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浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024学年七年级（上）期末数学试卷
1．（2024七上·拱墅期末）我国地域辽阔，南北温差大．某日哈尔滨的最高气温为﹣8℃，海口的最高气温为23℃，则该日这两地的温差为（　　）
A．31℃ B．23℃ C．16℃ D．15℃
【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：23-（-8）=23+8=31（℃）.
故选：A.
【分析】根据温差的定义：温差=最高气温-最低气温，计算出结果即可.
2．（2024七上·拱墅期末）在-，﹣2，-，0这四个数中，最小的数是（　　）
A．- B．﹣2 C．- D．0
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵>>>0
∴-<-2<-<0，
故正确答案选：A.
【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小和零大于一切负数判断即可.
3．（2024七上·拱墅期末）a、b两数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）
A．b＞a B．﹣a＜b C．|a|＞|b| D．﹣a＜﹣b
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由已知可得：b<0∴选项A、C是错误的；
∵a>b ∴-a<-b。 ∴选项D是正确的；
∵，b<0b.∴选项B是错误的。
故答案选：D.
【分析】根据相反数在数轴上的位置关系，分别找到-a、-b的位置，再根据利用数轴比较两数大小的方法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大，即可得到结论.
4．（2024七上·拱墅期末）一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（　　）
A．3.1536×108 B．3.1536×107
C．0.31536×106 D．0.31536×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得，31536000=3.1536×107，
故答案选：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
5．（2024七上·拱墅期末）一个数a精确到十分位的结果是2.6，那么这个数a的范围满足（　　）
A．2.55≤a≤2.65 B．2.55＜a≤2.65
C．2.55＜a＜2.65 D．2.55≤a＜2.65
【答案】D
【知识点】精准度与有效数字
【解析】【解答】解：当a舍去百分位得到2.6，则a的范围为2.60≤a＜2.65；
当a的百分位进1得到2.6，则a的范围为2.55≤a＜2.60；
∴a的范围为 2.55≤a＜2.65 .
故答案为：D.
【分析】利用近似数的精确度，一个数a精确到十分位的结果是2.6，则这个数最小为2.55，最大小于2.65，据此判断即可.
6．（2024七上·拱墅期末）如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④∠B+∠BAD＝180°，其中能推出AB∥DC的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①当∠1=∠2时，AB∥CD；②当∠3=∠4时，AD∥BC；③当∠B=∠DCE时，AB∥CD；
④当∠B+∠BAD=180°时，AD∥BC.
故正确答案选：B.
【分析】根据平行线的判断方法，分别去判定各个选项即可得出正确结论.
7．（2024七上·拱墅期末）若2a2+b＝4，则代数式﹣4a2+3﹣2b的值为（　　）
A．11 B．7 C．1 D．﹣5
【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 2a2+b＝4 ，
∴ ﹣4a2﹣2b =-8.
∴ ﹣4a2+3﹣2b =-8+3=-5.
故答案选：D.
【分析】根据整体代入法，由2a2+b＝4 根据等式的性质可以得到：﹣4a2﹣2b =-8.进而可以得到﹣4a2+3﹣2b 的值.
8．（2024七上·拱墅期末）有一个数值转换器，其原理如图．如果输入x＝16时．输出的y值是（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当x=16时，=4， 4是有理数，∴=2.∵2是有理数，∴y=.
故正确答案选：D.
【分析】先把16输入，得=4，因为4是有理数，所以返回重新输入=2.。2是有理数，所以返回重新输入，所以y=.
9．（2024七上·拱墅期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 m@n＝mn﹣m+n，例如：2@3＝2×3﹣2+3．若2@（x﹣1）的运算结果与（x﹣1）@2的运算结果相同，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由题意可知：2×（x-1）-2+x-1=（x-1）×2-（x-1）+2，
解得：x=3.
故正确答案选：C.
【分析】先按照题意，把新运算转化为常规运算，再解方程，求出x的值即可.
