中点A在第一象限,若|AF|=4|BF|,则直线AB的斜率为( )A.C.11.(多选)在直角坐标系Oxy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A,B两点,且点A在第一象限,△OAB的面积是2,则( )A.p=2 B.|AB|=9C.=1 D.|AF|=2+12.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________ .13.已知抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.14.(多选)已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0,B,C两点在x轴上方,O为坐标原点,则下列结论中正确的是( )A.=-p2B.四边形ACBD面积的最小值为16p2C.=D.若|AF|·|BF|=4p2,则直线CD的斜率为-21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时 抛物线的简单几何性质[学习目标] 1.掌握抛物线的几何性质.(数学抽象)2.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题.(逻辑推理、数学运算)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.抛物线有哪些几何性质?问题2.如何求过抛物线的焦点的弦的弦长?探究1 抛物线的几何性质问题1 已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这个方程完成下列任务.(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征;(2)指出抛物线C是否具有对称性;(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.[提示] (1)由y2=2x知y∈R,x≥0,抛物线C位于y轴及y轴右侧.(2)抛物线C关于x轴对称,不关于y轴对称,也不关于原点对称.(3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点,交点都是原点(0,0).[新知生成]标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)图形性 质 焦点准线 x=- x= y=- y=范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R对称 轴 x轴 y轴顶点 (0,0)离心率 e=1【教用·微提醒】 (1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.(2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.(3)影响抛物线开口大小的量是参数p,p值越大,抛物线的开口越大,反之,开口越小.[典例讲评] 【链接教材P134例3】1.求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出焦点坐标与准线方程.(1)焦点F关于准线的对称点为M(0,-9);(2)关于y轴对称,与直线y=-12相交所得线段的长为12.[解] (1)由题意知,可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),F,准线方程为y=-.因为焦点F关于准线的对称点为M(0,-9),所以=-,解得p=6,所以所求抛物线的标准方程为x2=12y,焦点坐标为(0,3),准线方程为y=-3.(2)设所求抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),设直线y=-12与抛物线交于M,N两点,将点N(6,-12)代入抛物线方程可得p=,所以所求抛物线的标准方程为x2=-3y,焦点坐标为,准线方程为y=.【教材原题·P134例3】例3 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),求它的标准方程.[解] 因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),所以可设它的标准方程为y2=2px(p>0).因为点M在抛物线上,所以(-2)2=2p×2,解得p=2.因此,所求抛物线的标准方程是y2=4x. 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.[学以致用] 1.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,求抛物线的方程.[解] 设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),抛物线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2.由对称性,知y2=-y1,代入上式,得y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x1=±1,所以点(1,)在抛物线y2=2px(p>0)上,点(-1,)在抛物线y2=-2px(p>0)上,可得p=,所以所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.探究2 抛物线的焦点弦长[典例讲评] 【链接教材P135例4】2.经过抛物线x2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则△OAB(O为坐标原点)的面积为________.2 [由题意知,直线的斜率存在,抛物线x2=4y的焦点F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx+1,联立方程消去x可得y2-(2+4k2)y+1=0,Δ=(2+4k2)2-4=16k4+16k2≥0,则y1+y2=2+4k2,y1y2=1,因为|AB|=|AF|+|FB|=y1+y2+2=2+4k2+2=4,所以k2=0,即k=0,所以直线AB:y=1,所以点O到直线AB的距离为|OF|=1,所以S△OAB=|OF|·|AB|=×1×4=2.]【教材原题·P135例4】例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.[分析] 由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标,又直线l的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物线的方程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两点间的距离公式可以求出|AB|.