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第八单元数学广角——数与形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．奇奇用大小相同的棋子按如图规律摆放图案。照这样摆下去，第2024个图案中有（ ）个棋子。
A．6072 B．6075 C．6078
2．在一个长4cm、宽3cm的长方形中，画一个最大的圆，这个圆的直径是（ ）
A．3cm B．4cm C．14cm
3．……，第五个点阵中点的个数是（ ）。
A．1＋4×4＝17 B．1＋4×5＝21 C．1＋4×6＝25 D．无法确定
4．观察下面用火柴棒摆的正方形，摆20个这样的正方形需要火柴棒（ ）根。
A．60 B．61 C．80 D．90
5．如图中图形的面积可以表示为，还可以表示为（ ）。
A． B． C．
6．如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用（ ）根小棒。
A．41 B．52 C．45 D．50
7．＋＋＋＋＋…＋＝（ ）。
A． B．1 C． D．无法计算
8．正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（ ）。
A．12 B．13 C．14 D．15
9．像下面这样摆下去，摆n个正方形需要（ ）根火柴棒。
……
A．4n B．3n C．3n＋1
10．如图那样，从最上面第一层编号“1”开始往下有规律地编号，那么从第一层到第十层一共有（ ）个正方形。
A．55 B．10 C．110 D．6
二、填空题
11．将奇数1，3，5，7，…，由小到大按第n组有2n-1个奇数进行分组
（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），…
第一组 第二组 第三组
那么1999位于第 组的第 个数．
12．如图中的阴影部分用分数表示是 ，用小数表示是 ，用百分数表示是 。
13．找规律填一填。
＝（6＋4）×（6－4）＝10×2＝20
＝（10＋7）×（10－7）＝17×3＝51
（( )＋( )）×（( )－( )）
＝（( )＋( )）×（( )－( )）
14．看图，第四个图形应该有 黑色的正方形．
15．小明在计算时，画了下图。
结合图形计算：

16．……照这样把边长1厘米的正方形拼成长方形，用5个这样的正方形拼成的长方形周长是( )厘米；用n个这样的正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。
17．下图中有( )个长方形．
18．如下图：摆第（5）个图形需要用( )个，摆第n个图形需要用( )个。
19．“数形结合”是我们学习数学的重要方法之一。请你结合图形回答。
＝1－( )＝( )
＝1－( )＝( )
＝1－( )＝( )
那么＝( )。
20．
根据上面的规律，计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝( )。
三、判断题
21．用小棒按下图搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用3n根小棒。( )
22．要表示李爷爷家养的鸡、鸭、鹅的数量，应绘制扇形统计图。( )
23．。( )
24．。( )
25．摆1个△用3根小棒，摆2个△用5根小棒，摆3个△用7根小棒。照这样，摆5个△用11根小棒。( )
四、计算题
26．计算下面各题，能简算的要简算。


27．计算：
五、解答题
28．你能利用下图发现（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2这一公式吗？利用所学知识写出推导过程。
29．小明把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒。请问：
（1）一共有多少个巧克力棒？
（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？
（3）嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？

30．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．请写出第5个图形的算式．
4=1+3 9=3+6 16=6+10
31．我国宋代数学家杨辉在1261年撰写了《详解九章算法》，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。

32．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。
(1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。
(2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。
(3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。
《第八单元数学广角——数与形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B C A C B C A
1．B
