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绝密★启用前
2025年普通高等学校春季招生考试（上海卷）
数学
(限时：120分钟满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1.已知集合A={xx>0},B={一1,0,1,2}，则A∩B=
!
的
2.不等式，二<0的解集为
3.已知复数=2牛，其中i为虚数单位，则|=
粥
4.已知a=(2,1),b=(1,x),若a∥b,则x=
5.已知tana-1,则cos(a+F)-
6.已知(x+)°的展开式中常数项是20，则a
洲
7.已知{an}是首项为1，公差为1的等差数列，{bn}是首项为1，公比为q(q>0)的等比数列.若数
列{a.·bn}的前三项和为2，则q=
痴
8.关于x的方程|x一1十|π一x=π一1的解集为
9.已知P是一个圆锥的顶点，母线PA=2,该圆锥的底面半径是1，B,C均在圆锥的底面上，则异
面直线PA与BC所成角的最小值为
0.已知双曲线无一
6一。=1(a>0)的左、右焦点分别为F,F.过F,且倾斜角为的直线与双
製
曲线交于第一象限的点A,延长AF2至B,使得AB引=|AF.若△BFF2的面积为3√6，则
总
a的值为
11.如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部
分完好，曲线MN是以AD为对称轴的抛物线的一部分，|DM=|DN|=3.工人师傅现要从
完好的部分中截取一块矩形原料BQPR,当其面积取得最大值时，|AQ的长为
闲
12.(数量投影，非上海考生不作要求)在平面中，e1和e2是互相垂直的单位向量，向量a满足a
一4e1=2,向量b满足b一6e2=1,则b在a方向上的数量投影的最大值为
2025·
1(4)
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且
只有一个正确选项
13.如图，ABCD一AB,CD1是正四棱台，则下列各组直线中，属于异面直线的是
D
方1
A.AB和CD
B.AA和CC
C.BD1和B,D
D.A,D1和AB
14.已知幂函数y=x“在(0，十∞)上是严格减函数，且其图象经过（一1，一1），则a的值可能是
()
A-号
B一专
c
D.3
15.已知四边形ABCD,对于其四边AB,BC,CD,DA,按顺序分别抛掷一枚质地均匀的硬币，若
硬币正面朝上，则将其擦去；若硬币反面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿着尚未擦去的边
出发，可以到达C点的概率为
()
A
8后
c
16.已知a∈R,若不等式tan(否x)-atan(否x-a-1<0在(0,2025)内的整数解有m个，
则m的值不可能是
()
A.0
B.338
C.674
D.1012
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤，
17.(利用反三角函数表示角的大小，非上海考生不作要求)(14分)如图，在三棱锥P一ABC中，
平面PAC⊥平面ABC,PA=AC=CP=2,AB=BC=√2，点O是棱AC的中点.
(1)证明：BO⊥平面PAC,并求三棱锥B一OPA的体积；
(2)求二面角B一PC一A的大小.
0
2025·
2(4)参芳答案
2025年普通高等学校招生全国统一考试
:9.BDA.由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC,则AA1⊥
(全国一卷)
AD,假设AD⊥A1C,又AA1∩A1C=A1,AA1,A1CC平面
1.C(1十5i)i=-5十i,其虚部为1.故选C.
AA1C1C,所以AD⊥平面AA1CC,矛盾，所以AD与A1C
2.CU={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故CuA={2,4,
不垂直，A错误；B.因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，
6,7,8},故CvA中有5个元素.故选C.
所以AA1⊥平面ABC,则AA1⊥BC,因为D为BC的中
3.D依题意得b=√7a,又c2=a2十b2,所以c2=a2+(W7a)2
点，AC=AB,所以AD⊥BC,又AD∩AA1=A,AD,AA1
C平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,又BC∥B1C1,所以
=8a2,即c=2√2a,故e=2W2.故选D.