这种方法思路直接,具有一般性.请你用此方法求|AB|.下面介绍另外一种方法——数形结合的方法.在图3.3 4中,设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知,|AF|等于点A到准线的距离|AA′|.由p=2,=1,得|AA′|=x1+=x1+1,于是|AF|=x1+1.同理,|BF|=|BB′|=x2+=x2+1,于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+2.由此可见,只要求出点A,B的横坐标之和x1+x2,就可以求出|AB|.[解] 由题意可知,p=2,=1,焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.如图3.3 4,设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B两点到准线的距离分别为dA,dB.由抛物线的定义,可知|AF|=dA=x1+1,|BF|=dB=x2+1,于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.因为直线l的斜率为1,且过焦点F(1,0),所以直线l的方程为y=x-1.①将①代入方程y2=4x,得(x-1)2=4x,化简,得x2-6x+1=0.所以x1+x2=6,|AB|=x1+x2+2=8.所以,线段AB的长是8. 抛物线焦点弦长1.AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p.2.抛物线的通径(1)定义:过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线,交抛物线于A,B两点,线段AB被称为抛物线的通径.如图所示,对于抛物线y2=2px(p>0),由A,B,可得|AB|=2p,所以抛物线的通径长为2p.(2)通径是所有焦点弦中长度最短的弦.[学以致用] 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(2,0),直线l:y=k(x-2)与抛物线C相交于不同的两点A,B.(1)求抛物线C的方程;(2)若|AB|=9,求k的值.[解] (1)由抛物线的焦点(2,0),∴=2,∴p=4,∴抛物线C的方程为y2=8x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l过抛物线的焦点,得|AB|=x1+x2+4=9,∴x1+x2=5,联立方程消去y得k2x2-(8+4k2)x+4k2=0,Δ=64(k2+1)>0,∴x1+x2==5,∴k=±2.故k的值为2或-2.探究3 抛物线焦点弦的性质[典例讲评] 3.(1)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若=-12,则抛物线C的方程为( )A.x2=8y B.x2=4yC.y2=8x D.y2=4x(2)经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,那么p=________.(1)C (2)2 [(1)设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2).设直线AB的方程为x=my+,联立消去x,得y2-2pmy-p2=0,Δ>0,则y1y2=-p2,x1x2==,得=x1x2+y1y2=-p2=-p2=-12,解得p=4或p=-4(舍去),即抛物线C的方程为y2=8x.故选C.(2)法一:抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,直线l的方程为y=,联立可得=2px,整理得4x2-28px+p2=0,Δ=(-28p)2-4×4p2=768k2>0.设A,B的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=7p,由线段AB的中点M的横坐标为7,可得p=7,解得p=2.法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),∵AB的中点M的横坐标为7,∴x1+x2=14,∴14+p=,∴p=2.]【教材原题·P136例5】例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.[分析] 我们用坐标法证明这个结论,即通过建立抛物线及直线的方程,运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3 5所示的直角坐标系,只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.[证明] 如图3.3 5,以抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为y2=2px(p>0), ①点A的坐标为(y0≠0),则直线OA的方程为y=x, ②抛物线的准线方程是x=-. ③联立②③,可得点D的纵坐标为-.因为焦点F的坐标是,当≠p2时,直线AF的方程为y=.④联立①④,消去x,可得-p2)y-y0p2=0,即(y-y0)(y0y+p2)=0,可得点B的纵坐标为-,与点D的纵坐标相等,于是DB平行于x轴.当=p2时,易知结论成立.所以,直线DB平行于抛物线的对称轴.【教材原题·P137例6】例6 如图3.3 6,已知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点,MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,求点P的轨迹方程.[解] 设点P(x,y),M(x,m),其中0≤x≤a,则点E的坐标为(a,m).由题意,直线OB的方程为y=-x. ①因为点M在OB上,将点M的坐标代入①,得m=-x, ②所以点P的横坐标x满足②.直线OE的方程为y=x, ③因为点P在OE上,所以点P的坐标(x,y)满足③.将②代入③,消去m,得x2=-y(0≤x≤a),即点P的轨迹方程. 抛物线焦点弦的性质如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.(1)x1·x2=,y1·y2=-p2.(2)以弦AB为直径的圆与准线相切.(3)|AB|=x1+x2+p=2=(α是直线AB的倾斜角,α≠0°).(4)=为定值.[学以致用] 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A(4,n)(n>0)为C上一点,且|AF|=5,直线AF交C于另一点B,记坐标原点为O,则=( )A.5 B.-4C.3 D.