资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
4.6利用相似三角形测高
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（ ）
A． B． C． D．
2．小明利用中国古代“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港景点打卡：玉笏朝天）的高度．如图所示，“玉笏朝天”的高度记为，“玉笏朝天”在照板“内芯”上的高度记为，小明的眼睛点与在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为（ ）
A．86 B．84 C．80 D．78
4．1m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长度为0.8m，同一时刻，某电视塔的影子长度为100m，则该电视塔的高度为（ ）
A．150m B．125m C．120m D．80m
5．彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在A时测得旗杆的影长是4米，B时测得旗杆的影长是16米，若两次的日照光线恰好垂直，则旗杆的高度是（ ）米．

A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ）
A． B． C． D．
11．《海岛算经》是我国最早的一部测量数学专著，书中第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度，立两根长度相等的标杆和，两杆之间的距离步，，，共线；从到走123步，此时A，，三点共线；从到走127步，此时A，，三点共线．计算山峰的高度及的长．若设步，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．

14．如图是小孔成像的原理示意图，如果物体的高度为，那么它在暗盒中所成像的高度为 ．
15．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 mm．
16．如图，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图像高米，则投影机光源A到屏幕的距离为 米．
17．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为 ．
三、解答题
18．景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？
19．综合与实践
视力表中蕴含的数学知识
素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同．
任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由；
任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离．
素材2 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但书房空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图2，在相距的两面墙上分别悬挂视力表与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长就可以计算出镜长．
任务3 美美的方法中如果视力表的全长为，请计算出镜长至少为多少米．
20．2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国．英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右千大指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（，目测的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．已知大多数人的眼距长约为厘米左右，手臂长约为厘米左右，若的估测长度为40米，那么的大致距离为多少米．

21．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
22．【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
23．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
24．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为；
②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线；
③调整D，E的位置，使，记录下的距离为；
④测量出之间的距离大约为．
数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明．
《4.6利用相似三角形测高》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B A C C A D C
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P，
∵水面离桌面的高度为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∴，
即此时点C离桌面的高度为．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴A，C，D不正确，B正确，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．证明，推出，构建方程求出即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
4．B
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：设电视塔的高度应是x，
根据题意得：＝，
解得：x＝125，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似比，列出方程，通过解方程求出电视塔的高度，体现了方程的思想．
5．A
【分析】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解即可．
【详解】解：解：设彭老师举起的手臂超出头顶是，根据同一时刻物高与影长成比例，得，
解得：．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度是解题的关键．
【详解】解：解：由题意得，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
7．C
【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，
∴，
∴，
解得，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用等角的余角相等得到，则可判断，然后利用相似比可计算出．
【详解】解：如图，，，，

∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴ ，
即，
∴，
即旗杆的高度为．
故选：D
10．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
11．D
【分析】证明，得到，由得到，根据已知条件代入即可得到结论．
【详解】解：由题意可得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．D
【分析】本题主要考查相似三角形的应用：根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解，
利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
【详解】解：设投影三角尺的对应边长为，
∵三角尺与投影三角尺相似，
∴，
解得，
所以投影三角尺的对应边长为，
故选：D．
13．9
【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，推出，由此求解即可．
【详解】解：设与交于，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9．

14．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，从而得出，由相似三角形的性质可得，代入计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
，
，
，
，
故答案为：．
15．24
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
设与交点为E，正方形的边长为x，得到，根据正方形性质得到，得到，推出，解得．
【详解】解：设与交点为E，正方形的边长为x，
则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴这个正方形零件的边长是．
故答案为：24．
16．6
【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答．
【详解】解：如图所示，过A作于G，交与F，
因为，
所以，，米，
设，
则，即，
解得：，
米，
故答案为：6．
17．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得出，推出，再由相似三角形的判定与性质计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴旗杆的高为，
故答案为：．
18．10米
【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案；
【详解】解：，
，
，
，
，
，
米．
19．任务1：，理由见解析；任务2：②号“”的测量距离为；任务3：镜长至少为
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．
任务1：根据相似三角形的对应边成比例解答；
任务2：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可；
任务3：根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可．
【详解】解：任务1：，
理由如下：，
，
，即；
任务2：，且，，，
，
，
②号“”的测量距离为；
任务3：如图，延长至，使，延长至，使，连接，作于，交于，
，
则，，
，，
，
由题意得：，，
，
，
，
镜长至少为．
20．
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明得到，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：，
∴，
，
，
根据题意得，，，，
，
答：的大致距离为．
21．树高为
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案．
【详解】解：据题意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：树高为．
22．问题一：；问题二：；问题三：见详解
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，
问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得．
问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得；
问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可．
【详解】解：问题一：由反射特点可知，
又∵，
∴，
∴
∵，，
即：，
∴．
问题二：
由反射特点可知，，
∵
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，解得，
∴，
解得；
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差；
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
23．(1)，
(2)43
【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键．
（1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程；
（2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度．
【详解】（1）由同一时刻测量，可得，
第一次测量：，化简得，，
第二次测量：，化简得，，
故答案为：，；
（2）对于，代入，
得，，
解得：，
钟楼米，
故答案为：43．
24．能测出树A与树B之间的距离为18米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答．
【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下：
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：能测出树A与树B之间的距离为18米．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