资源简介

山东省德州市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．（2023·德州）的绝对值是（　　）
A． B． C．-4 D．4
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值，即。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查绝对值的计算。
绝对值具有非负性。当计算的时候，如果a≥0，则=a；当a＜0时，=-a。本题a就是，因此它的绝对值就是其相反数，据此即可计算出答案。
2．（2023·德州）下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，直线l不是该四边形的对称轴；
选项B，直线l不是该四边形的对称轴；
选项C，直线l是该四边形的对称轴；
选项D，直线l不是该四边形的对称轴。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查图形对称轴的判断。对称轴，指将图形分为对称的两部分的中轴线，即该图形可以沿着某条直线对折之后完全重合，那么这条直线就是该图形的对称轴。四个选项中，只有C选项图形沿着l直线折叠，上下部分可以完全重合，因此直线是该四边形的对称轴。
3．（2023·德州）一组数据5，6，8，8，8，1，4，若去掉一个数据，则下列统计量一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵数据5，6，8，8，8，1，4中，8出现了3次，
∴这组数据的众数为8，
去了一个8后，这组数据中，8出现了2次，众数仍然是8，
若去掉的是其他数字，这组数据中，8出现了3次，众数仍然是8，
将这组数据从小到大排列为：1，4，5，6，8，8，8这组数据的中位数为6，
去掉一个数据，这组数据中，中位数发生了变化，
这组数据的平均数为，
去掉的一个数据不是，
平均数发生了变化，
方差也发生了变化，
∴众数没有变化，平均数，中位数，方差都发生了变化，
故答案为：B．
【分析】A、由于计算出的平均数与各数据均不相等，因此去掉任意一个数据后，平均数都会发生变化；
B、由于数据8出现的次数最多有3次，其它数据各出现一次，因此无论去掉哪个数据，众数依然是8；
C、先按从小到大的顺序排列数据，由于共有7个数据，则中位数是第4个数据即6，但去掉任意一个数据后剩余6个数据，则中位数是最中间两个数据的平均数，则发现都不等于6；
D、由于平均数发生了变化，则方差必然发生变化．
4．（2023·德州）如图所示几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察图形，俯视图看到的图形为C选项对应的图形。
故答案为：C.
【分析】本题考查几何体的三视图。
选项A是主视图，选项B是左视图，选项C是俯视图。
5．（2023·德州）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：=3m+4n
故答案为：D.
【分析】本题主要考查相同数之和和同底数幂相乘的表示。
本题中，m个3相加，就是3m；n个4相乘，即“同底数幂相乘，底数不变、指数相加”，表示出来就是4n，最后即可选出答案。
6．（2023·德州）压力、压强、受力面积之间的关系为：，当压力一定时，另外两个变量的函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据公式，当压力一定时， p增加，则S减小；p减小，则S增加，因此p和S是反比例函数图象。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查反比例函数图象的识别和判断。
当一个关系式中出现三个未知数，其中一个未知数是一定时，另外两个未知数出现“一个增大、一个减小”的时候，那么这两个未知数变量就是反比例关系。本题中F一定，那么p和S就是反方向变化，因此就是反比例关系，对应的图象就是反比例图象。
7．（2023·德州）如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得
，
，
，
故答案为：A．
【分析】由旋转的性质知，，则，再由三角形外角的性质结合角之间的数量关系可得，由于已知，则可得.
8．（2023·德州）已知直线与直线交于点，若点的横坐标为-5，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：分别画出直线与直线在直角坐标系中的图形位置，如图所示，
只有当x＜-5时，。
故答案为：A.
【分析】本题考查直线在直角坐标系的位置以及不等式的解集计算。
首先通过直线可知，x前面的系数3大于0，因此该直线是增函数，且a是该直线与y轴的交点；直线 可知，x前面的系数-2小于0，因此该直线是减函数，且b是该直线与y轴的交点；而这两条直线的交点P的横坐标是-5，画图即可发现a＞b。画出图结合不等式可以发现，即直线在的下方，因此只有当 时满足条件。
9．（2023·德州）如图，在中，以点为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接OE，若，则C，D两点之间的距离为（　　）
A．5 B．6 C． D．8
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接CD、AE、BE，CD交OE于点F，如图
根据作图的步骤可知，OD=DE=CE=OC=5，
∴四边形OBEA是菱形，即OE⊥CD，CF=DF，OF=EF=4，
∴△CFE是直角三角形，
∴CF=，
∴CD=2CF=6
即C，D两点之间的距离为6.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查菱形的判定及性质、勾股定理等知识。
首先根据“四条边都相等的四边形是菱形”，即可判断出四边形OBEA是菱形；然后根据“菱形的对角线互相垂直平分”，即可得出△CFE是直角三角形，且OF=EF=4；最后利用勾股定理即可计算出CF的长，此时CD的长即可计算出来。
10．（2023·德州）某次列车平均提速v千米／小时，用相同的时间，列车提速前行驶千米，相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．若设提速后这次列车的平均速度为千米／小时，则可列方程为
B．若设提速后这次列车的平均速度为千米／小时，则可列方程为
C．若设提速前这次列车的平均速度为千米／小时，则可列方程为
D．若设提速前这次列车的平均速度为千米／小时，则可列方程为
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，某次列车平均提速v千米／小时，若设提速后这次列车的平均速度为x千米／小时，则提速前的平均速度是（x-v）千米/小时。根据条件列式为
故答案为：B.