-3D [由抛物线的定义可得,|AF|=4+=5,∴p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x,∵A(4,n)为C上一点,令x=4,得n2=16,∵n>0,∴n=4,∴A(4,4),∵==1,∴|BF|=,∴xB=|BF|-=-1==1,∵点A在第一象限,∴点B在第四象限,∴yB=-1,∴B,∵=(4,4),=,∴=4×-4×1=-3.故选D.]1.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=( )A.1 B.2C.2 D.4B [抛物线的焦点坐标为,其到直线x-y+1=0的距离d==,解得p=2或p=-6(舍去).故选B.]2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=-8yCD [以y轴为对称轴的抛物线的标准方程为x2=±2py(p>0),排除选项A,B.又因为2p=8,故选CD.]3.(教材P136练习T4改编)抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴.若|AB|=2,则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )A.C.A [因为|AB|=2,AB垂直于x轴,不妨设点A的纵坐标为,代入抛物线方程得x=1,所以线段AB所在直线方程为x=1,抛物线的焦点坐标为,则焦点到直线AB的距离为1-=.故选A.]4.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________.5 [由抛物线方程y2=8x,得p=4.线段AB的中点M的横坐标为,其到准线距离为,又x1+x2=6,所以=5.故线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为5.]1.知识链:2.方法链:图象法(数形结合)、待定系数法.3.警示牌:易忽略焦点位置而出错.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.抛物线有哪些几何性质?[提示] 范围、对称性、焦点坐标、准线方程、顶点坐标、离心率.2.利用抛物线的性质可以解决哪些问题?[提示] (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点弦:解决焦点弦问题.课时分层作业(三十三) 抛物线的简单几何性质一、选择题1.已知点F为抛物线C:y2=8x的焦点,M为抛物线C上一点,且|MF|=4,则M到x轴的距离为( )A.4 B.4C.8 D.16A [因为F为抛物线C:y2=8x的焦点,所以F(2,0).设M(x1,y1),由抛物线的性质,得x1=4-2=2,所以=8×2=16 |y1|=4,故M到x轴的距离为4.故选A.]2.已知抛物线C:y2=4x,过焦点F且斜率为的直线与抛物线C交于两个不同的点A,B,则线段AB的长为( )A.2 B.4C.40 D.20D [已知抛物线C:y2=4x,则焦点F的坐标为(1,0),所以过焦点F且斜率为的直线方程为y=(x-1),联立消去y可得x2-18x+1=0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=18,则|AB|=x1+x2+2=20.故选D.]3.(多选)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=5,则( )A.F的坐标为(1,0) B.y0=4C.|OM|=4 D.S△OFM=2BCD [由抛物线C:x2=4y,可得p=2,所以=1,且焦点在y轴正半轴上,则焦点F(0,1),所以A错误;由抛物线的定义,可得|MF|=y0+1=5,解得y0=4,所以B正确;由y0=4,可得=16,所以x0=±4,则|OM|==4,所以C正确;由S△OFM=|OF|·|x0|=2,所以D正确.故选BCD.]4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率大于0的直线l交C于A,B两点,若|AB|=,则l的斜率为( )A.C.B [根据题意可知F(1,0),p=2,∴设直线l的方程为y=k(x-1),k>0,联立消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+,∴|AB|=p+x1+x2=2+2+=,又k>0,解得k=.故选B.]5.已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为( )A.24 B.28C.30 D.32D [由题意可得p=4,故抛物线C:y2=8x,F(2,0),准线方程为x=-2.设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0>y2,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+2,联立可得y2-8my-16=0,Δ>0,∴y1+y2=8m,y1y2=-16,x1x2=(2+my1)(2+my2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4,则|AF|+9|BF|=x1+2+9(x2+2)=x1+9x2+20≥2+20=32,当且仅当x1=9x2且x1x2=4时取等号,∴|AF|+9|BF|的最小值为32.故选D.]二、填空题6.设P是抛物线y2=4x上任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为________.2 [设点P的坐标为(x,y),因为y2=4x,x≥0,则|PA|2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4x=x2-2x+9=(x-1)2+8.当x=1时,|PA|取得最小值,为2.]7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=12,那么x1+x2=________.10 [由题意可得p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,∵过抛物线 y2=4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,∴|AB|=x1+x2+2=12,解得x1+x2=10.]8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且C经过点A(x0,2),O为坐标原点,若|AF|=3|OF|,则p的值为________. [如图,A(x0,2)在抛物线上,过点A作抛物线的准线的垂线,垂足为G,由|AF|=3|OF|,得|AG|=3|OF|,∴x0+=p,即x0=p,可得A(p,2),代入y2=2px,得4=2p2,解得p=或p=-(舍去).]