B1C1⊥平面AA1D,B正确；C.AB∥A1B1,AD与AB相
4.B令x-吾-经及∈Z得x=经+哥∈Z,故y
交，所以AD与A1B1异面，C错误；D.CC1∥AA1,CC1丈
平面AA1D,AA1C平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D.故
21am(x-晋)的因象的对称中心为（经+受0）∈Z,由
选BD
10.ACDA.直线1为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知
题意知a=经+骨，k∈N,共最小位为骨故选B
AD=AF1.A正确：B.当AB⊥x轴时，A(受3，B
5.A当x∈[-1,0]时，-x+2∈[2,3]，所以当x∈[-1,0]
时，f(x)=f(一x)=f(-x十2)=5-2（一x十2）=1十2x,
(受，-3E(-号，0，AB=6AE=3E,此时
所以f(-)=1-=-分故选A.
AE≠|AB.B错误；C.易知直线AB的斜率不为0，设直
6.A真风风速对应的向量=视风风速对应的向量一船行风
线AB:x=my十子A().B(x8:2),由
风速对应的向量=视风风速对应的向量十铅速对应的向
量=AB,如图，AB引=2√2∈(1.6,3.3)，故选A.
x=my十2，得y2-6my-9=0,则y1十y2=6m,y1y:
y2=6x
3
=-9,x1十x2=m(y1十y2)十3=6m2+3,AB|=x1十
x2十3=6m2+6≥6.C正确；D.当m=0,即AB⊥x轴时，
A船速
由B知，|AE引=|BE|=3√2，|AE|·|BE=18.当m≠0
0123x
7.B易得圆心(0，一2)到直线y=√3x十2的距离d=2.当r
时，直线EF:=-品y+子，E(3m)EF到
=d-1=1时，圆x2十(y十2)2=r2(r>0)上到直线y=
VS+9m,S△B=号AE·BElsin∠AEB=AB
√3x十2的距离为1的点有且仅有一个，当r=d十1=3时，
圆x2十(y十2)2=2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为
·EF1=26+6m3)V9+9m=91+m)>g.所
1的点有且仅有三个，故当1<<3时，國x2十(y十2)2=
18
r2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为1的点有且仅有两
以AE·BE>sm∠AEB>18.综上，AE·|BE≥
个，故选B.
18,D正确.故选ACD.
8.B解法-令2+log2,x=3+log3y=5十1og52=0,得x=11.ABCA.cos2A十cos2B+2sinC=1-2sin2A+1-
y=7=此时>y>◆2+logx=3+1ogy
1
1
2sin2B十2sinC=2,所以sin2A十sin2B=sinC,A正确；
=5十10g5z=5,得x=8,y=9,z=1,此时y>x>z:令2十
B令a=BC.6=AC,c=AB,则ABC=2R
log2x=3+log3y=5+log5x=8,得x=26=64,y=35=
(R为△ABC的外接圆半径)，由sin2A+sin2B=sinC,得
243,x=53=125,此时y>>x.故选B.
a2+62=c·2R≥c2.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角
解法二设2+log2x=3+log3y=5+log5之=t,则x=
形，则A+B>受，即A>-B,则sinA>in(2-B）
2-2=f(t),y=3-3=g(t),x=5-5=h(t),在同一平面直
角坐标系中画出函数f(t),g(t),h(t)的图象，（提示：可先
cosB,所以sinC=sin2A十sin2B>cos2B+sin2B=1,矛
画出y=2,y=3,y=5的图象，然后分别向右平移2,3,5
盾.故a2+62=2,即C=A+B=受，所以cos(A+B)
个单位长度，即可得到函数f(t),g(),h(t)的图象)
cos Acos B-sin Asin B=0.cos Acos Bsin C=
y
cos AcosB-}所以sin AsinB-子因为SAc
y=(r)
bnC-子6=所以b=合所以nnB
1
ab
1
y=ft)
《2R)2名=2，所以2R=2,所以c=2R·snC=2,B
=h〔0
正确；C.(sinA十sinB)2=sin2A+sin2B+2 sin Asin B=
由图可知x,y,之的关系不可能为x>之>y,故选B
sinC+2 2sin Asin B=1+2x号=2，所以simA+sinB=
-1

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