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4.5相似三角形判定定理的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么
A． B． C． D．
2．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是(　　)
A． B． C． D．
3．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（　　）
A．2组
B．3组
C．4组
D．5组
4．如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④
5．如图，在的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
6．如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下列四个条件中，
（1）∠ACP=∠B（2）∠APC=∠ACB（3）（4）AB CP=AP CB，
其中能满足△APC和△ACB相似的条件有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图所示，、相交于点，连接，，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的边上异于、一点，过点作直线截得的三角形与相似，那么这样的直线可以作的条数是（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
9．如图所示，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，有下列三个结论：①DE＝AB；②△CDE∽△CAB；③△CDE与△CAB的相似比为2.其中正确的结论有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
11．下列各组条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，
12．如图，点E为 ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于(　　)

A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶3
二、填空题
13．如图，当∠AED＝ 时，以A，D，E为顶点的三角形与相似．
14．如图，已知，，，，要使，只要 ．
15．如图，添上条件 ，则．
16．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，则△ ∽△ ，若AC＝2，AD＝1，则DB＝ ．
17．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于
三、解答题
18．如果的两条直角边分别为3和4，那么以和（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与相似吗？为什么？
19．如图，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=5，BD=3，AE=4，CE=6.
试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长.
20．如图，，，又，点，，在同一条直线上．求证：．
21．已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
22．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，若S△ADE=16cm2，S△EFC=49cm2， 求①，②S△ABC．
23．如图，在△ABC中，AB=4 cm，AC=2 cm．
(1)在AB上取一点D（D不与A、B重合），当AD=_________cm时，△ACD∽△ABC．
(2)在AC的延长线上取一点E，当CE=________cm时，△AEB∽△ABC．此时BE与DC有怎样的位置关系 为什么
24．如图，在中，，点是的重心，且，的延长线交于．
(1)求证：；
(2)求的值．
《4.5相似三角形判定定理的证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A D C C D D C A
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质易证，，从而求得
的值．
【详解】∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DEAB，
∴△CED∽△CAB，∠BAD=∠EDA.
∴∠EDA=∠EAD，
∴EA=ED，
∵,
∴ED:EC=2:3，
那么
故选:B.
【点睛】考查了角平分线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.
2．D
【详解】试题分析：根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即，故选D．
3．A
【详解】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；
②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；
③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；
④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；
⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；
⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；
所以正确的有③⑥．
故选A．
4．D
【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键．利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可．
【详解】解：①中三角形三边分别为，2，，
②中三角形三边分别为，3，，
③中三角形三边分别为，，，
④中三角形三边分别为2，，，
∵，
∴是相似三角形的是①和④．
故选D．
5．C
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三组对应边的比相等，做题即可．
【详解】设第一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长
△ABC的各边分别为
△CDF的各边分别为
△EFG的各边分别为
△HMN的各边分别为
△HPQ的各边分别为
可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似.
故选:C.
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6．C
【详解】试题解析：（1）中，∠ACP=∠B，又有一公共角∠A，所以相似，（1）正确；
（2）∠APC=∠ACB，且有一公共角∠A，（2）正确；
（3）中 AC2=AP AB，∠A为其夹角，（3）正确；
（4）中不是两组对应边成比例，夹角相等，所以（4）错误．
故选C．
7．D
【分析】要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，而对应边所夹的角则必是其相等的角，否则不能得到其相似．
【详解】由图可得，∠AOC=∠BOD，所以要使△AOC∽△DOB，只需再添加一个对应角相等或其对应边成比例即可，
所以题中选项A、B、C均符合题意，
而D选项中AC与AO的夹角并不是∠AOC，所以其不能判定两个三角形相似．
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定问题，能够熟练掌握．
8．D
【分析】过点P 作作PE∥BC，则△AEP∽△ACB（如图1）；作PE∥AC，则△BPE∽△BAC（如图2）；作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC（如图3）；作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC（如图4），由此即可解答．
【详解】解：（1）如图1，作PE∥BC，则△AEP∽△ACB；
（2）如图2，作PE∥AC，则△BPE∽△BAC；
（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC；
（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法：①平行于三角形一边的直线截其他两边所得到的三角形与原三角形相似；②两边的比相等，夹角相等的两个三角形相似．
9．C
【详解】分析：根据相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线的性质逐个分析，即可得出正确答案．
详解：①△ABC中， ∵DE是它的中位线，∴DE=，故本选项正确；
②△ABC中，∵DE是它的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项正确；
③∵DE=，△ADE∽△ABC，∴△CDE与△CAB的相似比为1：2． 故本选项错误．
故选C．
点睛：本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理，在解题时要注意与三角形的中位线的性质相结合是本题的关键．
10．A
【分析】由，∠BDE=∠ADC可证明△BDE∽△ACD，根据相似三角形对应找到成比例找出对应边即可求出DC的长.
【详解】∵，∠BDE=∠ADC，
∴△BDE∽△ACD，
∴DC：BD=AD：DE，
∵，，AB=AD+BD，
∴AD=4，BD=6，
∴DC== = ，
故选A.
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形找出对应边是解题关键.
11．C
【分析】根据：有两个角对应相等的两个三角形相似.
【详解】A. ，,有两个角对应相等的两个三角形相似.