10．（2024七上·拱墅期末）已知AB，CD，EF是三条平行线，小明在三条平行线之间摆放相同的长方形纸片，如图所示，在CD上方有7个，在CD下方有4个，AEFB构成大长方形．已知小纸片长为a，宽为b，摆放方式不重叠也无空隙．小明发现，改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，则a，b之间的关系为（　　）
A．5b＝2a B．4b＝a C．3b＝a D．5b＝3a
【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，AB∥CD∥EF，
∴AB=CD=EF，四边形ABDC，四边形CDFE都是长方形，
∴S1=EF×4b-4b×a=AB×4b-4ab，S2=AB×a-7b×a=AB×a-7ab，
∴S1-S2=AB×4b-4ab-（AB×a-7ab）=（4b-a）AB+3ab，
∵ 改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，
∴4b-a=0，
∴4b=a.
故正确答案选：B.
【分析】由长方形的性质可以知道：S1-S2=AB×4b-AB×a+7ab=（4b-a）×AB+3ab，再根据改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，可得：4b-a=0，所以4b=a。
11．（2024七上·拱墅期末）计算： ＝　 　
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ；
故答案为：2.
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.
12．（2024七上·拱墅期末）化简（﹣3a+b）﹣（﹣3a﹣2b）＝　 　．
【答案】3b
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：原式=-3a+b+3a+2b
=3b.
故正确答案为：3b.
【分析】根据去括号法则去括号、合并同类项即可得出正确结果.
13．（2024七上·拱墅期末）若方程2x﹣kx+1＝﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为 　 　．
【答案】-1
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把x＝﹣1 代入 2x﹣kx+1＝﹣2，得：
k=-1.
故正确答案为：-1.
【分析】因为 方程2x﹣kx+1＝﹣2的解为x＝﹣1， 所以把把x＝﹣1 代入 2x﹣kx+1＝﹣2即可求出k的值.
14．（2024七上·拱墅期末）已知 的余角比 的2倍少 ， 则 　 　度.
【答案】35
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得
90°-∠A=2∠A-15°，
∴3∠A=105°，
解之：∠A=35°.
故答案为：35.
【分析】求一个角的余角就是用90°减去这个角的度数；根据∠A的余角=2∠A -15°，由此可得到关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数.
15．（2024七上·拱墅期末）如图，用火柴棒按如下方式依次摆放，拼成一排由三角形组成的图形．则第2024根火柴在第 　 　个图形中．
【答案】1012
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第一个图形需要3根火柴，第二个图形需要5根火柴，
∴第n个图形需要2n+1根火柴，
∴当2n+1=2=2023时，n=1011，
∴第2024根火柴在第1012个图形中.
故正确答案为：1012.
【分析】通过给出的已知，找到规律：第n个图形需要2n+1根火柴。然后可以看出2n+1是一个奇数，找出离2024最近的奇数2023，就可以知道第2024根火柴所在的图形了.
16．（2024七上·拱墅期末） 已知数轴上两点A，B对应的数分别是﹣4和2，点P从A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，点Q从B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点P与点Q同时出发，经过 　 　秒后，P，Q之间距离2个单位长度．
【答案】1或2
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型；分类讨论
【解析】【解答】解：设x秒后P，Q之间距离2个单位长度．
这要分两种情况讨论：
①当Q在前，P在后面时，
2x+4+2=6x+2，
解得：x=1.
②当P在前面、Q在后面时，
6x=2x+6+2，
解得：x=2.
故正确答案为：2或1.
【分析】由已知可以知道：这是一个同向追击问题.由于P点在后，Q点在前，所以会出现两种情况：
①当P在Q点后面两个单位长度时，等量关系是：Q的路程+6=P的路程+2；②当P追上Q并超过Q2个单位长度时，等量关系是：P的路程=Q的路程+6+2.进而设未知数，列方程，求出未知数的值即可.
17．（2024七上·拱墅期末）计算：．
小明同学在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是， 请计算
（2）如果计算结果等于4，求被污染的数字．
【答案】（1）解：（-18）×（-）-22=（-18）×-4=-9-4=-13.
（2）解：设被污染的数字为x，则
（-18）×（-x）-22=4，
（-18）×（-x）-4=4，
（-18）×（-x）=8，
(-18)×+18x=8，
-12+18x=8，
x=.
∴被污染的数字是.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）当被污染的数字是时，按照运算顺序，计算出结果即可.
（2）当 计算结果等于4 时，设被污染的数字是x，然后构成方程：（-18）×（-x）-22=4，解方程求出x的值即可.
