资源简介 课时分层作业(三十一)1.C [直线l:x+my-m-2=0,即m(y-1)+x-2=0恒过点(2,1),又双曲线的渐近线方程为y=±x,则点(2,1)在其中一条渐近线y=x上,又直线与双曲线只有一个交点,则直线l过点(2,1)且平行于y=-x或过点(2,1)且与双曲线的右支相切,即满足条件的直线l有2条.故选C.]2.A [如图,点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上,故|F1M|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2a,又OQ是△F2F1M的中位线,故|OQ|=a,所以点Q的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆.故选A.]3.B [设A(x1,y1),B(x2,y2),又线段AB的中点为M(3,2),则x1+x2=6,y1+y2=4,则 (x1+x2)(x1-x2)-=0,化简得·=4 =4×=4×=6,即kAB=6.故选B.]4.C [易知直线l的斜率存在,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=kx-1,联立消去y得(5-k2)x2+2kx-2=0,则Δ=4k2+8(5-k2)>0,即k2<10,所以x1+x2=,①x1x2=,②因为,P(0,-1),即(-x1,-1-y1)=2(x2,1+y2),则-x1=2x2,③联立①③解得x1=,x2=,代入②化简得5k2-5=0,解得k=±1,满足k2<10,所以直线l的方程为y=x-1或y=-x-1.故选C.]5.D [因为曲线C:x=≥1,整理得x2-y2=1(x≥1),所以曲线C是双曲线x2-y2=1的右支,双曲线的右焦点为F(,0),渐近线为y=±x.由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-),|k|>1,故选项A错误;联立消去y并整理得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0,此时Δ>0,由根与系数的关系得xA+xB=,xAxB=,则|AB|=×=×,因为线段AB的垂直平分线交直线l于点N,所以xN=,又直线MN的斜率为-,所以|MN|=|xM-xN|==·.因为|AB|=|MN|,所以,|k|>1,解得k=±(2+).故选D.]6.2 [令x=-c,得y2=,则|MN|=.由题意得a+c=,即a2+ac=c2-a2,∴-2=0,∴=-1(舍去),即离心率为2.]7. [由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±.]8.±1 [由消去y得x2-2mx-m2-2=0.则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m).又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,得m=±1.]9.解:(1)因为e=,则,即c=a,由题意,不妨设焦点F(c,0),其中一条渐近线为bx-ay=0,则焦点F到渐近线的距离d==1,则所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1.(2)设直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于点A(x1,y1),B(x2,y2),联立化简得(1-k2)x2+2kx-2=0,因为直线l与双曲线左支交于不同两点,所以解得所以实数k的取值范围为(-,-1).10.ACD [对于A,双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,故A正确;对于B,由于双曲线的实轴长为2a=4,c=3,所以过焦点F与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4,+∞),所以存在关于x轴对称的两条直线,使其弦长为5,另外当直线垂直于x轴时,经计算可得弦长正好是5,故满足条件的直线有三条,故B错误;对于C,由于双曲线的渐近线的斜率为±,焦点在x轴上,若直线l与双曲线C的两支各有一个交点,则直线l的斜率k∈,因为1.1∈,故C正确;对于D,由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方,如图所示:故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点,其中两条与渐近线平行,另外两条与双曲线相切,故D正确.故选ACD.]11.3x+4y-5=0 [易知所求直线的斜率存在,设为k,则该直线的方程为y+1=k(x-3),代入-y2=1,消去y得(1-4k2)x2+(24k2+8k)x-36k2-24k-8=0(1-4k2≠0),∴-=6,∴k=-(满足Δ>0),∴所求直线方程为3x+4y-5=0.]12.解:(1)双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,且过点(3,),可得2a=2,则a=,将点(3,)代入=1,得=1,解得b=1,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知双曲线的右焦点为F(2,0),直线l过双曲线C的右焦点F,其斜率为1,可得直线l的方程为y=x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得2x2-12x+15=0,Δ=122-4×2×15=24>0,x1+x2=6,x1x2=,所以|AB|=×.(3)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),则两式相减得(x3-x4)(x3+x4)=3(y3-y4)(y3+y4),设P(x0,y0),则所以2x0(x3-x4)=3×2y0(y3-y4),由直线MN的斜率为2,可得=2,所以x0=3×y0×2,即x0=6y0,所以点P在直线x-6y=0上.13.P4(-1,-4) [结合题意可知,直线AB的斜率存在且不为零.