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丽水市2024学年第二学期普通高中教学质量监控
高一数学试题卷 （2025.06）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上。
2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，且是第二象限的角，那么的值为
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则
A． B． C． D．
3．有一组样本数据：，，，，，，，，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为
A．中位数 B．平均数 C．极差 D．众数
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．已知，表示两条不同直线，表示平面，下列结论正确的是
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6．已知的三个内角的对边分别为，，，，则
A. B. C. 或 D . 或
7．某班级有名男生和名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均数为，方差为；女生样本数据的平均数为，方差为，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均数和方差的值分别为
A. B.
C. D.
8．已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．已知复数，下列选项正确的是
A. 与互为共轭复数 B.
C. D.
10．甲乙两个质地均匀的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的点数之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的点数为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的点数为偶数”，下列选项正确的是
A. 事件、是互斥事件 B.
C. 事件、是相互独立事件 D.
11．已知正方体的棱长为，下列选项正确的是
A. 若为棱中点，则异面直线与所成角的正切值为；
B. 若在线段上运动，则的最小值为；
C. 若在以为直径的球面上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥
外接球的表面积为；
D. 若平面与正方体每条棱所成角相等，则平面截正方体所得截面面积的最大值
填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
12．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 ▲ .
13．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，则甲乙两人恰有一人中靶的概率为 ▲ .
14．过重心的直线与边交于点，且，，直线将分成两部分，分别为和四边形，其对应的面积依次记为和，的最大值为 ▲ .
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
(
0.0
3
x
0.01
频率/组距
30 40 50 60 70
80
90
分数
第15题图
)15. (本题满分13分) 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中的值；
（2）请估计样本数据的众数和平均数；
（3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，
学生甲的成绩是分，请判断学生
甲能否得到奖励，并说明理由．
16. (本题满分15分)已知函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，求的取值范围.
17. (本题满分15分)如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．
(
第17题图
)（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
(
第18题图
)18. (本题满分17分) 如图，四棱柱中，底面,四边形为梯形，，且，过三点的平面记为，与的交点为.
（1）证明：为的中点；
（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
（3）若，梯形的面积为，求平面
与底面所成锐二面角的正切值.
19. (本题满分17分)
（1）已知的三个内角的对边分别为.
①若，求的面积.
②记，求证：.
（2）在平面四边形中，，记，
求证：四边形的面积.丽水市2024学年第二学期普通高中教学质量监控
高一数学试题答案 （2025.7）
单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C D B C D A
多项选择题
题号 9 10 11
答案 ABD BC ACD
填空题
12. 13. 14.
解答题
（1），所以……………………………………………3分
（2）平均值为：分
众数为： ……………………………………………9分
（3）成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，
则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励．
……………………………………………13分
解：（1）,
由，所以对称中心为 ………………7分
由得，即
解得：，所以的取值范围为 ………………15分
解：（1）因为，为的中点，所以,
因为平面,平面平面,
平面平面,所以平面,
因为平面,
所以平面平面； ……………………………………………7分
过作,连接, 因为平面平面,
平面平面,且平面,所以平面
即为直线与平面所成角.
因为且，所以,
因为为等边三角形，所以,,
在直角三角形中，,
所以 ……………………………………………15分
18.解：
(1)延长交于点,因为,
所以平面平面，因为平面，
所以，因为，，所以,
因为，所以,即为的中点；……………5分
(2)延长交于点,连接,因为为四棱柱，所以为三棱柱，所以 ,因为为的中点，，所以,,所以,因为分别是的中点，所以,所以，即四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为.…………………11分
(3)由（1）知平面为平面,作，连接，因为平面，所以
因为，，所以平面，所以,
所以为二面角的平面角即所求锐二面角的平面角，
因为分别为的中点，，所以，，
因为，所以,,所以,
所以所求锐二面角的平面角的正切值为.…………………17分
解：（1）,
另：……………3分
（2）证明：
…………………………………8分
(3)设
……………………①
……………………②
①2+②2得：
由的确定性，当即时，有最大值，即四边形有外接圆时，四边形的面积最大.
…………………………………………17分

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