18．（2024七上·拱墅期末）已知x＝，y＝﹣3，求2（x2﹣xy）﹣（x2y）+2xy的值．
【答案】解：原式=2x2-2xy-x2y+2xy
=2x2-x2y.
当x=，y=-3时，原式=2×（）2-（）2×（-3）
=2×-×（-3）
=.
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】先去括号、合并同类项，求出代数式。再把x、y的值代入合并后的代数式中求出代数式的值即可.
19．（2024七上·拱墅期末）解方程：
（1）5x+2（3﹣x）＝8；
（2）
【答案】（1）解：5x+6-2x=8，
3x=2，
x=.
（2）解：-8×6=，
2（x-4）-48=-3（x+2）
2x-8-48=-3x-6
x=10.
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，最后再把系数化为1，求出x的值即可.
（2）先去分母，再去括号、最后再移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值即可.
20．（2024七上·拱墅期末）如图，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°．
判断AB，CD是否平行，并说明理由．
【答案】解：AB∥CD，理由如下：
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，
∵ ∠1+∠2＝90°．
∴∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=180°.
∴AB∥CD.
【知识点】角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】由AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，可知：∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，再由∠1+∠2＝90°．可知∠BAC+∠ACD=180°进而可得：AB∥CD.
21．（2024七上·拱墅期末）如图，已知线段AB．
（1）尺规作图（不写画法，但要保留画图痕迹）：
①延长线段AB到C，使B点为线段AC的中点；
②延长线段BA到D，使AD是CD的三分之一．
（2）求线段BD与线段AC长度之间的大小关系．
（3）如果AB＝3，求线段BD和CD的长．
【答案】（1）解：①如图所示：
②如图所示：
（2）解：∵B为AC的中点，
∴AB=AC.
∵AD=CD，
∴AD=AB=BC，
∴BD=2AB，AC=2AB，
∴BD=AC.
（3）解：∵AB=3，
∴BD=2AB=6， CD=3AB=9.
【知识点】线段的中点；线段的长短比较；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】（1）①先延长AB，再用圆规量出AB的长度，最后在AB的延长线上用圆规截取BC=AB.
②延长线段BA ，在BA的延长线上截取AD=AB即可.
（2）由画图可知∴BD=2AB， AC=2AB，所以可以知道：BD=AC.
（3）由AB=3，BD=2AB，CD=3AB，进而可以计算出AB和CD的长.
22．（2024七上·拱墅期末）某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备，市场调查发现每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等．
（1）求足球的单价．
（2）该训练营需要购买30套队服和y（y＞10）个足球，甲乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自优惠方案不同：
商家 优惠方案
甲 每购买10套队服，送1个足球
乙 购买队服超过20套，则购买足球打8折
①按照以上方案到甲、乙商家购买装备各需费用多少？（用含有y的代数式分别表示）．
②请比较到哪个商家购买比较合算？
【答案】（1）设每个足球x元，每套队服y元，依题意得：
，
解得：
∴足球的单价为90元.
（2）解：①到甲商家购买装备所需费用：150×30+90（y﹣3）＝4230+90y，到乙商家购买装备所需费用：150×30+90×80%y＝4500+72y；
②当训练营需要购买30套队服和15个足球时，在甲乙两个商家所需费用一样多，
当训练营需要购买30套队服和超过15个足球时，在乙商家购买较合算，
当训练营需要购买30套队服和购买足球超过10个而不足15个时，在甲商家购买较合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每个足球x元，每套队服y元，由已知每套队服比每个足球多60元和三套队服与五个足球的费用相等．列两个方程，组成方程组，解出方程组即可得到答案.
（2）①先按照甲、乙两家的优惠方案算出各自的费用表达式.
②先根据两家所需费用相等时，列出方程，解方程。求出足球的个数。再根据比足球个数比15多和比15少两种情况实验即可得到需要购买多少个足球时到哪家购买比较合算.