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,得两式作差,得,即(x1-x2)(x1+x2)=,=9,即·=kAB·=9,因此kAB=9·.由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x,如图.对于P1(1,1),因为kAB=9×=9>3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;对于P2(-1,2),因为kAB=9×<-3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;对于P3(1,3),kAB=9×=3,此时直线AB与渐近线y=3x重合,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意;对于P4(-1,-4),因为kAB=9×<3,所以直线AB与双曲线有两个交点,满足题意.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(三十一) 双曲线的标准方程及其性质的应用说明:单项选择题每题5分,多项选择题每题6分,填空题每题5分,本试卷共84分一、选择题1.若直线l:x+my-m-2=0与双曲线-y2=1有且只有一个交点,则满足条件的直线l有( )A.4条 B.3条C.2条 D.1条2.已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P为双曲线C上的动点,过点F2作∠F1PF2的角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹是( )A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.直线3.直线l与双曲线x2-=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(3,2),则直线l的斜率为( )A.3 B.6C.8 D.124.已知双曲线C的方程为5x2-y2=1,过点P(0,-1)作直线l与双曲线左、右两支分别交于点M,N.若=2,则直线l的方程为( )A.y=x-1B.y=x-1或y=-x-1C.y=x-1或y=-x-1D.y=x-15.设曲线C:x=,过点(,0)的直线l与C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线x=-和l于点M,N,若|AB|=|MN|,则l的斜率可以为( )A.-2 B.C.2 D.2+二、填空题6.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于________.7.(2024·北京卷)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为________.8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是________.三、解答题9.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的离心率为,焦点F到渐近线的距离为1.(1)求双曲线E的标准方程;(2)直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于不同两点,求实数k的取值范围.10.(多选)已知双曲线C:=1,点P(1,2),则( )A.该双曲线的渐近线方程为y=±xB.过点(3,0)的直线与双曲线C交于A,B两点,若|AB|=5,则满足的直线有1条C.与双曲线C的两支各有一个交点的直线的斜率可以是1.1D.过点P能作4条与双曲线C仅有一个交点的直线11.过点A(3,-1)且被A点平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是________.12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,且过点(3,).(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为1的直线l,l与双曲线C交于A,B两点,求|AB|;(3)若M,N是双曲线C上不同的两点,且直线MN的斜率为2,线段MN的中点为P,证明:点P在直线x-6y=0上.13.设A,B为双曲线x2-=1上两点,如下四个点:P1(1,1),P2(-1,2),P3(1,3),P4(-1,-4)中,可作为线段AB中点的是________.(请将所有满足条件的点填入)21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用[学习目标] 1.理解直线与双曲线的位置关系.(数学运算、直观想象)2.会求解双曲线的弦长问题.(数学运算、逻辑推理)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.直线与双曲线只有1个交点,是不是直线与双曲线相切?问题2.你了解双曲线的第二定义吗?探究1 双曲线定义及其应用问题1 通过学习教材P125例5,你有什么发现?[提示] 当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时,点M的轨迹是双曲线.[新知生成]双曲线的第二定义:当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(e>1)时,点M的轨迹是双曲线.【教用·微提醒】 (1)定点和定直线是相对应的,如定点是(c,0),则定直线为x=.(2)距离比是离心率e,若e>1,则点M的轨迹是双曲线,若0<e<1,则点M的轨迹是椭圆.[典例讲评] 【链接教材P125例5】1.