三、解答题9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.[解] (1)法一:因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=,又F,所以直线l的方程为y=.联立消去y得x2-5x+=0,Δ=16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,∴|AB|=5+3=8.法二:由抛物线方程y2=6x,得p=3,又直线l过焦点且倾斜角为60°,则|AB|===8.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以中点M到准线的距离等于3+=.10.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB,其中点A在第一象限,若|AF|=4|BF|,则直线AB的斜率为( )A.C.D [法一:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB,其中点A在第一象限,F,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,y1>0,x2>0,y2<0),由|AF|=4|BF|,可得=4,即=4,所以y1=-4y2,由题意知,直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=k,联立消去x得y2-y-p2=0,Δ>0,所以y1·y2=-p2,即y2=-,x2=,所以y1=2p,x1=2p,可得A(2p,2p),B,所以直线AB的斜率k==.故选D.法二:由|AF|=4|BF|及=,得|BF|=p,|AF|=p,所以|AB|=p=(其中α为AB的倾斜角),所以sinα=,cos α=(|AF|>|BF|),所以直线AB的斜率k=.故选D.]11.(多选)在直角坐标系Oxy中,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A,B两点,且点A在第一象限,△OAB的面积是2,则( )A.p=2 B.|AB|=9C.=1 D.|AF|=2+AC [抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,则直线l的方程为y=x-,代入抛物线方程消去y得x2-3px+=0,Δ=8p2>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,根据抛物线定义|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4p.坐标原点O到直线l的距离d==,所以△OAB的面积为×4p×=2,解得p=2,所以选项A正确;又因为|AB|=4p=8,所以选项B错误;由p=2得x2-6x+1=0,解得x1=3+2,x2=3-2,所以==1,选项C正确;|AF|=4+2,所以选项D错误.故选AC.]12.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________ .6 [抛物线的焦点坐标为F,准线方程为y=-.将y=-代入=1得|x|=.要使△ABF为等边三角形,则tan ===,解得p2=36,p=6.]13.已知抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.[解] 如图所示,依题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,过A,B两点分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1++x2+,即x1+x2+p=8.①由消去y得x2-3px+=0,Δ=8p2>0,所以x1+x2=3p.将其代入①,得p=2.故所求的抛物线的方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.综上,抛物线的方程为y2=±4x.14.(多选)已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,直线AB的斜率k>0,B,C两点在x轴上方,O为坐标原点,则下列结论中正确的是( )A.=-p2B.四边形ACBD面积的最小值为16p2C.=D.若|AF|·|BF|=4p2,则直线CD的斜率为-ACD [如图所示,F,设直线AB的方程为x=y+(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ,∴y1y2=-p2,x1x2=,|AB|=,设C(x3,y3),D(x4,y4),同理可得y3y4=-p2,x3x4=,|CD|=.对于A,=x3x4+y3y4=-p2=-,故A正确;对于B,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|==,故其最小值为8p2,故B错误;对于C,==,故C正确;对于D,若|AF|·|BF|==x1x2+(x1+x2)+=4p2,则(x1+x2)=,∴x1+x2=7p,即7p+p=,∴sin2θ=,sinθ=(负值舍去),又k>0,∴θ=,则直线CD的倾斜角为,其斜率为-,故D正确.故选ACD.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十三)1.A [因为F为抛物线C:y2=8x的焦点,所以F(2,0).设M(x1,y1),由抛物线的性质,得x1=4-2=2,所以=8×2=16 |y1|=4,故M到x轴的距离为4.故选A.]2.D [已知抛物线C:y2=4x,则焦点F的坐标为(1,0),所以过焦点F且斜率为(x-1),联立消去y可得x2-18x+1=0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=18,则|AB|=x1+x2+2=20.故选D.]3.BCD [由抛物线C:x2=4y,可得p=2,所以=1,且焦点在y轴正半轴上,则焦点F(0,1),所以A错误;由抛物线的定义,可得|MF|=y0+1=5,解得y0=4,所以B正确;由y0=4,可得=16,所以x0=±4,则|OM|=,所以C正确;由S△OFM=|OF|·|x0|=2,所以D正确.故选BCD.]4.B [根据题意可知F(1,0),p=2,∴设直线l的方程为y=k(x-1),k>0,联立消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,∴|AB|=p+x1+x2=2+2+,又k>0,解得k=.故选B.]5.D [由题意可得p=4,故抛物线C:y2=8x,F(2,0),准线方程为x=-2.