23．（2024七上·拱墅期末）综合与实践：利用折纸可以作出相等的角．如图，有长方形纸片，在AB上取一点O，以OD为折痕翻折纸片，点B落在点B'，以OC为折痕翻折纸片，点A落在点A'，分别连接OB'，OA'．
（1）根据题意，∠DOB'＝∠　 　，∠COA'＝∠　 　．
（2）记∠AOC＝α，∠BOD＝β．
①如图1，若点B'恰好落在OA'上，求∠COD的度数．
②如图2，折叠后的纸片间出现缝隙，点B'在∠COA'的外侧，求∠A'OB'的度数（用含有α，β的代数式表示）．
③如图3，折叠后的纸片间出现重叠，点A'在∠DOB'的内部，求∠A'OB'的度数（用含有α，β的代数式表示）．
【答案】（1）DOB；COA
（2）解：①∵ ∠DOB'=∠DOB，∠COA'=∠COA.
∴ ∠COD =∠AOC+∠BOD＝∠AOA'+∠BOB'
=（∠AOA'+∠BOB'）
=∠AOB
=×180°
=90°．
∴∠COD=90°.
②∵∠COA'=∠COA=α，∠DOB'=∠DOB=β，
∴∠AOA'=2α，∠BOB'=2β，
∴2α+2β+∠A'OB'=180°，
∴∠A'OB'=180°-2α-2β．
③∵∠AOA'=2α，∠BOB'=2β，
∴∠A'OB'=∠AOA'+∠BOB'-∠AOB=2α+2β-180°，
∴∠A'OB'=2α+2β-180°.
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由折叠可知：
∠DOB'=∠DOB，∠COA'=∠COA.
【分析】（1）由折叠的性质可知：∠DOB'=∠DOB，∠COA'=∠COA.
（2）①由∠DOB'=∠DOB，∠COA'=∠COA.所以∠COD =∠AOC+∠BOD＝∠AOA'+∠BOB' =90°．
②∠COA'=∠COA=α，∠DOB'=∠DOB=β，所以∠AOA'=2α，∠BOB'=2β，所以2α+2β+∠A'OB'=180°，所以∠A'OB'=180°-2α-2β．
③由∠AOA'=2α，∠BOB'=2β可知：∠A'OB'=∠AOA'+∠BOB'-∠AOB，所以∠A'OB'=2α+2β-180°
24．（2024七上·拱墅期末）杭州市居民生活用天然气执行阶梯价格，具体如下表：
月用气量（单位：立方米） 价格（单位：元/立方米）
30以下（含30） 2.5
超出30且不超过50部分 2.8
超出50部分 3.5
注：不足1立方米记为1立方米．
冬季来临之前，居民小刘开始记录家里燃气使用情况，请根据小刘的记录解决问题：
（1）①10月份用气量为30立方米．需要交气费多少钱？
②11月份用气量为40立方米，需要交气费多少钱？
（2）12月份交了117元的气费，请计算他家12月份用了多少立方米的天然气．
（3）1月天气寒冷，小刘家开启燃气取暖，燃气量将会增加．小刘预估1月他家使用天然气的平均价格为3.3元/m3，那么小刘家预估用气是多少立方米？
【答案】（1）解：①∵30×2.5=75（元）。
∴10月份用气需要交气费75元.
②75+（40-30）×2.8=103（元）.
∴11月份需要交气费103元.
（2）解：（117-75）÷2.8=15（立方米），15+30=45（立方米）。
∴他家12月份用了45立方米的天然气.
（3）解：设小刘家预估1月用气是x立方米，依题意得：
75+（50-30）×2.8+（x-50）×3.5=3.3x，
解得：x=220.
∴ 小刘家预估用气是220立方米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）①由10月份用气量为30立方米可知缴费的标准是2.5元/立方米.需要交气费=30×2.5=75元.
②由11月份用气量为40立方米，超过30立方米，所以需要交气费=30立方米的气费+超出的10立方米的气费=75+10×2.8=103元.
（2）由12月份交了117元的气费 ，可知他12月份用气没有超过80立方米，所以可以用117-75=42元是超过30立方米的用气量，再加上30立方米就是他家12月份的用气量.
(3)由平均电价超过2.8可以知道用电量超过50立方米，设小刘家预估1月用气是x立方米，那么由两种收费方式相等得到等量关系，列出方程，求出方程的解即可.