已知动点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求动点M的轨迹.[解] 设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是点的集合P=,由此得=.将上式两边平方并化简,得9x2-16y2=144,即=1.所以点M的轨迹是焦点在x轴上,实轴长为8、虚轴长为6的双曲线.[母题探究] 动点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到定直线l:x=8的距离的比是常数,求动点M的轨迹.[解] 设d是点M到直线l:x=8的距离,根据题意,动点M的轨迹就是点的集合P=,由此得=,将上式两边平方并化简,得3x2+4y2=48,即=1.所以,点M的轨迹是焦点在x轴上,长轴长为8、短轴长为4的椭圆.【教材原题·P125例5】例5 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求动点M的轨迹.[解] 设d是点M到直线l的距离,根据题意,动点M的轨迹就是点的集合P=,由此得=.将上式两边平方,并化简,得7x2-9y2=63,即=1.所以,点M的轨迹是焦点在x轴上,实轴长为6、虚轴长为2的双曲线(图3.2 11). 双曲线和椭圆有统一的定义:点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=.当e>1时,点M的轨迹是双曲线;当0<e<1时,点M的轨迹是椭圆.[学以致用] 【链接教材P127习题3.2T10】1.双曲线=1上一点P到右焦点的距离为3,则点P到直线x=的距离为( )A. B. C. D.C [由双曲线=1知a=3,b=2,c=,离心率e==,右焦点为F(,0),设点P到直线x==的距离为d,则=e,所以d====.故选C.]【教材原题·P127习题3.2T10】设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线l:x=的距离的比是(a<c),求动点M的轨迹方程,并说明轨迹的形状.[答案] =1(a>0),轨迹是双曲线.探究2 直线与双曲线的位置关系问题2 当直线与双曲线仅有一个公共点时,该直线与双曲线一定相切吗?[提示] 不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线仅有一个交点.[新知生成]直线与双曲线位置关系的判断设直线l:y=kx+m(m≠0),①双曲线C:=1(a>0,b>0),②将①代入②,得Ax2+Bx+C=0.a.当A=0时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线C相交于一点.b.当A≠0时.①Δ>0 直线与双曲线有两个公共点,此时直线与双曲线相交;②Δ=0 直线与双曲线有一个公共点,此时直线与双曲线相切;③Δ<0 直线与双曲线没有公共点,此时直线与双曲线相离.【教用·微提醒】 (1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点;有一个公共点时,直线与双曲线可能相切或相交.(2)消元后注意二次项的系数,二次项系数可能为0,此时,直线与双曲线的渐近线平行.[典例讲评] 2.已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=kx-1,试讨论满足下列条件的实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线l与双曲线没有公共点.[解] 由得(1-k2)x2+2kx-5=0.①(1)直线l与双曲线有两个公共点,则方程①有两个不相等的根.∴解得-<k<,且k≠±1,∴实数k的取值范围为∪(-1,1).(2)直线l与双曲线只有一个公共点,则方程①只有一解.当1-k2≠0,即k≠±1时,令Δ=4k2+20(1-k2)=0.得k=±,此时方程①有两个相同的实数解,即直线l与双曲线有且只有一个公共点;当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程①化为2x=5或-2x=5,故方程①只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,有且只有一个公共点.故当k=±或k=±1时,直线l与双曲线有且只有一个公共点.(3)直线l与双曲线没有公共点,则方程①无解.∴解得k>或k<-.则实数k的取值范围为. 1.解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.2.对于双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.[学以致用] 2.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C过点A(2,0),且其离心率为.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线l:kx-y-1=0与双曲线C有且只有一个公共点,求实数k的值.[解] (1)由题意可设双曲线C的标准方程为=1,其中a=2,由e==,得b=3,则双曲线C的标准方程为=1.(2)联立直线kx-y-1=0与双曲线方程9x2-4y2=36,得(9-4k2)x2+8kx-40=0,(※)当9-4k2=0,即k=±时,方程(※)有且只有一解,直线l与双曲线C有且只有一个公共点,符合题意;当9-4k2≠0时,由Δ=64k2-4(9-4k2)(-40)=0,得k=±,此时方程(※)有且只有一解,直线l与双曲线C有且只有一个公共点,也符合题意.综上所述,实数k的值为±,±.探究3 弦长公式及中点弦问题[典例讲评] 【链接教材P126例6】3.已知双曲线的方程是-y2=1.(1)直线l的倾斜角为,被双曲线截得的弦长为,求直线l的方程;(2)过点P(3,1)作直线l′,使其被双曲线截得的弦恰被点P平分,求直线l′的方程.