设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0>y2,直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=my+2,联立可得y2-8my-16=0,Δ>0,∴y1+y2=8m,y1y2=-16,x1x2=(2+my1)(2+my2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=4,则|AF|+9|BF|=x1+2+9(x2+2)=x1+9x2+20≥2+20=32,当且仅当x1=9x2且x1x2=4时取等号,∴|AF|+9|BF|的最小值为32.故选D.]6.2 [设点P的坐标为(x,y),因为y2=4x,x≥0,则|PA|2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4x=x2-2x+9=(x-1)2+8.当x=1时,|PA|取得最小值,为2.]7.10 [由题意可得p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,∵过抛物线 y2=4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,∴|AB|=x1+x2+2=12,解得x1+x2=10.]8. [如图,A(x0,2)在抛物线上,过点A作抛物线的准线的垂线,垂足为G,由|AF|=3|OF|,得|AG|=3|OF|,∴x0+p,即x0=p,可得A(p,2),代入y2=2px,得4=2p2,解得p=(舍去).]9.解:(1)法一:因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=,又F,所以直线l的方程为y=.联立消去y得x2-5x+=0,Δ=16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x1+=x1+x2+p,∴|AB|=5+3=8.法二:由抛物线方程y2=6x,得p=3,又直线l过焦点且倾斜角为60°,则|AB|==8.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方程是x=-,所以中点M到准线的距离等于3+.10.D [法一:过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB,其中点A在第一象限,F,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,y1>0,x2>0,y2<0),由|AF|=4|BF|,可得,即,所以y1=-4y2,由题意知,直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=k,联立y-p2=0,Δ>0,所以y1·y2=-p2,即y2=-,x2=,所以y1=2p,x1=2p,可得A(2p,2p),B,所以直线AB的斜率k=.故选D.法二:由|AF|=4|BF|及,得|BF|=p,|AF|=p,所以|AB|=(其中α为AB的倾斜角),所以sin α=,cos α=(|AF|>|BF|),所以直线AB的斜率k=.故选D.]11.AC [抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,则直线l的方程为y=x-,代入抛物线方程消去y得x2-3px+=0,Δ=8p2>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,根据抛物线定义|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4p.坐标原点O到直线l的距离d=,所以△OAB的面积为×4p×,解得p=2,所以选项A正确;又因为|AB|=4p=8,所以选项B错误;由p=2得x2-6x+1=0,解得x1=3+2,x2=3-2,所以=1,选项C正确;|AF|=4+2,所以选项D错误.故选AC.]12.6 [抛物线的焦点坐标为F,准线方程为y=-.将y=-.要使△ABF为等边三角形,则tan,解得p2=36,p=6.]13.解:如图所示,依题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,过A,B两点分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+,即x1+x2+p=8.①由=0,Δ=8p2>0,所以x1+x2=3p.将其代入①,得p=2.故所求的抛物线的方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.综上,抛物线的方程为y2=±4x.14.ACD [如图所示,F,设直线AB的方程为x=(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角为θ,∴y1y2=-p2,x1x2=,|AB|=,设C(x3,y3),D(x4,y4),同理可得y3y4=-p2,x3x4=,|CD|=.对于A,·,故A正确;对于B,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=,故其最小值为8p2,故B错误;对于C,,故C正确;对于D,若|AF|·|BF|=(x1+x2)+=4p2,则(x1+x2)=,∴x1+x2=7p,即7p+p=,∴sin2θ=,sin θ=(负值舍去),又k>0,∴θ=,则直线CD的倾斜角为,其斜率为-,故D正确.故选ACD.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.3.2 抛物线的简单几何性质第1课时 抛物线的简单几何性质[学习目标] 1.掌握抛物线的几何性质.(数学抽象)2.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题.(逻辑推理、数学运算)探究1 抛物线的几何性质问题1 已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这个方程完成下列任务.(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征;(2)指出抛物线C是否具有对称性;(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标. [新知生成]标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)图形性 质 焦点准线 x=- x= y=- y=范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R ______________ ______________ ______________ ______________对称 轴 ______________ ______________顶点 ______________离心率 e=______________[典例讲评] 【链接教材P134例3】1.