1 / 1浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024学年七年级（上）期末数学试卷
1．（2024七上·拱墅期末）我国地域辽阔，南北温差大．某日哈尔滨的最高气温为﹣8℃，海口的最高气温为23℃，则该日这两地的温差为（　　）
A．31℃ B．23℃ C．16℃ D．15℃
2．（2024七上·拱墅期末）在-，﹣2，-，0这四个数中，最小的数是（　　）
A．- B．﹣2 C．- D．0
3．（2024七上·拱墅期末）a、b两数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）
A．b＞a B．﹣a＜b C．|a|＞|b| D．﹣a＜﹣b
4．（2024七上·拱墅期末）一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（　　）
A．3.1536×108 B．3.1536×107
C．0.31536×106 D．0.31536×107
5．（2024七上·拱墅期末）一个数a精确到十分位的结果是2.6，那么这个数a的范围满足（　　）
A．2.55≤a≤2.65 B．2.55＜a≤2.65
C．2.55＜a＜2.65 D．2.55≤a＜2.65
6．（2024七上·拱墅期末）如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠DCE；④∠B+∠BAD＝180°，其中能推出AB∥DC的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
7．（2024七上·拱墅期末）若2a2+b＝4，则代数式﹣4a2+3﹣2b的值为（　　）
A．11 B．7 C．1 D．﹣5
8．（2024七上·拱墅期末）有一个数值转换器，其原理如图．如果输入x＝16时．输出的y值是（　　）
A．4 B．2 C． D．
9．（2024七上·拱墅期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 m@n＝mn﹣m+n，例如：2@3＝2×3﹣2+3．若2@（x﹣1）的运算结果与（x﹣1）@2的运算结果相同，则x的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024七上·拱墅期末）已知AB，CD，EF是三条平行线，小明在三条平行线之间摆放相同的长方形纸片，如图所示，在CD上方有7个，在CD下方有4个，AEFB构成大长方形．已知小纸片长为a，宽为b，摆放方式不重叠也无空隙．小明发现，改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，则a，b之间的关系为（　　）
A．5b＝2a B．4b＝a C．3b＝a D．5b＝3a
11．（2024七上·拱墅期末）计算： ＝　 　
12．（2024七上·拱墅期末）化简（﹣3a+b）﹣（﹣3a﹣2b）＝　 　．
13．（2024七上·拱墅期末）若方程2x﹣kx+1＝﹣2的解为x＝﹣1，则k的值为 　 　．
14．（2024七上·拱墅期末）已知 的余角比 的2倍少 ， 则 　 　度.
15．（2024七上·拱墅期末）如图，用火柴棒按如下方式依次摆放，拼成一排由三角形组成的图形．则第2024根火柴在第 　 　个图形中．
16．（2024七上·拱墅期末） 已知数轴上两点A，B对应的数分别是﹣4和2，点P从A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，点Q从B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点P与点Q同时出发，经过 　 　秒后，P，Q之间距离2个单位长度．
17．（2024七上·拱墅期末）计算：．
小明同学在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是， 请计算
（2）如果计算结果等于4，求被污染的数字．
18．（2024七上·拱墅期末）已知x＝，y＝﹣3，求2（x2﹣xy）﹣（x2y）+2xy的值．
19．（2024七上·拱墅期末）解方程：
（1）5x+2（3﹣x）＝8；
（2）
20．（2024七上·拱墅期末）如图，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°．
判断AB，CD是否平行，并说明理由．
21．（2024七上·拱墅期末）如图，已知线段AB．
（1）尺规作图（不写画法，但要保留画图痕迹）：
①延长线段AB到C，使B点为线段AC的中点；
②延长线段BA到D，使AD是CD的三分之一．
（2）求线段BD与线段AC长度之间的大小关系．
（3）如果AB＝3，求线段BD和CD的长．
22．（2024七上·拱墅期末）某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备，市场调查发现每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等．
（1）求足球的单价．
（2）该训练营需要购买30套队服和y（y＞10）个足球，甲乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自优惠方案不同：
商家 优惠方案
甲 每购买10套队服，送1个足球
乙 购买队服超过20套，则购买足球打8折
①按照以上方案到甲、乙商家购买装备各需费用多少？（用含有y的代数式分别表示）．