【分析】本题主要考查“路程、速度、时间”的关系以及分式方程的实际运用。
首先根据条件“ 某次列车平均提速v千米／小时， 若设提速后这次列车的平均速度为千米／小时 ”，则可知提速前的平均速度是（x-v）千米/小时，这样提速前列车行驶s千米，对应的时间就是小时；而“ 相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米 ”，则提速后对应的时间是小时，因为时间相同，因此可以列出等式方程。
11．（2023·德州）如图，是上的点，与BD交于点的半径为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接DC，AO，OD，如图，
∵AB= AD，即弧AB=弧AD，
∴∠ADE=∠ACD
∴△ADE∽△ACD，
∴，即，解得AD=，
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴AO⊥BD，BH=DH=，
在Rt△ADH中，AH2=AD2-DH2，
∴AH==2
∴OH=OD-2.
在Rt△ODH中，OD2=OH2+DH2
∴OD2=(OD-2)2+()2，解得OD=6.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查同弧对应的圆周角、相似三角形的性质、垂径定理、勾股定理等知识。
首先利用相似三角形的判定方法得出△ADE∽△ACD，即可得出对应边长成比例，继而求出AD的长；根据垂径定理可以求出AO⊥BD，BH=DH=，最后运用勾股定理求出AH的长和OD的长即可。
12．（2023·德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点的坐标为是OA的中点，AC，BD交于点，函数的图象过点B，E，且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：∵ 四边形OABC是矩形，点的坐标为是OA的中点 ，
∴A（6，0），C（0，3），D（3，0），
设AC所在的直线解析式为y=k1x+b1，将A、C两点代入，得，解得，
∴AC所在的直线解析式为y=x+3；
设BD所在的直线解析式为y=k2x+b2，将B、D两点代入，得，解得，
∴BD所在的直线解析式为y=x-3；
∵BD与AC交于E点，即x+3=x-3，解得x=4，将x=4代入y=x-3中，解得y=1，因此E（4，1），
∵ 函数的图象过点B，E ，即，解得，
∴反比例函数关系式为，
现将反比例函数向左平移3个单位，得到，即，
然后再向下平移4个单位，得到
因此经过平移后得到一个反比例函数解析式为 。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查直线解析式与反比例函数解析式的计算以及图象平移问题。
首先根据四边形OABC是矩形以及B点的坐标，可以确定A、C、D的坐标，然后利用待定系数法可以分别求出AC与BD所在直线的解析式，这样可以进一步求出E点的坐标；继续用待定系数法可以求出反比例函数的解析式，最后用“左加右减、上加下减”对反比例解析式变形即可得出答案。
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．（2023·德州） 若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的的值　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1.
因此一个满足条件的的值是1.
故答案为：1.
【分析】本题主要考查二次根式在实数范围内有意义的条件。
形如，只有当a≥0时，在实数范围内才有意义。本题按照有意义的条件列出不等式，计算出x的取值范围之后，在取值范围内选择任意一个数即可。
14．（2023·德州）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：　 　0.（填“＞”“＜”或“=”）
【答案】＞
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：从图中可以看出，a＜0，且，∴a+1＞0，
∵b＞1，∴b-1＞0，
∴ ＞0
故答案为：＞.
【分析】本题考查数轴上的点的位置以及正负性的判断。
本题首先判断a+1的正负性，因为a是负数，且，因此a+1＞0；然后判断出b-1＞0，最后即可判断出 是正数。
15．（2023·德州）一个盒子里放有草莓味、柠檬味的两种糖各1块，另一个盒子里放有草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖各1块，糖的外形相同。小亮从两个盒子中各随机取出一块糖，则两块糖是不同味的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：1-=
因此两块糖是不同味的概率是。
故答案为：.
【分析】本题考查概率的计算。
本题的问题是“ 两块糖是不同味的概率 ”，可以反方向思考，先计算出“ 小亮从两个盒子中各随机取出一块糖，相同的概率是多少 ”，然后用“1”减去相同的概率，就是不同味道的概率。如果第一个盒子拿到的是草莓味糖果，则概率是，那么第二个盒子拿到草莓味的概率是，因此此时的概率是；同理，两盒拿到柠檬味的概率也是，因此相同味道的概率是，然后计算即可。
16．（2023·德州）如图，正方形ABCD的边长为4，点在BC上，且于点，交AG于点，则EG的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，即∠AED=∠BFA=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE
在△AFB和△DEA中，∠BFA=∠AED，∠BAF=∠ADE，AB=AD，
∴△AFB≌△DEA(AAS)，
∴AE=BF，
在Rt△ABG中，AB=4，BG=3，∴AG==5，
∵S△ABG=AB·BG=AG·BF，
∴4×3=5BF，解得BF=，即AE=BF=，
∴EG=AG-AE=
故答案为：.
【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理等知识。
首先利用正方形的性质以及角度互余，分别得出AB=AD和∠BAF=∠ADE，然后利用AAS得出△AFB≌△DEA，这样就可以得出AE=BF，此时利用勾股定理求出AG的长度之后，利用面积相等的计算公式求出AE=BF=，最后作差即可求出EG的长度。
17．（2023·德州）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
即，
，
，
解得，．
检验：当时，原方程可化为，
，
方程有实数根，符合题意；
当时，原方程可化为，
，
方程无实数根，不符合题意．
故答案为：
【分析】对于一元二次方程的两个根，，则有，．
18．（2023·德州）如图，在四边形ABCD中，，，点在AB上，且为边AD上的两个动点，且.当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题；相似比
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，AD∥BC，
∴∠B= 90°
∵AB=3，BC=4，AE=1，
∴BE=AB-AE=3-1=2.
