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绝密★启用前
2025年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
(限时：120分钟满分：150分）
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
数学
第I卷
本卷共9小题，每小题5分，共45分.
的
参考公式：
。
如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)十P(B).
如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).
球的体积公式V=号R,其中R表示球的半径。
·圆锥的体积公式V=号Sh,其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
恶
1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则Cv(AUB)=
和
A.{1,2,3,4}
B.{2,3,4}
C.{2,4}
D.{4}
2.设x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为
虹
夺
A.f(x)=
1-x
B.f(x)=Tzl-1
C.f(x)=
x
1-x
D.f()=l
x2-1
闲
4.已知m,n为两条直线，a,3为两个平面，则下列结论中正确的是
A.若m∥a,nCa,则m∥n
B.若m⊥a,m⊥3，则a⊥3
C.若m∥a,m⊥B,则a⊥3
D.若mCa,a⊥B,则m⊥3
5.已知r为相关系数，则下列说法中错误的是
A.若X一N(4,o),则P(X≤4-o)=P(x≥u十o)
B.若X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X<1)C.r越接近1，线性相关性越强
D.|r越接近0，线性相关性越弱
2025·
6.已知数列{a,}的前n项和S.=一n2十8n,则{a.|}的前12项和为
A.48
B.112
C.80
D.144
7.函数f(x)=0.3一√x的零点所在区间是
A.(0,0.3)
B.(0.3,0.5)
C.(0.5,1)
D.(1,2)
8f)=sin(a十go>0,-<<),在[-受，]上单调递增，且x=径为fx)图象的一条
对称轴.（骨0是f(x)图象的一个对称中心，当x∈[0，受】时，f(x)的最小值为
()
A.-3
B.一2
C.-1
2
D.0
浅-￥(@>0，b>0)的左右焦点分别为E,F,以右焦点F,为焦点的
2x(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P,若|PF+|PF2|=3|FF,,则双曲线的离心率
e=
A.2
B.5
C.2+1
D.5+1
2
2
第Ⅱ卷
本卷共11小题，共105分
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全
部答对的给5分
10.已知i是虚数单位，则3中
11.在(x一1)的展开式中，x3项的系数为
12.l1:x一y十6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x十1)2十(y-3)2=r(r>0)交于C,
D两点，|AB=3CD,则r=
13.小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑
5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑5圈
的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为
;若一周至少跑11圈
为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X,则期望E(X)=
14.△ABC中，D为AB中点，C它=CD,AB=a,AC=b,则AE
(用a,b表示)，若
|AE1=5,AE⊥CB,则AE.CD=
15.若a,b∈R,对Hx∈[-2,2]，均有(2a十b)x2十bx-a一1≤0恒成立，则2a十b的最小值为
2025·
2(4)参芳答案
2025年普通高等学校招生全国统一考试
:9.BDA.由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC,则AA1⊥
(全国一卷)
AD,假设AD⊥A1C,又AA1∩A1C=A1,AA1,A1CC平面
1.C(1十5i)i=-5十i,其虚部为1.故选C.
AA1C1C,所以AD⊥平面AA1CC,矛盾，所以AD与A1C
2.CU={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故CuA={2,4,
不垂直，A错误；B.因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，
6,7,8},故CvA中有5个元素.故选C.
所以AA1⊥平面ABC,则AA1⊥BC,因为D为BC的中
3.D依题意得b=√7a,又c2=a2十b2,所以c2=a2+(W7a)2
点，AC=AB,所以AD⊥BC,又AD∩AA1=A,AD,AA1
C平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,又BC∥B1C1,所以
=8a2,即c=2√2a,故e=2W2.故选D.
