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绝密★启用前
2025年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学
(限时：120分钟满分：150分)
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）》
1.已知全集U={x|2≤x5,x∈R},集合A={x2≤x<4,x∈R},则A
.(非上海考
生求CA)
东
2,不等式}<0的解集为
x-3
郑
3.已知等差数列{am}的首项a1=一3，公差d=2,则该数列的前6项和为
4.在(2x一1)°的展开式中，x3的系数为
5.函数y=cosx
在，交】
24
上的值域为
6
7
6.已知随机变量X的分布为
则期望E(X)=
0.2
0.3
0.5
普
7.如图，在正四棱柱ABCD一A,B,CD,中，BD=4√2，DB,=9,则该正四棱柱的体积为
虹
8.设a,6>0a+名-1.则6+的最小值为
年
9.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的
排列种数为
10.已知复数之满足x2=(2)2,z≤1，则1之-2-3i的最小值是
11.(非上海考生不作要求)小申同学观察发现，生活中有些时候影子可
以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放
杆
辟
置的杆子，与斜面的接触点分别为A,B,它们在阳光的照射下呈现
杆
出影子，阳光可视为平行光.其中一根杆子的影子在水平面上，长度
为0.4米：另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米.则斜面的底角0=
(结
果用角度制表示，精确到0.01°)
1,x>0
12.已知函数f(x)=0,x=0a、b、c是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)十f(b·c)十
-1,x<0
f(c·a)=0,则a十b+c可的取值范围是
2025·
二、选择题（本大题共有4题，满共18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且
只有一个正确选项，
13.已知事件A,B相互独立，事件A发生的概率为P(A)=2,事件B发生的概率为P(B)=
21
则事件A∩B发生的概率P(A∩B)为
A.
B
C.z
D.0
14.设a>0,s∈R,下列各项中，能推出a>a的一项是
A.a>1,且s>0
B.a>1,且s<0
C.00
D.015.已知A(0,1),B(1,2),C在T:x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则△ABC的面积
A.有最大值，但没有最小值
B.没有最大值，但有最小值
C.既有最大值，也有最小值
D.既没有最大值，也没有最小值
16.已知数列{an},{bn}满足am=10n一9，bn=2”.设cm=λam十(1一入)b.若对任意A∈[0,1]，长为
a,bn,cm的线段均能构成三角形，则满足条件的n有
()
A.1个
B.3个
C.4个
D.无穷个
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分2分，第3小题满分
8分
2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌，以下是历届奥运会男子4×
100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列.
206.78207.46207.95209.34209.35
210.68213.73214.84216.93216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=一0.311x十b,年份x的平均数为2006，预测2028
年冠军队的成绩（精确到0.01秒）.
2025·
2(4)参芳答案
2025年普通高等学校招生全国统一考试
:9.BDA.由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC,则AA1⊥
(全国一卷)
AD,假设AD⊥A1C,又AA1∩A1C=A1,AA1,A1CC平面
1.C(1十5i)i=-5十i,其虚部为1.故选C.
AA1C1C,所以AD⊥平面AA1CC,矛盾，所以AD与A1C
2.CU={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故CuA={2,4,
不垂直，A错误；B.因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，
6,7,8},故CvA中有5个元素.故选C.
所以AA1⊥平面ABC,则AA1⊥BC,因为D为BC的中
3.D依题意得b=√7a,又c2=a2十b2,所以c2=a2+(W7a)2
点，AC=AB,所以AD⊥BC,又AD∩AA1=A,AD,AA1
C平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,又BC∥B1C1,所以
=8a2,即c=2√2a,故e=2W2.故选D.