在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC===，
∵FG=1，
∴四边形CGFE的周长=CG+FG+EF+EC=CG+EF+1+，
∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可，
过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'=AE=1，连接E'F，EC，E'C交AD于点G'，如图所示
可得AD垂直平分E'E，
∴E'F= EF
∵AD∥BC，
∴C'F=CG，CC'=FG=1，
∴CG+EF=CF+E'F≥E'C'，
即CG+ EF最小时，CG=C'G'，
∵E'B=AB+AE'=3+1=4，BC'=BC-CC'=4-1=3，
由勾股定理，得E'C'===5，
∵AG'∥BC"
，即，
解得C'G'=，
即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为
故答案为：.
【分析】本题主要考查动点最值问题，需要利用对称点、勾股定理、相似比等相关知识。
首先利用平行线的性质得出∠B=90°，然后利用勾股定理求出EC的长度，这时可以发现，EC、FG的长度都是固定的，因此四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可；然后利用“将军饮马”的对称性原理，找到E的对称点E'，并且将CG平移到C'G'，此时CG+EF就可以转化为C'G'+E'F，因此只有当E'、G'、C'三点共线的时候才是最小值。接着可以利用勾股定理、相似比等知识求出E'C'与C'G'的值，答案即可求解。
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．（2023·德州）
（1）化简：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：原式
（2）解：不等式，得，
不等式，得.
不等式的解集为.
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简和不等式组的求解。
（1）先将括号里面的分式进行通分，并且按照平方差公式对9m2-4n2进行因式分解，继而约分化简即可；
（2）分别计算出不等式组中两个不等式的解，最后综合汇总即可求出不等数组的解集。
20．（2023·德州）某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
学校学生参与家务劳动情况调查报告
调查主题 学校学生参与家务劳动情况
调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生
数据的收集、整理与描述 第一项 你日常参与的家务劳动项目是（单选） A.天天参与； B.经常参与； C.偶尔参与； D.几乎不参与
第二项 你日常参与的家务劳动项目是（可多选） E.扫地抹桌； F.厨房帮厨； G.整理房间； H.洗晒衣服.
第三项 …… ……
调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的学生有　 　人；
（2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数；
（3）估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数；
（4）如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议。
【答案】（1）200
（2）解：，
∴“天天参与”对应扇形的圆心角的度数为；
（3）解：（人）.
∴估计参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1494.
（4）答：同学们可在家多帮助父母扫地抹桌和洗晒衣服，这样不仅可以帮助父母分担家务，也可以锻炼自己的体力和大脑，提升自己的实践能力。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）36+90+62+12=200人
因此参与本次抽样调查的学生有200人。
故答案为：200。
【分析】本题主要考查统计相关知识，通过统计图和资料信息进行相关的计算与分析。
（1）通过第一项右侧的条形图，可以得出A.天天参与的人数是36人；B.经常参与的人数是90人；C.偶尔参与的人数是62人；D.几乎不参与的人数是12人，最后求和就是本次抽样调查的学生人数；
（2）“天天参与”的人数是36人，占200人的比值是，而扇形图是一个圆形，圆心角和是360°，因此“天天参与”对应扇形的圆心角的度数列式为；
（3）结合第二项的相关信息和右侧的条形图，发现整理房间的人数占比是83%，因此当对全校1800名学生进行估计的时候，列式为人；
（4） 为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，可以从帮助父母做家务来入手，并写一下做家务的好处即可。
21．（2023·德州）如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经测量，，，已知米，米．求两栋楼楼顶A，C之间的距离．（参考数据：，，，测角仪的高度忽略不计）．
【答案】解：如图，过点C作，垂足为点F，则四边形CFBD是矩形．
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴米．
由题意，得（米），（米），
∴（米），
在中，（米）．
∴A，C之间的距离为100米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图可过点C作AB的垂线段CF，则四边形CFBD为矩形，所以BF=CD、CF=BD；先解可得CD=ED=20，再解可得AB=80，则AF可得，最后在中利用勾股定理即可．
22．（2023·德州）如图，AC为四边形ABCD的对角线，的外接圆交CD于点所对的圆心角的度数为.
（1）求证：AD是的外接圆的切线；
（2）若的外接圆的半径为3，求的长
【答案】（1）证明：如图，设圆心为点，连接OC.
所对圆心角的度数为，
.
，
.
，即
∵的外接圆，
是的直径.
是的半径.
是外接圆的切线.
（2）解：如图，连接OE.
，
.
.