【分析】观察图形可知，第一个图形的棋子数有（3＋3×1）个，第二个图形的棋子数有（3＋3×2）个，第三个图形有（3＋3×3）个，……可发现规律是：第n个图形的棋子数有（3＋3n）个。据此解答。
【详解】3＋2024×3
＝3＋6072
＝6075（个）
所以，第2024个图案中有6075个棋子。
故答案为：B。
2．A
【详解】本题考查在长方形中画最大圆的问题。在长方形中画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。已知长方形的宽是3cm，所以这个圆的直径是3cm。
3．A
【分析】第一个点阵中点的个数是1＋4×（1－1），第二个点阵中点的个数是1＋4×（2－1），……，第n个点阵中点的个数是1＋4×（n－1）。
【详解】根据分析可知：第五个点阵中点的个数是1＋4×（5－1），也就是1＋4×4。
故答案为：A
【点睛】找出图形排列的规律是解题关键。
4．B
【分析】根据图示发现：摆1个正方形需要小棒：4根；摆2个正方形需要（4＋3）根小棒；摆3个正方形需要（4＋3＋3）根小棒；……摆n个正方形需要小棒：4＋3（n－1）＝（3n＋1）根。据此解答。
【详解】根据分析可知，摆n个正方形需要小棒：
4＋3×（n－1）
＝4＋3n－3
＝（3n＋1）根
当n＝20时，
3×20＋1
＝60＋1
＝61（根）
摆20个这样的正方形需要火柴棒61根。
故答案为：B
5．C
【分析】根据大正方形的面积等于两个一样的长方形的面积加上两个边长分别为a、b的正方形的面积计算即可。
【详解】最小正方形面积为：a×a＝a2
较小的正方形面积为：b×b＝b2，
1个长方形的面积为：a×b＝ab
所以大正方形的面积为：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2
故答案为：C
【点睛】利用不同的方法表示出大正方形的面积是解决此题的关键。
6．A
【分析】看图可知，搭1个房子需要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2个房子需要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3个房子需要13根小棒，13＝3×4＋1，由此可知，小棒根数＝搭几个房子就用几×4＋1。
【详解】10×4＋1
＝40＋1
＝41（根）
搭10间房子用41根小棒。
故答案为：A
7．C
【分析】＝1－，＝－，＝－，…，根据分数的加减法的关系和性质，将＋＋＋＋＋…＋进行简算即可。
【详解】＋＋＋＋＋…＋
＝1－＋－＋－＋－＋－＋…－
＝1－
＝
故答案为：C
【点睛】本题考查了分数加减法的灵活应用，仔细观察，合理变形是解决本题的关键。
8．B
【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到4＋1＝5个正方形；
第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9个正方形……
以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n＋1个正方形，由此规律代入求得答案即可。
【详解】第1次：得到4×1＋1＝5（个）正方形；
第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9（个）正方形……
设第n次得到53个正方形。
4n＋1＝53，
解：4n＋1－1＝53－1
4n＝52
4n÷4＝52÷4
n＝13
故答案为：B
【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键。
9．C
【分析】根据图可知，第一个小正方形需要4根小棒，两个小正方形需要7根小棒，摆三个正方形需要10根小棒，所以每增加一个正方形就会增加3根小棒，可以把它们看作摆几个正方形，就有几个3，再加上最左侧的一个小棒即可求出所有小棒，据此即可选择。
【详解】由分析可知：
摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。
故答案为：C
10．A
【分析】根据题图可知，每增加一层就增加一个正方形，所以第一层到第十层共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个小正方形，据此解答即可。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11＋11＋11＋11＋11
＝11×5
＝55（个）
如图那样，从最上面第一层编号“1”开始往下有规律地编号，那么从第一层到第十层一共有55个正方形。
故答案为：A
11． 32 39
第n组的最后一个奇数为自然数中的第：
1+3+5++（2n-1）=（1+2n-1）×n÷2=n2个奇数，即2n2-1．
设1999位于第n组，则2（n-1）2-1＜1999≤2n2-1．
由2×312-1=1921＜1999＜2047=2×322-1知n=32．
所以1999在第32组第
2
-312=39个数．
故答案为：32，39．
【详解】略
12． 0.25 25%
【分析】由图知，是把整个圆的面积看作单位“1”平均分成4份，阴影部分占了1份，先用分数表示出来，再用分子除以分母即得小数，把小数的小数点向右移动两位，同时添上百分号即为百分数；据此解答。