[解] (1)设直线l的方程为y=x+m,代入双曲线方程,得3x2+8mx+4(m2+1)=0,Δ=(8m)2-4×3×4(m2+1)=16(m2-3)>0,∴m2>3.设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1+x2=-m,x1x2=.由弦长公式得|AB|=|x1-x2|===,∴=,即m=±5,满足m2>3,∴直线l的方程为y=x±5.(2)设直线l′与双曲线交于A′(x3,y3),B′(x4,y4)两点,点P(3,1)为A′B′的中点,则x3+x4=6,y3+y4=2.由==4,两式相减得(x3+x4)(x3-x4)-4(y3+y4)(y3-y4)=0,∴=,∴l′的方程为y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.把此方程代入双曲线方程,整理得5y2-10y+=0,满足Δ>0,即所求直线l′的方程为3x-4y-5=0.【教材原题·P126例6】例6 如图3.2 12,过双曲线=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.[解] 由双曲线的标准方程可知,双曲线的焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°,且经过右焦点F2,所以直线AB的方程为y=(x-3). ①由消去y,得5x2+6x-27=0.解方程,得x1=-3,x2=.将x1,x2的值分别代入①,得y1=-2,y2=-.于是,A,B两点的坐标分别为(-3,-2),.所以|AB|===. 双曲线中有关弦长的问题,解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.[学以致用] 【链接教材P128习题3.2T13】3.已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为________.4x-3y+1=0 [设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则==2,两式相减,得2(x1-x2)·(x1+x2)-(y1-y2)·(y1+y2)=0.又x1+x2=4,y1+y2=6,∴8(x1-x2)-6(y1-y2)=0 kPQ=,因此直线PQ的方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0,经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交于两点.因此符合题意的直线方程为4x-3y+1=0.]【教材原题·P128习题3.2T13】已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)的直线l与双曲线相交于A,B两点,P能否是线段AB的中点?为什么?[解] 因为过点P(1,1)的直线l与双曲线x2-=1相交于A,B两点,易知,直线l的方程不是x=1.设直线l的方程为y-1=k(x-1),即y=kx+1-k.将y=kx+1-k代入x2-=1,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).①设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),可得x1+x2=.若P是线段AB的中点,得=1.即=1,解得k=2.将k=2代入方程①,得2x2-4x+3=0.因为Δ=16-24=-8<0,此方程没有实数解.所以,P不是线段AB的中点.4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,点P(2,)在双曲线C上.(1)求双曲线C的标准方程;(2)过点P且斜率为2的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|PQ|.[解] (1)因为双曲线的实轴长为2,所以2a=2,解得a=.又因为点P(2,)在双曲线C上,所以=1,解得b=,所以双曲线C的标准方程为=1.(2)由题可得过点P且斜率为2的直线方程为y-=2(x-2),即y=2x-3,联立消去y可得7x2-24x+20=0,Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=,所以|PQ|===.1.(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为( )A.(-2,2) B.[-2,2)C.(-2,2] D.[-2,2]A [易知k≠±2,将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0,由Δ>0可得-22.设A,B为双曲线=1上的两点,若线段AB的中点为M(3,6),则直线AB的方程是( )A.x+y-3=0 B.2x+y-3=0C.x-y+3=0 D.x-2y+3=0C [设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减,得=,因为线段AB的中点为M(3,6),所以x1+x2=6,y1+y2=12,因此由= =1,即直线AB的斜率为1,方程为x-y+3=0,经检验,该直线与双曲线交于两点,符合题意,故选C.]3.经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为( )A.C. D.7B [双曲线x2-y2=8的右焦点为(4,0),经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-4),代入x2-y2=8并整理得3x2-32x+72=0,设直线与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),Δ>0,则x1+x2=,x1x2=24,所以直线被双曲线截得的线段的长为|x1-x2|===.]4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线的离心率e的取值范围是________.