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；弧长的计算；圆的综合题
【解析】【分析】本题主要考查切线的判定、弧长的计算等知识。
（1）首先根据所对的圆心角的度数为先确定，然后利用等腰三角形以及三角形内角和可以求出，最后计算出，即可得出证明结果；
（2）逐步计算出∠COE=50°，然后利用弧长公式代入计算即可。
23．（2023·德州） 某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．
（1）求A，B两种商品每件的利润；
（2）已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A商品价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设A商品每件的利润为x元，B商品每件的利润为y元，
根据题意，得，解得：
答：A商品每件的利润为12元，B商品每件的利润为8元．
（2）解：设降价a元利润为w元根据题意，得：
．
．当时，w有最大值，最大值为2420，此时定价（元）．
答：定价为35元时，利润最大，最大为2420元，
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用；
（1）根据题意可得等量关系：销售件商品的利润销售件商品的利润元；销售件商品的利润销售件商品的利润元；据此可列出方程组，解方程组可求出答案；
（2）根据题意可得等量关系：总利润销售商品的单件利润销售总量，据此列出二次函数，再化成顶点式可得，再利用二次函数的性质可求出最大值，进而求出答案．
24．（2023·德州）
（1）如图1，AC为四边形ABCD的对角线，分别为的中点，连接.判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，点E，F分别在AD，BC上，且.求EF的取值范围；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，点E，F分别在AD，BC上，且.求EF的值．
【答案】（1）证明：为直角三角形.理由如下：
点分别为的中点.
分别为和的中位线.
.
.
.
.
为直角三角形.
（2）解：如图1.连接AC，取，连接EG，FG.
，
.
.
.
同理可得，，
.
在中，.
（3）解：如图2，连接AC，取，连接EG，GF.
延长FG，过点作交延长线于点.
.
.
.
同理可得，.
，由平行关系可得，.
.
.
.
在Rt中，.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题主要考查中位线性质、直角三角形的特点、相似三角形的判定及性质、平行线的性质、勾股定理等知识。
（1）先判断出分别为和的中位线，根据中位线的性质“中位线平行于三角形的第三边”，即可得出，然后根据“两直线平行、同位角相等”即可得出，最后得出∠EGF=90°，△EFG的形状即可判断；
（2）先判断出，然后根据相似三角形对应边成比例可以计算出GF的长，接着证明出，此时可以求出EG的长度，最后放到△EFG中，利用“三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可求出EF的取值范围；
（3）做出辅助线之后，首先得出，继而得出此时EG的长度即可求出，然后根据“两直线平行、同位角相等”可以求出、。求出EH、FH的长度之后，利用勾股定理即可求出EF的长。
25．（2023·德州）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线．
（1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W” 交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求证：；
②当时，请用合适的式子表示（直接写结果）．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：由（1）知，当时，A（2，-8）、A`（2，0）
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“G”的解析式为．
设直线的解析式为．
当时，
解得或，
∴点C的横坐标为．
当时，
解得或，
∴点P的横坐标为．
当 时，
解得或，
∴点D的横坐标为．
如图1，分别过点P、C作轴、过点C、D作轴，使CM交PM于点M、DN交CN于点N．
，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当且时，解得：．
∴点D的横坐标为．
分别过点C、D作轴，过点P作轴分别交CQ于点Q，交DT于点T．
由各点的横坐标可知，．
∵，
∴．
∴．
则
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）对于二次函数，其对称轴为直线，顶点坐标为，由于本题中，所以对称轴为，由折叠的性质知AA`=8，即顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）①如图1所示，设直线BD的解析式为，则分别联立直线BD与抛物线“W ”和"G"的解析式得议程组可分别求出点P、C、D的横坐标，再分别过点P、C作轴、过点C、D作轴，使CM交PM于点M、DN交CN于点N，则利用三点的横坐标可证明PM=CN，再由平行线的性质可证明即可；
②先联立直线BD与抛物线“G”的解析式可点D的横坐标，则PQ、PT均可表示，再分别过点C、D作轴，过点P作轴分别交CQ于点Q，交DT于点T，当且时，显然可证明，则由相似比可得即可．
（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：∵，
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“C”的解析式为．
设直线的解析式为．
当时，
解得或，
∴点C的横坐标为．
当时，
解得（舍去）或，
∴点P的横坐标为．
当 时，
解得或，
∴点D的横坐标为．
如图1，作轴，过点C作轴交于点M，
作轴，过点D作交于点N．
由各点横坐标可得：，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当且时，解得：．
∴．点D的横坐标为．
当时，如图2，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．
由各点的横坐标可知，．
∵，
∴．
∴．
则．
当时，如图3，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．
由各点的横坐标可知，，
∵，
∴，
∴．
则．
综上所述，用含a的式子表示 为
1 / 1山东省德州市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
1．（2023·德州）的绝对值是（　　）
A． B． C．-4 D．4
2．（2023·德州）下列选项中，直线是四边形的对称轴的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·德州）一组数据5，6，8，8，8，1，4，若去掉一个数据，则下列统计量一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．（2023·德州）如图所示几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023·德州）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·德州）压力、压强、受力面积之间的关系为：，当压力一定时，另外两个变量的函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023·德州）如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·德州）已知直线与直线交于点，若点的横坐标为-5，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·德州）如图，在中，以点为圆心，5为半径作弧，分别交射线OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，CO的长为半径作弧，两弧在内部交于点，连接OE，若，则C，D两点之间的距离为（　　）
A．5 B．6 C． D．8
10．（2023·德州）某次列车平均提速v千米／小时，用相同的时间，列车提速前行驶千米，相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米，根据以上信息，下列说法正确的是（　　）
A．若设提速后这次列车的平均速度为千米／小时，则可列方程为
B．若设提速后这次列车的平均速度为千米／小时，则可列方程为
C．若设提速前这次列车的平均速度为千米／小时，则可列方程为
D．若设提速前这次列车的平均速度为千米／小时，则可列方程为
11．（2023·德州）如图，是上的点，与BD交于点的半径为（　　）
A．6 B． C．5 D．
12．（2023·德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点的坐标为是OA的中点，AC，BD交于点，函数的图象过点B，E，且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
13．（2023·德州） 若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的的值　 　．
14．（2023·德州）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：　 　0.（填“＞”“＜”或“=”）
15．（2023·德州）一个盒子里放有草莓味、柠檬味的两种糖各1块，另一个盒子里放有草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖各1块，糖的外形相同。小亮从两个盒子中各随机取出一块糖，则两块糖是不同味的概率是　 　.
