资源简介 为什么y=±x是双曲线=1的渐近线1.双曲线的渐近线的定义若存在一条直线l,使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近,则称直线l为双曲线C的一条渐近线.2.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线的探讨当x>0,y>0时,由=1得y=b=x,当x→+∞时,→1,故猜测渐近线在第一象限内,当x→+∞时,双曲线无限地接近于直线y=x.3.在第一象限内,如何证明直线l:y=x是双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线?如图所示,过点M作MQ⊥l于点Q,过点M作PM⊥x轴交l于点P,则|PM|>|QM|.设M(xM,yM),则yM=(x>a),yP=xM.所以|PM|=yP-yM==.当xM→+∞时→+∞,所以|PM|→0,即点M到直线l的距离|QM|→0,故在第一象限内,直线l为双曲线的渐近线.根据双曲线的对称性,y=±x是双曲线=1的渐近线.4.共渐近线的双曲线方程的探索(1)与双曲线=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程是=λ(λ≠0),当λ>0时,其焦点在x轴上;当λ<0时,其焦点在y轴上.(2)方程=λ(λ≠0)中,令λ=0得双曲线=λ(λ≠0)的渐近线方程是±=0,即y=±x.【典例】 (1)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为4,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±x B.y=±xC.y=±4x D.y=±x(2)如图,已知F1,F2为双曲线=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为________.[尝试解答] 1.已知双曲线C:=1(m>0)的实轴长等于虚轴长的2倍,则C的渐近线方程为( )A.y=±x B.y=±xC.y=±2x D.y=±x2.(2021·全国乙卷)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为________.21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共12张PPT)第三章圆锥曲线的方程√√42门世2有3厚1.双曲线的渐近线的定义若存在一条直线1,使得双曲线C趋向无穷远处时与直线越来越近,则称直线为双曲线C的一条渐近线,2.双曲线--1(a>0,b>0)的新近线的探讨当x>0,y>0时,由2当x→十∞时,→1,故猜测渐近线在第一象限内,当x→+时,双曲线无限地接近于直线yYQMX0当xM十∞时,xM+Vx2-a2一十∞,所以PM-0,即点M到直线的距离QM→0,故在第一象限内,直线为双曲线的渐近线根据双曲线的对称性,y=士会是双曲线器62=1的渐近线4.共渐近线的双曲线方程的探索()与双曲线兰-多-1(a>0,b0共渐近线的双曲线方程是2(2≠0),当2>0时,其焦点在x轴上;当2<0时,其焦点在y轴2)方程器--20≠0)冲,令=0得双曲线若-兰=20≠0)的渐近线方程是士兰=0,即y=士x2如图,已知F,乃为双曲线若-兰=1(a>0,b>0)的焦点,过乃作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PFF,=30°,则双曲线的渐近线方程为YPF0F2X3y=士V2xC「因为m>0,所以双曲线C的焦点在y轴上,设双曲线C的标准方程为后-=1(0>0,b>0),所以双曲线C的渐近线方程为y=±号,又因为实轴长等于虚轴长的2倍,所以a=2b,所以C的渐近线方程为y=±2x.故选C.]4[双曲线C:兰-y2=1m>0)的渐近线方程为y=±x,即x±Vmy=0,又双曲线的一条渐近线为V3x+mwy=0,即x+店y=0,对比两式可得m=3.设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则有a2=m=3,b2=1,所以双曲线C的焦距为2c=2Va2+b2=4.] 为什么y=±x是双曲线=1的渐近线1.双曲线的渐近线的定义若存在一条直线l,使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近,则称直线l为双曲线C的一条渐近线.2.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线的探讨当x>0,y>0时,由=1得y=b=x,当x→+∞时,→1,故猜测渐近线在第一象限内,当x→+∞时,双曲线无限地接近于直线y=x.3.在第一象限内,如何证明直线l:y=x是双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线?如图所示,过点M作MQ⊥l于点Q,过点M作PM⊥x轴交l于点P,则|PM|>|QM|.设M(xM,yM),则yM=(x>a),yP=xM.所以|PM|=yP-yM==.当xM→+∞时→+∞,所以|PM|→0,即点M到直线l的距离|QM|→0,故在第一象限内,直线l为双曲线的渐近线.根据双曲线的对称性,y=±x是双曲线=1的渐近线.4.共渐近线的双曲线方程的探索(1)与双曲线=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程是=λ(λ≠0),当λ>0时,其焦点在x轴上;当λ<0时,其焦点在y轴上.(2)方程=λ(λ≠0)中,令λ=0得双曲线=λ(λ≠0)的渐近线方程是±=0,即y=±x.【典例】 (1)已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为4,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±x B.y=±xC.y=±4x D.y=±x(2)如图,已知F1,F2为双曲线=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为________.(1)B (2)y=±x [(1)根据题意,双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为4,则e==4,即c=4a,则有b==a,又由双曲线=1的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±x,即y=±x.故选B.(2)设F2(c,0)(c>0),P(c,y0)(y0>0),则=1,解得y0=,∴|PF2|=.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,则|PF1|=2|PF2|,①由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a,②由①②得|PF2|=2a.∴2a=,即b2=2a2.∴=.∴双曲线的渐近线方程为y=±x.]1.已知双曲线C:=1(m>0)的实轴长等于虚轴长的2倍,则C的渐近线方程为( )A.y=±x B.y=±xC.y=±2x D.y=±xC [因为m>0,所以双曲线C的焦点在y轴上,设双曲线C的标准方程为=1(a>0,b>0),所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,又因为实轴长等于虚轴长的2倍,所以a=2b,所以C的渐近线方程为y=±2x.故选C.]2.(2021·全国乙卷)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为________.4 [双曲线C:-y2=1(m>0)的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,又双曲线的一条渐近线为x+my=0,即x+y=0,对比两式可得m=3.设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,则有a2=m=3,b2=1,所以双曲线C的焦距为2c=2=4.]21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程探究课2为什么y=±bax是双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线学案.docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程探究课2为什么y=±bax是双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线学案(学生用).docx 人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程探究课2为什么y=±bax是双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线课件.ppt