B. ，，,得，有两个角对应相等的两个三角形相似.
C. ，，两个等腰三角形不一定相似；
D. ①，②，①+②得，所以，有两个角对应相等的两个三角形相似.
故选C
【点睛】考核知识点：三角形相似的条件.熟记三角形相似的条件是关键.
12．B
【分析】如图，延长FE，CD交于点H，易证△AFE∽△DHE，根据已知条件和相似三角形的性质可得HD＝3AF.再证得△AFG∽△CHG，根据相似三角形的性质即可解答
【详解】延长FE，CD交于点H，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴△AFE∽△DHE，
∴ =，即 ，
∴HD＝3AF.
∵AB∥CD，
∴△AFG∽△CHG，
∴.
故选B.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，正确作出辅助线证明△AFE∽△DHE及△AFG∽△CHG是解题的关键.
13．∠B或∠C
【分析】由两个角对应相等的两个三角形相似，从而可得结论．
【详解】解： ∠BAC＝∠EAD(公共角)，
再由∠AED＝∠C或∠AED＝∠B，
即可证明与相似．
故答案为：或
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
14．
【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解.
【详解】解:∠ACB=,AC=4,BC=3,
,
要使,有,
,,
故答案为:
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理,关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形.
15．∠ABC=∠ADE（答案不唯一）
【分析】根据相似三角形的判定定理添加即可.
【详解】添上∠ABC=∠ADE条件，则△ABC∽△ACD．
理由：∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
故答案为∠ACD=∠B（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两个角对应相等的三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题键．
16． ACD ABC 3
【详解】（1）∵∠ACD＝∠ABC，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC.
（2）∵△ACD∽△ABC，
∴AC:AB=AD:AC，
∴ADAB=AC2，
又∵AC=2，AD=1，
∴AB=4，
∴BD=AB-AD=4-1=3.
17．．
【详解】∵∠ADO=∠ADO,∠DOA=∠DAE=90°，
∴△AOD∽△EAD，
∴ .
故答案为 .
18．相似．因为两边成比例，比值为k，且夹角相等．
【分析】根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断．
【详解】解：因为 ，且两组对应边的夹角都为90°，所以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断以3k和4k（k是正整数）为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
19．（1）证明见解析；（2）DE=4.5
【分析】（1）由条件可得，且为公共角，则可证明；
（2）由（1）可得，可求得.
【详解】⑴ ∵AD=5，BD=3，AE=4，CE=6，
∴AB=8，AC=10，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
⑵ ∵△ADE∽△ACB，
∴，
∵BC=9，
∴DE=4.5.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定方法，即有两组角对应相等、两组对应边的比相等且夹角相等或三组对应边的比相等是解题的关键.
20．证明见解析
【分析】由AB=2AC、BD=2AE可得AB：AC=BD：AE=2，又因BD // AC，根据平行线的性质可得∠B=∠EAC，再由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ABD∽△CAE．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解决本题的关键.
21．(1)详见解析；（2）10.
【分析】①只需证明两对对应角分别相等可得两个三角形相似；故.
②根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长．
【详解】①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90° ∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
∴.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，
∴OCPD=OPPA=CPDA=14 √=12.
∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.
∵AD=8，
∴CP=4，BC=8.
设OP=x，则OB=x，CO=8 x.
在△PCO中，
∵∠C=90 ，CP=4，OP=x，CO=8 x，
∴x2=(8 x)2+42.
解得：x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识.
22．（1）；（2）121
【分析】利用平行求相似三角形，再根据相似三角形的性质，对应求解.
【详解】①∵DE∥BC，EF∥AB；
∴∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACF；∴ΔADE∽ΔABC；
∠ABC=∠EFC, ∠EFC=∠ADE；∴ΔADE∽ΔEFC；
∴S△ADE：S△EFC =(BC：EF) =16:49, BC：EF=4：7；
∵DE∥BC，EF∥AB；
∴四边形DEFB为平行四边形，DE=BF；
∴= .
②∵ΔADE∽ΔABC，= ； ∴S△ADE：S△ABC=（4:11） =16：121；
∵S△ADE=16cm2；
∴S△ABC E=121 cm2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质和利用平行求相似三角形，熟练掌握这两点是解题的关键.
23．(1)1; (2)6.
【详解】（1）如图，∵∠A=∠A，∴当AD:AC=AC:AB时，△ACD∽△ABC.
由AD:AC=AC:AB可得：AD·AB=AC2，∵AC=2，AB=4，∴解得AD=1，即当AD=1时，AD:AC=AC:AB；
（2）如图，∵∠A=∠A，∴当AE:AB=AB:AC时，△AEB∽△ABC.
由AE:AB=AB:AC可得AE·AC=AB2，∵AC=2，AB=4，∴AE=8，∴CE=AE-AC=6.
此时，BE∥CD，理由如下：
∵△ACD∽△ABC，△AEB∽△ABC，
∴∠ACD=∠ABC，∠AEB=∠ABC，
∴∠ACD=∠AEB，
∴BE∥CD.
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，利用等角的余角相等得，根据点是的重心，可得是边上的中线，所以，所以，可得，又，根据相似三角形的判定方法得到；
（2）设，由点是的重心，根据重心的性质得，根据重心的定义得是边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到，于是得到，求得，根据为边上的中线，于是得到，推出，即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∵点是的重心，
∴是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图，设，
∵点是的重心，，
∴，为边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为边上的中线，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
【点睛】本题考查三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等角的余角相等，三角形中线的性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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