16．（2023·德州）如图，正方形ABCD的边长为4，点在BC上，且于点，交AG于点，则EG的长为　 　.
17．（2023·德州）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　 　．
18．（2023·德州）如图，在四边形ABCD中，，，点在AB上，且为边AD上的两个动点，且.当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为　 　.
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．（2023·德州）
（1）化简：；
（2）解不等式组：
20．（2023·德州）某校劳动实践小组为了解全校1800名学生参与家务劳动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告：
学校学生参与家务劳动情况调查报告
调查主题 学校学生参与家务劳动情况
调查方式 抽样调查 调查对象 学校学生
数据的收集、整理与描述 第一项 你日常参与的家务劳动项目是（单选） A.天天参与； B.经常参与； C.偶尔参与； D.几乎不参与
第二项 你日常参与的家务劳动项目是（可多选） E.扫地抹桌； F.厨房帮厨； G.整理房间； H.洗晒衣服.
第三项 …… ……
调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）参与本次抽样调查的学生有　 　人；
（2）若将上述报告第一项的条形统计图转化为相对应的扇形统计图，求扇形统计图中选项“天天参与”对应扇形的圆心角度数；
（3）估计该校1800名学生中，参与家务劳动项目为“整理房间”的人数；
（4）如果你是该校学生，为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，请你面向全体同学写出一条倡议。
21．（2023·德州）如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经测量，，，已知米，米．求两栋楼楼顶A，C之间的距离．（参考数据：，，，测角仪的高度忽略不计）．
22．（2023·德州）如图，AC为四边形ABCD的对角线，的外接圆交CD于点所对的圆心角的度数为.
（1）求证：AD是的外接圆的切线；
（2）若的外接圆的半径为3，求的长
23．（2023·德州） 某商场购进了A，B两种商品，若销售10件A商品和20件B商品，则可获利280元；若销售20件A商品和30件B商品，则可获利480元．
（1）求A，B两种商品每件的利润；
（2）已知A商品的进价为24元/件，目前每星期可卖出200件A商品，市场调查反映：如调整A商品价格，每降价1元，每星期可多卖出20件，如何定价才能使A商品的利润最大？最大利润是多少？
24．（2023·德州）
（1）如图1，AC为四边形ABCD的对角线，分别为的中点，连接.判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，点E，F分别在AD，BC上，且.求EF的取值范围；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，点E，F分别在AD，BC上，且.求EF的值．
25．（2023·德州）学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线．
（1）如图1，将抛物线在直线下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点恰好在x轴上，求抛物线的对称轴及a的值；
（2）如图2，抛物线的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W” 交于P，C两点，与图象“G”交于点D．
①当时，求证：；
②当时，请用合适的式子表示（直接写结果）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值，即。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查绝对值的计算。
绝对值具有非负性。当计算的时候，如果a≥0，则=a；当a＜0时，=-a。本题a就是，因此它的绝对值就是其相反数，据此即可计算出答案。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，直线l不是该四边形的对称轴；
选项B，直线l不是该四边形的对称轴；
选项C，直线l是该四边形的对称轴；
选项D，直线l不是该四边形的对称轴。
故答案为：C.
【分析】本题主要考查图形对称轴的判断。对称轴，指将图形分为对称的两部分的中轴线，即该图形可以沿着某条直线对折之后完全重合，那么这条直线就是该图形的对称轴。四个选项中，只有C选项图形沿着l直线折叠，上下部分可以完全重合，因此直线是该四边形的对称轴。
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵数据5，6，8，8，8，1，4中，8出现了3次，
∴这组数据的众数为8，
去了一个8后，这组数据中，8出现了2次，众数仍然是8，
若去掉的是其他数字，这组数据中，8出现了3次，众数仍然是8，
将这组数据从小到大排列为：1，4，5，6，8，8，8这组数据的中位数为6，
去掉一个数据，这组数据中，中位数发生了变化，
这组数据的平均数为，
去掉的一个数据不是，
平均数发生了变化，
方差也发生了变化，
∴众数没有变化，平均数，中位数，方差都发生了变化，
故答案为：B．
【分析】A、由于计算出的平均数与各数据均不相等，因此去掉任意一个数据后，平均数都会发生变化；
B、由于数据8出现的次数最多有3次，其它数据各出现一次，因此无论去掉哪个数据，众数依然是8；
C、先按从小到大的顺序排列数据，由于共有7个数据，则中位数是第4个数据即6，但去掉任意一个数据后剩余6个数据，则中位数是最中间两个数据的平均数，则发现都不等于6；
D、由于平均数发生了变化，则方差必然发生变化．
4．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察图形，俯视图看到的图形为C选项对应的图形。
故答案为：C.