[2,+∞) [数形结合知,则≥3,所以c2-a2≥3a2,即c2≥4a2,所以e2=≥4,所以e≥2.]1.知识链:2.方法链:定义法、坐标法、点差法.3.警示牌:判断直线与双曲线的交点个数时,方程联立消元后,忽视对二次项系数的讨论.代数计算中的运算失误.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.直线与双曲线相交,有两个交点时,其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同?你能写出来吗?[提示] 完全相同.直线y=kx+m与双曲线=1相交,其交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=或|AB|=.2.直线与双曲线只有一个公共点,那么直线与双曲线一定相切吗?[提示] 不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个公共点,此时二者相交,不相切.课时分层作业(三十一) 双曲线的标准方程及其性质的应用一、选择题1.若直线l:x+my-m-2=0与双曲线-y2=1有且只有一个交点,则满足条件的直线l有( )A.4条 B.3条C.2条 D.1条C [直线l:x+my-m-2=0,即m(y-1)+x-2=0恒过点(2,1),又双曲线的渐近线方程为y=±x,则点(2,1)在其中一条渐近线y=x上,又直线与双曲线只有一个交点,则直线l过点(2,1)且平行于y=-x或过点(2,1)且与双曲线的右支相切,即满足条件的直线l有2条.故选C.]2.已知F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P为双曲线C上的动点,过点F2作∠F1PF2的角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹是( )A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.直线A [如图,点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上,故|F1M|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2a,又OQ是△F2F1M的中位线,故|OQ|=a,所以点Q的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆.故选A.]3.直线l与双曲线x2-=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(3,2),则直线l的斜率为( )A.3 B.6C.8 D.12B [设A(x1,y1),B(x2,y2),又线段AB的中点为M(3,2),则x1+x2=6,y1+y2=4,则 (x1+x2)(x1-x2)-=0,化简得=4 =4×=4×=6,即kAB=6.故选B.]4.已知双曲线C的方程为5x2-y2=1,过点P(0,-1)作直线l与双曲线左、右两支分别交于点M,N.若=2,则直线l的方程为( )A.y=x-1B.y=x-1或y=-x-1C.y=x-1或y=-x-1D.y=x-1C [易知直线l的斜率存在,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=kx-1,联立消去y得(5-k2)x2+2kx-2=0,则Δ=4k2+8(5-k2)>0,即k2<10,所以x1+x2=,①x1x2=,②因为=2,P(0,-1),即(-x1,-1-y1)=2(x2,1+y2),则-x1=2x2,③联立①③解得x1=,x2=,代入②化简得5k2-5=0,解得k=±1,满足k2<10,所以直线l的方程为y=x-1或y=-x-1.故选C.]5.设曲线C:x=,过点(,0)的直线l与C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线x=-和l于点M,N,若|AB|=|MN|,则l的斜率可以为( )A.-2 B.C.2 D.2+D [因为曲线C:x=≥1,整理得x2-y2=1(x≥1),所以曲线C是双曲线x2-y2=1的右支,双曲线的右焦点为F(,0),渐近线为y=±x.由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-),|k|>1,故选项A错误;联立消去y并整理得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0,此时Δ>0,由根与系数的关系得xA+xB=,xAxB=,则|AB|=|xA-xB|===,因为线段AB的垂直平分线交直线l于点N,所以xN==,又直线MN的斜率为-,所以|MN|=|xM-xN|==.因为|AB|=|MN|,所以=,|k|>1,解得k=±(2+).故选D.]二、填空题6.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于________.2 [令x=-c,得y2=,则|MN|=.由题意得a+c=,即a2+ac=c2-a2,∴--2=0,∴=2或=-1(舍去),即离心率为2.]7.(2024·北京卷)若直线y=k(x-3)与双曲线-y2=1只有一个公共点,则k的一个取值为________. [由题意,知该双曲线的渐近线方程为y=±x,直线y=k(x-3)过定点(3,0).因为点(3,0)在双曲线内,所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线的渐近线平行,所以k=±.]8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是________.±1 [由消去y得x2-2mx-m2-2=0.则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m).