B1C1⊥平面AA1D,B正确；C.AB∥A1B1,AD与AB相
4.B令x-吾-经及∈Z得x=经+哥∈Z,故y
交，所以AD与A1B1异面，C错误；D.CC1∥AA1,CC1丈
平面AA1D,AA1C平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D.故
21am(x-晋)的因象的对称中心为（经+受0）∈Z,由
选BD
10.ACDA.直线1为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知
题意知a=经+骨，k∈N,共最小位为骨故选B
AD=AF1.A正确：B.当AB⊥x轴时，A(受3，B
5.A当x∈[-1,0]时，-x+2∈[2,3]，所以当x∈[-1,0]
时，f(x)=f(一x)=f(-x十2)=5-2（一x十2）=1十2x,
(受，-3E(-号，0，AB=6AE=3E,此时
所以f(-)=1-=-分故选A.
AE≠|AB.B错误；C.易知直线AB的斜率不为0，设直
6.A真风风速对应的向量=视风风速对应的向量一船行风
线AB:x=my十子A().B(x8:2),由
风速对应的向量=视风风速对应的向量十铅速对应的向
量=AB,如图，AB引=2√2∈(1.6,3.3)，故选A.
x=my十2，得y2-6my-9=0,则y1十y2=6m,y1y:
y2=6x
3
=-9,x1十x2=m(y1十y2)十3=6m2+3,AB|=x1十
x2十3=6m2+6≥6.C正确；D.当m=0,即AB⊥x轴时，
A船速
由B知，|AE引=|BE|=3√2，|AE|·|BE=18.当m≠0
0123x
7.B易得圆心(0，一2)到直线y=√3x十2的距离d=2.当r
时，直线EF:=-品y+子，E(3m)EF到
=d-1=1时，圆x2十(y十2)2=r2(r>0)上到直线y=
VS+9m,S△B=号AE·BElsin∠AEB=AB
√3x十2的距离为1的点有且仅有一个，当r=d十1=3时，
圆x2十(y十2)2=2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为
·EF1=26+6m3)V9+9m=91+m)>g.所
1的点有且仅有三个，故当1<<3时，國x2十(y十2)2=
18
r2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为1的点有且仅有两
以AE·BE>sm∠AEB>18.综上，AE·|BE≥
个，故选B.
18,D正确.故选ACD.
8.B解法-令2+log2,x=3+log3y=5十1og52=0,得x=11.ABCA.cos2A十cos2B+2sinC=1-2sin2A+1-
y=7=此时>y>◆2+logx=3+1ogy
1
1
2sin2B十2sinC=2,所以sin2A十sin2B=sinC,A正确；
=5十10g5z=5,得x=8,y=9,z=1,此时y>x>z:令2十
B令a=BC.6=AC,c=AB,则ABC=2R
log2x=3+log3y=5+log5x=8,得x=26=64,y=35=
(R为△ABC的外接圆半径)，由sin2A+sin2B=sinC,得
243,x=53=125,此时y>>x.故选B.
a2+62=c·2R≥c2.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角
解法二设2+log2x=3+log3y=5+log5之=t,则x=
形，则A+B>受，即A>-B,则sinA>in(2-B）
2-2=f(t),y=3-3=g(t),x=5-5=h(t),在同一平面直
角坐标系中画出函数f(t),g(t),h(t)的图象，（提示：可先
cosB,所以sinC=sin2A十sin2B>cos2B+sin2B=1,矛
画出y=2,y=3,y=5的图象，然后分别向右平移2,3,5
盾.故a2+62=2,即C=A+B=受，所以cos(A+B)
个单位长度，即可得到函数f(t),g(),h(t)的图象)
cos Acos B-sin Asin B=0.cos Acos Bsin C=
y
cos AcosB-}所以sin AsinB-子因为SAc
y=(r)
bnC-子6=所以b=合所以nnB
1
ab
1
y=ft)
《2R)2名=2，所以2R=2,所以c=2R·snC=2,B
=h〔0
正确；C.(sinA十sinB)2=sin2A+sin2B+2 sin Asin B=
由图可知x,y,之的关系不可能为x>之>y,故选B
sinC+2 2sin Asin B=1+2x号=2，所以simA+sinB=
-1

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