②请比较到哪个商家购买比较合算？
23．（2024七上·拱墅期末）综合与实践：利用折纸可以作出相等的角．如图，有长方形纸片，在AB上取一点O，以OD为折痕翻折纸片，点B落在点B'，以OC为折痕翻折纸片，点A落在点A'，分别连接OB'，OA'．
（1）根据题意，∠DOB'＝∠　 　，∠COA'＝∠　 　．
（2）记∠AOC＝α，∠BOD＝β．
①如图1，若点B'恰好落在OA'上，求∠COD的度数．
②如图2，折叠后的纸片间出现缝隙，点B'在∠COA'的外侧，求∠A'OB'的度数（用含有α，β的代数式表示）．
③如图3，折叠后的纸片间出现重叠，点A'在∠DOB'的内部，求∠A'OB'的度数（用含有α，β的代数式表示）．
24．（2024七上·拱墅期末）杭州市居民生活用天然气执行阶梯价格，具体如下表：
月用气量（单位：立方米） 价格（单位：元/立方米）
30以下（含30） 2.5
超出30且不超过50部分 2.8
超出50部分 3.5
注：不足1立方米记为1立方米．
冬季来临之前，居民小刘开始记录家里燃气使用情况，请根据小刘的记录解决问题：
（1）①10月份用气量为30立方米．需要交气费多少钱？
②11月份用气量为40立方米，需要交气费多少钱？
（2）12月份交了117元的气费，请计算他家12月份用了多少立方米的天然气．
（3）1月天气寒冷，小刘家开启燃气取暖，燃气量将会增加．小刘预估1月他家使用天然气的平均价格为3.3元/m3，那么小刘家预估用气是多少立方米？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：23-（-8）=23+8=31（℃）.
故选：A.
【分析】根据温差的定义：温差=最高气温-最低气温，计算出结果即可.
2．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵>>>0
∴-<-2<-<0，
故正确答案选：A.
【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小和零大于一切负数判断即可.
3．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由已知可得：b<0∴选项A、C是错误的；
∵a>b ∴-a<-b。 ∴选项D是正确的；
∵，b<0b.∴选项B是错误的。
故答案选：D.
【分析】根据相反数在数轴上的位置关系，分别找到-a、-b的位置，再根据利用数轴比较两数大小的方法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大，即可得到结论.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得，31536000=3.1536×107，
故答案选：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
5．【答案】D
【知识点】精准度与有效数字
【解析】【解答】解：当a舍去百分位得到2.6，则a的范围为2.60≤a＜2.65；
当a的百分位进1得到2.6，则a的范围为2.55≤a＜2.60；
∴a的范围为 2.55≤a＜2.65 .
故答案为：D.
【分析】利用近似数的精确度，一个数a精确到十分位的结果是2.6，则这个数最小为2.55，最大小于2.65，据此判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①当∠1=∠2时，AB∥CD；②当∠3=∠4时，AD∥BC；③当∠B=∠DCE时，AB∥CD；
④当∠B+∠BAD=180°时，AD∥BC.
故正确答案选：B.
【分析】根据平行线的判断方法，分别去判定各个选项即可得出正确结论.
7．【答案】D
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ 2a2+b＝4 ，
∴ ﹣4a2﹣2b =-8.
∴ ﹣4a2+3﹣2b =-8+3=-5.
故答案选：D.
【分析】根据整体代入法，由2a2+b＝4 根据等式的性质可以得到：﹣4a2﹣2b =-8.进而可以得到﹣4a2+3﹣2b 的值.
8．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当x=16时，=4， 4是有理数，∴=2.∵2是有理数，∴y=.
故正确答案选：D.
【分析】先把16输入，得=4，因为4是有理数，所以返回重新输入=2.。2是有理数，所以返回重新输入，所以y=.
9．【答案】C
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：由题意可知：2×（x-1）-2+x-1=（x-1）×2-（x-1）+2，
解得：x=3.
故正确答案选：C.
【分析】先按照题意，把新运算转化为常规运算，再解方程，求出x的值即可.
10．【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，AB∥CD∥EF，
∴AB=CD=EF，四边形ABDC，四边形CDFE都是长方形，
∴S1=EF×4b-4b×a=AB×4b-4ab，S2=AB×a-7b×a=AB×a-7ab，
∴S1-S2=AB×4b-4ab-（AB×a-7ab）=（4b-a）AB+3ab，
∵ 改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，
∴4b-a=0，
∴4b=a.