【详解】＝0.25＝25%
13． 35 15 35 15
【分析】通过观察给出的算式可知，两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，据此解答。
【详解】由分析得：
14．10个
【详解】略
15．；2；
【分析】利用了转化的思想。从图中可以看出将这个图形看成单位“1”，这四个分数相加转化为单位“1”去掉了这个图形中。就是在里面找出了2个，而就是4个才能合成，则。
【详解】
16． 12 2（n＋1）
【分析】
根据长方形的周长＝（长＋宽）×2。从题意可知：2个正方形拼成 的长是2厘米，宽是1厘米，周长：（2＋1）×2＝3×2＝6厘米；3个正方形拼成的长是3厘米，宽是1厘米，周长：（3＋1）×2＝4×2＝8厘米；按此规律，用5个这样的正方形拼成的长方形，长是5厘米，宽是1厘米，周长：（5＋1）×2＝5×2＝10厘米……；由此可知，n个这样的正方形拼成的长方形，长是n厘米，宽是1厘米，周长：（n＋1）×2＝2（n＋1）厘米；据此解答。
【详解】（5＋1）×2
＝5×2
＝10（厘米）
（n＋1）×2
＝2（n＋1）厘米
……照这样把边长1厘米的正方形拼成长方形，用5个这样的正方形拼成的长方形周长是10厘米；用n个这样的正方形拼成的长方形的周长是2（n＋1）厘米。
17．10
【详解】略
18． 16 3n＋1
【分析】
第（1）个图形有4个，4＝1×3＋1；
第（2）个图形有7个，7＝2×3＋1；
第（3）个图形有10个，10＝3×3＋1；
……
第n个图形需要用（3n＋1）个；
据此规律解答。
【详解】
摆第（5）个图形需要用的个数：
3×5＋1
＝15＋1
＝16（个）
摆第n个图形需要用（3n＋1）个。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
19． 1－/
【分析】
表示把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，深蓝色的部分占1份，表示，把它平均分成4份，浅蓝色部分和空白部分各占1份，都表示，所以深蓝色的部分与浅蓝色的部分和等于“1”减去空白部分占总体的几分之几；
表示把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，深蓝色的部分占1份，表示，把它平均分成4份，浅蓝色部分表示，把它平均分成8份，蓝绿色的部分和空白部分各占1份，都表示，所以深蓝色的部分、浅蓝色的部分、蓝绿色部分的和等于“1”减去空白部分占总体的几分之几；
表示把大正方形看作单位“1”，把它平均分成2份，深蓝色的部分占1份，表示，把它平均分成4份，浅蓝色部分表示，把它平均分成8份，蓝绿色部分表示，把它平均分成16份，红色部分和空白部分各占1份，它们都表示，所以深蓝色的部分、浅蓝色的部分、蓝绿色部分、红色部分的和等于“1”减去空白部分占总体的几分之几；
由此得出：把这个大正方形平均分成2份、4份、8份……n份，份数分之一的和就等于“1”减去。
【详解】
＝1－＝
20．61
【分析】观察可知，加数按1、3、5、……，进行排列，有几个加数，和就是几的平方，据此分析。
【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋9＋7＋5＋3＋1
＝（1＋3＋5＋7＋9＋11）＋（9＋7＋5＋3＋1）
＝62＋52
＝36＋25
＝61
21．×
【分析】根据题图可知，每增加1个三角形小棒就增加2根，当搭n个三角形时，需要的小棒个数为3＋2（n－1）＝（2n＋1）根，据此解答即可。
【详解】用小棒搭三角形，搭一个用3根小棒，搭两个用5根小棒，搭n个用（2n＋1）根小棒，原题说法错误；
故答案为：×
【点睛】明确每增加1个三角形就增加2根小棒是解答本题的关键，进而总结出规律。
22．×
【分析】扇形统计图主要表示部分与部分之间，部分与总体之间的数量关系，以及各部分量占总体的百分比情况，要具体的数量选择条形统计图更加合适，据此解答。
【详解】条形统计图：用直条的长短表示数量的多少，从图中直观地看出数量的多少，便于比较；因此要表示李爷爷家养的鸡、鸭、鹅的数量，应绘制条形统计图。
故答案为：×
【点睛】根据统计图的特征选择合适的统计图是解答题目的关键。
23．√
【分析】从1开始的连续奇数相加，和等于奇数个数的平方，据此解答即可。
【详解】
故答案为：√。
【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是掌握题中相加数字的和的规律。
24．×
【分析】因为＝－；＝－；＝－；＝－；把原式中每个加数化成两个数的差，再加起来，加减抵消，进行简算即可。
【详解】
故答案为：×
【点睛】考查了分数的拆项公式的运用。
25．√
【分析】根据小棒数量＝三角形数量×2＋1，计算即可。
【详解】5×2＋1
＝10＋1
＝11（根）
故答案为：√
【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。
26．；10；
49；2
【分析】（1）利用减法的性质，小括号打开，里面的减号变为加号，先计算的和，再计算减法，最后计算中括号外的乘法；
（2）除以变为乘，同时把和125%化成分数，再利用乘法分配律进行简便计算；
（3）把15×17看作一个整体，再利用乘法分配律进行简便计算；