又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,得m=±1.]三、解答题9.已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的离心率为,焦点F到渐近线的距离为1.(1)求双曲线E的标准方程;(2)直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于不同两点,求实数k的取值范围.[解] (1)因为e=,则=,即c=a,由题意,不妨设焦点F(c,0),其中一条渐近线为bx-ay=0,则焦点F到渐近线的距离d==1,则解得所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1.(2)设直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于点A(x1,y1),B(x2,y2),联立化简得(1-k2)x2+2kx-2=0,因为直线l与双曲线左支交于不同两点,所以解得即-<k<-1,所以实数k的取值范围为(-,-1).10.(多选)已知双曲线C:=1,点P(1,2),则( )A.该双曲线的渐近线方程为y=±xB.过点(3,0)的直线与双曲线C交于A,B两点,若|AB|=5,则满足的直线有1条C.与双曲线C的两支各有一个交点的直线的斜率可以是1.1D.过点P能作4条与双曲线C仅有一个交点的直线ACD [对于A,双曲线C:=1的渐近线方程为y=±x,故A正确;对于B,由于双曲线的实轴长为2a=4,c=3,所以过焦点F与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4,+∞),所以存在关于x轴对称的两条直线,使其弦长为5,另外当直线垂直于x轴时,经计算可得弦长正好是5,故满足条件的直线有三条,故B错误;对于C,由于双曲线的渐近线的斜率为±,焦点在x轴上,若直线l与双曲线C的两支各有一个交点,则直线l的斜率k∈,因为1.1∈,故C正确;对于D,由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方,如图所示:故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点,其中两条与渐近线平行,另外两条与双曲线相切,故D正确.故选ACD.]11.过点A(3,-1)且被A点平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是________.3x+4y-5=0 [易知所求直线的斜率存在,设为k,则该直线的方程为y+1=k(x-3),代入-y2=1,消去y得(1-4k2)x2+(24k2+8k)x-36k2-24k-8=0(1-4k2≠0),∴-=6,∴k=-(满足Δ>0),∴所求直线方程为3x+4y-5=0.]12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,且过点(3,).(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C的右焦点F作斜率为1的直线l,l与双曲线C交于A,B两点,求|AB|;(3)若M,N是双曲线C上不同的两点,且直线MN的斜率为2,线段MN的中点为P,证明:点P在直线x-6y=0上.[解] (1)双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,且过点(3,),可得2a=2,则a=,将点(3,)代入=1,得=1,解得b=1,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知双曲线的右焦点为F(2,0),直线l过双曲线C的右焦点F,其斜率为1,可得直线l的方程为y=x-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由得2x2-12x+15=0,Δ=122-4×2×15=24>0,x1+x2=6,x1x2=,所以|AB|==2.(3)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),则两式相减得(x3-x4)(x3+x4)=3(y3-y4)(y3+y4),设P(x0,y0),则所以2x0(x3-x4)=3×2y0(y3-y4),由直线MN的斜率为2,可得=2,所以x0=3×y0×2,即x0=6y0,所以点P在直线x-6y=0上.13.设A,B为双曲线x2-=1上两点,如下四个点:P1(1,1),P2(-1,2),P3(1,3),P4(-1,-4)中,可作为线段AB中点的是________.(请将所有满足条件的点填入)P4(-1,-4) [结合题意可知,直线AB的斜率存在且不为零.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,得两式作差,得=,即(x1-x2)(x1+x2)==9,即=kAB·=9,因此kAB=9·.由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x,如图.对于P1(1,1),因为kAB=9×=9>3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;对于P2(-1,2),因为kAB=9×=-<-3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意;对于P3(1,3),kAB=9×=3,此时直线AB与渐近线y=3x重合,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意;对于P4(-1,-4),因为kAB=9×=<3,所以直线AB与双曲线有两个交点,满足题意.]21世纪教育网(www.21cnjy.com)第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用[学习目标] 1.