【分析】本题考查几何体的三视图。
选项A是主视图，选项B是左视图，选项C是俯视图。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：=3m+4n
故答案为：D.
【分析】本题主要考查相同数之和和同底数幂相乘的表示。
本题中，m个3相加，就是3m；n个4相乘，即“同底数幂相乘，底数不变、指数相加”，表示出来就是4n，最后即可选出答案。
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据公式，当压力一定时， p增加，则S减小；p减小，则S增加，因此p和S是反比例函数图象。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查反比例函数图象的识别和判断。
当一个关系式中出现三个未知数，其中一个未知数是一定时，另外两个未知数出现“一个增大、一个减小”的时候，那么这两个未知数变量就是反比例关系。本题中F一定，那么p和S就是反方向变化，因此就是反比例关系，对应的图象就是反比例图象。
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质得
，
，
，
故答案为：A．
【分析】由旋转的性质知，，则，再由三角形外角的性质结合角之间的数量关系可得，由于已知，则可得.
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：分别画出直线与直线在直角坐标系中的图形位置，如图所示，
只有当x＜-5时，。
故答案为：A.
【分析】本题考查直线在直角坐标系的位置以及不等式的解集计算。
首先通过直线可知，x前面的系数3大于0，因此该直线是增函数，且a是该直线与y轴的交点；直线 可知，x前面的系数-2小于0，因此该直线是减函数，且b是该直线与y轴的交点；而这两条直线的交点P的横坐标是-5，画图即可发现a＞b。画出图结合不等式可以发现，即直线在的下方，因此只有当 时满足条件。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接CD、AE、BE，CD交OE于点F，如图
根据作图的步骤可知，OD=DE=CE=OC=5，
∴四边形OBEA是菱形，即OE⊥CD，CF=DF，OF=EF=4，
∴△CFE是直角三角形，
∴CF=，
∴CD=2CF=6
即C，D两点之间的距离为6.
故答案为：B.
【分析】本题主要考查菱形的判定及性质、勾股定理等知识。
首先根据“四条边都相等的四边形是菱形”，即可判断出四边形OBEA是菱形；然后根据“菱形的对角线互相垂直平分”，即可得出△CFE是直角三角形，且OF=EF=4；最后利用勾股定理即可计算出CF的长，此时CD的长即可计算出来。
10．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，某次列车平均提速v千米／小时，若设提速后这次列车的平均速度为x千米／小时，则提速前的平均速度是（x-v）千米/小时。根据条件列式为
故答案为：B.
【分析】本题主要考查“路程、速度、时间”的关系以及分式方程的实际运用。
首先根据条件“ 某次列车平均提速v千米／小时， 若设提速后这次列车的平均速度为千米／小时 ”，则可知提速前的平均速度是（x-v）千米/小时，这样提速前列车行驶s千米，对应的时间就是小时；而“ 相同的时间，提速后比提速前多行驶50千米 ”，则提速后对应的时间是小时，因为时间相同，因此可以列出等式方程。
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接DC，AO，OD，如图，
∵AB= AD，即弧AB=弧AD，
∴∠ADE=∠ACD
∴△ADE∽△ACD，
∴，即，解得AD=，
∵AB=AD，即A是BD的中点，
∴AO⊥BD，BH=DH=，
在Rt△ADH中，AH2=AD2-DH2，
∴AH==2
∴OH=OD-2.
在Rt△ODH中，OD2=OH2+DH2
∴OD2=(OD-2)2+()2，解得OD=6.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查同弧对应的圆周角、相似三角形的性质、垂径定理、勾股定理等知识。
首先利用相似三角形的判定方法得出△ADE∽△ACD，即可得出对应边长成比例，继而求出AD的长；根据垂径定理可以求出AO⊥BD，BH=DH=，最后运用勾股定理求出AH的长和OD的长即可。
12．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数的一点两垂线型
【解析】【解答】解：∵ 四边形OABC是矩形，点的坐标为是OA的中点 ，
∴A（6，0），C（0，3），D（3，0），
设AC所在的直线解析式为y=k1x+b1，将A、C两点代入，得，解得，
∴AC所在的直线解析式为y=x+3；
设BD所在的直线解析式为y=k2x+b2，将B、D两点代入，得，解得，
∴BD所在的直线解析式为y=x-3；
∵BD与AC交于E点，即x+3=x-3，解得x=4，将x=4代入y=x-3中，解得y=1，因此E（4，1），
∵ 函数的图象过点B，E ，即，解得，
∴反比例函数关系式为，
现将反比例函数向左平移3个单位，得到，即，
然后再向下平移4个单位，得到
因此经过平移后得到一个反比例函数解析式为 。
故答案为：D.
【分析】本题主要考查直线解析式与反比例函数解析式的计算以及图象平移问题。
首先根据四边形OABC是矩形以及B点的坐标，可以确定A、C、D的坐标，然后利用待定系数法可以分别求出AC与BD所在直线的解析式，这样可以进一步求出E点的坐标；继续用待定系数法可以求出反比例函数的解析式，最后用“左加右减、上加下减”对反比例解析式变形即可得出答案。
13．【答案】1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1.
因此一个满足条件的的值是1.
故答案为：1.