故正确答案选：B.
【分析】由长方形的性质可以知道：S1-S2=AB×4b-AB×a+7ab=（4b-a）×AB+3ab，再根据改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，可得：4b-a=0，所以4b=a。
11．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ；
故答案为：2.
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.
12．【答案】3b
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：原式=-3a+b+3a+2b
=3b.
故正确答案为：3b.
【分析】根据去括号法则去括号、合并同类项即可得出正确结果.
13．【答案】-1
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把x＝﹣1 代入 2x﹣kx+1＝﹣2，得：
k=-1.
故正确答案为：-1.
【分析】因为 方程2x﹣kx+1＝﹣2的解为x＝﹣1， 所以把把x＝﹣1 代入 2x﹣kx+1＝﹣2即可求出k的值.
14．【答案】35
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得
90°-∠A=2∠A-15°，
∴3∠A=105°，
解之：∠A=35°.
故答案为：35.
【分析】求一个角的余角就是用90°减去这个角的度数；根据∠A的余角=2∠A -15°，由此可得到关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数.
15．【答案】1012
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：∵第一个图形需要3根火柴，第二个图形需要5根火柴，
∴第n个图形需要2n+1根火柴，
∴当2n+1=2=2023时，n=1011，
∴第2024根火柴在第1012个图形中.
故正确答案为：1012.
【分析】通过给出的已知，找到规律：第n个图形需要2n+1根火柴。然后可以看出2n+1是一个奇数，找出离2024最近的奇数2023，就可以知道第2024根火柴所在的图形了.
16．【答案】1或2
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型；分类讨论
【解析】【解答】解：设x秒后P，Q之间距离2个单位长度．
这要分两种情况讨论：
①当Q在前，P在后面时，
2x+4+2=6x+2，
解得：x=1.
②当P在前面、Q在后面时，
6x=2x+6+2，
解得：x=2.
故正确答案为：2或1.
【分析】由已知可以知道：这是一个同向追击问题.由于P点在后，Q点在前，所以会出现两种情况：
①当P在Q点后面两个单位长度时，等量关系是：Q的路程+6=P的路程+2；②当P追上Q并超过Q2个单位长度时，等量关系是：P的路程=Q的路程+6+2.进而设未知数，列方程，求出未知数的值即可.
17．【答案】（1）解：（-18）×（-）-22=（-18）×-4=-9-4=-13.
（2）解：设被污染的数字为x，则
（-18）×（-x）-22=4，
（-18）×（-x）-4=4，
（-18）×（-x）=8，
(-18)×+18x=8，
-12+18x=8，
x=.
∴被污染的数字是.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）当被污染的数字是时，按照运算顺序，计算出结果即可.
（2）当 计算结果等于4 时，设被污染的数字是x，然后构成方程：（-18）×（-x）-22=4，解方程求出x的值即可.
18．【答案】解：原式=2x2-2xy-x2y+2xy
=2x2-x2y.
当x=，y=-3时，原式=2×（）2-（）2×（-3）
=2×-×（-3）
=.
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】先去括号、合并同类项，求出代数式。再把x、y的值代入合并后的代数式中求出代数式的值即可.
19．【答案】（1）解：5x+6-2x=8，
3x=2，
x=.
（2）解：-8×6=，
2（x-4）-48=-3（x+2）
2x-8-48=-3x-6
x=10.
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，最后再把系数化为1，求出x的值即可.
（2）先去分母，再去括号、最后再移项、合并同类项、系数化为1，求出x的值即可.
20．【答案】解：AB∥CD，理由如下：
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，
∵ ∠1+∠2＝90°．
∴∠BAC+∠ACD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=180°.
∴AB∥CD.
【知识点】角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】由AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，可知：∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，再由∠1+∠2＝90°．可知∠BAC+∠ACD=180°进而可得：AB∥CD.
21．【答案】（1）解：①如图所示：
②如图所示：
（2）解：∵B为AC的中点，
∴AB=AC.
∵AD=CD，
∴AD=AB=BC，
∴BD=2AB，AC=2AB，
∴BD=AC.
（3）解：∵AB=3，
∴BD=2AB=6， CD=3AB=9.