理解直线与双曲线的位置关系.(数学运算、直观想象)2.会求解双曲线的弦长问题.(数学运算、逻辑推理)探究1 双曲线定义及其应用问题1 通过学习教材P125例5,你有什么发现? [新知生成]双曲线的第二定义:当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(e>1)时,点M的轨迹是双曲线.[典例讲评] 【链接教材P125例5】1.已知动点M(x,y)到定点F(5,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求动点M的轨迹.[尝试解答] [母题探究] 动点M(x,y)到定点F(2,0)的距离和它到定直线l:x=8的距离的比是常数,求动点M的轨迹. 双曲线和椭圆有统一的定义:点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=.当e>1时,点M的轨迹是双曲线;当0<e<1时,点M的轨迹是椭圆.[学以致用] 【链接教材P127习题3.2T10】1.双曲线=1上一点P到右焦点的距离为3,则点P到直线x=的距离为( )A. B. C. D.探究2 直线与双曲线的位置关系问题2 当直线与双曲线仅有一个公共点时,该直线与双曲线一定相切吗? [新知生成]直线与双曲线位置关系的判断设直线l:y=kx+m(m≠0), ①双曲线C:=1(a>0,b>0), ②将①代入②,得Ax2+Bx+C=0.a.当A=0时,直线l与双曲线的______________平行,直线与双曲线C相交于一点.b.当A≠0时.①Δ>0 直线与双曲线有______________公共点,此时直线与双曲线相交;②Δ=0 直线与双曲线有______________公共点,此时直线与双曲线相切;③Δ<0 直线与双曲线______________公共点,此时直线与双曲线相离.[典例讲评] 2.已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=kx-1,试讨论满足下列条件的实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线l与双曲线没有公共点.[尝试解答] 1.解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.2.对于双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.[学以致用] 2.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C过点A(2,0),且其离心率为.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线l:kx-y-1=0与双曲线C有且只有一个公共点,求实数k的值.[尝试解答] 探究3 弦长公式及中点弦问题[典例讲评] 【链接教材P126例6】3.已知双曲线的方程是-y2=1.(1)直线l的倾斜角为,被双曲线截得的弦长为,求直线l的方程;(2)过点P(3,1)作直线l′,使其被双曲线截得的弦恰被点P平分,求直线l′的方程.[尝试解答] 双曲线中有关弦长的问题,解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.[学以致用] 【链接教材P128习题3.2T13】3.已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为________.4.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的实轴长为2,点P(2,)在双曲线C上.(1)求双曲线C的标准方程;(2)过点P且斜率为2的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求|PQ|. 1.(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为( )A.(-2,2) B.[-2,2)C.(-2,2] D.[-2,2]2.设A,B为双曲线=1上的两点,若线段AB的中点为M(3,6),则直线AB的方程是( )A.x+y-3=0 B.2x+y-3=0C.x-y+3=0 D.x-2y+3=03.经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为( )A.C. D.74.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F.若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线的离心率e的取值范围是________.1.知识链:2.方法链:定义法、坐标法、点差法.3.警示牌:判断直线与双曲线的交点个数时,方程联立消元后,忽视对二次项系数的讨论.代数计算中的运算失误.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.直线与双曲线相交,有两个交点时,其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同?你能写出来吗?2.直线与双曲线只有一个公共点,那么直线与双曲线一定相切吗?21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共80张PPT)第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用3.2 双曲线3.2.2 双曲线的简单几何性质第三章圆锥曲线的方程[学习目标] 1.理解直线与双曲线的位置关系.(数学运算、直观想象)2.会求解双曲线的弦长问题.(数学运算、逻辑推理)[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况问题1.直线与双曲线只有1个交点,是不是直线与双曲线相切?问题2.你了解双曲线的第二定义吗?