【分析】本题主要考查二次根式在实数范围内有意义的条件。
形如，只有当a≥0时，在实数范围内才有意义。本题按照有意义的条件列出不等式，计算出x的取值范围之后，在取值范围内选择任意一个数即可。
14．【答案】＞
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：从图中可以看出，a＜0，且，∴a+1＞0，
∵b＞1，∴b-1＞0，
∴ ＞0
故答案为：＞.
【分析】本题考查数轴上的点的位置以及正负性的判断。
本题首先判断a+1的正负性，因为a是负数，且，因此a+1＞0；然后判断出b-1＞0，最后即可判断出 是正数。
15．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：1-=
因此两块糖是不同味的概率是。
故答案为：.
【分析】本题考查概率的计算。
本题的问题是“ 两块糖是不同味的概率 ”，可以反方向思考，先计算出“ 小亮从两个盒子中各随机取出一块糖，相同的概率是多少 ”，然后用“1”减去相同的概率，就是不同味道的概率。如果第一个盒子拿到的是草莓味糖果，则概率是，那么第二个盒子拿到草莓味的概率是，因此此时的概率是；同理，两盒拿到柠檬味的概率也是，因此相同味道的概率是，然后计算即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，即∠AED=∠BFA=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE
在△AFB和△DEA中，∠BFA=∠AED，∠BAF=∠ADE，AB=AD，
∴△AFB≌△DEA(AAS)，
∴AE=BF，
在Rt△ABG中，AB=4，BG=3，∴AG==5，
∵S△ABG=AB·BG=AG·BF，
∴4×3=5BF，解得BF=，即AE=BF=，
∴EG=AG-AE=
故答案为：.
【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理等知识。
首先利用正方形的性质以及角度互余，分别得出AB=AD和∠BAF=∠ADE，然后利用AAS得出△AFB≌△DEA，这样就可以得出AE=BF，此时利用勾股定理求出AG的长度之后，利用面积相等的计算公式求出AE=BF=，最后作差即可求出EG的长度。
17．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
即，
，
，
解得，．
检验：当时，原方程可化为，
，
方程有实数根，符合题意；
当时，原方程可化为，
，
方程无实数根，不符合题意．
故答案为：
【分析】对于一元二次方程的两个根，，则有，．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题；相似比
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，AD∥BC，
∴∠B= 90°
∵AB=3，BC=4，AE=1，
∴BE=AB-AE=3-1=2.
在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC===，
∵FG=1，
∴四边形CGFE的周长=CG+FG+EF+EC=CG+EF+1+，
∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可，
过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'=AE=1，连接E'F，EC，E'C交AD于点G'，如图所示
可得AD垂直平分E'E，
∴E'F= EF
∵AD∥BC，
∴C'F=CG，CC'=FG=1，
∴CG+EF=CF+E'F≥E'C'，
即CG+ EF最小时，CG=C'G'，
∵E'B=AB+AE'=3+1=4，BC'=BC-CC'=4-1=3，
由勾股定理，得E'C'===5，
∵AG'∥BC"
，即，
解得C'G'=，
即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为
故答案为：.
【分析】本题主要考查动点最值问题，需要利用对称点、勾股定理、相似比等相关知识。
首先利用平行线的性质得出∠B=90°，然后利用勾股定理求出EC的长度，这时可以发现，EC、FG的长度都是固定的，因此四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可；然后利用“将军饮马”的对称性原理，找到E的对称点E'，并且将CG平移到C'G'，此时CG+EF就可以转化为C'G'+E'F，因此只有当E'、G'、C'三点共线的时候才是最小值。接着可以利用勾股定理、相似比等知识求出E'C'与C'G'的值，答案即可求解。
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：不等式，得，
不等式，得.
不等式的解集为.
【知识点】分式的混合运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查分式的化简和不等式组的求解。
（1）先将括号里面的分式进行通分，并且按照平方差公式对9m2-4n2进行因式分解，继而约分化简即可；
（2）分别计算出不等式组中两个不等式的解，最后综合汇总即可求出不等数组的解集。
20．【答案】（1）200
（2）解：，
∴“天天参与”对应扇形的圆心角的度数为；
（3）解：（人）.
∴估计参与家务劳动项目为“整理房间”的人数为1494.
（4）答：同学们可在家多帮助父母扫地抹桌和洗晒衣服，这样不仅可以帮助父母分担家务，也可以锻炼自己的体力和大脑，提升自己的实践能力。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）36+90+62+12=200人
因此参与本次抽样调查的学生有200人。
故答案为：200。
【分析】本题主要考查统计相关知识，通过统计图和资料信息进行相关的计算与分析。
（1）通过第一项右侧的条形图，可以得出A.天天参与的人数是36人；B.经常参与的人数是90人；C.偶尔参与的人数是62人；D.几乎不参与的人数是12人，最后求和就是本次抽样调查的学生人数；
（2）“天天参与”的人数是36人，占200人的比值是，而扇形图是一个圆形，圆心角和是360°，因此“天天参与”对应扇形的圆心角的度数列式为；
（3）结合第二项的相关信息和右侧的条形图，发现整理房间的人数占比是83%，因此当对全校1800名学生进行估计的时候，列式为人；
（4） 为鼓励同学们更加积极地参与家务劳动，可以从帮助父母做家务来入手，并写一下做家务的好处即可。
21．【答案】解：如图，过点C作，垂足为点F，则四边形CFBD是矩形．
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，，
∴，
∴，
∴米．
由题意，得（米），（米），
∴（米），
在中，（米）．
∴A，C之间的距离为100米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图可过点C作AB的垂线段CF，则四边形CFBD为矩形，所以BF=CD、CF=BD；先解可得CD=ED=20，再解可得AB=80，则AF可得，最后在中利用勾股定理即可．
22．【答案】（1）证明：如图，设圆心为点，连接OC.