【知识点】线段的中点；线段的长短比较；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-线段的和差
【解析】【分析】（1）①先延长AB，再用圆规量出AB的长度，最后在AB的延长线上用圆规截取BC=AB.
②延长线段BA ，在BA的延长线上截取AD=AB即可.
（2）由画图可知∴BD=2AB， AC=2AB，所以可以知道：BD=AC.
（3）由AB=3，BD=2AB，CD=3AB，进而可以计算出AB和CD的长.
22．【答案】（1）设每个足球x元，每套队服y元，依题意得：
，
解得：
∴足球的单价为90元.
（2）解：①到甲商家购买装备所需费用：150×30+90（y﹣3）＝4230+90y，到乙商家购买装备所需费用：150×30+90×80%y＝4500+72y；
②当训练营需要购买30套队服和15个足球时，在甲乙两个商家所需费用一样多，
当训练营需要购买30套队服和超过15个足球时，在乙商家购买较合算，
当训练营需要购买30套队服和购买足球超过10个而不足15个时，在甲商家购买较合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设每个足球x元，每套队服y元，由已知每套队服比每个足球多60元和三套队服与五个足球的费用相等．列两个方程，组成方程组，解出方程组即可得到答案.
（2）①先按照甲、乙两家的优惠方案算出各自的费用表达式.
②先根据两家所需费用相等时，列出方程，解方程。求出足球的个数。再根据比足球个数比15多和比15少两种情况实验即可得到需要购买多少个足球时到哪家购买比较合算.
23．【答案】（1）DOB；COA
（2）解：①∵ ∠DOB'=∠DOB，∠COA'=∠COA.
∴ ∠COD =∠AOC+∠BOD＝∠AOA'+∠BOB'
=（∠AOA'+∠BOB'）
=∠AOB
=×180°
=90°．
∴∠COD=90°.
②∵∠COA'=∠COA=α，∠DOB'=∠DOB=β，
∴∠AOA'=2α，∠BOB'=2β，
∴2α+2β+∠A'OB'=180°，
∴∠A'OB'=180°-2α-2β．
③∵∠AOA'=2α，∠BOB'=2β，
∴∠A'OB'=∠AOA'+∠BOB'-∠AOB=2α+2β-180°，
∴∠A'OB'=2α+2β-180°.
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由折叠可知：
∠DOB'=∠DOB，∠COA'=∠COA.
【分析】（1）由折叠的性质可知：∠DOB'=∠DOB，∠COA'=∠COA.
（2）①由∠DOB'=∠DOB，∠COA'=∠COA.所以∠COD =∠AOC+∠BOD＝∠AOA'+∠BOB' =90°．
②∠COA'=∠COA=α，∠DOB'=∠DOB=β，所以∠AOA'=2α，∠BOB'=2β，所以2α+2β+∠A'OB'=180°，所以∠A'OB'=180°-2α-2β．
③由∠AOA'=2α，∠BOB'=2β可知：∠A'OB'=∠AOA'+∠BOB'-∠AOB，所以∠A'OB'=2α+2β-180°
24．【答案】（1）解：①∵30×2.5=75（元）。
∴10月份用气需要交气费75元.
②75+（40-30）×2.8=103（元）.
∴11月份需要交气费103元.
（2）解：（117-75）÷2.8=15（立方米），15+30=45（立方米）。
∴他家12月份用了45立方米的天然气.
（3）解：设小刘家预估1月用气是x立方米，依题意得：
75+（50-30）×2.8+（x-50）×3.5=3.3x，
解得：x=220.
∴ 小刘家预估用气是220立方米.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）①由10月份用气量为30立方米可知缴费的标准是2.5元/立方米.需要交气费=30×2.5=75元.
②由11月份用气量为40立方米，超过30立方米，所以需要交气费=30立方米的气费+超出的10立方米的气费=75+10×2.8=103元.
（2）由12月份交了117元的气费 ，可知他12月份用气没有超过80立方米，所以可以用117-75=42元是超过30立方米的用气量，再加上30立方米就是他家12月份的用气量.
(3)由平均电价超过2.8可以知道用电量超过50立方米，设小刘家预估1月用气是x立方米，那么由两种收费方式相等得到等量关系，列出方程，求出方程的解即可.
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