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重庆市高 2025 届高三第八次质量检测
数 学 试 题
注意事项:
1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知 复数 为纯虚数,则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知 为单位向量,向量 ,若 ,则
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 已知 ,则
A. B. C. D.
5. 鬼工球, 又称同心球, 要求制作者使用一整块完整的材料, 将其雕成每层均同球心的数层空心球,已知鬼工球最内层的空心球上有 2 个雕孔,且向外每层雕孔数依次增加 2. 个. 现制作两个这样的鬼工球,层数分别为 层和 5 层 且 ,若 层鬼工球与 5 层鬼工球的雕孔总数的比值为 3 ,则
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6. 已知定义域为 的连续函数 满足: ① 为偶函数; ② ; ③ . 则 的大小顺序为
A. B.
C. D.
7. 正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6、侧棱长为 ,则其外接球的表面积为
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 ,倾斜角为 的直线 与 的渐近线交于 两点 在第一象限, 在第四象限),线段 的中点为 为坐标原点,直线 与 的一个交点为 . 则双曲线 的离心率为
A. B. C. D. 3
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分.
9. 已知函数 与函数 的图象有相同的对称轴,则
A.
B.
C. 将 的图象向左平移 个单位可得到 的图象
D. 函数 在 内有 4 个零点
10. 设 为一次随机试验中的两个事件,若 ,则
A. . B.
C. D. 与 相互独立
11. 已知 ,若 ,则下列关系式能成立的是
A. B. C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式的常数项是_____(用数字作答).
13. 若圆 与圆 的公共弦长为 ,则 _____.
14. 数列 满足 ,则 的前 100 项和 _____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
记 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 ,点 在边 上,且 ,求 的长.
16.(15 分)
如图,在四面体 中, 分别为 的中点,过 的平面 分别交棱 (不含端点) 于 两点.
(1)证明: ;
(2)若 ,求二面角 的正弦值.
17. (15 分)
在平面直角坐标系 中,已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 . 记 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2) 设点 ,过点 的直线 交 于 两点,连接 ,若 ,求直线 的方程.
18.(17分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知函数 .
(i) 若 ,求证: 当 时, ;
(ii) 若 ,函数 在区间(0,1)上存在唯一零点,求 的取值范围.
19.(17 分)
在一款冒险游戏中,共有编号为从 1 到 的 个平台从前至后排列,玩家从平台 1 出发. 玩家需投掷一个质地均匀的骰子(6 个面上的数字分别为 1,2,3,4,5,6):若骰子向上的面的点数小于 3 . 则移动到相邻的前一个平台；若骰子向上的面的点数不小于 3 , 则移动到相邻的后一平台 投掷机会耗尽时到达的平台编号数即为其最终得分; 在挑战过程中, 当他处于平台 1 而需要移动到前一平台时, 游戏立刻结束, 得分为 0 . 玩家在投掷机会耗尽前 (或因规则被迫结束挑战) 不会停止挑战.
(1)若玩家拥有 3 次投掷机会,求在他的最终得分为 0 分的条件下,抛掷结果中有且仅有两次点数小于 3 的概率;
(2)设玩家拥有 次投掷机会,其最终得分为 .
(i) 求 ;
(ii) 设 ,证明: 当 为偶数时, .重庆市高2025届高三第八次质量检测
数学试题参考答案与评分细则
题号
1
2
3
4
6
8
9
10
11
选项
A
C
B
D
D
B
ABD
AC
BC
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.A【解析】集合A为所有奇数，集合B为所有整数，故A是B的子集
2.C【解析】当m=2时，复数z=4i为纯虚数；
当复数x=m2-4+(m+2)i(m∈R)为纯虚数时，有
rm2-4=0
{m+2≠0，解得m=2;
综上，p为q的充要条件
3.B【解析：1e1=l,lal=2,故a(a-e)=1aP-ae=1aP-1a1 cow(a,e)=4-2x1x7=3
4.D【解析】由2sin2a=cos2a+1,有4 sin acos a=2cos2a,
ae(0,2》casa>02na=sa即ma=分es《=25
51
5.D【解析】由题意，这样的鬼工球第n层的雕孔数为2n个，则n层鬼工球的雕孔总数为2(1+2+…+n)
=n(n+1)个，∴.k(k+1)=3×(5×6),即k2+k-90=0,解得k=9或k=-10(舍).
6.C【解析】由①，有f(x+6)=f-x+6),f(x)关于直线x=6对称；由②，令t=2+x,则x=t-2,
有f(6-t)=-f(t),∴f(x)关于点(3,0)对称；易得f(x)的周期为12，故f(121)=f(1);由③，
知f(x)在(0,3)单调递增，f代x)关于点(3,0)对称，∴f(x)在(3,6)单调递增，又f(x)在R上
连续，∴.f(x)在(0,6)单调递增，故有f(1)7.C【解析】设01、02分别为上底面A1B,C、下底面A,B2C2的中心，
则0141=5,0242=25,4142=6，可得0102=5.
设外接球的半径为R,由对称性，外接球的球心0在直线O1O2上，
设0到平面的A2B2C2的距离为d,由几何关系知，
若0在线段0,02上，则2=3+(5-d)2=12+d,解得d=-√3（舍），
若0在线段0,02的延长线上，则R2=3+(3+d)2=12+2,解得d=3,
∴.R2=15,∴.外接球的表面积为4πR=60π.
8B【解析】双曲线C的渐近线为y=之x,y=-
6
一，
a
可设4会小-刘，得名2
∴.kAB=
·t多=，kw=。=
a
x1-X2
ax1+x2√3
=6，两式相乘得(
=3x2
=2,
双曲线c的离心率为，1+()
=3.
数学试颗参考答系第1页【共7页】

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