探究建构 关键能力达成探究1 双曲线定义及其应用问题1 通过学习教材P125例5,你有什么发现?[提示] 当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时,点M的轨迹是双曲线.√探究2 直线与双曲线的位置关系问题2 当直线与双曲线仅有一个公共点时,该直线与双曲线一定相切吗?[提示] 不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线仅有一个交点.a.当A=0时,直线l与双曲线的______平行,直线与双曲线C相交于一点.b.当A≠0时.①Δ>0 直线与双曲线有____公共点,此时直线与双曲线相交;②Δ=0 直线与双曲线有____公共点,此时直线与双曲线相切;③Δ<0 直线与双曲线____公共点,此时直线与双曲线相离.渐近线两个一个没有【教用·微提醒】 (1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点;有一个公共点时,直线与双曲线可能相切或相交.(2)消元后注意二次项的系数,二次项系数可能为0,此时,直线与双曲线的渐近线平行.[典例讲评] 2.已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=kx-1,试讨论满足下列条件的实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线l与双曲线没有公共点.反思领悟 1.解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.2.对于双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.3.注意对直线的斜率是否存在进行讨论.反思领悟 双曲线中有关弦长的问题,解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.[学以致用] 【链接教材P128习题3.2T13】3.已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为__________________.4x-3y+1=0应用迁移 随堂评估自测1.(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交,则实数k的取值范围为( )A.(-2,2) B.[-2,2)C.(-2,2] D.[-2,2]√A [易知k≠±2,将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0,由Δ>0可得-2√√[2,+∞)1.知识链: 2.方法链:定义法、坐标法、点差法.3.警示牌:判断直线与双曲线的交点个数时,方程联立消元后,忽视对二次项系数的讨论.代数计算中的运算失误.回顾本节知识,自主完成以下问题:1.直线与双曲线相交,有两个交点时,其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同?你能写出来吗?2.直线与双曲线只有一个公共点,那么直线与双曲线一定相切吗?[提示] 不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线只有一个公共点,此时二者相交,不相切.章末综合测评(一) 动量守恒定律题号13524687910111213课时分层作业(三十一) 双曲线的标准方程及其性质的应用√题号13524687910111213题号21345687910111213√A [如图,点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上,故|F1M|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2a,又OQ是△F2F1M的中位线,故|OQ|=a,所以点Q的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆.故选A.]题号21345687910111213题号21345687910111213√√题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213√题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213题号213456879101112132题号21345687910111213题号21345687910111213 题号21345687910111213±1题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213√题号21345687910111213√√题号21345687910111213题号21345687910111213题号213456879101112133x+4y-5=0题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213题号21345687910111213P4(-1,-4)题号21345687910111213题号21345687910111213 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2.2第2课时双曲线的标准方程及其性质的应用学案.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2.2第2课时双曲线的标准方程及其性质的应用学案(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2.2第2课时双曲线的标准方程及其性质的应用课件.ppt 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业31双曲线的标准方程及其性质的应用(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册课时分层作业31答案.docx