B1C1⊥平面AA1D,B正确；C.AB∥A1B1,AD与AB相
4.B令x-吾-经及∈Z得x=经+哥∈Z,故y
交，所以AD与A1B1异面，C错误；D.CC1∥AA1,CC1丈
平面AA1D,AA1C平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D.故
21am(x-晋)的因象的对称中心为（经+受0）∈Z,由
选BD
10.ACDA.直线1为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知
题意知a=经+骨，k∈N,共最小位为骨故选B
AD=AF1.A正确：B.当AB⊥x轴时，A(受3，B
5.A当x∈[-1,0]时，-x+2∈[2,3]，所以当x∈[-1,0]
时，f(x)=f(一x)=f(-x十2)=5-2（一x十2）=1十2x,
(受，-3E(-号，0，AB=6AE=3E,此时
所以f(-)=1-=-分故选A.
AE≠|AB.B错误；C.易知直线AB的斜率不为0，设直
6.A真风风速对应的向量=视风风速对应的向量一船行风
线AB:x=my十子A().B(x8:2),由
风速对应的向量=视风风速对应的向量十铅速对应的向
量=AB,如图，AB引=2√2∈(1.6,3.3)，故选A.
x=my十2，得y2-6my-9=0,则y1十y2=6m,y1y:
y2=6x
3
=-9,x1十x2=m(y1十y2)十3=6m2+3,AB|=x1十
x2十3=6m2+6≥6.C正确；D.当m=0,即AB⊥x轴时，
A船速
由B知，|AE引=|BE|=3√2，|AE|·|BE=18.当m≠0
0123x
7.B易得圆心(0，一2)到直线y=√3x十2的距离d=2.当r
时，直线EF:=-品y+子，E(3m)EF到
=d-1=1时，圆x2十(y十2)2=r2(r>0)上到直线y=
VS+9m,S△B=号AE·BElsin∠AEB=AB
√3x十2的距离为1的点有且仅有一个，当r=d十1=3时，
圆x2十(y十2)2=2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为
·EF1=26+6m3)V9+9m=91+m)>g.所
1的点有且仅有三个，故当1<<3时，國x2十(y十2)2=
18
r2(r>0)上到直线y=√3x十2的距离为1的点有且仅有两
以AE·BE>sm∠AEB>18.综上，AE·|BE≥
个，故选B.
18,D正确.故选ACD.
8.B解法-令2+log2,x=3+log3y=5十1og52=0,得x=11.ABCA.cos2A十cos2B+2sinC=1-2sin2A+1-
y=7=此时>y>◆2+logx=3+1ogy
1
1
2sin2B十2sinC=2,所以sin2A十sin2B=sinC,A正确；
=5十10g5z=5,得x=8,y=9,z=1,此时y>x>z:令2十
B令a=BC.6=AC,c=AB,则ABC=2R
log2x=3+log3y=5+log5x=8,得x=26=64,y=35=
(R为△ABC的外接圆半径)，由sin2A+sin2B=sinC,得
243,x=53=125,此时y>>x.故选B.
a2+62=c·2R≥c2.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角
解法二设2+log2x=3+log3y=5+log5之=t,则x=
形，则A+B>受，即A>-B,则sinA>in(2-B）
2-2=f(t),y=3-3=g(t),x=5-5=h(t),在同一平面直
角坐标系中画出函数f(t),g(t),h(t)的图象，（提示：可先
cosB,所以sinC=sin2A十sin2B>cos2B+sin2B=1,矛
画出y=2,y=3,y=5的图象，然后分别向右平移2,3,5
盾.故a2+62=2,即C=A+B=受，所以cos(A+B)
个单位长度，即可得到函数f(t),g(),h(t)的图象)
cos Acos B-sin Asin B=0.cos Acos Bsin C=
y
cos AcosB-}所以sin AsinB-子因为SAc
y=(r)
bnC-子6=所以b=合所以nnB
1
ab
1
y=ft)
《2R)2名=2，所以2R=2,所以c=2R·snC=2,B
=h〔0
正确；C.(sinA十sinB)2=sin2A+sin2B+2 sin Asin B=
由图可知x,y,之的关系不可能为x>之>y,故选B
sinC+2 2sin Asin B=1+2x号=2，所以simA+sinB=
-1

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