求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出焦点坐标与准线方程.(1)焦点F关于准线的对称点为M(0,-9);(2)关于y轴对称,与直线y=-12相交所得线段的长为12.[尝试解答] 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.[学以致用] 1.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,求抛物线的方程. 探究2 抛物线的焦点弦长[典例讲评] 【链接教材P135例4】2.经过抛物线x2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则△OAB(O为坐标原点)的面积为________.[尝试解答] 抛物线焦点弦长1.AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=______________.2.抛物线的通径(1)定义:过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线,交抛物线于A,B两点,线段AB被称为抛物线的通径.如图所示,对于抛物线y2=2px(p>0),由A,B,可得|AB|=______________,所以抛物线的通径长为______________.(2)通径是所有焦点弦中长度最______________的弦.[学以致用] 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(2,0),直线l:y=k(x-2)与抛物线C相交于不同的两点A,B.(1)求抛物线C的方程;(2)若|AB|=9,求k的值. 探究3 抛物线焦点弦的性质[典例讲评] 3.(1)已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,若=-12,则抛物线C的方程为( )A.x2=8y B.x2=4yC.y2=8x D.y2=4x(2)经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,那么p=________.[尝试解答] 抛物线焦点弦的性质如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.(1)x1·x2=,y1·y2=______________.(2)以弦AB为直径的圆与准线相切.(3)|AB|=x1+x2+p=2=(α是直线AB的倾斜角,α≠0°).(4)=为定值.[学以致用] 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A(4,n)(n>0)为C上一点,且|AF|=5,直线AF交C于另一点B,记坐标原点为O,则=( )A.5 B.-4C.3 D.-31.抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=( )A.1 B.2C.2 D.42.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=-8y3.(教材P136练习T4改编)抛物线y2=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴.若|AB|=2,则抛物线的焦点到直线AB的距离为( )A.C.4.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________.1.知识链:2.方法链:图象法(数形结合)、待定系数法.3.警示牌:易忽略焦点位置而出错.21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共70张PPT)第1课时 抛物线的简单几何性质第三章圆锥曲线的方程3.3 抛物线3.3.2 抛物线的简单几何性质[学习目标] 1.掌握抛物线的几何性质.(数学抽象)2.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题.(逻辑推理、数学运算)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.抛物线有哪些几何性质?问题2.如何求过抛物线的焦点的弦的弦长?探究建构 关键能力达成探究1 抛物线的几何性质问题1 已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这个方程完成下列任务.(1)观察方程中x与y是否有取值范围,由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征;(2)指出抛物线C是否具有对称性;(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点,如果有,求出交点坐标.[提示] (1)由y2=2x知y∈R,x≥0,抛物线C位于y轴及y轴右侧.(2)抛物线C关于x轴对称,不关于y轴对称,也不关于原点对称.(3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点,交点都是原点(0,0).[新知生成]标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)图形标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)性质 焦点准线范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R __________ ___________对称轴 ____ ____顶点 _______离心率 e=__y≥0,x∈Ry≤0,x∈Rx轴y轴(0,0)1【教用·微提醒】 (1)抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.(2)抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.(3)影响抛物线开口大小的量是参数p,p值越大,抛物线的开口越大,反之,开口越小.[典例讲评] 【链接教材P134例3】1.求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出焦点坐标与准线方程.(1)焦点F关于准线的对称点为M(0,-9);(2)关于y轴对称,与直线y=-12相交所得线段的长为12.反思领悟 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口:由抛物线的标准方程看图象开口,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.