所对圆心角的度数为，
.
，
.
，即
∵的外接圆，
是的直径.
是的半径.
是外接圆的切线.
（2）解：如图，连接OE.
，
.
.
.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；弧长的计算；圆的综合题
【解析】【分析】本题主要考查切线的判定、弧长的计算等知识。
（1）首先根据所对的圆心角的度数为先确定，然后利用等腰三角形以及三角形内角和可以求出，最后计算出，即可得出证明结果；
（2）逐步计算出∠COE=50°，然后利用弧长公式代入计算即可。
23．【答案】（1）解：设A商品每件的利润为x元，B商品每件的利润为y元，
根据题意，得，解得：
答：A商品每件的利润为12元，B商品每件的利润为8元．
（2）解：设降价a元利润为w元根据题意，得：
．
．当时，w有最大值，最大值为2420，此时定价（元）．
答：定价为35元时，利润最大，最大为2420元，
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用；
（1）根据题意可得等量关系：销售件商品的利润销售件商品的利润元；销售件商品的利润销售件商品的利润元；据此可列出方程组，解方程组可求出答案；
（2）根据题意可得等量关系：总利润销售商品的单件利润销售总量，据此列出二次函数，再化成顶点式可得，再利用二次函数的性质可求出最大值，进而求出答案．
24．【答案】（1）证明：为直角三角形.理由如下：
点分别为的中点.
分别为和的中位线.
.
.
.
.
为直角三角形.
（2）解：如图1.连接AC，取，连接EG，FG.
，
.
.
.
同理可得，，
.
在中，.
（3）解：如图2，连接AC，取，连接EG，GF.
延长FG，过点作交延长线于点.
.
.
.
同理可得，.
，由平行关系可得，.
.
.
.
在Rt中，.
【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题主要考查中位线性质、直角三角形的特点、相似三角形的判定及性质、平行线的性质、勾股定理等知识。
（1）先判断出分别为和的中位线，根据中位线的性质“中位线平行于三角形的第三边”，即可得出，然后根据“两直线平行、同位角相等”即可得出，最后得出∠EGF=90°，△EFG的形状即可判断；
（2）先判断出，然后根据相似三角形对应边成比例可以计算出GF的长，接着证明出，此时可以求出EG的长度，最后放到△EFG中，利用“三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”即可求出EF的取值范围；
（3）做出辅助线之后，首先得出，继而得出此时EG的长度即可求出，然后根据“两直线平行、同位角相等”可以求出、。求出EH、FH的长度之后，利用勾股定理即可求出EF的长。
25．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：由（1）知，当时，A（2，-8）、A`（2，0）
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“G”的解析式为．
设直线的解析式为．
当时，
解得或，
∴点C的横坐标为．
当时，
解得或，
∴点P的横坐标为．
当 时，
解得或，
∴点D的横坐标为．
如图1，分别过点P、C作轴、过点C、D作轴，使CM交PM于点M、DN交CN于点N．
，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当且时，解得：．
∴点D的横坐标为．
分别过点C、D作轴，过点P作轴分别交CQ于点Q，交DT于点T．
由各点的横坐标可知，．
∵，
∴．
∴．
则
【知识点】翻折变换（折叠问题）；二次函数与分段函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）对于二次函数，其对称轴为直线，顶点坐标为，由于本题中，所以对称轴为，由折叠的性质知AA`=8，即顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）①如图1所示，设直线BD的解析式为，则分别联立直线BD与抛物线“W ”和"G"的解析式得议程组可分别求出点P、C、D的横坐标，再分别过点P、C作轴、过点C、D作轴，使CM交PM于点M、DN交CN于点N，则利用三点的横坐标可证明PM=CN，再由平行线的性质可证明即可；
②先联立直线BD与抛物线“G”的解析式可点D的横坐标，则PQ、PT均可表示，再分别过点C、D作轴，过点P作轴分别交CQ于点Q，交DT于点T，当且时，显然可证明，则由相似比可得即可．
（1）解：抛物线的对称轴为直线：，即为．
根据翻折可知点A的纵坐标为，即点A的坐标为．
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即抛物线的对称轴为直线，；
（2）解：∵，
∴图象“W”的解析式为；
①证明：当 时，图象“C”的解析式为．
设直线的解析式为．
当时，
解得或，
∴点C的横坐标为．
当时，
解得（舍去）或，
∴点P的横坐标为．
当 时，
解得或，
∴点D的横坐标为．
如图1，作轴，过点C作轴交于点M，
作轴，过点D作交于点N．
由各点横坐标可得：，，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
②当且时，图象“G”的解析式为且．
由①可知点P的横坐标为，点C的横坐标为．
当且时，解得：．
∴．点D的横坐标为．
当时，如图2，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．
由各点的横坐标可知，．
∵，
∴．
∴．
则．
当时，如图3，作轴，过点C作轴，交于点Q，过点D作轴交于点T．
由各点的横坐标可知，，
∵，
∴，
∴．
则．
综上所述，用含a的式子表示 为
1 / 1

展开更多......

收起↑