（4）因为＝1－，所以＝＝，最后再计算除法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝10
＝
＝
＝49
＝
＝
＝
＝
＝2
27．
【分析】从第二个数起，每个数是前一个数的，可以通分来计算，但如果再按算式中的规律增加几个分数，用通分的方法计算就比较麻烦，可以画图来表示这道算式，先画了一个正方形表示“1”，平均分成3份，涂色，再把另一个平均分成3份，涂色表示，……如图。
求的和，就是看图中涂色部分表示多少。从图中不难看出，涂色部分接近“1”的一半，把图中间的平均分成2份，每份是，因此直接计算即可。
【详解】
28．大正方形的面积＝（a＋b）2， 折分成2个长方形，2个正方形面积和为：a2＋a×b＋b×a＋b2＝a2＋2ab＋b2；
因为面积不变，所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。（推导过程不唯一）
【分析】观察图可知，正方形的面积＝边长×边长，也可以把大正方形转化成一个小正方形和一个较大的正方形与两个长方形，然后把面积相加，两种方法求出的面积相等，据此写出推导过程
【详解】大正方形的面积＝（a＋b）2 ， 折分成2个长方形，2个正方形面积和为：a2＋a×b＋b×a＋b2＝a2＋2ab＋b2，因为面积不变，
所以（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。（推导过程不唯一）
29．（1）30个（2）27个（3）22个
【分析】（1）从上往下数出巧克力棒的个数即可求解；
（2）观察图形：①三角形顶点向上的三角形个数：以一个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＋3＋4＝10个；以两个巧克力棒为边的有：1＋2＋3＝6个；以3个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＝3个；以4个巧克力棒为边的三角形有1个；
②三角形顶点向下的有：以1个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＋3＝6个；以两个巧克力棒为边的三角形有：1个。由此利用加法原理即可求得图中的三角形个数；
（3）先数出嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后减少的三角形的个数，再相减即可求解。
【详解】（1）（1＋2＋3＋4）×3
＝10×3
＝30（个）
答：一共有30个巧克力棒。
（2）根据题干分析可得：
①三角形顶点向上的三角形个数：以一个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＋3＋4＝10个；以两个巧克力棒为边的有：1＋2＋3＝6个；以3个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＝3个；以4个巧克力棒为边的三角形有1个；
②三角形顶点向下的有：以1个巧克力棒为边的三角形有：1＋2＋3＝6个；以两个巧克力棒为边的三角形有：1个。共构成了10＋6＋3＋1＋6＋1＝27（个）
答：这些巧克力棒共构成了27个三角形。
（3）27﹣（2＋2＋1）
＝27﹣5
＝22（个）
答：剩下的图形中还有22个三角形。
【点睛】考查了组合图形的计数。此类问题，要分类进行计数，避免重复或漏缺。
30．36=15+21
【详解】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果 .
31．见详解
【分析】观察“杨辉三角”，发现下层中间的数等于上层相邻两个数的和，据此规律解答。
【详解】我发现“杨辉三角”图中各数之间的关系：这些数字组成的三角形是等腰三角形，两条腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它上方相邻的两个数字之和。
按照发现的规律把这个三角形图继续写下去：

【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
32．(1) 38 6n＋2
(2)200
(3)14
【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。
（2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。
（3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。
【详解】（1）8＋（6－1）×6
＝8＋5×6
＝8＋30
＝38（根）
8＋（n－1）×6
＝8＋（6n－6）
＝8＋6n－6
＝（6n＋2）根
按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。
（2）当n＝8时，
6n＋2
＝6×8＋2
＝48＋2
＝50（根）
50×4＝200（根）
如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。
（3）（88－2）÷6
＝86÷6
≈14（条）
准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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