探究2 抛物线的焦点弦长[典例讲评] 【链接教材P135例4】2.经过抛物线x2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则△OAB(O为坐标原点)的面积为________.2【教材原题·P135例4】例4 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.[分析] 由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标,又直线l的斜率为1,所以可以求出直线l的方程;与抛物线的方程联立,可以求出A,B两点的坐标;利用两点间的距离公式可以求出|AB|.这种方法思路直接,具有一般性.请你用此方法求|AB|.下面介绍另外一种方法——数形结合的方法.x1+x2+p2p2p短[学以致用] 2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(2,0),直线l:y=k(x-2)与抛物线C相交于不同的两点A,B.(1)求抛物线C的方程;(2)若|AB|=9,求k的值.√(2)经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,倾斜角为30°的直线l与C交于A,B两点,若线段AB的中点M的横坐标为7,那么p=________.2【教材原题·P136例5】例5 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.[分析] 我们用坐标法证明这个结论,即通过建立抛物线及直线的方程,运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3-5所示的直角坐标系,只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.【教材原题·P137例6】例6 如图3.3-6,已知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点,MD⊥x轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,求点P的轨迹方程. -p2 √应用迁移 随堂评估自测√2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y D.x2=-8y√CD [以y轴为对称轴的抛物线的标准方程为x2=±2py(p>0),排除选项A,B.又因为2p=8,故选CD.]√√4.过抛物线y2=8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________.51.知识链: 2.方法链:图象法(数形结合)、待定系数法.3.警示牌:易忽略焦点位置而出错.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.抛物线有哪些几何性质?[提示] 范围、对称性、焦点坐标、准线方程、顶点坐标、离心率.2.利用抛物线的性质可以解决哪些问题?[提示] (1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点弦:解决焦点弦问题.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号1352468791011121314课时分层作业(三十三) 抛物线的简单几何性质√题号1352468791011121314题号2134568791011121314√题号2134568791011121314题号2134568791011121314√√√题号2134568791011121314√题号2134568791011121314题号21345687910111213145.已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过C的焦点F的直线l与C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为( )A.24 B.28C.30 D.32√题号2134568791011121314题号2134568791011121314二、填空题6.设P是抛物线y2=4x上任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为________.题号21345687910111213147.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若|AB|=12,那么x1+x2=________.题号213456879101112131410 [由题意可得p=2,故抛物线的准线方程是x=-1,∵过抛物线y2=4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,∴|AB|=x1+x2+2=12,解得x1+x2=10.]108.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且C经过点A(x0,2),O为坐标原点,若|AF|=3|OF|,则p的值为________.题号2134568791011121314 三、解答题9.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号2134568791011121314√题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号2134568791011121314√√题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号2134568791011121314613.已知抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.题号2134568791011121314题号2134568791011121314题号2134568791011121314√√√题号2134568791011121314题号2134568791011121314 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质学案.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质学案(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.3.2第1课时抛物线的简单几何性质课件.ppt 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业33抛物线的简单几何性质(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业33答案.docx